APOSTILA-MATEMÁTICA-E-ESTATÍSTICA

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MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 4 
2 A MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS: RETROSPECTIVA CURRICULAR ............ 5 
2.1 A formação matemática da professora polivalente ............................................. 10 
2.2 Crenças e sentimentos em relação à matemática e seu ensino ......................... 11 
2 MATEMÁTICA ESCOLAR: UMA CONSTRUÇÃO SOB MÚLTIPLOS 
CONDICIONANTES .................................................................................................. 13 
2.1 Os saberes associados à prática docente .......................................................... 15 
2.2 Não saberes associados à prática docente ........................................................ 17 
3 Modelos Matemáticos ............................................................................................. 21 
3.1 Introdução aos conjuntos .................................................................................... 24 
3.2 Exemplos de experimentos não determinísticos ................................................. 28 
3.3 O espaço amostral .............................................................................................. 30 
3.4 Eventos ............................................................................................................... 33 
3.5 Frequência relativa ............................................................................................. 33 
4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA ............................................................ 35 
4.1 Ciência estatística ............................................................................................... 35 
4.2 Fenômenos coletivos ou de massa ..................................................................... 36 
4.3 Levantamentos estatísticos ................................................................................. 36 
4.4 População, amostra e amostragem .................................................................... 37 
4.5 Divisão da estatística .......................................................................................... 40 
5 ESTATÍSTICA E A REALIDADE EDUCACIONAL .................................................. 42 
5.1 A função prática das estatísticas educacionais na governança moderna ........... 43 
5.2 Medidores estatísticos na educação ................................................................... 47 
 
 
 
6 INDICADOR EDUCACIONAL ................................................................................. 49 
6.1 O modelo de profluxo de Philip Fletcher: as estimativas dos indicadores do fluxo 
escolar ....................................................................................................................... 50 
6.2 Indicadores de desempenho da dinâmica do fluxo escolar: avaliando o caminho 
da educação .............................................................................................................. 52 
6.3 Indicadores, dimensões e bases para qualidade da educação ........................... 54 
7 COLETA DE DADOS .............................................................................................. 58 
7.1 Mensuração de variáveis .................................................................................... 60 
7.2 Observação ......................................................................................................... 63 
7.3 Tipos de observação ........................................................................................... 65 
7.4 Resultados, análise, discussão e interpretação .................................................. 66 
8 EVOLUÇÃO DA PESQUISA EM EDUCAÇÃO ....................................................... 69 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em 
tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora 
que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 A MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS: RETROSPECTIVA CURRICULAR 
Nos últimos trinta anos, o Brasil tem passado por um significativo processo de 
reformas curriculares no ensino de matemática. Durante a década de 1980, a maioria 
dos estados brasileiros desenvolveu suas próprias propostas curriculares, tanto como 
uma resposta à necessidade interna do país, após o período de ditadura militar e a 
abertura democrática, quanto para acompanhar as tendências globais de reformas 
educacionais. Conforme destacado por Pires (2000), essas reformas têm sido uma 
parte essencial desse contexto: 
[...] o homem parece começar a tomar consciência da iminência do desastre 
planetário, da explosão demográfica, da redução dos recursos naturais. 
Desse modo, novos paradigmas emergem e trazem, como consequência, 
desafios à educação e, em particular, ao ensino da Matemática (PIRES, 2000, 
p. 35). 
Durante a última década, os currículos de matemática apresentaram aspectos 
comuns que podem ser considerados inovadores no ensino dessa disciplina. Entre 
esses aspectos, merecem destaque a promoção da alfabetização matemática, a 
inclusão de elementos não lineares no currículo, a ênfase na aprendizagem 
significativa, a valorização da resolução de problemas e o uso apropriado da 
linguagem matemática, entre outros (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2019). 
Tais aspectos estiveram, em certa medida, presentes nas propostas 
curriculares dos estados brasileiros. Ao examinar essas propostas, Carvalho (2000) 
identificou tanto aspectos positivos quanto negativos. Em relação às séries iniciais do 
ensino fundamental, é possível destacar os seguintes pontos positivos mencionados 
pelo autor: 
o tratamento e análise de dados por meio de gráficos; a introdução de noções 
de estatística e probabilidade; [...] o desaparecimento da ênfase na teoria dos 
conjuntos; [...] a percepção de que a matemática é uma linguagem; o 
reconhecimento da importância do raciocínio combinatório; um esforço para 
embasar a proposta em estudos recentes de educação matemática; o 
reconhecimento da importância do raciocínio combinatório; a percepção de 
que a função da Matemática escolar é preparar o cidadão para uma atuação 
na sociedade em que vive (CARVALHO, 2000, p. 122-123). 
 
 
No que concerne aos aspectos negativos das propostas curriculares, Carvalho 
(2000) salienta, por exemplo, a persistente ênfase desmedida no pormenorizado 
detalhamento dos conteúdos e algoritmos das operações, em detrimento dos 
conceitos, sem fornecer ao professor sugestões de abordagens metodológicas 
alinhadas com a filosofia anunciada na proposta. Muitas dessas propostas limitavam-
se a diretrizes genéricas, que contribuíam pouco para a atuação do professor em sala 
de aula. Além disso, observava-se a ausência de referências quanto ao tratamento de 
habilidades consideradas essenciais para o desenvolvimentodo pensamento 
matemático, como cálculo mental, estimativas e aproximações. 
A maioria dessas propostas manifestava uma intenção "construtivista", uma 
tendência didático-pedagógica amplamente presente na educação brasileira naquela 
década. Em outras palavras, conforme analisado por Carvalho (2000), essas 
propostas preconizavam a criação de ambientes nos quais os alunos pudessem 
edificar conceitos matemáticos. Contudo, as orientações gerais fornecidas aos 
professores ofereciam escassa contribuição para sua prática profissional. 
Segundo NACARATO, MENGALI e PASSOS (2019), é relevante considerar 
também que, naquela época, a maioria dos professores que atuavam nas séries 
iniciais possuía uma formação de nível médio, adquirida por meio do antigo curso de 
habilitação ao magistério, que lhes conferia certificação para trabalhar na educação 
infantil e nas séries iniciais do ensino fundamental. Por um lado, alguns desses cursos 
apresentavam propostas pedagógicas bastante interessantes. 
No entanto, na maioria deles, não havia educadores especializados em 
matemática ou que trabalhassem especificamente com a metodologia de ensino 
dessa disciplina. Muitos eram pedagogos sem formação específica nessa área. Como 
resultado, frequentemente, a formação recebida era centrada em processos 
metodológicos, desconsiderando os fundamentos da matemática. Isso acarretava em 
uma formação com várias deficiências conceituais nesse campo de conhecimento 
(NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2019). 
Se os cursos de habilitação ao magistério tiveram uma contribuição limitada 
para a formação matemática dos futuros professores, os cursos de pedagogia, na 
maioria das instituições de ensino superior, revelavam-se ainda mais deficientes 
nesse aspecto. Conforme ressaltado por Curi (2005), é raro encontrar disciplinas 
direcionadas à formação matemática específica desses professores na grade 
 
 
curricular dos cursos de pedagogia. 
Diante desse cenário, é razoável supor que os professores, em sua prática, 
possuíam uma compreensão limitada das novas abordagens apresentadas nos 
documentos curriculares para o ensino de matemática (NACARATO; MENGALI; 
PASSOS, 2019). 
De acordo com NACARATO, MENGALI e PASSOS (2019), é relevante 
ressaltar que, durante a década de 1980, o Estado de São Paulo teve um papel 
significativo por meio da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP), 
tanto na produção de materiais de alta qualidade para a prática pedagógica, quanto 
no investimento em formação contínua de professores. Isso ocorreu por meio das 
monitorias das disciplinas que compunham a educação básica, nas diversas 
Delegacias de Ensino. No entanto, é importante reconhecer que, apesar desses 
investimentos, nem todas as professoras foram alcançadas. Muitas delas continuaram 
a ensinar matemática utilizando abordagens semelhantes às adotadas décadas atrás: 
enfatizando cálculos e algoritmos sem uma compreensão e significado para os alunos, 
e concentrando-se principalmente na aritmética, enquanto negligenciavam outros 
campos da matemática, como geometria e estatística. 
Adicionalmente, é importante mencionar que os livros didáticos, uma 
ferramenta considerada indispensável para os professores em todos os níveis, não 
foram capazes de incorporar a maioria dos princípios contidos nas propostas 
curriculares estaduais, já que possuíam uma abrangência nacional. Na década de 
1990, o Brasil deu início a uma série de reformas educacionais (NACARATO; 
MENGALI; PASSOS, 2019). 
Na década de 1990, o Brasil deu início a uma série de reformas educacionais. 
É relevante destacar a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) de 1996 
(Lei 9.394/96), que introduziu várias mudanças, incluindo a exigência de formação ao 
nível superior para professoras que atuam nas séries iniciais (ou professoras 
polivalentes), por meio de cursos de pedagogia ou normal superior. Além disso, o 
artigo 26 da LDB propôs que os currículos da educação infantil, ensino fundamental e 
do ensino médio tivessem uma base nacional comum (BRASIL, 1996). 
Nesse sentido, a Secretaria de Educação do Ensino Fundamental do Ministério 
da Educação e do Desporto já havia iniciado, desde 1995, conforme destacado por 
Pires (2000), a elaboração de um currículo nacional para o ensino fundamental: os 
 
 
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), que foram divididos em quatro ciclos: o 
primeiro ciclo, envolvendo as 1ª e 2ª séries; o segundo ciclo, as 3ª e 4ª séries; o 
terceiro ciclo, as 5ª e 6ª séries; e o quarto ciclo, as 7ª e 8ª séries. 
No documento referente à matemática dos 1º e 2º ciclos, em sua introdução 
Brasil (1997), há uma análise do contexto do ensino dessa disciplina, que aponta como 
um dos problemas o processo de formação do professor, tanto no âmbito da formação 
inicial quanto na formação continuada, e a consequente dependência deste em 
relação ao livro didático, que muitas vezes apresenta qualidade insatisfatória. 
Esse documento, sem dúvida, introduziu questões inovadoras no ensino de 
matemática, conforme destacado por Pires (2000). Entre essas questões, destaca-se 
a concepção da matemática como um instrumento para compreender e interpretar o 
mundo, reconhecendo sua capacidade de estimular o interesse, a curiosidade, o 
espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. 
Segundo a autora, o documento também apresenta indicações de rompimento com a 
linearidade curricular, ao enfatizar a importância de estabelecer conexões entre os 
diferentes blocos de conteúdo, entre a matemática e outras disciplinas, e ao promover 
a exploração de projetos que permitam a articulação e a contextualização dos 
conteúdos. 
O documento também ressalta a importância de trabalhar tanto com conceitos 
quanto com procedimentos matemáticos, assim como os processos de argumentação 
e comunicação de ideias. Ele sugere a utilização de diferentes abordagens para "fazer 
Matemática" em sala de aula, como a resolução de problemas, a história da 
matemática, as tecnologias da informação e os jogos. Outra inovação presente no 
documento é a inclusão de um bloco de conteúdos relacionados ao tratamento da 
informação (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2019). 
Caso houvesse uma dicotomia entre os documentos curriculares e os livros 
didáticos nas décadas anteriores, a publicação dos PCN marcou um ponto de virada. 
A partir desse momento, o Ministério da Educação (MEC) também passou a investir 
na avaliação dos livros didáticos, buscando estabelecer uma certa sintonia entre os 
princípios teórico-metodológicos do documento curricular e a proposta pedagógica 
presente nos livros. No entanto, é importante ressaltar que esse processo não garante, 
por si só, nem a qualidade do ensino de matemática proposto pelos livros, nem a 
compreensão que as professoras têm das propostas apresentadas. 
 
 
Além disso, na maioria das vezes, o critério de escolha do livro didático pauta-
se na proximidade da proposta apresentada com as crenças que a professora tem 
sobre o que seja ensinar matemática. 
 
Conforme apontado por NACARATO, MENGALI e PASSOS (2019), as 
diretrizes para o ensino de matemática presentes nos Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCN) estão em consonância com o movimento educacional mais 
abrangente, especialmente decorrente da Conferência Educação para Todos, 
ocorrida em Jomtien, Tailândia, em 1990. Essa conferência foi organizada pela 
Unesco e pelo Banco Mundial e contou com a participação de representantes de 
diversos países. 
A partir do documento gerado nessa conferência, Declaração Mundial sobre 
Educação para Todos da Unesco, alguns indicativos para o ensino de Matemática 
foram delineados: há indicação explícita à importância de conhecimentos como a 
resolução de problemas, “como instrumentos de aprendizagem essenciais (ao lado de 
outros como a leitura, a escrita e o cálculo)” (ABRANTES; SERRAZINA; OLIVEIRA, 
p. 9, 1999)e destaque para outros conhecimentos básicos, as capacidades, os 
valores e as atitudes. 
Nos últimos anos (2006 a 2008), alguns estados brasileiros voltaram a 
reformular suas propostas curriculares. Destacamos o Estado de São Paulo que em 
2007 iniciou a elaboração de novas propostas curriculares. Enquanto para o ensino 
fundamental II (5ª a 8ª séries) e ensino médio a proposta já foi publicada em início de 
2008, a do ensino fundamental I (1ª a 4ª séries) foi editada apenas na versão 
preliminar e contém: (a) concepção do que seja aprender e ensinar Matemática; (b) 
os objetivos gerais do ensino de Matemática no ciclo I; (c) as expectativas de 
aprendizagem para cada série; (d) orientações didáticas para o ensino de matemática. 
Não se constatam diferenças entre os objetivos e os princípios apontados no 
documento em relação àqueles dos PCN. 
Assim como nos PCN, as orientações didáticas são vagas, o que exige uma 
professora conhecedora da matemática para esse nível de ensino. No que diz respeito 
aos princípios, reitera-se, como em documentos anteriores, a necessidade de que o 
aluno seja “o agente da construção de seu conhecimento quando, numa resolução de 
problemas, ele é estimulado a estabelecer conexões entre os conhecimentos já 
 
 
construídos e os que precisa aprender” (SÃO PAULO, 2008, p. 2). No entanto, o 
documento pouco esclarece sobre a concepção de resolução de problemas, um 
campo bastante polissêmico e pouco compreendido pelas professoras. 
Em síntese, podemos dizer que adentramos o século XXI com uma 
efervescência de ideias inovadoras, pelo menos nas práticas discursivas curriculares, 
quanto ao ensino de Matemática. A questão que se coloca é: a formação que vem 
sendo oferecida aos professores das séries iniciais tem considerado esses 
documentos curriculares, tanto para conhecimento e compreensão quanto para 
críticas? 
2.1 A formação matemática da professora polivalente 
A formação docente para atuação nas séries iniciais do ensino fundamental 
vem ocorrendo nos cursos de pedagogia e normal superior. Curi (2005), em sua 
pesquisa, analisou como as instituições de ensino superior incorporaram as 
orientações oficiais quanto à formação docente, com ênfase na oferta de disciplinas 
voltadas à formação matemática dos futuros professores e suas respectivas ementas. 
Segundo ela, 90% dos cursos de pedagogia priorizam as questões metodológicas 
como essenciais à formação desse profissional, porém as disciplinas que abordam 
tais questões têm uma carga horária bastante reduzida. 
Evidentemente, não é possível avaliar a qualidade da formação oferecida, 
tomando por base apenas as ementas dos cursos, as quais, muitas vezes, cumprem 
apenas um papel burocrático das instituições. No entanto, a autora aponta aspectos 
que merecem reflexão, por exemplo, a ausência de indicações de que os futuros 
professores vivenciem a prática da pesquisa em educação matemática, 
principalmente no que diz respeito ao ensino e à aprendizagem nas séries iniciais. 
Destaca também a ausência de referências aos fundamentos da matemática 
(NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2019). 
No que diz respeito aos cursos normais superiores, a situação não é muito 
diferente, até porque essa modalidade de curso ainda é recente no país, e há um 
número reduzido deles. 
Podemos, então, dizer que os futuros professores polivalentes têm tido poucas 
oportunidades para uma formação matemática que possa fazer frente às atuais 
 
 
exigências da sociedade e, quando ela ocorre na formação inicial, vem se pautando 
nos aspectos metodológicos (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2019). 
A retrospectiva sobre o movimento de reforma curricular nos possibilita 
entender as lacunas matemáticas que os professores polivalentes trazem. Se há 30 
anos o país tem vivido um intenso movimento curricular, seria de se esperar que 
qualquer jovem, na faixa etária de 18 a 25 anos, tivesse sido escolarizado dentro 
desses princípios inovadores com relação ao ensino de matemática. No entanto, essa 
realidade ainda está distante. 
2.2 Crenças e sentimentos em relação à matemática e seu ensino 
O que leva um professor a construir determinado modelo de aula de 
matemática? Como as práticas de sala de aula vão sendo apropriadas e naturalizadas 
pelos futuros ou atuais professores? 
Essas questões merecem reflexão e, como discutido no tópico anterior, há 
necessidade de conhecer as experiências com a matemática que os futuros 
professores já vivenciaram durante sua escolarização (NACARATO; MENGALI; 
PASSOS, 2019). 
Considerando essa perspectiva, Nacarato, Mengali e Passos (2019) 
argumentam que, levando em conta o cenário atual, pode-se afirmar que as futuras 
professoras, estudantes com idades entre 20 e 25 anos, foram expostas a novas 
abordagens de ensino da matemática, uma vez que passaram por reformas 
curriculares durante sua educação básica, ocorridas após a década de 1980. 
No entanto, qualquer formador(a) que atue num curso de pedagogia sabe que 
isso não é real. Por um lado, a formação matemática desses alunos está distante das 
atuais tendências curriculares; por outro lado, eles também trazem marcas profundas 
de sentimentos negativos em relação a essa disciplina, as quais implicam, muitas 
vezes, bloqueios para aprender e para ensinar (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 
2019). 
Em decorrência dessa discrepância entre os princípios estabelecidos nos 
documentos curriculares e as práticas ainda predominantes na maioria das escolas, 
esses futuros professores carregam crenças arraigadas sobre a natureza da 
matemática, seu ensino e sua aprendizagem. Essas crenças, frequentemente, 
 
 
influenciam a formação de sua prática profissional. A fim de ilustrar esse argumento e 
destacar as reflexões apresentadas por Nacarato, Mengali e Passos (2019), são 
expostas algumas crenças de estudantes de cursos de pedagogia acerca do ensino e 
da aprendizagem da matemática, retratando uma abordagem tradicionalista de ensino 
em que eles eram apenas instruídos a memorizar os conteúdos, sem compreender 
sua aplicação no cotidiano. 
O autor citado anteriormente, não tem intenção definir o que são as crenças, 
mesmo se tratando de um conceito polissêmico. Alguns autores as usam como 
sinônimos de concepções, outros como sinônimos de visões, alguns outros as 
diferenciam, e outros ainda as incluem, juntamente com as concepções, no sistema 
de conhecimento do professor. Importa-nos considerar as conclusões de Thompson 
(1997), p. 40) de que: 
[...] crenças, visões e preferências dos professores sobre a matemática e seu 
ensino, desconsiderando-se o fato de serem elas conscientes ou não, 
desempenham, ainda que sutilmente, um significativo papel na formação dos 
padrões característicos do comportamento docente dos professores 
(THOMPSON, p. 40, 1997). 
Nacarato, Mengali e Passos (2019), defendem também que essas crenças são 
construídas historicamente; surgindo a importância de analisar, em cursos de 
formação, a trajetória profissional dos professores para identificar quais são essas 
crenças e como elas podem ser trabalhadas para ser rompidas e/ou transformadas. 
Apesar de haver classificações propostas por alguns autores quanto aos tipos 
de crenças, Nacarato, Mengali e Passos (2019) argumentam que, no contexto da 
formação docente, é necessário abordá-las de forma interligada, pois elas 
influenciarão a construção da identidade do professor, sendo impossível dissociar as 
crenças dos diversos saberes que compõem o repertório de saberes profissionais. A 
maneira como o professor ensina reflete as concepções que ela possui sobre a 
matemática, o ensino e a aprendizagem. 
No que se refere às convicções acerca da essência da matemática, Chacón 
(2003), identifica três perspectivas: 
• a matemática como instrumento utilitário (abordagem utilitarista); 
• a matemática como um corpo unificado e estático de conhecimento (visão 
platônica); 
• a matemáticacomo um domínio de criação humana, assim sendo, um campo 
 
 
aberto e permeado por verdades provisórias (ênfase na resolução de 
problemas). 
Em relação aos modelos de ensino e aprendizagem da matemática, Chacón 
(2003), destacada crenças diretamente relacionadas à natureza dessa disciplina, tais 
como: 
• um modo prescritivo de ensinar, com ênfase em regras e procedimentos (visão 
utilitarista); 
• um ensino focado nos conceitos e na lógica dos procedimentos matemáticos 
(visão platônica); 
• um ensino orientado para os processos gerativos da matemática, com ênfase na 
resolução de problemas (visão da matemática como criação humana). 
No primeiro e segundo modelo mencionados, o professor exerce um papel 
meramente instrucional, com o processo de ensino focado nele como sujeito ativo, ao 
passo que o aluno é considerado um sujeito passivo que aprende por meio de 
transmissão, mecanização e repetição de exercícios e procedimentos. Já no terceiro 
modelo, o professor assume a função de mediador e organizador do ambiente de 
aprendizagem na sala de aula, enquanto o aluno é ativo e responsável por construir 
seu próprio conhecimento (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2019). 
De acordo com Nacarato, Mengali e Passos (2019), é possível concluir que a 
superação desses sistemas de convicções exige a implementação de estratégias de 
formação que tenham a capacidade de desconstruir os saberes adquiridos durante o 
percurso educacional na escola primária. 
2 MATEMÁTICA ESCOLAR: UMA CONSTRUÇÃO SOB MÚLTIPLOS 
CONDICIONANTES 
Goodson (1998), ao analisar a evolução do conceito de currículo, destaca que 
o currículo prescrito é um dos fatores determinantes do processo de educação básica. 
Esse estudo revela uma série de eventos históricos que, em conjunto, convergem para 
sustentar a visão de que o currículo escolar é uma construção social, sendo uma 
expressão das disputas políticas, econômicas e socioculturais que ocorrem no âmbito 
da concepção e implementação do processo de educação básica. Dentro desse 
 
 
contexto de disputas, encontramos diversos atores, como grupos acadêmicos e 
profissionais, que possuem e desenvolvem conhecimentos relacionados a esse 
processo. 
Um exemplo histórico que evidencia os conflitos envolvidos na construção 
social do currículo escolar é o episódio ocorrido na Inglaterra durante o século XIX, 
conhecido como a " controvérsia em torno do ensino da ciência" conforme descrito por 
Goodson (1998, p. 89-91). 
Um exemplo mais atual é a introdução da chamada Matemática Moderna no 
ensino escolar. Um exemplo mais recente ainda é a "guerra curricular da Califórnia", 
que envolveu uma disputa acerca das diretrizes curriculares para a educação básica 
nesse estado americano. Essa controvérsia contou com a participação da mídia, 
realização de audiências públicas e mobilizou centenas de milhões de dólares para 
financiar a produção de textos e materiais didáticos dos projetos vencedores (DAVI; 
MOREIRA, 2013). 
Segundo Davi e Moreira (2013), é importante considerar que o currículo escrito 
representa apenas uma etapa do processo de construção dos conhecimentos 
relacionados à prática profissional do professor de Matemática na escola. É nessa 
dimensão prescrita da Matemática Escolar, mais concretizada, estabelecida em meio 
a disputas e conflitos, mas fortemente influenciada pela comunidade matemática 
acadêmica, que os vínculos estreitos com a Matemática Científica se tornam mais 
evidentes, tendo esta última uma legitimidade social para essa tarefa mais 
consolidada do que a alcançada pela comunidade escolar. 
Entretanto, é importante destacar que a definição da Matemática Escolar não é 
totalmente determinada pelos resultados dessa disputa, que ocorre principalmente 
fora do ambiente escolar. Além disso, é necessário considerar como a prática escolar 
irá interpretar e implementar as diretrizes vencedoras, ou seja, como elas serão 
incorporadas ao processo histórico de construção dos conhecimentos relacionados ao 
ensino escolar. É nesse sentido específico que as palavras de Chervel (1990) ganham 
relevância, ao afirmar que a disciplina escolar é criada na escola, pela escola e para 
a escola. 
 
 
2.1 Os saberes associados à prática docente 
Um conceito que tem conduzido a reflexões importantes sobre a produção de 
saber na prática docente e, portanto, sobre a constituição da Matemática Escolar, é o 
de conhecimento pedagógico do conteúdo (pedagogical content knowledge) 
elaborado por Shulman, psicólogo educacional americano e reformador, ao 
desenvolver estudos e pesquisas visando caracterizar o que seria um repertório de 
conhecimentos necessários à prática docente (knowledge base for teaching). Entre as 
categorias desse repertório, o autor destaca o conhecimento pedagógico do conteúdo, 
um amálgama especial de saberes profissionais, que constitui um modo de 
entendimento da disciplina, específico dos professores (SHULMAN, 1987). 
Nessa perspectiva, o conhecimento pedagógico do conteúdo não é algo 
externo à escola que deve ser simplesmente transferido para dentro dela. Pelo 
contrário, trata-se de uma construção que ocorre no âmbito das práticas pedagógicas 
escolares, sendo alimentado e direcionado por essas mesmas práticas. No entanto, é 
importante observar que ainda há uma certa simplificação no papel da prática docente 
na formação do conhecimento profissional, como implícito na proposição de Shulman: 
o conhecimento pedagógico do conteúdo não se limita a cumprir as prescrições 
curriculares de forma competente ou eficiente. 
Segundo Tardif et al. (1991), a prática docente na escola é uma atividade 
intricada que envolve a produção de diversos tipos de conhecimento. Ao comparar os 
saberes construídos na experiência com os saberes acadêmicos adquiridos durante 
a formação inicial e com as prescrições curriculares, os autores destacam a existência 
de uma relação crítica: 
Os saberes da experiência adquirem também uma certa objetividade em sua 
relação crítica com os saberes curriculares, das disciplinas e da formação 
profissional. [...] Os professores não rejeitam em sua totalidade os outros 
saberes: pelo contrário, eles os incorporam à sua prática, porém 
retraduzindo-os em categorias do seu próprio discurso. Nesse sentido, a 
prática aparece como um processo de aprendizagem através do qual os 
professores retraduzem sua formação e a adaptam à profissão, eliminando o 
que lhes parece inutilmente abstrato ou sem relação com a realidade vivida 
(TARDIF et al.1991, p. 231). 
 
A incorporação crítica dos saberes da formação à prática é essencial para a 
Matemática Escolar. Por isso, é de grande importância investigar o processo de 
seleção, adaptação e produção de conhecimentos que ocorre na prática docente. Em 
um estudo realizado por Gauthier et al. (1998), foram analisadas 42 sínteses de 
 
 
pesquisas, abrangendo aproximadamente 4.700 artigos, sobre os saberes 
profissionais dos professores. 
O objetivo desse estudo era identificar e categorizar elementos de um conjunto 
de conhecimentos denominados "saberes da ação pedagógica". Esses saberes são 
os conhecimentos, habilidades e competências dos professores que estão 
diretamente relacionados às atividades em sala de aula. Foram estabelecidas duas 
grandes categorias: Gestão da Classe e Gestão da Matéria. Cada uma dessas 
categorias é subdividida em três subcategorias: planejamento, interação com os 
alunos e avaliação. 
O estudo analisa os elementos que poderiam compor um conjunto de 
conhecimentos específicos da prática docente escolar. Embora reconheçam as 
dificuldades envolvidas nesse empreendimento, Gauthier et al. (1998) concluem que 
existe evidência de um saber da ação pedagógica e que há uma certa convergência 
nos resultados das pesquisas sobre a gestão da matéria e da classe. Eles afirmam 
ainda que a ideia desse conjunto de conhecimentos pode ser útil nas análises dos 
saberes dos professores.À medida que se realizam estudos sobre os conhecimentos mobilizados pelos 
professores na prática pedagógica escolar, surgem oportunidades concretas para 
desenvolver a formação de professores com base em uma relação complementar com 
o processo de produção de conhecimentos da prática docente. Gauthier et al. (1998) 
apresentam e criticam duas visões extremas em relação às possibilidades de 
utilização das pesquisas sobre os saberes da ação pedagógica no processo de 
formação de professores: uma chamada de "cientificista radical" e a outra oposta, a 
"não cientificista radical". A primeira conceberia o conjunto de conhecimentos como 
se fosse: 
“uma ciência do ensino que, por meio da descoberta de leis, permitiria regular 
a ação do professor de forma direta. [...] Uma vez estabelecido, esse 
repertório de conhecimentos poderá determinar a ação pedagógica e até 
mesmo as políticas educativas” (GAUTHIER et al. 1998, p. 298). 
 
No outro extremo, a ideia de um repertório de conhecimentos é inteiramente 
rejeitada. Para a concepção não cientificista radical, a prática profissional do professor 
seria demasiado complexa: não pode, portanto, realizar-se obedecendo a critérios ou 
regras preestabelecidas pela ciência. Gauthier et al. (1998) adotam, então, uma 
posição de síntese e esclarecem que, para eles, os resultados da pesquisa não podem 
determinar a ação a ser empreendida, mas simplesmente informar o professor, levá-
 
 
lo a refletir sobre o que acontece e sobre o que ele poderia fazer. 
Nessa perspectiva, um dos papéis da pesquisa consiste em coletar o 
conhecimento prático e validá-lo. De fato, nem todas as práticas dos professores são 
automaticamente adequadas: algumas provavelmente se mostram mais eficazes do 
que outras. Um repertório de conhecimentos de ensino não pode se limitar a uma 
simples compilação de práticas pedagógicas, mas deve ser composto por saberes, 
conhecimentos e julgamentos dos professores que passaram por validação científica. 
Essa validação pode ser realizada através do estudo dos efeitos de certas 
práticas de ensino nos alunos, seguindo o método clássico das pesquisas processo-
produto. A validação também pode ser feita por meio da avaliação dos colegas de 
profissão e do confronto de pontos de vista. Em todos os casos, no entanto, a 
experiência deve deixar de ser privada e se tornar pública para ser examinada, 
analisada e criticada. (GAUTHIER et al. 1998). 
Tardif, em consonância com Gauthier et al. (1998), sustenta que os 
conhecimentos da prática pedagógica podem desempenhar um papel fundamental na 
formação de professores, desde que haja uma reavaliação do papel da prática 
docente escolar, colocando-a no centro do processo de formação. Segundo ele, essa 
nova perspectiva da prática na formação possibilitaria a integração da inovação, da 
reflexão crítica e da teoria com as condições reais de exercício da profissão, 
contribuindo para sua transformação. O autor argumenta que é necessário extrair dos 
estudos da prática os princípios, conhecimentos e habilidades que possam ser 
reaproveitados na formação dos professores (TARDIF, 2002, p. 289-290). 
2.2 Não saberes associados à prática docente 
Davi e Moreira (2013) destacam que é fundamental analisar as conexões entre 
a prática docente, a formação na licenciatura e a Matemática Escolar. Segundo eles, 
a prática docente não apenas produz saberes, mas também estabelece uma 
referência que possibilita a seleção, filtragem ou adaptação dos saberes adquiridos 
externamente, para torná-los úteis e aplicáveis. No entanto, surge a questão: será que 
a prática ensina tudo? O processo de formação na licenciatura em Matemática veicula 
certos saberes que são considerados “inúteis” para a prática docente. Do mesmo 
modo, trabalha outros saberes “de forma inadequada”, com referência a essa prática. 
 
 
Além disso, muitas vezes se recusa, justificando-se de variadas formas, entre 
as quais a utilização tácita do argumento de que isso não é objeto da matemática 
universitária, a desenvolver uma discussão sistemática com os licenciandos a respeito 
de conceitos e processos fundamentais na educação escolar básica em Matemática. 
Pode-se imaginar que, no caso de saberes inúteis, o problema poderia ser contornado 
através da eliminação criteriosa daquilo que fosse considerado sem sentido para a 
ação pedagógica na sala de aula da escola. Mas, no caso em que saberes 
fundamentais à prática pedagógica escolar não são devidamente discutidos no 
processo de formação, a que tipo de recurso pode recorrer o professor? Esse não 
saber proveniente de deficiências da formação inicial incorpora-se à prática ou é 
superado pelo simples exercício da experiência profissional? A prática docente seria 
autossuficiente em relação à produção dos saberes necessários ao seu exercício, isto 
é, ela sempre responde convenientemente às próprias questões que coloca? 
Davi e Moreira (2013) afirmam que a literatura sobre o assunto fornece uma 
sólida base para a tese de que a prática docente escolar não é capaz de gerar todos 
os conhecimentos relacionados à ação pedagógica do professor. Portanto, é 
importante refletir sobre esse ponto: assim como é necessário compreender a 
natureza do conhecimento produzido na prática docente para o processo de formação 
do professor, também é essencial compreender a natureza dos "não saberes" 
associados a essa mesma prática. No entanto, para fazer isso, é preciso situar esses 
"não saberes" dentro do contexto da educação matemática escolar, em vez de 
simplesmente considerá-los como uma ausência em relação ao conhecimento 
matemático científico. 
Do mesmo modo que os saberes produzidos na experiência docente não são 
vistos como contribuição ao conhecimento matemático científico, esses “não saberes” 
também devem ser situados em relação à Matemática Escolar e não à Matemática 
Acadêmica (DAVI; MOREIRA, 2013). 
Mas, qual seria a diferença entre compreender esse “não saber” como “falta” 
em relação à Matemática Científica e alternativamente analisá-lo tomando como 
referência a futura prática profissional do licenciando? Examinemos, como uma 
ilustração, o exemplo dos decimais. Do ponto de vista da Matemática Científica, o 
decimal é apenas uma forma de representação. 
Se não é importante o que seja efetivamente um número real, a abstração 
 
 
fundamental é aquela que o capta como elemento de uma estrutura específica, isto é, 
corpo ordenado completo, menos importante ainda seria uma das formas de 
representá-lo, especialmente se lembrarmos que um mesmo número real pode ter 
mais de uma representação decimal. Do ponto de vista da Matemática Escolar, 
entretanto, é impossível pensar em número sem pensar em forma decimal. Esta, em 
certas situações do ensino escolar, é muito mais que uma simples representação, ela 
é o número (DAVI; MOREIRA, 2013). 
Davi e Moreira (2013) explicam que é fundamental, em um processo de 
aprendizado, que os alunos consigam relacionar conceitos abstratos com suas 
representações concretas. Em uma fase inicial de compreensão cognitiva, essa 
identificação pode ser a única maneira de apreender o conceito. No entanto, o 
desenvolvimento desse processo deve levar a uma relação qualitativamente nova, em 
que a identificação com a forma concreta não seja mais apenas uma solução 
temporária e limitada para compreender o conceito, mas sim o resultado de um amplo 
domínio e da capacidade de flexibilização. Essa flexibilidade permite alternar entre a 
representação concreta e o próprio conceito, conforme necessário, de forma análoga 
a um processo metonímico. 
Os autores previamente mencionados exemplificam o tipo de "não saber" ao 
qual estão se referindo, utilizando o caso de um professor do ensino básico que possui 
uma compreensão confusa da distinção entre a noção abstrata de número real e sua 
forma concreta de representação, como a forma decimal. No entanto, consideraresse 
não saber como uma falha conceitual em relação à Matemática Científica é simplista 
e desvia a formação do professor ao focar exclusivamente na discussão do "conteúdo" 
em sua forma abstrata e acadêmica, ignorando as questões concretas que devem ser 
enfrentadas na prática de ensino em sala de aula. 
Os fatores que influenciam o processo de educação básica acabam moldando 
uma lógica subjacente, que orienta a incorporação dos diversos conhecimentos na 
Matemática Escolar. É no contexto da interação com essa lógica da prática escolar 
que a lógica interna da Matemática Científica - seus valores, métodos, técnicas e 
resultados - passa por um processo de adaptação, filtragem, reavaliação e 
transformação. Essas operações são realizadas tendo como referência implícita ou 
explícita o ambiente educacional em que ocorrem. No entanto, não se trata de tentar 
transferir integralmente para a formação de professores de Matemática na licenciatura 
 
 
a lógica da prática escolar, pois, como aprendemos com Schön (1983), isso é 
impossível. O objetivo é pensar o processo de formação do professor a partir do 
reconhecimento de uma tensão, e não de uma identidade, entre a educação 
matemática escolar e o ensino da Matemática Acadêmica elementar. 
O conhecimento trabalhado em um processo de ensino tem um caráter 
educativo e formativo em si mesmo. Embora isso pareça óbvio, a aceitação dessa 
afirmação implica em analisar cuidadosamente as relações entre o tipo de 
conhecimento abordado no processo de formação do professor e a forma como ele 
assimila as lições da prática profissional. Isso envolve compreender as maneiras de 
se envolver no processo de produção de conhecimento e os valores que orientam a 
percepção das questões que surgem na prática (DAVI; MOREIRA, 2013). 
Nesse sentido, é importante considerar a complementaridade entre os saberes 
adquiridos na formação e as questões práticas. A concepção de Matemática Escolar 
desempenha um papel crucial nesse aspecto. Se a encaramos estritamente como 
uma versão "didatizada" da Matemática Científica elementar, a formação do professor 
acaba se concentrando nessa última. A formação pedagógica se limitaria a fornecer 
suporte ao processo de ensino, e a prática seria apenas uma aplicação dos saberes 
adquiridos na formação, ou no máximo, uma referência para identificar desvios em 
relação ao desempenho ideal do professor. 
Segundo Davi e Moreira (2013), caso adotemos a perspectiva em que a 
Matemática Escolar é entendida como uma construção autônoma da prática escolar, 
na qual essa prática é capaz de gerar seus próprios saberes profissionais, o que é 
realizado no processo de formação do professor perde sua relevância. No entanto, se 
considerarmos a Matemática Escolar como uma construção histórica que reflete uma 
variedade de condicionamentos, tanto internos quanto externos à instituição escolar, 
e que se manifesta por meio das interações estabelecidas no trabalho educativo em 
sala de aula, então a prática profissional efetiva dos professores passa a 
desempenhar um papel central no processo de formação. 
Uma análise adequada das questões presentes nessa prática, em suas 
diversas dimensões - produção, seleção, adaptação, transmissão e ausência de 
conhecimento -, pode fornecer os fundamentos necessários para uma reflexão crítica 
sobre todo o processo de formação (DAVI; MOREIRA, 2013). 
 
 
3 MODELOS MATEMÁTICOS 
Em primeiro lugar, é crucial fazer uma distinção clara entre o fenômeno em si 
e o modelo matemático que o descreve. É importante ressaltar que não temos controle 
sobre aquilo que observamos. No entanto, ao selecionar um modelo, podemos utilizar 
nosso discernimento crítico, nesta unidade abordaremos os conceitos básicos de 
probabilidade construídos por Paul Meyer, em sua obra intitulada por Probabilidade: 
Aplicações à Estatística. 
O Professor J. Neyman (1954), expressou de forma perspicaz a ideia que ao 
utilizar a Matemática para estudar fenômenos observáveis, é fundamental construir, 
primordialmente, um modelo matemático (seja determinístico ou probabilístico) para 
representar esses fenômenos. Necessariamente, o modelo precisa simplificar as 
questões, deixando de lado certos detalhes. O sucesso do modelo depende de quão 
insignificantes são os detalhes ignorados na explicação do fenômeno em estudo. 
A solução matemática pode estar correta, mas, ainda assim, apresentar uma 
discrepância significativa em relação aos dados observados, simplesmente porque as 
hipóteses básicas não são confirmadas. Geralmente, é extremamente difícil afirmar 
com certeza se um modelo matemático específico é adequado ou não, até que sejam 
obtidos alguns dados de observação. Para verificar a validade de um modelo, é 
necessário deduzir uma série de consequências a partir do modelo e, em seguida, 
comparar esses resultados previstos com as observações (NEYMAN, 1954). 
Conforme apresentado por Meyer (2010), devemos lembrar das ideias 
mencionadas anteriormente ao estudarmos certos fenômenos observáveis e os 
modelos apropriados para sua explicação. 
Vamos analisar, primeiramente, o que pode ser corretamente chamado de 
modelo determinístico. Com essa afirmação, estamos nos referindo a um modelo que 
estabelece que as condições nas quais um experimento é conduzido determinam o 
resultado desse experimento. 
Para ilustrar, quando inserimos uma bateria em um circuito simples, o modelo 
matemático que provavelmente descreveria o fluxo de corrente elétrica observável é 
representado pela Lei de Ohm, ou seja, 𝐼 = 𝐸/𝑅. O modelo prevê o valor de I quando 
os valores de E e R são fornecidos. Em outras palavras, se repetirmos o experimento 
várias vezes usando o mesmo circuito (mantendo E e R constantes), é esperado que 
 
 
observemos o mesmo valor de I em todas as repetições. Quaisquer variações que 
possam ocorrer serão tão pequenas que, para a maioria das finalidades, a descrição 
acima (ou seja, o modelo) será adequada. O ponto importante é que a bateria, o fio e 
o amperômetro específicos utilizados para gerar e medir a corrente elétrica, 
juntamente com nossa habilidade de utilizar o instrumento de medição, determinam o 
resultado em cada repetição. Existem certos fatores que podem variar de uma 
repetição para outra, mas que não terão uma influência significativa no resultado. Por 
exemplo, a temperatura e a umidade no laboratório, assim como a altura da pessoa 
que lê o amperômetro, podem ser razoavelmente consideradas não tendo influência 
no resultado (MEYER, 2010). 
Na natureza, podemos encontrar diversos exemplos de "experimentos" nos 
quais os modelos determinísticos são apropriados. Um exemplo é a precisão com que 
as leis da gravitação descrevem o que acontece quando um objeto cai em condições 
específicas. As leis de Kepler nos fornecem informações sobre o comportamento dos 
planetas. Em cada uma dessas situações, o modelo estabelece que as condições nas 
quais um determinado fenômeno ocorre determinam o valor de certas variáveis 
observáveis, como a magnitude da velocidade ou a área percorrida durante um 
determinado período, entre outras. Esses valores numéricos são utilizados em muitas 
das fórmulas com as quais estamos familiarizados (MEYER, 2010). 
Tomemos como exemplo a conhecida equação que descreve a distância 
percorrida por um objeto (verticalmente, acima do solo) sob condições específicas: 
s = −16𝑡2 + 𝑣𝑜t , na qual 𝑣𝑜 é a velocidade inicial e t o tempo gasto na queda. O 
ponto central de nossa atenção não reside na forma específica dessa equação (que é 
quadrática), mas sim no fato de que existe uma relação claramente definida entre t e 
s. Essa relação permite determinar de forma única a quantidade do lado esquerdo da 
equação quando as quantidades do lado direito são fornecidas. 
Para a maioria das situações, o modelo matemático determinístico mencionado 
é anteriormente adequado. No entanto, há também muitosfenômenos que exigem 
uma abordagem matemática diferente para sua investigação. Esses são conhecidos 
como modelos não determinísticos ou probabilísticos. Outra expressão 
frequentemente utilizada é modelo estocástico (MEYER, 2010). 
Vamos supor que tenhamos um fragmento de material radioativo que emite 
partículas alfa. Utilizando um dispositivo de contagem, podemos registrar o número 
 
 
de partículas emitidas durante um intervalo de tempo específico. É evidente que não 
podemos prever com precisão o número exato de partículas emitidas, mesmo que 
conheçamos a forma, dimensão, composição química e massa do objeto em estudo. 
Assim, torna-se aparente a ausência de um modelo determinístico viável que possa 
fornecer o número exato de partículas emitidas, representado por "n", como uma 
função das diferentes características relevantes do material fonte. Nesse caso, é 
necessário recorrer a um modelo probabilístico (MEYER, 2010). 
Para ilustrar essa necessidade, podemos considerar outra situação, como a 
previsão meteorológica. Suponhamos que tenhamos o interesse em determinar a 
quantidade de chuva que ocorrerá como resultado de uma tempestade específica em 
uma localidade determinada. Nesse cenário, dispomos de instrumentos para registrar 
a precipitação. As observações meteorológicas podem fornecer informações 
consideráveis sobre a tempestade iminente, como a pressão barométrica em vários 
pontos, variações de pressão, velocidade do vento, origem e direção da tempestade, 
bem como leituras em altitudes elevadas. No entanto, por mais valiosas que essas 
informações sejam para prever a natureza geral da precipitação (por exemplo, fraca, 
moderada ou intensa), não nos permitem determinar a quantidade exata de chuva que 
irá cair. Mais uma vez, estamos lidando com um fenômeno que não se presta a um 
tratamento determinístico. Um modelo probabilístico explica a situação de maneira 
mais precisa (MEYER, 2010). 
Inicialmente, caso uma teoria específica (que ainda não foi desenvolvida) 
existisse, poderíamos potencialmente determinar a quantidade de chuva que caiu. No 
entanto, para o momento atual, utilizamos um modelo probabilístico para lidar com 
essa situação. Um exemplo claro em que um modelo probabilístico é necessário é o 
da desintegração radioativa. Em um modelo não determinístico, as condições 
experimentais apenas determinam o comportamento probabilístico, ou seja, a lei 
probabilística, do resultado observável. 
Em outras palavras, em um modelo determinístico, utilizamos "considerações 
físicas" para prever o resultado, enquanto em um modelo probabilístico, usamos o 
mesmo tipo de considerações para especificar uma distribuição de probabilidade 
(MEYER, 2010). 
 
 
3.1 Introdução aos conjuntos 
Para apresentar os conceitos básicos do modelo probabilístico que desejamos 
desenvolver, será útil ter um conhecimento prévio de algumas ideias e conceitos da 
teoria matemática dos conjuntos. Esse é um assunto bastante amplo, e muito já foi 
escrito sobre ele. No entanto, precisaremos apenas de algumas noções fundamentais. 
Essas noções são estabelecidas no quadro 1, por Meyer (2010): 
Quadro 1 - Noções fundamentais 
Um conjunto é um agrupamento de objetos. Geralmente, conjuntos são 
representados por letras maiúsculas como A, B, etc. Existem três formas de 
descrever quais objetos estão contidos no conjunto A: 
• Podemos listar os elementos de A. Por exemplo, A = {1, 2, 3, 4} descreve o 
conjunto composto pelos números inteiros positivos 1, 2, 3, 4. 
• Podemos descrever o conjunto A por meio de palavras. Por exemplo, podemos 
dizer que A é formado por todos os números reais entre 0 e 1, inclusive. 
• Para descrever o conjunto mencionado acima, podemos simplesmente 
escrever A = {x | 0 ≤ x ≤ 1}, ou seja, A é o conjunto de todos os valores de x, 
onde x é um número real entre 0 e 1, inclusive. 
Os objetos que compõem individualmente a coleção ou conjunto A são chamados 
de membros ou elementos de A. Quando "a" é um elemento de A, escrevemos a ∈ 
A, e quando "a" não é um elemento de A, escrevemos a ∉ A. 
Fonte: MEYER, 2010. 
Existem dois conjuntos especiais que frequentemente nos interessam. Em 
muitos problemas, dedicamo-nos ao estudo de um conjunto específico de objetos, 
excluindo outros. Por exemplo, podemos nos interessar por todos os números reais, 
por todas as peças que saem de uma linha de produção durante um período de 24 
horas, etc. Chamaremos esse conjunto de conjunto universal, representado 
geralmente pela letra U. O conjunto universal é definido como o conjunto que contém 
todos os objetos sendo estudados (MEYER, 2010). 
O outro conjunto que deve ser destacado pode ser definido da seguinte 
 
 
maneira: suponhamos que o conjunto A seja descrito como o conjunto de todos os 
números reais x que satisfazem a equação 𝑋2 + 1 = 0. É evidente que não existem 
tais números, ou seja, o conjunto A não possui nenhum elemento. Essa situação 
ocorre com frequência suficiente para justificar a introdução de um nome especial para 
esse conjunto. Portanto, definiremos o conjunto vazio ou nulo como o conjunto que 
não contém nenhum elemento. Geralmente, esse conjunto é representado por ∅. 
Pode ocorrer que, ao considerarmos dois conjuntos A e B, ser um elemento de 
A implique ser um elemento de B. Nesse caso, diremos que A é um subconjunto de B 
e escreveremos A ⊂ B. Uma interpretação semelhante é aplicada para B ⊂ A. Diremos 
que dois conjuntos são iguais, A = B, se e somente se A ⊂ B e B ⊂ A. Dessa forma, 
dois conjuntos serão iguais se e somente se eles possuírem exatamente os mesmos 
elementos. 
Conforme Meyer (2010), existem duas propriedades imediatas do conjunto vazio 
e do conjunto fundamental: 
• Para qualquer conjunto A, temos que ∅ está contido em A. 
• Se o conjunto fundamental for definido, então para qualquer conjunto A 
pertencente à composição de U, temos A está contido em U. 
 
Exemplo 1: Suponha que U seja o conjunto de todos os números reais, A seja definido 
como {x | x² + 2x - 3 = 0}, B seja definido como {x | (x - 2).(x² + 2x - 3) = 0}, e C seja 
definido como {x | x = -3, 1, 2}. Nesse caso, temos A está contido em B e B é igual a 
C. 
Agora, vamos estudar a importante ideia de combinar conjuntos dados para 
formar um novo conjunto. Existem duas operações fundamentais que se assemelham, 
em certos aspectos, às operações de adição e multiplicação de números. Sejam A e 
B dois conjuntos. 
Definimos C como a união de A e B (também chamada de soma de A e B), da 
seguinte maneira: 
C = {x | x pertence a A ou x pertence a B (ou ambos)}. 
Representamos a união de A e B como C = A ∪ B. Portanto, C é formado por 
todos os elementos que estão em A, em B ou em ambos. 
 
 
 
Definimos D como a interseção de A e B (também chamada de produto de A e 
B), da seguinte maneira: 
𝐷 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵 }. 
Escreveremos a interseção de A e B, assim: D = A ∩ B. Portanto, D será 
formado de todos os elementos que estão em A e em B. 
Finalmente, introduziremos a noção de complemento de um conjunto 𝐴, na 
forma seguinte: O conjunto denotado por �̅�, constituído por todos os elementos que 
não estejam em �̅� (mas que estejam no conjunto fundamental U) é denominado 
complemento de 𝐴. Isto é, �̅� = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴}. 
Um recurso gráfico, conhecido como Diagrama de Venn, poderá ser 
vantajosamente empregado quando estivermos combinando conjuntos, na maneira 
indicada acima. Em cada diagrama na Figura 1, a região sombreada representa o 
conjunto sob exame (MEYER, 2010). 
 
Figura 1 – Representação de Conjunto e Subconjunto 
 
Fonte: MEYER, 2010. 
Exemplo 2: Considerando U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 
5, 6}, podemos observar que �̅� = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e A ∩ B 
= {3, 4}. É importante notar que, ao descrever um conjunto, cada elemento é 
relacionado apenas uma vez. 
As operações de união e interseçãodefinidas anteriormente para dois 
conjuntos podem ser intuitivamente estendidas para um número finito de conjuntos. 
Portanto, definimos A ∪ B ∪ C como A ∪ (B ∪ C) ou (A ∪ B) ∪ C, o que é equivalente 
e pode ser facilmente verificado. Da mesma forma, definimos A ∩ B ∩ C como A ∩ (B 
∩ C) ou (A ∩ B) ∩ C, que também são equivalentes. Podemos continuar essas 
composições de conjuntos para qualquer número finito de conjuntos dados. 
 
 
Afirmamos que alguns conjuntos são equivalentes, por exemplo, A ∩ (B ∩ C) e 
(A ∩ B) ∩ C. Podemos concluir que existe um número específico de conjuntos 
equivalentes, alguns dos quais são apresentados abaixo. Ao lembrarmos que dois 
conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos, fica fácil verificar a 
veracidade dessas afirmações, com a ajuda de Diagramas de Venn. 
(1.1) 
Denominaremos (a) e (b) leis comutativas, e (c) e (d) leis associativas. 
Há outras identidades de conjuntos encerrando união, interseção e 
complementação. As mais importantes delas estão enumeradas a seguir. A validade 
de cada uma delas poderá ser verificada com a ajuda de um Diagrama de Venn. 
 (1.2) 
Observe que (g) e (h) mostram que ∅ se comporta entre os conjuntos 
(relativamente às operações ∪ e ∩) da maneira que o número zero (com relação às 
operações de adição e multiplicação) o faz entre os números. 
Outra maneira de formar conjuntos, quando forem dados dois (ou mais) 
conjuntos, será necessária a seguir. 
Sejam dois conjuntos A e B. Denominaremos produto cartesiano de A e B, 
denotando-o por A × B, o conjunto {(a, b), a ∈ A, b ∈ B}, isto é, o conjunto de todos os 
pares ordenados nos quais o primeiro elemento é tirado de A e o segundo, de B. 
Exemplo 3.3. Suponha que A = {1, 2, 3}; B = {1, 2, 3, 4}. Então, A × B = {(1, 1), 
(1, 2),..., (1, 4), (2, 1),..., (2, 4), (3, 1),..., (3, 4)}. 
Observação. Em geral, A × B ≠ B × A. 
A noção citada pode ser estendida da seguinte maneira: Se A1,..., An forem 
conjuntos, então, A1 × A2 × ... × An = {(a1, a2,..., an), ai ∈ Ai}, ou seja, o conjunto de 
todas as ênuplas ordenadas. 
 
 
Um caso especial importante surge quando consideramos o produto cartesiano 
de um conjunto por ele próprio, isto é, 𝐴 × 𝐴 𝑜𝑢 𝐴 × 𝐴 × 𝐴. Exemplos disso surgem 
quando tratamos do plano euclidiano, R × R, no qual R é o conjunto de todos os 
números reais, e do espaço euclidiano tridimensional, representado por R × R × R. 
O número de elementos em um conjunto é de grande importância para nós. Se 
houver um número finito de elementos no conjunto A, representados como 𝑎1 𝑎2,..., 
an, diremos que A é finito. Se houver um número infinito de elementos em A, que 
possam ser colocados em uma correspondência biunívoca com os números inteiros 
positivos, diremos que A é numerável ou infinito numerável. (Por exemplo, pode-se 
mostrar que o conjunto de todos os números racionais é numerável.) Por fim, devemos 
considerar o caso de um conjunto infinito não numerável; esse tipo de conjunto possui 
um número infinito de elementos que não podem ser enumerados. Por exemplo, pode-
se mostrar que para quaisquer dois números reais b > a, o conjunto 𝐴 = {𝑥 | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤
 𝑏} contém um número não numerável de elementos. Já que poderemos associar um 
ponto da reta dos números reais a cada número real, o que dissemos acima afirma 
que qualquer intervalo (não degenerado) contém mais do que um número contável de 
pontos (MEYER, 2010). 
Os conceitos apresentados acima, embora representem apenas uma breve 
exploração da teoria dos conjuntos, são suficientes para alcançar nossos objetivos: 
expor, com razoável rigor e precisão, as ideias fundamentais da teoria da 
probabilidade. 
3.2 Exemplos de experimentos não determinísticos 
Agora temos a oportunidade de examinar o que entendemos por um 
experimento "aleatório" ou "não determinístico". Mais especificamente, forneceremos 
exemplos de fenômenos nos quais modelos não determinísticos são apropriados. É 
importante que o leitor faça essa distinção. Portanto, frequentemente nos referiremos 
a experimentos não determinísticos ou aleatórios, quando, na verdade estamos 
falando de um modelo não determinístico para um experimento. Não faremos um 
esforço para dar uma definição precisa desse conceito. Em vez disso, citaremos 
numerosos exemplos: 
 
 
 
• E1: Lance um dado e observe o número exibido na face superior. 
• E2: Realize quatro lançamentos de uma moeda e observe a quantidade de vezes 
em que saiu cara. 
• E3: Realize quatro lançamentos de uma moeda e observe a sequência obtida 
entre caras e coroas. 
• E4: Na linha de produção, produza peças em grande quantidade e conte o 
número de peças defeituosas fabricadas em um intervalo de 24 horas. 
• E5: Uma asa de avião é fixada por um grande número de rebites. Conte a 
quantidade de rebites com defeito. 
• E6: Fabrica-se uma lâmpada e, em seguida, realiza-se um teste para verificar 
sua vida útil, inserindo-a em um soquete e registrando o tempo decorrido (em 
horas) até queimar. 
• E7: Um lote de 10 peças contém três peças defeituosas. As peças são retiradas 
uma a uma (sem repor a peça retirada) até que a última peça defeituosa seja 
encontrada. Registra-se o número total de peças retiradas do lote. 
• E8: Continua-se a fabricar peças até que sejam produzidas 10 peças perfeitas. 
Contabiliza-se o número total de peças fabricadas. 
• E9: Lança-se um míssil e, em um momento específico, observam-se suas três 
velocidades componentes: 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 𝑒 𝑣𝑧. 
• E10: Observa-se um míssil recém-lançado nos instantes 𝑡1, 𝑡2, . . . , 𝑡𝑛. Em cada um 
desses instantes, registra-se a altura do míssil em relação ao solo. 
• E11: Mede-se a resistência à tração de uma barra metálica. 
• E12: Retira-se uma bola de uma urna que contém apenas bolas pretas e verifica-
se sua cor. 
• E13: Um termógrafo registra continuamente a temperatura em um período de 24 
horas. Em uma localidade específica e em uma data determinada, faz-se a leitura 
desse termógrafo. 
• E14: Na situação descrita em E13, são registradas as temperaturas mínimas (x) e 
máxima (y) durante o período de 24 horas considerado. 
Quais são as características comuns aos experimentos mencionados acima? 
Os seguintes aspectos são relevantes para a nossa caracterização de um 
experimento aleatório: 
 
 
• Cada experimento pode ser repetido indefinidamente, mantendo-se as 
condições essencialmente inalteradas. 
• Embora não possamos prever um resultado específico, podemos descrever o 
conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 
• Quando o experimento é repetido várias vezes, os resultados individuais 
parecem ocorrer de forma aleatória. No entanto, quando o experimento é 
repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou 
regularidade emerge. É essa regularidade que possibilita a construção de um 
modelo matemático preciso para analisar o experimento. Mais adiante, teremos 
muito a dizer sobre a natureza e a importância dessa regularidade. Por enquanto, 
é suficiente para o leitor considerar as repetidas jogadas de uma moeda 
imparcial. Embora as ocorrências de caras e coroas pareçam ocorrer quase 
arbitrariamente, é um fato empírico bem conhecido que, após um grande número 
de jogadas, a proporção de caras e coroas será aproximadamente igual. 
É importante destacar que todos os experimentos descritos acima satisfazem 
essas características gerais. (Obviamente, a última característica mencionada só 
pode ser comprovada por meio de experimentação; deixaremos para a intuição do 
leitor acreditar que, se o experimento fosse repetido um grande número de vezes, a 
regularidade mencionada seria evidente. Por exemplo, se um grande número de 
lâmpadas do mesmo fabricante fosse testado, presumivelmente o número de 
lâmpadas que se queimariam após 100 horas poderia ser previsto com considerável 
precisão.) É importante observar que o experimento E12 apresenta a característica 
peculiarde ter apenas um resultado possível. Em geral, tais experimentos não nos 
interessam, pois, na realidade, é a incerteza quanto ao resultado específico que torna 
um experimento interessante para nós (MEYER, 2010). 
3.3 O espaço amostral 
De acordo com Oliveira (2017), o espaço amostral refere-se ao conjunto que 
contém todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, sendo esses 
resultados de natureza quantitativa ou qualitativa. 
Para cada experimento ε do tipo que estamos considerando, definiremos o 
espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de ε. Geralmente 
 
 
representaremos esse conjunto por S. (Neste contexto, S representa o conjunto 
fundamental, explicado anteriormente.) 
Vamos considerar cada um dos experimentos acima e descrever um espaço 
amostral para cada um deles. O espaço amostral Si se referirá ao experimento 𝐸1. 
• S1: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
• S2: {0, 1, 2, 3, 4}. 
• S3: {todas as possíveis sequências de a1, a2, a3, a4}, em que cada ai = H ou T, 
conforme a ocorrência de cara ou coroa no i-ésimo lançamento. 
• S4: {0, 1, 2,..., N }, em que N é o número máximo que pode ser produzido em 24 
horas. 
• S5: {0, 1, 2,..., M}, em que M é o número de rebites utilizados. 
• S6: {𝑡|𝑡 ≥ 0} 
• S7: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
• S8: {10, 11, 12,...}. 
• S9: {υx, υy, υz| υx, υy, υz são números reais}. 
• S10: {ℎ𝐼 , … , ℎ𝑛|ℎ𝑖 , ≥ 0, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛}. 
• S11: {𝑇 | 𝑇 ≥ 0}. 
• S12: {𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎}. 
• S13: Este espaço amostral é o mais complexo de todos os considerados aqui. 
Podemos realisticamente admitir que a temperatura em uma determinada 
localidade nunca pode estar acima ou abaixo de certos valores M e m. Além 
dessa restrição, podemos aceitar a possibilidade de que qualquer gráfico 
apareça com certas limitações. Presumivelmente, o gráfico não apresentará 
saltos (ou seja, representará uma função contínua). Além disso, o gráfico terá 
certas características de regularidade, que podem ser resumidas 
matematicamente ao afirmarmos que o gráfico representa uma função derivável. 
Dessa forma, podemos afirmar que o espaço amostral será: 
• {f | f é uma função derivável, que satisfaz 𝑚 ≤ 𝑓(𝑡) ≤ 𝑀, para todo t}. 
• S14: {(𝑥, 𝑦) | 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑀}. Em outras palavras, S14 é formado por todos os 
pontos dentro e sobre um triângulo no plano bidimensional (x, y). 
Para descrever um espaço amostral associado a um experimento, é necessário 
ter uma compreensão clara do que estamos medindo ou observando. Portanto, 
 
 
devemos falar de "um" espaço amostral associado a um experimento, e não de "o" 
espaço amostral. É importante observar a diferença entre S2 e S3 nesse contexto. 
Saliente-se, também, que o resultado de um experimento não é 
necessariamente, um número. Por exemplo, em E3, cada resultado é uma sequência 
de caras (H) e coroas (T). Em E9 e E10 cada resultado é formado por um vetor, 
enquanto em E13, cada resultado constitui uma função. 
Será também importante estudar o número de resultados em um espaço 
amostral. Surgem três possibilidades: O espaço amostral pode ser finito, infinito 
numerável ou infinito não numerável. Relativamente aos exemplos acima, 
observamos que 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5, 𝑆7, 𝑒 𝑆12, são finitos, S8 é infinito numerável, e 
𝑆6, 𝑆9, 𝑆10, 𝑆11, 𝑆13 𝑒 𝑆14 são infinitos não numeráveis. 
Neste ponto, é válido abordar a distinção entre um espaço amostral "idealizado" 
matematicamente e um espaço realizável experimentalmente. Para ilustrar essa 
diferença, vamos considerar o experimento E6 e o espaço amostral associado S6. É 
evidente que, ao registrar o tempo total t em que uma lâmpada está funcionando, 
estaremos sujeitos à precisão do nosso instrumento de medição. Suponhamos que 
possuímos um instrumento capaz de registrar o tempo com duas casas decimais, por 
exemplo, 16,43 horas. Com essa restrição, nosso espaço amostral se torna 
infinitamente contável: {0,00, 0,01, 0,02, . . . } . Além disso, é razoável assumir que 
nenhuma lâmpada pode durar mais do que H horas, onde H pode ser um valor muito 
grande (MEYER, 2010). 
Consequentemente, parece que, ao sermos totalmente realistas na descrição 
desse espaço amostral, estamos lidando com um espaço amostral 
finito: {0,00, 0,01, 0,02, . . . , 𝐻}. O número total de resultados seria (H/0,01) + 1, o que 
pode ser muito grande mesmo se H for moderadamente grande, por exemplo, H = 
100. Portanto, é mais simples e matematicamente conveniente admitir que todos os 
valores de t ≥ 0 sejam resultados possíveis e, dessa forma, tratamos o espaço 
amostral S6 conforme originalmente definido. Diante desses comentários, alguns dos 
espaços amostrais descritos são idealizados. Em todas as situações subsequentes, o 
espaço amostral considerado será aquele que for matematicamente mais 
conveniente. Na maioria dos problemas, pouca dúvida surge quanto à escolha 
adequada do espaço amostral. 
 
 
3.4 Eventos 
Outra noção fundamental é o conceito de evento. Um evento A (relativo a um 
particular espaço amostral S, associado a um experimento ε) é simplesmente um 
conjunto de resultados possíveis. Na terminologia dos conjuntos, um evento é um 
subconjunto de um espaço amostral S. Considerando nossa exposição anterior, isto 
significa que o próprio S constitui um evento, bem como o é o conjunto vazio ∅. 
Qualquer resultado individual pode também ser tomado como um evento (MEYER, 
2010). Oliveira (p. 106, 2017) define evento como “qualquer subconjunto do espaço 
amostral, isto é, qualquer resultado ou conjunto de resultados do espaço amostral”. 
3.5 Frequência relativa 
A fim de motivar a maneira de tratar o assunto, considere-se o seguinte 
procedimento: suponha que repetimos n vezes o experimento ℰ, e sejam A e B dois 
eventos associados a ℰ. Admitamos que sejam, respectivamente, 𝑛𝐴 e 𝑛𝐵 o número 
de vezes que o evento A e o evento B ocorram nas n repetições. 
Definição: 𝑓𝐴 = 𝑛𝐴/𝑛 é denominada frequência relativa do evento A nas n 
repetições de ℰ. A frequência relativa 𝑓𝐴 apresenta as seguintes propriedades, de fácil 
verificação, veja o Quadro 2: 
Quadro 2 - Definição 
(1) 0 ≤ 𝑓𝐴 ≤ 1. 
(2) 𝑓𝐴 = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições. 
(3) 𝑓𝐴 = 0 se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetições. 
(4) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e se 𝑓A ∪ B for a 
frequência relativa associada ao evento A ∪ B, então, 𝑓A ∪ B = 𝑓𝐴 + 𝑓𝐵. 
(5) 𝑓𝐴, com base em n repetições do experimento e considerada como uma 
função de n, “converge” em certo sentido probabilístico para P(A), quando n → ∞. 
Fonte: MEYER, 2010. 
Podemos afirmar apenas que a Propriedade (5) envolve a noção intuitiva de 
que a frequência relativa, baseada em um número crescente de observações, tende 
a se "estabilizar" próximo de algum valor definido. Esse conceito não é o mesmo que 
 
 
a convergência usual encontrada em algumas áreas da Matemática. Na verdade, 
como afirmamos aqui, essa não é de forma alguma uma conclusão matemática, mas 
sim um fato empírico (MEYER, 2010). 
A maioria de nós tem uma intuição sobre esse fenômeno de estabilização, 
embora nunca o tenhamos verificado. Fazê-lo requer um tempo considerável e 
paciência, pois envolve um grande número de repetições de um experimento. No 
entanto, às vezes podemos ser observadores ingênuos desse fenômeno, como 
ilustrado no exemplo a seguir: 
Exemplo 2: Vamos considerar a situação em que estamos na calçada e direcionamos 
nossa atenção para dois blocos de meio-fio adjacentes. Suponhamos que comece a 
chover de tal maneira que consigamos distinguir pingos individuais de chuva e 
registrar em qual meio-fio eles caem. Ficamos observando os pingos e anotando o 
local de impacto de cada um. 
Se denotarmos o i-ésimo pingo como 𝑋𝑖, em que 𝑋𝑖 = 1 se o pingo cair no 
primeiro meio-fio e 𝑋𝑖 = 0 se cair no outro, poderemos observar uma sequência 
como, por exemplo,1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1. É claro que não seremos capazes de 
prever onde um pingo em particular irá cair. (Nosso experimento envolve alguma 
situação meteorológica que resulta na queda dos pingos de chuva.) 
Se calculamos a frequência relativa do evento A = {o pingo cai no meio-fio 1}, 
então, a sequência de resultados acima produzirá as seguintes frequências relativas 
(com base na observação de 1, 2, 3, . . . 𝑝𝑖𝑛𝑔𝑜𝑠): 1, 1, 2/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, 4/8, 4/9, 4/
10, 5/11, ... Esses números indicam um alto grau de variabilidade, especialmente no 
início. Intuitivamente, é evidente que se o experimento continuar indefinidamente, 
essas frequências relativas irão se estabilizar próximo ao valor de 1/2. Portanto, 
teríamos motivos para acreditar que, após um certo tempo, os dois meio-fios estariam 
igualmente molhados. 
No momento, a estabilidade da frequência relativa é uma noção puramente 
intuitiva, mas mais adiante poderemos torná-la matematicamente precisa. A essência 
dessa propriedade é que, ao executar um experimento um grande número de vezes, 
a frequência relativa da ocorrência de um evento A tende a variar cada vez menos à 
medida que o número de repetições aumenta. Essa característica é comumente 
conhecida como regularidade estatística (MEYER, 2010). 
 
 
4 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
 
Fonte: https://shre.ink/lhRy 
A Estatística é definida por Costa (2015), como ciência que se dedica à 
investigação de um específico tipo de ocorrência: os fenômenos coletivos ou de 
grande escala. Ela abrange um conjunto de técnicas e procedimentos quantitativos 
utilizados para analisar e mensurar esses fenômenos coletivos ou de grande escala. 
O primeiro conceito que abordaremos está relacionado ao fenômeno, sendo 
definido por Costa (2015), como tudo aquilo observável pelos sentidos ou pela 
consciência. 
Exemplo 1: 
A queda de uma fruta de uma árvore, o nascimento de uma pessoa, a 
combinação de leite com café, a ocorrência de uma doença, o comportamento dos 
indivíduos em uma loja, o consumo de um produto específico, a disponibilidade de um 
produto, a procura por um produto, o ganho de uma empresa, o peso de um recém-
nascido, entre outros exemplos. 
4.1 Ciência estatística 
A ciência é definida por Costa (p. 1, 2015) como “conjunto orgânico de 
conhecimentos sobre os fenômenos e suas relações recíprocas”. 
Segundo Morettin e Bussab (2017), os cientistas seguem o chamado Método 
Científico para testar suas teorias ou hipóteses. Esse método pode ser resumido nos 
seguintes passos: 
 
 
(i) Formulação de uma questão, problema ou teoria pelo cientista. Ele também 
pode querer testar uma hipótese específica. 
(ii) Coleta de informações relevantes para responder a essas questões. Isso 
pode envolver o planejamento de experimentos, embora em certas áreas, como a 
Astronomia, o planejamento de experimentos não seja possível ou viável. Nessas 
situações, a observação de fenômenos ou variáveis de interesse é uma alternativa. 
(iii) Utilização dos resultados do passo (ii) para chegar a conclusões, mesmo 
que não sejam definitivas. 
(iv) Caso necessário, repetição dos passos (ii) e (iii) ou reformulação das 
hipóteses. 
Um estatístico pode contribuir no passo (i) e certamente é indispensável nos 
passos (ii) e (iii). 
4.2 Fenômenos coletivos ou de massa 
Os fenômenos coletivos ou de massa são os que não possuem regularidade 
na observação de casos isolados, mas na massa de observações. 
Exemplo 2: 
Em termos gerais, quando analisamos uma ou mais características de um 
conjunto de elementos, conhecido como população, nos deparamos com um 
fenômeno coletivo ou de massa. Alguns exemplos incluem as pontuações em 
matemática dos estudantes de uma sala de aula, o status socioeconômico dos 
consumidores de um produto, a renda da população brasileira, o lucro das empresas 
no Rio de Janeiro, a identificação de gênero dos torcedores de um clube de futebol, a 
disponibilidade de determinado produto por parte de fornecedores e o nível de 
demanda de empréstimos consignados por servidores públicos. 
4.3 Levantamentos estatísticos 
A Estatística possui dois tipos de levantamentos: censo e amostragem. Censo 
é caracterizado pela investigação de uma população considerando todos os seus 
elementos (COSTA, 2015). Já os conceitos de amostragem serão abordados a seguir. 
 
 
Exemplo 3: 
No Brasil, a cada década, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) 
realiza um levantamento do perfil demográfico e socioeconômico da população 
brasileira. O propósito principal dessa pesquisa é atualizar as informações estatísticas 
sobre a população, com o objetivo de fornecer orientações para políticas públicas e 
ações governamentais com dados atualizados e precisos sobre a população. 
4.4 População, amostra e amostragem 
Ao explorarmos o conceito de estatística, mencionamos, conforme Becker 
(2015), que a estatística matemática, também conhecida como estatística inferencial, 
dedica-se ao estudo das interações entre conjuntos de indivíduos e subconjuntos 
extraídos desses conjuntos. Mas o que exatamente significam esses subconjuntos e 
conjuntos? O termo "população", de origem latina ("populatione") e com raiz 
etimológica em "populu" (povo), revela as origens da estatística, que, em seus 
primórdios, centrava-se na compilação de dados sobre conjuntos de indivíduos, ou 
seja, o conjunto completo de pessoas que compõem uma comunidade, vila, povoado, 
cidade, país, entre outros. 
Com o tempo, o termo passou a ser utilizado de maneira mais ampla, 
abrangendo qualquer conjunto coletivo de interesse, como animais, espécies de 
plantas ou outros objetos. No entanto, o termo mantém a conotação de totalidade, 
abrangendo todos os objetos de interesse (BECKER, 2015). 
Conforme Costa (p. 1, 2015), a população é “constituída por um conjunto de 
elementos que possuem, pelo menos, uma característica em comum de interesse 
para ser estudada estatisticamente”. 
Exemplo 4: 
• Em um estudo sobre a satisfação de um determinado serviço, a população 
estatística consiste em todos os consumidores desse serviço. 
• Em uma pesquisa sobre os hábitos de fumar de uma determinada cidade, a 
população será composta por todos os habitantes dessa cidade. 
• Ao analisar o conteúdo dos e-mails em sua caixa de entrada, o conjunto de e-
 
 
mails é considerado uma população estatística. 
• Em um estudo sobre a oferta de um determinado produto, a população-alvo 
pode ser constituída por estabelecimentos comerciais. 
De acordo com o dicionário Michaelis o termo "amostra" possui diversas 
definições, incluindo a ideia de mostrar algo, assim como indicativo, sinal ou uma 
pequena porção de algo que pode ser observada ou testada. Por exemplo, uma 
amostra grátis oferece a oportunidade de experimentar um novo produto 
gratuitamente. No contexto da estatística inferencial, o sentido relevante é o de indício, 
no sentido de fornecer informações, uma vez que aquilo que observamos em uma 
amostra (parte) pode se generalizar para a população (todo) (WEISZFLOG, 2007). 
Segundo Becker (2015), quando abordamos a totalidade, inevitavelmente 
estamos considerando suas partes, em uma relação dialética. O todo e as partes são 
conceitos inseparáveis: não existe um todo sem suas partes, nem partes sem o seu 
todo. No contexto da estatística, as partes são denominadas amostras. Portanto, uma 
amostra é qualquer subconjunto da população de interesse, representando uma parte 
do todo. 
De acordo com Costa (2015), a amostragem é definida como a seleção 
apropriada de um subconjunto finito da população, com o propósito de representá-la. 
É essencial que as amostras sejam representativas da população para que as 
conclusões sobre a população sejam devidamente fornecidas. 
Amostras representativas são como miniaturas da população, possuindo todas 
as suas características, mas em menor escala. Existem diversos métodos de extração