Calculo A_Limite-Aula4

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Limite e Continuidade
Aula 4
Cálculo A
Professora: Fernanda Kruger Tomaschewski
email: fernanda.tomaschewski@ifsc.edu.br
Continuidade
Observe que a Definição implicitamente requer três coisas para a continuidade de 𝑓 em 𝑎:
1. 𝑓(𝑎) está definida (isto é, 𝑎 está no domínio de 𝑓 )
2. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe
3. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
➢ Assim, uma função contínua 𝑓 tem a propriedade que uma pequena mudança
em 𝑥 produz somente uma pequena alteração em 𝑓(𝑥).
➢ Se falhar uma ou mais das condições dessa definição, então dizemos que 𝑓 tem uma
descontinuidade em 𝒙 = 𝒂
➢ Se 𝑓 está definida próximo de 𝑎 (em outras palavras, 𝑓 está definida em um intervalo
aberto contendo 𝑎, exceto possivelmente em 𝑎), dizemos que 𝑓 é descontínua em 𝒂
(o que 𝑓 tem uma descontinuidade em 𝑎) se 𝑓 não é contínua em 𝑎.
O gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não apresentar quebras
ou buracos.
Nas figuras, podemos ver que o gráfico de uma função tem uma quebra ou buraco se ocorrer
alguma das seguintes condições:
➢ A função 𝑓 não está definida em 𝑎 (Figura 𝑎).
➢ O limite de 𝑓(𝑥) não existe quando 𝑥 tende a 𝑎 (Figura b, Figura c).
➢ O valor da função e o valor do limite em 𝑎 são diferentes (Figura d).
Cada função esboçada na Figura ilustra uma descontinuidade em 𝑥 = 𝑎.
➢ Na Figura (𝑎), a função não está definida em 𝑎, violando a primeira condição da Definição 1.
➢ Na Figura (b), existem ambos os limites laterais de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎, mas não são
iguais. Portanto, não existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) , violando a segunda condição da Definição 1. Diremos
que uma função como a da Figura (b) tem uma descontinuidade de salto em 𝑎.
➢ Na Figura (c), os limites laterais de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 são infinitos. Portanto, não existe
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), violando a segunda condição da Definição 1. Diremos que uma função como a da
Figura (c) tem uma descontinuidade infinita em 𝑎.
➢ Na Figura (d), a função está definida em 𝑎 e o limite lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe, mas esses dois valores
não são iguais, violando a terceira condição da Definição 1. Diremos que uma função como a
da Figura (d) tem uma descontinuidade removível em 𝑎.
Exemplos:
1) Em quais números 𝑓 e descontínua?
Solução:
Tem uma descontinuidade quando 𝑎 = 1, pois a o
gráfico tem um buraco. 𝑓 é descontínua em 1 pois
𝑓(1) não esta definida.
Em 𝑎 = 3 , 𝑓(3) esta definida, mas lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) não
existe (pois o limites esquerdo e direito são
diferentes). Logo 𝑓 e descontínua em 3.
Em 𝑎 = 5 , 𝑓(5), esta definida e lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) existe
(pois o limite esquerdo e o direito são iguais). Mas
lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5)
Logo,𝑓 é descontínua em 5.
2) A função é continua em 𝑥 = 0?
Solução: 
Aqui 𝑓 0 = 1 está definida, mas
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
1
𝑥2
não existe. Então 𝑓 é descontínua em 0.
A descontinuidade é denominada descontinuidade infinita.
3) Encontre os pontos nos quais f é descontínua
Solução: 
4) Determine se as seguintes funções são contínuas no ponto 𝑥 = 2
Solução: Em cada caso, devemos determinar se o limite da função quando 𝑥 → 2 é o mesmo que o valor
da função em 𝑥 = 2. Em todos os três casos, as funções são idênticas, exceto no ponto 𝑥 = 2 portanto,
todas as três têm o mesmo limite em 𝑥 = 2, isto é:
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
=
A função f está indefinida em 𝑥 = 2 e, portanto, não é contínua em 𝑥 = 2. A função g está definida em 𝑥 = 2,
mas o valor 𝑔(2) = 3 difere do limite naquele ponto; portanto, g não é contínua em 𝑥 = 2. O valor da função
h em 𝑥 = 2 é ℎ(2) = 4, que é o mesmo que o limite naquele ponto. Portanto, h é contínua em 𝑥 = 2
5) Encontre um valor para a constante k, se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.
Continuidade em um Intervalo
Exemplo: Mostre que a função 𝑓 𝑥 = 1 − 1 − 𝑥2 e continua no intervalo [−1,1].
Solução: Se −1 < 𝑎 < 1
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
1 − 1 − 𝑥2 = 1 − 1 − 𝑎2 = 𝑓 𝑎
Agora, vamos analisar os extremos do intervalo. Desta forma,
lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1+
1 − 1 − 𝑥2 = 1 = 𝑓 −1
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
1 − 1 − 𝑥2 = 1 = 𝑓 1
logo, 𝑓 e continua a direita em −1 e continua a esquerda em 1. Então 𝑓 e continua em 
[−1,1].
Propriedades da Funções Continuas
O conhecimento de quais funções são contínuas nos permite calcular muito rapidamente 
alguns limites, como no exemplo a seguir
Exemplo: 𝑓 𝑥 =
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥
é continua em 𝑥 = −2?
Solução: A função
𝑓 𝑥 =
𝑥3 + 2𝑥2 − 1
5 − 3𝑥
é racional, assim pelo teorema 5 é continua em seu domínio que é 𝑥 ≠
5
3
. 
Logo 𝑓 𝑥 é continua em 𝑥 = −2. Mais ainda
lim
𝑥→−2
𝑥3 + 2𝑥2 − 1
5 − 3𝑥
= 𝑓 −2 = −
1
11
Exemplos:
1) Onde a função 𝑓 𝑥 =
ln 𝑥+𝑡𝑔−1𝑥
𝑥2−1
é continua?
Solução: 
A função 𝑦 = ln 𝑥 e continua para 𝑥 > 0
𝑦 = 𝑡𝑔−1𝑥 é continua em ℝ
Assim, 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑡𝑔−1𝑥, é continua em 0,∞ .
O denominador 𝑦 = 𝑥2 − 1 é um polinômio, portanto e continuo em toda parte. Assim, f e 
continua em todos os números positivos 𝑥, exceto onde 𝑥2 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = ±1. 
Logo, 𝑓 é continua nos intervalos (0, 1) 𝑒 (1,∞).
2) Calcule
lim
𝑥→𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 + cos 𝑥
Solução: A função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é continua em todos ℝ. 
A função no denominador 𝑦 = 2 + cos 𝑥 é a soma de duas funções continuas e, portanto, é continua.
Observe que esta função 𝑦 = 2 + cos 𝑥 nunca é 0, pois −1 ≤ cos 𝑥 ≤ −1 para todo 𝑥 e assim 2 +
cos 𝑥 ≠ 0 em toda parte. 
Logo 𝑓 é sempre continua. Portanto, pela definição de função continua,
lim
𝑥→𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 + cos 𝑥
= 𝑓 𝜋 =
𝑠𝑒𝑛 𝜋
2 + cos 𝜋
=
0
2 − 1
= 0
Outra forma de combinar as funções contínuas f e g para obter novas funções contínuas é 
formar a função composta 𝑓 ∘ 𝑔. Esse fato é uma consequência do seguinte teorema.
Exemplo: Calcule lim
𝑥→1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1− 𝑥
1−𝑥
Solução: Uma vez que 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 e uma função continua, podemos aplicar o Teorema acima:
lim
𝑥→1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1 − 𝑥
1 − 𝑥
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 lim
𝑥→1
1 − 𝑥
1 − 𝑥
=
Exemplo: Onde a função ℎ 𝑥 = sen 𝑥2 é continua?
Solução:
Temos ℎ 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)), onde 𝑔(𝑥) = 𝑥2 e 𝑓(𝑥) = sen 𝑥. 
Agora, g é continua em ℝ, pois é um polinômio,
𝑓 também é continua em ℝ . 
Logo, ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔 𝑥 ) é continua em ℝ.
Teorema do Valor Intermediário 
O Teorema do Valor Intermediário afirma
que uma função continua assume todos
os valores intermediários entre os valores
da função 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏). Isso está ilustrado
na Figura.
Observe que o valor 𝑁 pode ser
assumido uma vez [como na parte (a)] ou
mais [como na parte (b)].
Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário e a localização das raízes de equações, 
como no exemplo a seguir.
Exemplo: Mostre que existe uma raiz da equação 4𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 entre 1 e 2
Solução: Seja 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 2.
Estamos procurando por uma solução da equação dada, isto é, um numero 𝑐 entre 1 e 2 tal que 
𝑓(𝑐) = 0. Portanto, tomamos 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑁 = 0 no Teorema do Valor Intermediário. Temos
𝑓 1 = 4.13 − 6.12 + 3.1 − 2 = −1 < 0
𝑓 2 = 4.23 − 6.22 + 3.2 − 2 = 12 > 0
Logo 𝑓(1) < 0 < 𝑓(2), isto é, 𝑁 = 0 é um numero entre 𝑓(1) e 𝑓(2). Como 𝑓 e continua, por ser 
um polinômio, o Teorema do Valor Intermediário temos que existe um numero 𝑐 entre 1 e 2 tal que 
𝑓(𝑐) = 0.
Em outras palavras, a equação 4𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 tem pelo menos uma raiz 𝑐 no intervalo 
(1,2).
De fato, podemos localizar mais precisamente a raiz usando novamente o Teorema do Valor 
Intermediário. Uma vez que
𝑓 1,2 = −0,128 < 0 𝑒 𝑓 1,3 = 0,548 > 0
uma raiz deve estar entre 1,2 e 1,3. Uma calculadora fornece, por meio de tentativa e erro,
𝑓 1,22 = −0,007008 < 0 𝑒 𝑓 1,23 = 0,056068 > 0
assim, uma raiz está no intervalo 1,22; 1,23 .
Podemos usar uma calculadora gráfica ou computador para ilustrar o uso do Teorema do Valor
Intermediário nesse exemplo. A Figura 10 mostra o gráfico de f em uma janela retangular [−1,3]
por [−3,3], e você pode ver o gráficocruzando o eixo 𝑥 entre 1 e 2. A Figura 11 mostra o resultado
ao se aplicar o zoom, obtendo a janela retangular 1,2; 1,3 por [−0,2; 0,2].