Exercícios de Probabilidade e Estatística

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ESTATÍSTICA I – LISTA DE EXERCÍCIOS 2
GABARITO
1. (Magalhães e Lima, pg 40) Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral
correspondente e conte seus elementos:
(a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam se as faces obtidas;
(b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ı́mpar é observada;
(c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas com dimensões rigorosa-
mente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são
anotadas;
(d) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das
faces observadas;
(e) Em uma cidade, famı́lias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando se
o sexo de cada uma;
(f) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe se um instante qualquer e
observa se o numero de defeituosas na próxima hora;
(g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara.
Resposta
(a) Ω = (CC ,CK ,KC, KK), contém 4 elementos.
(b) Ω = (PP, PI, IP, II), contém 4 elementos.
(c) Ω = (AAA, AAV, AVA,VAA, AVV, VAV, VVA, VVV), contém 8 elementos.
(d) Ω = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), contém 11 elementos.
(e) Ω = (MMM, MMF, MFM, FMM, FFM,FMF, MFF, FFF), contém 8 elementos.
(f) Ω = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20), contém
21 elementos.
(g) Ω = (C, KC, KKC, KKKC, KKKKC, KKK...C, ...), contém numero infinito de
elementos.
2. (Bussab e Morettin, pg 76) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas
vermelhas (V). Retira se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança se uma
moeda, se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira -se outra bola. Dê um espaço
amostral para o experimento.
Resposta
1

B = bola branca
V = bola vermelha
C = moeda cara
K = moeda coroa
Ω = (BC,BK, V B, V V )
3. (Bussab e Morettin, pg 82) Considere o lançamento de dois dados.
Considere os eventos A = soma dos números obtidos iguais a 9, e B = número no
primeiro dado maior ou igual a 4. Enumere os elementos de A e B e obtenha:
(a) A ∪B;
(b) A ∩B;
(c) Ac.
Resposta
A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
B = {(4, 1), . . . , (4, 6), (5, 1), . . . , (5, 6), (6, 1), . . . , (6, 6)}
A ∪B = {(3, 6), (4, 1), . . . , (4, 6), (5, 1), . . . , (5, 6), (6, 1), . . . , (6, 6)}
A ∩B = {(4, 5), (5, 4), (6, 3)}
Ac = {(1, 1), . . . , (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
4. Extraindo uma carta de um baralho bem embaralhado de 52 cartas, qual é a proba-
bilidade de obter:
(a) O rei de copas;
(b) Uma carta vermelha com figura (valente, rainha, rei);
(c) Um 5, um 6 ou um 7;
(d) Uma carta de ouros.
Resposta
(a) 1/52 = 0.019
(b) 3/26 = 0.115
(c) 3/13 = 0.231
(d) 1/4 = 0.25
2
5. As bolas usadas no bingo são enumeradas 1, 2, 3, ..., 75, se uma dessas bolas é
extráıda ao acaso, qual é a probabilidade de:
(a) Número par;
(b) Número 15 ou de número menor;
(c) Número 60 ou de número maior.
Resposta
(a) 37/75 = 0.493
(b) 1/5 = 0.2
(c) 16/75 = 0.213
6. (Magalhães e Lima, pg 49) Uma classe de Agronomia teve a seguinte distribuição
das notas finais; 4 do sexo masculino e 6 do sexo feminino foram reprovados, 8 do
sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa
classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se aluno foi
aprovado.
(a) P (A ∪M c);
(b) P (Ac ∩M c);
(c) P (A |M);
(d) P (M c | A);
(e) P (M | A).
Resposta
Tabela 1: Frequências
Aprovados Reprovados Total
Masculino 8 4 12
Feminino 14 6 20
Total 22 10 32
Tabela 2: Proporções
Aprovados Reprovados Total
Masculino 0.25 0.125 0.375
Feminino 0.4375 0.1875 0.625
Total 0.6875 0.3125 1
3
(a) P (A ∪M c) = 22
32
+ 20
32
− 14
22
= 0.6875 + 0.625− 0.4375 = 0.875.
(b) P (Ac ∩M c) = 6
32
= 0.1875.
(c) P (A |M) = 8
12
= 0.25
0.375
= 0.6667.
(d) P (M c | A) = 14
22
= 0.4375
0.6875
= 0.6364.
(e) P (M | A) = 8
22
= 0.25
0.6875
= 0.3636.
7. (Bussab e Morettin, pg 88) Na tabela abaixo, os números que aparecem são proba-
bilidades relacionadas com a ocorrência de A, B, A ∩ B, etc. Assim, P (A) = 0.10,
enquanto que P (A ∩B) = 0.04, verifique se A e B são independentes.
B Bc
A 0.04 0.06 0.10
Ac 0.08 0.82 0.90
0.12 0.88 1.00
Resposta
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um evento não influência na
ocorrência do outro.
P (A ∩B) = P (A) .P (B)
0.04 6= 0.10× 0.12
0.04 6= 0.012
Os eventos não são independentes.
8. Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extráıdas
juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que
a outra válvula também seja perfeita?
Resposta
5/9 = 0.556
4
9. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se
a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0.6 enquanto a probabilidade de
ocorrência de A for igual a 0.4 determine a probabilidade da ocorrência de B.
Resposta
P (A) = 0.4
P (A ∪B) = 0.6
P (B) =?
P (A ∩B) = P (A) .P (B) → P (A ∩B) = 0.4P (B)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
0.6 = 0.4 + P (B)− 0.4P (B)
P (B)− 0.4P (B) = 0.2
0.6P (B) = 0.2
P (B) =
0.2
0.6
= 0.333
10. (Magalhães e Lima, pg 52) A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma
universidade quanto as variáveis: Peŕıodo, Sexo e Opinião sobre a Reforma Agrária.
Determine a probabilidade de escolhermos:
Peŕıodo Sexo
Reforma Agrária
Contra A Favor Sem Opinião
Diurno
Feminino 2 8 2
Masculino 8 9 8
Noturno
Feminino 4 8 2
Masculino 12 10 1
(a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária;
(b) Uma mulher contrária a reforma agrária;
(c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária;
5
(d) Uma pessoa sem opinião, sabendo se que ela é do sexo feminino.
Resposta
(a) 9/74 = 0.122
(b) 3/37 = 0.081
(c) 18/37 = 0.486
(d) 2/13 = 0.154
11. (Magalhães e Lima, pg 53) A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes
de uma universidade, com informações sobre área de estudo e classe sócio econômica.
Área / Classe Alta Média Baixa
Exatas 120 156 68
Humanas 72 85 112
Biológicas 169 145 73
(a) Ser da classe econômica mais alta;
(b) Estudar na área de exatas;
(c) Estudar na área de humanas, sendo de classe média;
(d) Ser da classe baixa, dado que ele estuda na área de biológicas.
Resposta
Tabela 3: Frequências
Área / Classe Alta Média Baixa Total
Exatas 120 156 68 344
Humanas 72 85 112 269
Biológicas 169 145 73 387
Total 361 386 253 1000
Tabela 4: Proporções
Área / Classe Alta Média Baixa Total
Exatas 0.12 0.156 0.068 0.344
Humanas 0.072 0.085 0.112 0.269
Biológicas 0.169 0.145 0.073 0.387
Total 0.361 0.386 0.253 1
6
(a) 361/1000 = 0.361
(b) 43/125 = 0.344
(c) 85/386 = 0.22
(d) 73/387 = 0.189
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