Campo magnético em uma bobina- Relatório experimental

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Campo magnético em uma bobina e a
permeabilidade magnética no vácuo
Andrei Vińıcius Ferreira Batista, Ĺıdia Eduarda Sousa Santos,
Lúis Gustavo dos Santo e Marcel Frank Amaral Silva
1. OBJETIVO
O presente trabalho, tem por objetivo estudar as bobinas
de Helmholtz, analisando o campo magnético produzido
por apenas uma delas através dos resultados experimentais
demonstrar as deduções matemáticas teóricas envolvidas
nas formulas f́ısicas,como verificar o comportamento do
campo magnético no centro da bobina ao variar a cor-
rente,e também, variar a distância de um dispositivo sensor
e analisar se o campo varia, mantendo uma alimentação de
corrente constante.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO
As bobinas de Helmholtz são formadas por duas bobinas
idênticas, de raio R, alinhadas paralelamente e separadas
por uma distância igual ao raio das mesmas. Essa confi-
guração permite a criação de um campo magnético quase
uniforme entre as bobinas, ilustrado na Figura 1.
Figura 1. ref: Young Freedman (2009)
Em 1819, o cientista Hans C. Oersted verificou que a
agulha de uma bússola era desviada por um fio conduzindo
uma corrente elétrica, assim ele obteve a primeira evi-
dencia da relação entre o magnetismo e o movimento das
cargas (Young Freedman). O trabalho de Oersted chegou
à França e os cientistas Ampère, Biot e Savart estudaram
mais a fundo o fenômeno descoberto. Ampère notou força
entre fios compridos paralelos com corrente. Biot e Savart
mediram o campo magnético na vizinhança de um fio
muito comprido e investigaram como a intensidade do
campo varia com a distancia do fio.
Segundo Halliday (2009), o campo magnético criado por
um condutor percorrido por corrente pode ser calculado
a partir da lei de Biot-Savart. De acordo com ela, a
contribuição d
#»
B de um elemento de corrente i d #»s para
o campo em um ponto P situado a distância r é dado por:
d
#»
B =
µ0 i d
#»s × #»r
4πr2
(1)
Para calcular o campo magnético de uma bobina, deve-
se determinar o campo de uma única espira e multipli-
car pela quantidade N de espiras. E, separando d
#»
B em
duas componentes: uma paralela ao eixo da espira e uma
perpendicular ao eixo da espira e uma perpendicular ao
eixo, por simetria soma das componentes perpendiculares
produzida por todos os elementos ds é zero. Assim, o
modulo do campo resultante tem influência somente das
componentes paralelas, dado por:
B =
∫
dB∥ =
∫
(dBcos(α)) (2)
em que α é o ângulo entre dB e o eixo central da espira.
Assim, aplicando a equação 1 na equação 2, tem-se:
B =
∫ (
µ0 i d
#»s × #»r
4πr2
cos(α)
)
(3)
Além disso, tem-se que d #»s × #»r = ds sen(90) = ds e que
cos(α) = R√
R2+z2
e r =
√
R2 + z2. Assim, a equação do
campo B (3) pode ser reescrita como:
B =
∫
µ0 i R
4π(R2 + z2)
3
2
ds (4)
Sendo que, os valores de i, R, µ0 e z são contantes para
todos os elementos ds da espira, o campo é reescrito como:
B =
µ0 i R
4π(R2 + z2)
3
2
∫
ds (5)
Assim, uma vez que
∫
ds é o comprimento da espira (2πR),
a equação do campo magnético para uma espira é:
B =
µ0 i R
2
2(R2 + z2)
3
2
(6)
Por fim, a equação do campo magnético produzido por
uma bobina em um ponto P no eixo central possui ape-
nas componente paralela com módulo multiplicado pelo
número de espiras N :
B =
N µ0 i R
2
2(R2 + z2)
3
2
(7)
onde µ0 é a permeabilidade magnética no vácuo, i é o valor
da corrente elétrica, R é o raio da bobina e z é a distância
da bobina até o ponto P.
As bobinas de Helmholtz são um conjunto de duas bobinas
de raio R separadas por uma distância R. Assim, tomando
como z a distância de uma bobina a um ponto de interesse
P, a distância da outra bobina até esse ponto é (R −
z). O campo magnético é dado pela contribuição das
duas bobinas, de forma que seu módulo no eixo central,
considerando a origem em uma das bobinas, é dado por:
B =
Nµ0 i R
2
2
(
1
(R2 + z2)
3
2
+
1
(R2 + (R− z)2) 32
)
(8)
Com isso, no ponto médio entre as bobinas, o campo
magnético é dado por:
B =
8N µ0 i
5
√
5R
(9)
No presente trabalho, será usada apenas uma das bobinas e
além de determinar o calculo co campo magnético, tem por
finalidade calcular a permeabilidade magnética no vácuo
através de uma amostra de medições feitas em laboratório.
3. METODOLOGIA
Para o bom entendimento da dinâmica do experimento,
faz-se necessário conhecer a instrumentação utilizada e as
metodologias para projeto. O material utilizado consiste
em:
• Uma bobina de 200 espiras
• Base para encaixe da bobina
• Fonte de tensão continua
• Mult́ımetro
• Gausśımetro
• Notebook
• Software SciDAVis
Para a realização do experimento, inicialmente foi mon-
tado um circuito em série utilizando uma fonte de corrente
continua, a bobina, um mult́ımetro (na função ampeŕı-
metro). A bobina foi ligada em serie na fonte de tensão,
conectou-se o gausśımetro à interface de coleta de dados,
o aparelho foi ativado e posicionado no ponto central da
bobina. Em seguida, o equipamento foi tarado.
Com isso, variou-se a corrente no circuito entre 0 e 1, 6A,
com o passo de 0, 2A, e mediu-se o campo magnético. Os
dados coletados foram organizados em uma tabela (Tabela
1 ) e com eles foi plotado um gráfico do campo magnético e
função da corrente elétrica no software SciDAVis (Imagem
** ) com o objetivo de encontar o valor da permeabilidade
magnética do vácuo..
A segunda parte do experimento consiste em medir o
campo magnético ao longo do eixo de simetria da bobina
com uma corrente constante em 1, 0A, variando a distancia
do sensor do gausśımetro ao centro da bobina de 0 a 16cm,
com o passo de 1cm. Feito isso, os dados obtidos foram
inseridos em uma tabela (Tabela 2 ), gerou-se um gráfico
no SciDAVis (Imagem ** ) e os pontos foram ajustados à
uma função correspondente à equação 7 .
4. RESULTADOS E ANÁLISE
Os dados aqui apresentados, são os resultados obtidos com
a realização da prática experimental. A Tabela 1 contém os
valores de campo magnético medido a partir da variação
da corrente em uma escala de 0, 2A variando de 0A ate
1, 6A.
Tabela 1.
Corrente da
Bobina (A)
Campo
Magnético (gauss)
0 0
0,2 2,55
0,4 5,21
0,6 0,83
0,8 10,75
1 13,34
1,2 16,16
1,4 18,8
1,6 21,4
Os dados foram ajustados para uma função linear do tipo:
B(i) = ai+ b (10)
em que B(i) é o campo em função da corrente, i é a
corrente, e a e b são as duas contantes do ajuste de reta.
O ajuste de reta utilizou os dados da tabela coleta no
experimento e gerou as constantes a = 13, 462 e b =
−0, 077. O resultado do ajuste de reta é apresentado na
Figura 2.
Figura 2. Campo magnético no centro da bobina
Para determinar µ0 a partir da constante a, deve-se
comparar o ajuste de reta com a equação do campo
produzido nas bobinas de Helmholtz (9).Como na primeira
parte do experimento a medição foi feita no centro da
bobina, o x vale 0. Logo:
B =
µ0NR
2I
2(R2)
3
2
=
µ0NR
2I
2R3
(11)
B =
µ0NI
2R
(12)
Assim, uma vez que R = 10cm, N = 200 e a = 13, 462, o
valor aproximado para µ0 é
µ0 =
13, 462× 2× 10
200
= 1, 3462
G× cm
A
(13)
Utilizando o método de propagação de incertezas definido
pela seguinte equação:
∆f(x, y, z) =
√(
∂f
∂x
)2
(∆x)2 +
(
∂f
∂y
)2
(∆y)2 +
(
∂f
∂z
)2
(∆z)2
(14)
em que ∆f(x, y, z) é a propagação de incerteza em uma
função f(x, y, z). É posśıvel calcular a incerteza do µ0,
sendo que µ0 = 2RA/N , ∆R = 0, 05cm, ∆A = 0, 005A
∆µ0(R,A) =
√(
∂µ0
∂R
)2
(∆R)2 +
(
∂µ0
∂A
)2
(∆A)2
=
√
( 2AN )
20, 052 + ( 2RN )
20, 0052
=
√
( 2∗1200 )
20, 052 + ( 2∗10200 )
20, 0052
∆µ0(R,A) = 0, 00071G× cm/A
Além disso, é importante ressaltar que o campo dos dados
experimentais foi coletado em Gauss (G) e na equação
9 o campo é dado em tesla (T ). Assim, uma vez que
1G = 10−4T , tem-se que:
µ0 = 4π × 10−7H/m ≈ 1, 2566× 10−6T ·m/A
G · cm/A104 × 102 = 106 então: µ0 = 1, 2566G · cm/A.
Então o µ0 calculado é 1, 3462± 0, 0007G · cm/A
Feito isso, com o valor encontrado para a permeabili-dade magnética do ar e o valor fornecido pelo Halli-
day (2009) que é de µ0 = 4π10
−7 N
A2 , aproximadamente
1, 256610−6 NA2 , foi posśıvel calcular o a taxa de erro do
valor determinado no experimento.
ξ =
1, 3462− 1, 2566
1, 2566
= 7, 13%
Os resultados obtidos com a variação da distancia ao longo
do eixo de simetria da bobina, com uma corrente constante
de 1A, estão dispostos na Tabela 2.
Tabela 2.
x (cm)
Campo
magnético (gauss)
0 13,34
1 13,12
2 12,8
3 11,43
4 10,7
5 9,31
6 8,7
7 7,03
8 6,64
9 5,29
10 4,58
11 3,97
12 3,51
13 2,93
14 2,56
15 2,27
16 2,15
Com isso, usando o software SciDAVis foi plotada uma
curva ajustada por uma função dada pela equação (7), em
que U = 1, 326±0, 002 assume o valor do µ0 e R = 9, 943±
0, 021 assume o valor do raio. O gráfico está ilustrado na
imagem
Figura 3. Campo magnético distanciando da bobina
REFERÊNCIAS
Halliday, D., Resnick, R., e Walker, J. (2009). Fundamen-
tos de F́ısica, volume 3: eletromagnetismo. Rio de janeiro:
LTC.
Resende, Fábio; Marcelino, Rafael (2019). Apostila de
Laboratório de F́ısica 1. Departamento de Formação Geral.
CEFET-MG. Divinópolis, MG.
Young, H. D., e Freedman, R. A. (2009). F́ısica III:
eletromagnetismo. São Paulo: Person Education do Brasil.
Bartkowiak, R. A. (1995). Circuitos elétricos. Makron
Books.
Nilsson, J. W., e Riedel, S. A. (2008). Circuitos Elétricos,
8a. Edição. LTC–Livros Técnicos e Cient́ıficos Editora SA.
BAUER, Wolfgang; WESTFALL, Gary D.; DIAS, He-
lio.(2012) F́ısica Para Universitarios - Eletricidade e Mag-
netismo. São Paulo: Mcgraw Hill.
	Objetivo
	Fundamento teórico
	Metodologia
	Resultados e análise