Leis de Kirchhoff- trabalho experimental

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Graduação em
Engenharia Mecatrônica
Relatório de F́ısica Experimental
Leis de Kirchhoff
Sumário
1 Objetivos 2
2 Fundamento Teórico 2
2.1 A lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 As leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Material Utilizado 5
4 Procedimento Experimental 5
5 Resultados e Discussões 6
5.1 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2 Questionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2.1 Questão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2.2 Questão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2.3 Questão 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2.4 Questão 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2.5 Questão 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Conclusão 12
7 Referências Bibliográficas 13
1
1 Objetivos
Esta aula prática tem por objetivo verificar experimentalmente as Leis
de Kirchhoff e comparar os resultados encontrados pelo cálculo com o valor
encontrado no mult́ımetro.
2 Fundamento Teórico
2.1 A lei de Ohm
De acordo com Halliday (2009), da diferença de epotencial é dada por
V =
∫
#»
E · #»dl (1)
onde V é a diferença de potencial,
#»
E o campo elétrico em um fio e l o
comprimento do fio. Caso o campo seja constante, tem-se que
V =
#»
E · #»l (2)
Ademais, Young e Freedman (2009) nos apresenta a densidade de cor-
rente, a qual é dada por
#»
J =
i
A
#»s (3)
onde
#»
J é a densidade de corrente, i a conrrente no circuito, A a área da
secção transversal do fio e #»s o vetor unitário que dá a direção e o sentido
do fluxo de corrente. Porém, em muitos materias,
#»
E e
#»
J são diretamente
proporcionais, de forma que
#»
E = ρ
#»
J (4)
onde ρ é a resistividade do material. Logo, aplicando a euqação 4 à
equação 2, tem-se
V = (ρ
#»
J ) · #»l (5)
Aplicando a euqação 3 à equação 5, tem-se
2
V = ρ
i
A
#»s · #»l ⇒ V = ρ
#»
l
A
· #»s i (6)
Sabendo que a resistência é dada por
R =
ρ
#»
l
A
· #»s (7)
então, tem-se que a lei de Ohm é dada por
V = RI (8)
2.2 As leis de Kirchhoff
As leis de Kirchhoff foram formuladas em 1845 em razão dos trabalhos
do f́ısico alemão Gustav Kirchhoff. Segundo Bartkowiak (1995), essas leis
f́ısicas são baseadas no Prinćıpio da Conservação da Energia, no Prinćıpio
de Conservação da Carga Elétrica e na regra que determina que o potencial
elétrico mantenha seu valor inicial depois de qualquer percurso realizado em
trajetória fechada ou sistema não-dissipativo.
As leis de Kirchhoff costumam ser utilizadas em circuitos elétricos mais
complexos, com mais de uma fonte de tensão e relação série e paralelo entre
as resistências impĺıcitas.
No entanto, para melhor entender as formulações, precisa-se definir o
conceito de malha e de nó. De acordo com Nilsson (2008), num circuito
elétrico com vários elementos, define-se como nó “um ponto no qual dois ou
mais elementos de circuito se unem”. Em conssonância com Young (2009),
“denomina-se malha qualquer caminho condutor fechado”. Assim, as leis de
Kirchhoff podem assim ser enunciadas:
1. Lei das tensões ou Lei das malhas: A soma algébrica da diferença de
potencial elétrico em um percurso fechado é nulo. Para exemplificar essa
lei, podemos usar o circuito mostrados na Figura 1 (Ferraro,2013).
Logo, seguindo o percurso da corrente e aplicando a Lei de Ohm da
equação 8, tem-se que
3
Figura 1: Circuito para exemplificação
E = Ri+ ri ⇒ E −Ri− ri = 0 ⇒ E − VR − Vr = 0 (9)
Logo, a Lei dos nós pode ser escrita como
n∑
j
Vj =
n∑
j
Rjij = 0 (10)
2. Lei das Correntes ou Lei dos nós: A soma algébrica de todas as correntes
em qualquer nó de um circuito é igual a zero. A lei é uma consequência da
conservação da carga total existente no circuito. Isto é uma confirmação
de que não há acumulação de cargas nos nós.
Para melhor entendimento, pode-se observar a Figura 2 (Bauer,2012).
Figura 2: Trecho de um circuito
4
Vale a pena observar que, pela conservação da carga total de um circuito
i1 + i2 = i3 + i4 ⇒ i1 + i2 − i3 − i4 = 0 (11)
Ou seja, a Lei dos nós pode ser escrita como
n∑
j
ij = 0 (12)
Todo o cálculo, usualmente, é feito arbitrando-se um sentido para a cor-
rente em todos os trechos do circuito, sendo cada trecho formado pelo caminho
entre dois nós. Posteriormente, arbitra-se também o percurso a ser seguido.
Se o percurso passa por uma fonte, pode haver uma queda ou um aumento
na tensão. Se o primeiro ocorrer, no cálculo usa-se valor negativo, caso o
segundo ocorra, usa-se valor positivo.
Caso o percurso passe por uma resistência, a tensão depende do sentido
da corrente. Se a corrente e o percurso tiverem o mesmo sentido, haverá uma
queda de tensão, caso contrário, um aumento na tensão.
3 Material Utilizado
• Placa de laboratório didático de f́ısica AZEHEB
• Fios de cobre
• Resistores
• Mult́ımetro
4 Procedimento Experimental
1. Utilizando o mult́ımetro, meça as resistências dos três resistores dis-
pońıveis para a prática. Forneça esses dados em uma tabela.
2. Monte o circuito de acordo com a Figura 3. As fontes serão as pilhas
disponibilizadas para o experimento.
3. Meça a corrente em cada um dos resistores e forneça esses dados em
uma tabela. Fique atento ao sentido da corrente. Se a corrente entra
pelo COM é considerada pelo mult́ımetro como positiva. Se a correte sai
pelo COM, é considerada negativa pelo mult́ımetro.
5
Figura 3: Diagrama esquemático do experimento
4. Meça ε1, ε2 e as tensões nos resistores. Forneça esses dados em uma
tabela.
5 Resultados e Discussões
5.1 Resultados Experimentais
Após realizar o experimento descrito na seção 4, obtivemos os resultados
apresentadas nas Tabelas 1 e 2.
Resistor R(Ω) i(µ A) V(V)
R1 978 128,2 0,13835
R2 9780 116,7 1,249
R3 99900 -13,2 1,354
Tabela 1: Tabela das medições feitas em trechos do circuito
Fonte ε(V)
ε1 1,391
ε1 1,494
Tabela 2: Tabela das medições das tensões das pilhas
5.2 Questionário
5.2.1 Questão 1
Deduza, através das Leis de Kirchhoff, para o circuito da Figura
3, as seguintes equações:
i1 =
R3ε1 +R2ε2
R1R2 +R1R3 +R2R3
6
i2 =
(R1 +R3)ε1 −R1ε2
R1R2 +R1R3 +R2R3
i1 =
R1ε1 − (R1 +R2)ε2
R1R2 +R1R3 +R2R3
De acordo com a lei das correntes de Kirchhoff, conforme apresentado na
fundamentação teórica, o somatório das correntes que entram no nó central
da Figura é igual ao somatório das correntes que saem desse mesmo nó. Logo,
tem-se que:
i2 = i1 + i3 (13)
Além disso, de acordo com a lei das malhas de Kirchhoff, conforme apre-
sentado na fundamentação teórica, o somátorio das diferenças de potenciais
em cada uma das malhas do circuito é zero. Logo, analisando inicialmente a
malha da esquerda, tem-se:
ε1 −R2i2 −R1i1 = 0 (14)
Além disso, analisando a malha da direita, tem-se:
−R3i3 − ε2 +R1i1 = 0 (15)
Portanto, utilizando as equações 13, 14 e 15 é posśıvel montar o seguinte
sistema de equação:

i2 = i1 + i3
R2i2 +R1i1 = ε1
R1i1 −R3i3 = ε2
(16a)
(16b)
(16c)
onde R1, R2, R3, ε1 e ε2 são constantes conhecidas e i1, i2 e i3 são incógnitas.
Segue os passos para a resolução do sistema. Em primeiro lugar, substituindo
i2 da equação 16a na equação 16b, tem-se:
7
R2i3 + (R1 +R3)i1 = ε1 (17)
Em segundo lugar, isolando i3 na equação 17, tem-se:
i3 =
ε1 − (R1 +R3)i1
R2
(18)
Em terceiro lugar, substituindo i3 na equação 16c e isolando i1, tem-se:
i1 =
R2ε2 +R3ε1
R1R2 +R1R3 +R2R3
(19)
Em quarto lugar, substituindo i1 na equação 18, tem-se:
i3 =
R1ε1 − (R1 +R2)ε2
R1R2 +R1R3 +R2R3
(20)
Por fim, substituindo os resultados das correntes i1 e i3, presentes respectiva-
mente nas equações 19 e 20, na equação 13, tem-se:
i2 =
(R1 +R3)ε1 −R1ε2
R1R2 +R1R3 +R2R3
(21)
5.2.2 Questão 2
Através dos valores medidos das resistências, R1,R2 e R3 faça
uma previsão teórica para as correntes, e comparecom os valores
de corrente medidos pelo mult́ımetro.
A partir da equações deduzidas na questão 1, é posśıvel calcular as cor-
rentes em função dos valores de resistência dos resistores e de diferença de
potencial das pilhas. Nesse sentido, aplicando nas equações 19, 20 e 21, os
valores de resistência e tensão presentes nas tabelas 1 e 2, tem-se:
i1 =
R2ε2 +R3ε1
R1R2 +R1R3 +R2R3
=
9780× 1, 494 + 99900× 1, 391
978× 9780 + 978× 99900 + 9780× 99900
i2 =
(R1 +R3)ε1 −R1ε2
R1R2 +R1R3 +R2R3
=
(978 + 99900)× 1, 391− 978× 1, 494
978× 9780 + 978× 99900 + 9780× 99900
8
i3 =
R1ε1 − (R1 +R2)ε2
R1R2 +R1R3 +R2R3
=
978× 1, 391− (978 + 9780)× 1, 494
978× 9780 + 978× 99900 + 9780× 99900
Assim, obtem-se como resultado os seguintes valores:
i1 = 141, 748µA i2 = 128, 169µA i3 = −13, 579µA
Além disso, para comparar esses valores com os medidos com o mult́ımetro,
adota-se a seguinte equação:
ξ =
(
i− ir
ir
× 100
)
% (22)
em que ξ é o valor do erro percentual, i é o valor da corrente calculada nessa
questão e ir é o valor da corrente medido pelo mult́ımetro. Assim, aplicando
os valores, tem-se:
ξ1 =
(
141, 748µA− 128, 2µA
128, 2µA
× 100
)
% = 10, 57%
ξ2 =
(
128, 169µA− 116, 7µA
116, 7µA
× 100
)
% = 9, 83%
ξ3 =
(
−13, 579µA− (−13, 2)µA
−13, 2µA
× 100
)
% = 2, 87%
em que ξ1 é o erro na corrente i1, ξ2 é o erro na corrente i2, e ξ3 é o erro na
corrente i3.
5.2.3 Questão 3
Calcule os valores de tensão e compare com os valores obtidos
com o mult́ımetro.
Para calcular os valores de tensão, deve-se aplicar de Lei Ohm presente
na equação 8, utilizando os valores de resistência da Tabela 1 e os valores de
corrente calculados na questão anterior. Aplicando essa lei nos resistores do
experimento, tem-se:
9
VR1 = R1I1 = 978Ω× 141, 748× 10−6A = 0, 13863V
VR2 = R2I2 = 9780Ω× 128, 169× 10−6A = 1, 25349V
VR3 = R3I3 = 99900Ω×−13, 579× 10−6A = −1, 35654V
Além disso, para comparar esses valores com os medidos com o mult́ımetro,
adota-se a seguinte equação:
ξ =
(
V − Vr
Vr
× 100
)
% (23)
em que ξ é o valor do erro percentual, V é o valor da tensão calculada nessa
questão e Vr é o valor da tensão medido pelo mult́ımetro. Assim, aplicando
os valores, tem-se:
ξ1 =
(
0, 13863V − 0, 13835V
0, 13835V
× 100
)
% = 0, 2%
ξ2 =
(
1, 25349V − 1, 249V
1, 249V
× 100
)
% = 0, 36%
ξ3 =
(
−1, 35654V − (−1, 354V )
−1, 354V
× 100
)
% = 0, 19%
em que ξ1 é o erro na tensão VR1, ξ2 é o erro na tensão VR2, e ξ3 é o erro na
tensão VR3.
5.2.4 Questão 4
Verifique se a lei dos nós e a lei das malhas (utilize a malha da
esquerda) se cumprem, para os valores medidos.
Pela lei dos nós, a corrente antes de um nó deve ser igual a soma das
suas divisões, então temos que
i2 = i3 + i1 ⇒ i2 = 128, 2µA+ (−13, 2µA) = 115µA (24)
10
O resultado real medido pela corrente foi de 116, 7µA, disso podemos concluir
que o valor real comparado ao teórico é embutido de um pequeno erro.
Pela lei das malhas temos que:
E − VR2 − VR1 = 0 (25)
aplicando os resultados obtidos temos:
1, 391V − 1, 249V − 0, 13835V = 0 (26)
Mas
0, 00365V ̸= 0
Disso podemos concluir que os valores medidos se cumprem com um
pequeno erro.
5.2.5 Questão 5
Comente uma fonte de incerteza sistemática, sistemática resi-
dual e aleatória para este experimento.
Após a realização dos experimentos foi possivel identificar as seguintes
fontes de incerteza:
• Sistemática: utilizar diferença de potencial das baterias indicadas pelo
fabricante e não a real, medida com aux́ılio de um mult́ımetro.
• Sistemática residual: incerteza nos resistores, já previsto pelos fabrican-
tes.
• Aleatória: A corrosão nos fios de cobre que podem dificultar a passagem
de corrente elétrica.
11
6 Conclusão
A partir da realização desse trabalho puderam ser analisados os resul-
tados experimentais utilizando as Leis de Kirchhoff e compara-los com os
obtidos pelo cálculo com auxilio do mult́ımetro. Com isso, comprovamos que
os dois métodos obtveram resultados diferentes devido aos erros e incerte-
zas experimentais, pois é comprovado matematicamente que as duas chegam
resultados diferentes.
Com os resultados obtidos calculamos o erro máximo de corrente obtido
foi de 10,57% e o erro máximo de tensão foi de 0,36%, sendo assim, é posśıvel
afirmar que o volt́ımetro é mais preciso que o ampeŕımetro por apresentar
maior proximidade com o ideal.
Ademais, verificamos que a lei das malhas e a lei dos nós se cumpre
para os valores obtidos, pois apesar de apresentar um pequeno erro ele é
toleravel, visto que os materiais e equipamentos não são ideais como suposto
na formula.
12
7 Referências Bibliográficas
Halliday, D., Resnick, R., e Walker, J. (2009). Fundamentos de F́ısica,
volume 3: eletromagnetismo. Rio de janeiro: LTC.
Resende, Fábio; Marcelino, Rafael (2019). Apostila de Laboratório de
F́ısica 1. Departamento de Formação Geral. CEFET-MG. Divinópolis, MG.
Young, H. D., e Freedman, R. A. (2009). F́ısica III: eletromagnetismo.
São Paulo: Person Education do Brasil.
Bartkowiak, R. A. (1995). Circuitos elétricos. Makron Books.
Nilsson, J. W., e Riedel, S. A. (2008). Circuitos Elétricos, 8a. Edição.
LTC–Livros Técnicos e Cient́ıficos Editora SA.
BAUER, Wolfgang; WESTFALL, Gary D.; DIAS, Helio.(2012) F́ısica
Para Universitarios - Eletricidade e Magnetismo. São Paulo: Mcgraw Hill.
FERRARO, Nicolau Gilberto. Lei de Pouillet. Associação de geradores.
Os fundamentos da f́ısica, 2013. Dispońıvel em<encurtador.com.br/cqvwW>
Acessado em: 22/05/2019
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	Objetivos
	Fundamento Teórico
	A lei de Ohm
	As leis de Kirchhoff
	Material Utilizado
	Procedimento Experimental
	Resultados e Discussões
	Resultados Experimentais
	Questionário
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Conclusão
	Referências Bibliográficas