Bobina de Helmholtz

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Bobina de Helmholtz e Campo Magnético
da Terra
Andrei Vińıcius Ferreira Batista, Ĺıdia Eduarda Sousa Santos,
Marcel Frank Amaral Silva e Lúıs Gustavo Dos Santos
14 de junho de 2022
RESULTADOS
Tabela 1: corrente e campo magnético no pto central
das bolbinas
I(A) B (gauss)
0,10 2,49
0,24 5,34
0,38 7,93
0,52 10,73
0,66 13,40
0,80 16,02
0,94 18,87
1,08 21,46
1,22 24,10
1,36 26,95
1,5 29,64 Figura 1: Ajuste de reta dos dados da tabela 1
Tabela 2
I (mA) θ tgθ BH
1,8 11,25 0,19 3.47× 10−6
4,2 22,50 0,41 8.11× 10−6
7,6 33,75 0,67 1.47× 10−5
11,7 45,0 1,00 2.26× 10−5
17,4 56,35 1,50 3.36× 10−5
26,6 67,50 2,41 5.14× 10−5 Figura 2: reta dos dados da tabela 2
1
QUESTIONÁRIO
1. Partindo da lei de Biot-Savart, deduza as Equações 1, 2 e 3:
B =
Nµ0 i R
2
2(R2 + z2)
3
2
(1)
B =
Nµ0 i R
2
2
(
1
(R2 + z2)
3
2
+
1
(R2 + (R− z)2) 32
)
(2)
B =
8N µ0 i
5
√
5R
(3)
De acordo a lei de Biot-Savart, a contribuição d
#»
B de um elemento de corrente i d #»s
para o campo em um ponto P situado a distância r é dado por:
d
#»
B =
µ0 i d
#»s × #»r
4πr2
(4)
Pode-se separar d
#»
B em duas componentes: uma paralela ao eixo da espira (dB∥) e
uma perpendicular ao eixo da espira (dB⊥). Por simetria, a soma das componentes
perpendiculares dB⊥ produzidas por todos os elementos ds é zero. Nesse sentido, o
módulo do campo resultante tem influência somente das componentes paralelas, dado
por:
Figura 3: Espira circular de raio r
B =
∫
dB∥ =
∫
(dBcos(α)) (5)
2
em que α é o ângulo entre dB e o eixo central da espira. Assim, aplicando a equação
4 na equação 5, tem-se:
B =
∫ (
µ0 i d
#»s × #»r
4πr2
cos(α)
)
(6)
Além disso, tem-se que d #»s × #»r = ds sen(90) = ds e que, a partir de relações geométrica
na Figura 3, cos(α) = R√
R2+z2
e r =
√
R2 + z2. Assim, a equação do campo B (6) pode
ser reescrita como:
B =
∫
µ0 i R
4π(R2 + z2)
3
2
ds (7)
Os valores de i, R, µ0 e z são contantes para todos os elementos ds da espira. Logo, o
campo é reescrito como:
B =
µ0 i R
4π(R2 + z2)
3
2
∫
ds (8)
Assim, uma vez que
∫
ds é o comprimento da espira (2πR), a equação do campo
magnético para uma espira é:
B =
µ0 i R
2
2(R2 + z2)
3
2
(9)
Por fim, a equação do campo magnético para uma bobina é a equação 9 multiplicado
pelo número de espiras N :
B =
N µ0 i R
2
2(R2 + z2)
3
2
(10)
As bobinas de Htlmholtz são um conjunto de duas bobinas de raio R separadas por uma
distância R. Assim, tomando como z a distância de uma bobina a um ponto de inte-
resse P, a distância da outra bobina até esse ponto é (R−z). Além, o campo magnético
produzido por duas bobinas é o somatório do campo produzidos por cada uma sepa-
rada. Assim, o campo produzido pela primeira bobina, tomando como referência pra a
distância z, é:
B1 =
N µ0 i R
2
2
(
1
(R2 + z2)
3
2
)
(11)
O campo da outra bobina é:
B2 =
Nµ0iR
2
2
(
1
(R2 + (R− z)2) 32
)
(12)
3
Logo, o campo das duas bobinas é:
B = B1 +B2 =
Nµ0iR
2
2
(
1
(R2 + z2)
3
2
+
1
(R2 + (R− z)2) 32
)
(13)
Para se calcular o campo magnético produzido no ponto médio entre elas, deve-se
assumir z = R
2
na equação 13. Assim, tem-se:
B = B1 +B2
=
Nµ0iR
2
2
(
1
(R2 + (R
2
)2)
3
2
+
1
(R2 + (R− R
2
)2)
3
2
)
=
Nµ0iR
2
2
 2(
5
4
R2
) 3
2

= Nµ0iR
2 2
√
2
5
√
5R3
=
8Nµ0i
5
√
5R
2. Utilizando o método de propagação de incertezas e uma incerteza experi-
mental ∆θ na medida do ângulo, encontre a incerteza da função tangente.
Compare a incerteza da função tangente para ângulos pequenos e próximos
de 90 graus.
Usando-se da equação de propagação de incerteza:
∆f(x, y, z) =
√(
∂f
∂x
)2
(∆x)2 +
(
∂f
∂y
)2
(∆y)2 +
(
∂f
∂z
)2
(∆z)2 (14)
a propagação de incerteza para esse exemplo é dada por:
∆tg(θ) =
√(
∂tg(θ)
∂θ
)2
(∆θ)2
Além disso, tem-se que ∂
∂θ
tg(θ) = sec2(θ). Logo, a incerteza da função tangente é dada
por:
∆tg(Θ) = sec2(θ) ∆θ
Comparando os valores da incerteza em ângulos próximos de 0 graus e 90 graus, tem-
se que sec2(θ) = 1
cos2(θ)
. Logo, quando trabalha-se com valores prox́ımos de 0 graus,
cos2(θ) tende a 1. Logo, a propagação de incerteza será pequena. Além disso, quando
4
trabalha-se com valores prox́ımos de 90 graus, cos2(θ) tende a 0. Logo, a propagação
de incerteza será muito grande.
3. Ajuste os dados adequadamente e determine a permeabilidade magnética
do ar (vácuo). Compare com o valor encontrado na literatura.
Os dados foram ajustados para uma função linear do tipo:
B(i) = ai+ b (15)
em que B(i) é o campo em função da corrente, i é a corrente, e a e b são as duas
contantes do ajuste de reta. O ajuste de reta utilizou os dados da tabela coleta no
experimento e gerou as constantes a = 19, 33 e b = 0, 62. O resultado do ajuste de reta
é apresentado na Figura 1.
Para determinar µ0 a partir da constante a, deve-se comparar o ajuste de reta com a
equação do campo produzido nas bobinas de Helmholtz (3). Além diso, é importante
ressaltar que o campo dos dados experimentais foi coletado em Gauss (G) e na equação
3 o campo é dado em tesla (T ). Assim, uma vez que 1G = 10−4T , tem-se que:
10−4a =
8Nµ0
5
√
5R
(16)
Isolando µ0 na equação 16, tem-se:
µ0 = 10
−4a
5
√
5R
8N
(17)
Assim, uma vez que R = 0, 1m, N = 200 e a = 19, 33, o valor aproximado para µ0 é
µ0 = 10
−4 × 19, 335
√
5× 0, 1
8× 200
= 1, 350× 10−6 N
A2
(18)
O valor presente na literatura é de µ0 = 4π10
−7 N
A2
, aproximadamente 1, 256610−6 N
A2
.
Nesse sentido, o valor determinado no experimento teve um erro de
ξ =
1, 350− 1, 2566
1, 2566
= 7, 43%
4. O item 7 do Procedimento Experimental pede para que a corrente elétrica
nas bobinas seja de até aproximadamente 2 mA. Esse pedido é feito para
que o ângulo de deflexão da agulha da bússola não seja grande. Baseando-se
na questão da presente sessão, explique por que isso é importante.
Isso é importante porque se fosse usada uma corrente muito alta seria imposśıvel posi-
cionar a bússola nos pontos de angulação espećıficos, levando em consideração que uma
corrente muito alta não a deixava estável com facilidade.
5
5. Ajuste os dados da Tabela 2 adequadamente e calcule o valor do campo
magnético terrestre. Compare com o valor encontrado na literatura.
Pela equação seguinte, temos que
tg(θ) =
BH
BT
⇒ BH = BT × tg(θ) (19)
No entando, inclui-se alguma incerteza no cálculo, fazendo a interpolação do tipo li-
near, ou seja, do tipo ax+b. O coeficiente angular dado é, por consequencia, o campo
magnético da Terra, o qual, neste caso equivale a 15.7019 µT . Comparado ao valor
encontrado na literatura, 23.2401 µT , este valor possui uma diferença de 32%.
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