Prova Presencial - Álgebra Linear e Vetorial

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Gabarito
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Questão 1
Considerando as características dos sistemas de equações lineares, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Um sistema de equações lineares classificado como possível e determinado admite infinitas soluções.
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo sempre admite ao menos a solução trivial.
( ) Podemos resolver um sistema de equações lineares por meio de escalonamento ou pelo método da matriz inversa, caso as condições correspondentes sejam satisfeitas.
Assinale a alternativa que indica a sequência de classificações corretamente:
A) V – F – V.
B) V – F – F.
C) F – V – V.
D) V – V – F.
E) F – V – F.
Questão 2
As transformações lineares correspondem a aplicações específicas nas quais os domínios e contradomínios correspondem a espaços vetoriais. Desta forma, por meio dessas transformações, é possível converter vetores de um espaço vetorial V em vetores de um outro espaço W.
Com base nesse tema, seja a transformação linear definida por:
e o vetor u = (-3, -2) do espaço R2.
Qual das seguintes alternativas indica corretamente a imagem do vetor u pela transformação linear T?
A) T(u) = (0, -11).
B) T(u) = (-3, -2).
C) T(u) = (-7, -11).
D) T(u) = (-9, -8).
E) T(u) = (-8, -9).
Questão 3
Dados dois vetores pertencentes a um espaço vetorial, podemos calcular o ângulo θ formado entre eles empregando os produtos entre vetores, o que possibilita a classificação de θ como agudo, obtuso ou reto.
Considere os vetores
u = (-1, 0, 3)
v = (2, -1, 4)
do espaço tridimensional R3. Com base em u e v, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
I. Os vetores u e v podem ser classificados como ortogonais entre si, sendo o ângulo entre eles classificado como reto.
PORQUE
II. O produto escalar entre os vetores u e v é não nulo.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para I.
B) A asserção I é uma proposição falsa e a II é verdadeira.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é falsa.
D) As asserções I e II são proposições falsas.
E) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta para I.
Questão 4
Os determinantes podem ser associados a matrizes que satisfaçam a condições específicas e podem ser classificados em função dos tamanhos das matrizes a que correspondem, sendo esta uma análise essencial para a identificação dos métodos de cálculo adequados às ordens dos determinantes.
Sabendo que x é um número real, considere a seguinte matriz:
Assinale a alternativa que indica o valor que deve ser assumido por x para que o determinante da matriz K seja igual a 40, ou seja, det(K) = 40:
A) x = 2.
B) x = 3.
C) x = 1.
D) x = 0.
E) x = -1.
Questão 5
O conceito de determinante é uma importante caracterização para determinadas categorias de matrizes e possibilita, dentre outros estudos, a investigação das soluções de sistemas lineares e a existência de matrizes inversas, sendo que este conceito está diretamente relacionado aos tamanhos das matrizes correspondentes.
Com base nesse tema, seja a matriz de ordem 2 definida por
Assinale a alternativa que indica corretamente o determinante associado à matriz A:
A) det(A) = -2.
B) det(A) = 2.
C) det(A) = -10.
D) det(A) = 10.
E) det(A) = 5.
Questão 6
Uma matriz real corresponde a um agrupamento retangular de números reais. Esta estrutura pode ser construída em função de leis de formação baseadas em representações genéricas.
Com base nesse tema, considere a matriz A = (aij) quadrada de ordem 2 cujas entradas aij são dadas por
e a matriz B = (bij) quadrada de ordem 2 cujas entradas bij são dadas por
A partir das informações apresentadas, assinale a alternativa que indica corretamente o resultado de a21 + b22:
A) a21 + b22 = 2.
B) a21 + b22 = 4.
C) a21 + b22 = 9.
D) a21 + b22 = 11.
E) a21 + b22 = 16.
Questão 7
Um conjunto B de vetores de um espaço vetorial V pode ser chamado de base quando satisfizer a determinadas condições. Em relação a esse tema, analise as seguintes afirmações:
I. Se o conjunto B corresponde a uma base do espaço V então B é um conjunto de vetores linearmente dependentes.
II. O conjunto B = {(1, 0), (0,1)} corresponde a uma base do espaço vetorial R2 denominado base canônica.
III. Se o conjunto B corresponde a uma base do espaço V então B gera todos os vetores de V a partir de combinações lineares.
Com base no tema apresentado, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
B) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
C) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
D) Apenas a afirmativa III está correta.
E) Apenas a afirmativa II está correta.
Questão 8
Os vetores do espaço cartesiano, tridimensional, podem ser representados por meio de suas expressões algébricas dadas por u = (x, y, z), onde x, y e z são as componentes dos vetores em função da base canônica
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
desse espaço. A partir deste tipo de expressão, com base nas operações definidas entre vetores, é possível realizar a aritmética vetorial.
Seja um vetor w no espaço tridimensional tal que
2u – w = 3v
onde u = (2, -3, 0) e v = (1, -3, 1).
Assinale a alternativa que indica corretamente a expressão algébrica do vetor w:
A) w = (-1, -3, 2).
B) w = (-2, 0, 5).
C) w = (1, 3, 8).
D) w = (1, 3, -3).
E) w = (4, -1, 5).
Questão 9
As transformações lineares podem ser associadas a funções (ou aplicações), em que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais. A respeito desse conceito, analise as seguintes afirmações:
I) Uma transformação é denominada linear se forem satisfeitas duas igualdades, sendo elas: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e T(αu) = αT(u)
II) A transformação de R² → R², dada por 
T(x, y) = (2y, x + 3) 
é linear.
III) A soma de transformações lineares é linear.
Assinale a alternativa correta:
A) Todas as afirmações estão corretas.
B) Apenas a afirmação I está correta.
C) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
E) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
Questão 10
O conceito de transformação linear é um importante conceito abordado em Álgebra Linear, o qual pode ser relacionado às aplicações e aos espaços vetoriais.
Com base nesse conceito, analise as seguintes afirmações:
I. Uma transformação é linear T: V → W, com V e W espaços vetoriais, se satisfaz
T(u + v) = T(u)T(v),
para todos u e v pertencentes a V.
II. A imagem do vetor v = (2, 1) por meio da transformação linear T: R² → R³ definida por
T(x, y) = (3x, -2y, x – y)
é dada por T(v) = (6, -2, 1).
III. Uma transformação linear T: V → V, com V espaço vetorial, pode ser denominada operador linear sobre V ou transformação identidade.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
B) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
C) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
D) Apenas a afirmação III está correta.
E) Apenas a afirmação II está correta.
Questão 11
Associado à determinadas transformações lineares podemos estudar os autovalores e autovetores correspondentes e, nestes casos, a identificação das imagens dos autovetores pode ser realizada por meio da operação de multiplicação por escalar.
Com base nesse tema, considere a transformação linear definida por
Qual das seguintes alternativas indica corretamente o polinômio característico associado à transformação linear T, o qual possibilita a identificação dos autovalores e autovetores associados a T?
A) p(λ) = λ² – 5λ.
B) p(λ) = λ² + 3λ – 2.
C) p(λ) = λ² – λ + 20.
D) p(λ) = λ² – 20λ – 6.
E) p(λ) = λ² – 9λ + 26.
Questão 12
Um sistema de equações lineares corresponde a um conjunto de equações lineares referentes a um mesmo conjunto de variáveis.
Sabendo disso e com base nos conhecimentos acerca dos sistemas de equações lineares, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Um sistema linear é classificado como impossívelquando admite infinitas soluções.
( ) Todo sistema linear apresenta a solução nula, também chamada de trivial.
( ) O escalonamento consiste no uso de operações elementares para resolver o sistema linear.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta das classificações:
A) F - V - V.
B) F - F - V.
C) V - V - F.
D) V - F - V.
E) V - F - F.