mapa calculo 2 - unicesumar

Prévia do material em texto

MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem 
 
Acadêmico: Emily Gabriely Dias Campos Da Silva R.A. 19124237-5 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 Disciplina: Cálculo diferencial e Integral II 
Valor da atividade: 3,0 pontos Prazo: 02/12/2022 
 
Seja a função f(x,y) definida em uma região que contém o ponto (x0, y0), então, diz-
se que a função tem um máximo local em (x0, y0) se f(x,y) ≤ f(x0, y0), por outro 
lado, diz-se que a função tem um mínimo local em (x0, y0) se f(x,y) ≥ f(x0, y0). Para 
encontrar os valores extremos locais (máximos ou mínimos), utilizamos o seguinte 
teste: 
 
Teste da segunda derivada: Supondo que f(x0, y0) e suas derivadas parciais de 
primeira e segunda ordem são contínuas em um ponto (x0, y0) e que fx(x0, y0) = 0 
e fy(x0, y0) = 0, então: 
I. f tem um máximo local em (x0, y0) se fxx(x0, y0) < 0 e fxx.fyy - fxy2 > 0. 
II. f tem um mínimo local em (x0, y0) se fxx(x0, y0) > 0 e fxx.fyy - fxy2 > 0. 
III. se fxx.fyy - fxy2 < 0, então, (x0, y0) não é nem mínimo e nem máximo local. 
 
Sabendo disso, considere a função f(x,y) = xy + x2 + y2 - 3x - 3y + 2, e, responda as 
perguntas que seguem: 
 
a) Determine "o" ou "os" pontos críticos 
 
Vetor gradiente: ∇ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (
𝑎𝑓
𝑎𝑥
(𝑥, 𝑦);
𝑎𝑓
𝑎𝑦
 (𝑥, 𝑦)) 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥, 𝑓𝑦) = (0,0) 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 2𝑥 − 3, 𝑥 + 2𝑦 − 3) 
Ponto crítico ⇒ ∇𝑓(𝑃) = 0 
 
 
{
2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 
 . (−2) ⇒ {
2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
−2𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 
⇒ −3𝑦 + 3 = 0 ⇒ −3𝑦 = −3 ⇒ 𝑦 = 1 
 
Temos ainda: 
 
 
2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 
2𝑥 + 1 − 3 = 0 
2𝑥 − 2 = 0 
2𝑥 = 2 
𝑥 = 1 
Portanto, o ponto crítico é P (1; 1). 
 
b) Utilizando o teste da segunda derivada, verifique se os pontos críticos 
encontrados anteriormente são de máximo ou mínimo local. 
Vetor gradiente: ∇ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥, 𝑓𝑦) 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 2𝑥 − 3, 𝑥 + 2𝑦 − 3) 
𝐻(𝑥, 𝑦) = |
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦
| = |
2 1
1 2
| 
𝐻(𝑥, 𝑦) = 2 . 2 − 1 . 1 = 4 − 1 = 3 
𝐻(𝑥, 𝑦) = 3 > 0 
Portanto, o ponto P (1; 1) é candidato a máximo ou mínimo local. 
Utilizando o teste da segunda derivada, tem-se: 
𝑓𝑥𝑥 = 2 > 0 𝑜𝑢 𝑓𝑦𝑦 = 2 > 0 
Logo, o ponto P (1, 1) é mínimo local. 
 
 
c) Encontre o valor que a função f(x,y) assume nos pontos críticos. 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 − 3𝑦 + 2 
𝑓(1,1) = 1 . 1 + 12 + 12 − 3 . 1 − 3 . 1 + 2 
𝑓(1,1) = 1 + 1 + 1 − 3 − 3 + 2 
𝑓(1,1) = −1 
d) Faça a representação da função e dos seus respectivos pontos de máximo ou 
mínimo no GEOGEBRA.