MAPA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 UNICESUMAR

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MAPA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
ATIVIDADE 
Para construir uma estrutura como a cobertura do Pavilhão Atlântico, temos de conseguir responder a várias questões que de imediato se põem, por exemplo:
Quanto pesa a cobertura (qual é a sua massa)?
Qual é a área que ocupa?
Em que pontos devem ser colocados os apoios e que cargas devem poder suportar?
Que ângulos com a vertical devem ou podem os apoios fazer?
Disponível em: https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~jpnunes/AMIII/whyam3/porquecii.html
Dentre essas questões necessárias, vamos focar no peso (massa) total dessa cobertura, mas de maneira geral.
Considerando que δ(x,y) seja a densidade de massa, medida em unidades de massa por unidade de área, então a massa total do objeto delimitado por uma região plana D pode ser calculada por meio da integral dupla da função densidade de massa sobre a região que define a placa:
O primeiro momento com a relação à x é definido como a integral
Analogamente, o primeiro momento sobre o plano y é a integral
O centro de massa é encontrado a partir dos primeiros momentos. Assim, a coordenada x do centro de massa é dado por
E, analogamente, a coordenada y do centro e massa é dada por
Sabendo disso, considere uma lâmina quadrada cujos lados são unitários, tal que a região esteja no primeiro quadrante e que duas de suas arestas estejam sobre os eixos coordenados. E, suponha que a densidade da lâmina seja dada por
Faça um esboço da região R utilizando o software Geogebra, e identifique a localização do centro de massa da lâmina, a partir dos devidos cálculos.
RESOLUÇÃO:
A massa total da lâmina é definida pela integral dupla:
Dada a região de integração, temos que:
0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤1
Portanto,
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