AP2-MetDet1-2019-1-Online-Gabarito

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AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019.1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 26/05/2019
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.)
Uma indu´stria paga uma taxa dia´ria de compensac¸a˜o ambiental de acordo com a quantidade de es-
goto que despeja no ambiente. Caso despeje ate´ 10.000 litros (dez mil litros) em um dia, a indu´stria
pagara´, neste dia, R$0,10 por litro. Apo´s os 10.000 litros, cada litro excedente custara´ R$0,15.
Chame de x a quantidade de litros de esgoto que esta indu´stria despeja no ambiente, em um certo
dia, e de t a func¸a˜o que representa o valor total, em reais, que esta indu´stria deve pagar neste dia,
dependendo de x. Isto e´, em um dia em que x litros de esgotos foram despejados, a indu´stria pagara´
t(x) como taxa de compensac¸a˜o ambiental.
Questa˜o 1 (0.5 pt) Calcule o valor da taxa a ser paga em dias em que o volume de esgoto despe-
jado for 8.000 litros e 15.000 litros. Em outras palavras, calcule t(8.000) e t(15.000).
Soluc¸a˜o: Vamos calcular t(8.000). Como 8.000 < 10.000, a indu´stria pagara´ R$0,10 por litro, logo
t(8.000) = 0, 10 · 8.000 = 800.
Assim, a empresa pagara´ R$800,00 pelo despejo de 8.000 litros.
Vamos agora calcular t(15.000). Repare que destes 15.000 litros, 10.000 implicara˜o a taxa de R$0,10
por litro e os outro 5.000 custara˜o R$0,15 por litro. Assim,
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
t(15.000) = 0, 10 · 10.000 + 0, 15 · 5.000 = 1.000 + 750 = 1.750.
Assim, a empresa pagara´ R$1.750,00 pelo despejo de 15.000 litros.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o de t(x) quando x 6 10.000 e quando x > 10.000.
Soluc¸a˜o: Para x 6 10.000, a indu´stria pagara´ R$0,10 por litro, logo
t(x) = 0, 10 · x = x10 .
Para x > 10.000, os primeiros 10.000 sera˜o cobrados a` taxa de R$0,10 por litro, e os (x− 10.000)
restantes custara˜o R$0,15 por litro. Logo
t(x) = 0, 10 · 10.000 + 0, 15 · (x− 10.000) = 1.000 + 15100(x− 10.000) = 1.000 +
3
20(x− 10.000) =
= 1.000 + 3x20 − 1.500 =
3x
20 − 500.
Podemos reunir em uma u´nica expressa˜o:
t(x) =

x
10 , se x 6 10.0003x
20 − 500, se x > 10.000.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Esboce o gra´fico da func¸a˜o t, tendo o volume de esgoto x como eixo horizontal
e o valor t(x) como eixo vertical.
Soluc¸a˜o: Para x 6 10.000, temos o gra´fico de uma func¸a˜o linear (de primeiro grau), com t(0) = 0
e t(10.000) = 1.000. Logo, o gra´fico, para 0 6 x 6 10.000 sera´ o segmento de reta de extremos
(0, 0) e (10.000, 1.000). Para x > 10.000, temos a func¸a˜o afim t(x) = 3x20 − 500. Para t = 10.000,
esta expressa˜o nos da´ y = 3·10.00020 − 500 = 1.500 − 500 = 1000, logo o gra´fico sera´ uma semirreta
iniciado em (10.000, 1.000). Note ainda que t(15.000) = 1.750, logo o ponto (15.000, 1.750) tambe´m
pertence a` semirreta. Assim, podemos esboc¸ar o gra´fico:
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Questa˜o 4 (2.0 pt) Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano R2 que satisfazem simul-
taneamente as condic¸o˜es
|x− 8| < 4,
(x− 7)2 + y2 = 25.
Soluc¸a˜o: Temos que
|x− 8| < 4⇔ −4 < x− 8 < 4⇔ 4 < x < 12,
assim, a primeira condic¸a˜o representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada x esteja
entre 4 e 12, na˜o incluindo estes valores. Esboc¸ando esta regia˜o, temos
A equac¸a˜o (x−7)2 +y2 = 25 pode ser reescrita como (x−7)2 +(y−0)2 = 52 e representa o c´ırculo
de centro (7, 0) e raio 5. Esboc¸ando este c´ırculo, junto com a condic¸a˜o anterior, temos:
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
O conjunto dos pontos que satisfazem a equac¸a˜o do c´ırculo e a desigualdade modular e´ formado
pelos pontos sobre o c´ırculo e dentro da “faixa”vertical. Este conjunto pode ser esboc¸ado como
abaixo:
Note que os pontos destacados na˜o pertencem ao c´ırculo, uma vez que esta˜o sobre as retas horizontais
que limitam a “faixa”vertical, e que na˜o pertencem a` regia˜o.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Questa˜o 5 (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeiraa desigualdade abaixo.
2
(
x + 12
)2
− 5x2 <
(
x− 12
)
(x + 3) .
Soluc¸a˜o: Temos
2
(
x + 12
)2
− 5x2 <
(
x− 12
)
(x + 3) ⇔ 2
(
x + 12
)2
− 5x2 <
(
x− 12
)
(x + 3)
⇔ 2
(
x2 + 2 · x · 12 +
1
4
)
− 5x2 < x
2 + 3x− x2 −
3
2
⇔ 2
(
x2 + x + 14
)
− 5x2 < x
2 + 6x2 −
x
2 −
3
2
⇔ 2x2 + 2x + 12 −
5x
2 < x
2 + 5x2 −
3
2
⇔ 2x2 − x2 + 2x− 5x2 −
5x
2 +
1
2 +
3
2 < 0
⇔ x2 − 3x + 2 < 0
As ra´ızes de x2 − 3x + 2 sa˜o 1 e 2, portanto
x2 − 3x + 2 = (x− 1)(x− 2),
logo, voltando a` inequac¸a˜o, temos
x2 − 3x + 2 < 0⇔ (x− 1)(x− 2) < 0.
Estudando o quadro de sinais, temos
(−∞, 1) 1 (1, 2) 2 (2,+∞)
x− 1 − 0 + + +
x− 2 − − − 0 +
(x− 1)(x− 2) + 0 − 0 +
Assim,
x2 − 3x + 2 < 0⇔ x ∈ (1, 2).
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 6 a 9 e a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −P 2 + 8P + 20 e Q(P ) = 4P − 16,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo
mesmo)? E qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)?
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
Soluc¸a˜o: Prec¸o ma´ximo:
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 8P + 20 = 0⇔ P = −8±
√
82 − 4(−1)(20)
2 · (−1) =
−8±√144
−2 =
−8± 12
−2 ⇔
⇔ P = 10 ou P = −2.
Como P > 0, temos, como prec¸o ma´ximo, P = 10, isto e´, R$10,00.
Prec¸o m´ınimo:
Q(P ) = 0⇔ 4P − 16 = 0⇔ 4P = 16⇔ P = 4.
Temos enta˜o, como prec¸o m´ınimo, R$4,00
Questa˜o 7 (1.0 pt) Determine a demanda ma´xima do produto e o prec¸o para o qual ela ocorre.
Soluc¸a˜o: Sabemos que a demanda deste produto e´ dada por D(P ) = −P 2+8P +20. Considerando
os coeficientes a = −1, b = 8 e c = 20, a demanda ma´xima e´ dada por
Dmax = −∆4a = −
b2 − 4ac
4a = −
64− 4(−1)(20)
4(−1) = −
144
−4 = 36.
Ou seja, a demanda ma´xima e´ de 36 milho˜es de unidades. Esta demanda ma´xima ocorre para
P = − b2a = −
8
2(−1) = 4,
isto e´, para o prec¸o de R$4,00.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Considere
√
10 ≈ 3.16.
Soluc¸a˜o: O prec¸o de equil´ıbrio P e´ tal que
D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 + 8P + 20 = 4P − 16⇔ −P 2 + 4P + 36 = 0⇔ P 2 − 4P − 36 = 0⇔
⇔ P = 4±
√
42 − 4(1)(−36)
2 · 1 =
4±√160
2 =
4±√16 · 10
2 =
4± 4√10
2 = 2± 2
√
10⇔
⇔ P ≈ 2− 2 · 3.16 = −4.32 ou P ≈ 2 + 2 · 3.16 = 8.32.
Como P na˜o pode ser negativo, o prec¸o de equil´ıbrio sera´ de R$8,32.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto,
destacando os pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto
de demanda ma´xima.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o demanda, de expressa˜o D(P ) = −P 2 + 8P + 20, e´ uma func¸a˜o quadra´tica cujo
gra´fico tem concavidade para baixo. Suas ra´ızes ja´ foram calculadas na questa˜o 6, e sa˜o −2 e 10.
Seu ma´ximo, calculado na questa˜o 7, e´ 36, obtido quando P = 4.
A func¸a˜o oferta, de expressa˜o Q(P ) = 4P − 16 tem como gra´fico uma reta. Sabemos, pela questa˜o
6, que Q(4) = 0. Para obtermos outro ponto do gra´fico desta func¸a˜o, vamos substituir o prec¸o de
equil´ıbrio:
Q(8.32) = 4 · 8.32− 16 = 17.28.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 8
Assim, podemos trac¸ar os gra´ficos das duas func¸o˜es, definidos para 4 6 P 6 10 (prec¸os m´ınimo e
ma´ximo), e que se encontram no ponto de equil´ıbrio (8.32, 17.28).
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