Aula 6 - Introdução à Resistência dos Materiais

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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA
DOS MATERIAIS
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Eimi Veridiane Suzuki
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CONVERSA INICIAL
Seja bem-vindo(a). Nesta aula, aprenderemos mais sobre cisalhamento, em assuntos como a
tensão em elementos retos, assim como a distribuição de tensão. Outro ponto presente nesta aula é
o fluxo de cisalhamento, tanto em elementos compostos por várias partes quanto em elementos de
paredes finas.
TEMA 1 – CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS
Na maior parte dos casos em que um elemento reto, como uma viga ou uma barra, tem que
suportar um carregamento, nós não teremos flexão pura e, sim, flexão e cisalhamento. Imagine uma
viga retangular, como a da Figura 1, (a), em que as tensões causadas por uma força cortante vão ser
constantes entre m e n, ou seja, no sentido do eixo z, e vão variar apenas em y. A Figura 1, (b) e (c),
mostra que essas tensões não se desenvolvem apenas na seção transversal. Elas se desenvolvem
também longitudinalmente, o que pode ser visto na Figura 2.
Figura 1 – Tensões de cisalhamento em uma viga
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Fonte: Gere; Goodno, 2017, p. 281.
Na Figura 2 temos uma viga formada por três tábuas, em que, quando aplicamos a carga P, elas
irão fletir e, se as tábuas estão soltas, elas deslizam, como na Figura 2, (a). Já se as tábuas estiverem
unidas, como na Figura 2, (b), elas desenvolverão tensões de cisalhamento na superfície colada,
impedindo o deslizamento e gerando uma única viga.
Figura 2 – Tábuas (a): sem acoplamento; e (b): com acoplamento, que mostram as funções da tensão
de cisalhamento
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Fonte: Hibbeler, 2015, p. 262.
TEMA 2 – FÓRMULA DO CISALHAMENTO
Anteriormente, aprendemos que, para calcular a tesão de cisalhamento com base em uma força
cortante, podemos usar a equação:
Mas essa equação é para calcular a tensão média na seção transversal. Se queremos calcular a
tensão em um ponto específico da seção transversal ou, ainda, a distribuição de tensões de
cisalhamento na seção transversal, temos que utilizar outra equação:
onde:
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τ é a tensão de cisalhamento no ponto a uma distância y da linha neutra;
V é a força de cisalhamento interna resultante;
Q é o momento estático de uma parte de seção transversal, em relação à linha neutra; se o
ponto estudado estiver acima da linha neutra, a área para a qual será calculado o momento
estático será a área da seção transversal acima do ponto; se o ponto estudado estiver abaixo da
linha neutra, a área para qual será calculado o momento estático será a área da seção
transversal abaixo do ponto;
I é o momento de inércia da área da seção transversal;
t é a largura da seção transversal, no ponto estudado.
2.1 CALCULANDO O MOMENTO ESTÁTICO
Imagine uma superfície com área A, que está inserida em um plano de coordenadas xy; o
momento estático desse elemento é o produto da sua área pela coordenada do seu centroide:
Figura 3 – Elemento de área A e centroide C
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Fonte: Beer et al., 2015, p. 798.
Para achar o momento estático para o cálculo da tensão de cisalhamento, vamos pegar como
exemplo a viga da Figura 4, (a), que tem seção transversal retangular e força de cisalhamento interna
resultante V. Nesse exemplo, queremos achar a tensão em um ponto a uma distância y acima da
linha neutra, na Figura 4, (b). Como o ponto está acima da linha neutra, vamos pegar a área acima do
ponto para calcular o momento estático – nesse caso, a área pintada mais escura. O momento
estático dessa área mais escura A’ será A’ multiplicada pela distância do centroide da área A’ até a
linha neutra .
Figura 4 – Viga com seção transversal retangular com força de cisalhamento interna resultante V, em
(a); cálculo da tensão de cisalhamento para uma altura, em relação à linha neutra, de y, em (b)
Fonte: Hibbeler, 2015, p. 265.
Quando o ponto para o qual iremos calcular a tensão de cisalhamento estiver abaixo do eixo
neutro, pegaremos a área abaixo do ponto.
2.2 EXEMPLOS
Exemplo 1 (baseado em Beer et al., 2015): para a viga e o carregamento mostrados, determine a
tensão de cisalhamento nos pontos a e b.
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Solução: com base na viga, vamos achar o valor da força de cisalhamento interna resultante para
a seção n-n, começado por achar o valor das reações de apoio.
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Vamos, então, fazer o gráfico da força cortante, dividindo a viga em duas seções: A-C e C-B. Para
o trecho A-C:
Para o trecho C-B:
Desenhamos agora o gráfico de força cortante:
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Portanto, na seção n-n, temos uma força cortante interna resultante de 46,957 kN. Por ser
simétrica, em y, sabemos que a linha neutra fica no meio da figura. Com isso, podemos calcular o seu
momento de inércia. Para isso, vamos dividir a figura em 5 partes, sendo que o pedaço 1 é igual ao 5
e o 2 é igual ao 4.
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Vamos calcular, daí, o momento estático. Para o ponto, pegamos a área acima do ponto.
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Como o ponto b está abaixo da linha neutra, pegamos a área abaixo dele.
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Agora, calculamos a tensão no ponto a. No ponto a, podemos ter duas larguras t: 0,03 m e 0,06
m.
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No ponto b, também podemos ter duas larguras t: 0,06 m e 0,09 m.
Exemplo 2 (baseado em Gere; Goodno, 2015): duas vigas de madeira, com seções transversais
quadradas (100 mm x 90 mm, em dimensões reais), são coladas juntas para formar uma viga sólida
de dimensões de 200 mm x 90 mm. A viga está simplesmente apoiada e tem um vão de 2,5 m. Qual é
o momento máximo Mmax que pode agir no apoio esquerdo, se a tensão de cisalhamento permitida
na junta colada for de 1,4 MPa? (Inclua o efeito do próprio peso da viga, assumindo que a viga pese
5.400 N/m³).
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Solução: inicialmente, vamos calcular o momento de inércia. Como a seção transversal é
simétrica em y, a linha neutra passa pelo meio da altura.
Para calcular o momento estático, temos que ver em qual ponto temos a tensão. Temos a tensão
de cisalhamento da junta colada, portanto o ponto para o cálculo será na junta, na linha neutra.
Vamos, então, pegar a área acima da linha neutra para o cálculo, ou seja, de base com 90 mm e
altura, 100 mm.
Utilizando a fórmula da tensão de cisalhamento, temos que:
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Agora, vamos analisar a viga. Se ela tem um peso próprio de 5.400 N/m³, então a força que ela
fará é de:
Achando as reações de apoio, temos que:
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Vamos agora fazer a equação para o gráfico da força cortante, dividindo a viga em duas seções:
A-C e C-B. Para o trecho A-C:
Portanto, o valor de M será:
TEMA 3 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES DE CISALHAMENTO NA
SEÇÃO TRANSVERSAL
Para o cálculo do momento estático para um ponto que está acima da linha neutra, temos que
pegar a área acima do ponto; mas, e se não houver área acima do ponto? Então o momento estático
será nulo e, consequentemente, a tensão será nula.
Em contrapartida, para uma seção transversal retangular, a maior área possível para o cálculo do
momento estático será quandoo ponto analisado estiver em cima da linha neutra, gerando uma
tensão máxima para aquela seção transversal. Podemos ver, na Figura 5, (a), a distribuição de tensão
de cisalhamento em uma seção retangular. A direção da tensão é, nesse caso, para baixo, e a sua
intensidade varia de forma parabólica, sendo nula na parte superior e inferior e máxima em cima da
linha neutra. Também se pode observar que as tensões variam em diferentes alturas da seção, mas
longitudinalmente elas permanecem constantes.
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Figura 5 – Distribuição da tensão de cisalhamento em uma seção transversal retangular
Fonte: Hibbeler, 2015, p. 265.
Como a tensão é máxima em cima da linha neutra, as tensões que podem ser vistas na Figura 5,
(b), causam as falhas que podem ser vistas na Figura 6.
Figura 6 – Falha causada por tensão de cisalhamento
Fonte: Hibbeler, 2015, p. 266.
Para vigas com seção transversal que não seja retangular, temos uma distribuição de tensão
semelhante, como pode ser visto na Figura 7, e se pode observar que, para os pontos de união entre
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aba e alma, temos duas tensões diferentes, uma para cada valor de t, t da aba e t da alma.
Figura 7 – Distribuição de tensão para uma viga I
Fonte: Hibbeler, 2015, p. 266.
3.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: (baseado em Hibbeler, 2015): se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V
= 60 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima na viga. Calcule também o salto da tensão de
cisalhamento na junção aba-alma AB. Trace um rascunho da variação da intensidade da tensão de
cisalhamento em toda a seção transversal.
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Solução: a primeira coisa a ser feita é achar onde está a linha neutra, partindo da parte mais
inferior da seção. Vamos dividir a seção em duas partes, a aba e a alma.
Com isso, podemos achar o momento de inércia.
Agora, vamos calcular o momento estático para a tensão máxima, ou seja, para um ponto em
cima da linha neutra. Como o ponto está na linha neutra, podemos pegar a área acima ou abaixo
dela. Nesse caso, vamos pegar a área abaixo do ponto.
E achar a tensão máxima.
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Vamos então calcular o salto da tensão de cisalhamento na junção aba-alma AB. Para isso,
precisamos calcular o momento estático para um ponto nessa junção. Como esse ponto está acima
da linha neutra, vamos pegar a área acima do ponto.
A tensão de cisalhamento na junção aba-alma AB é obtida por:
Segue um rascunho da variação da intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção
transversal:
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Exemplo 2 (baseado em Beer et al, 2015): para a viga e o carregamento mostrados, determine a
maior tensão de cisalhamento na seção n-n.
Solução: vamos fazer o diagrama de força cortante, começando com as reações de apoio.
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Depois, construímos o gráfico da força cortante, dividindo a viga em duas seções: A-C e C-B.
Para o trecho A-C:
Para o trecho C-B:
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Desenhamos a seguir o gráfico de força cortante:
Portanto, na seção n-n, temos uma força cortante interna resultante de 90 kN. Por ela não ser
simétrica em y, vamos calcular a posição da linha neutra. Para isso, vamos dividir a figura em 3 partes,
sendo que o pedaço 2 é igual ao 3.
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Com isso, podemos calcular o momento de inércia.
Vamos, então, calcular o momento estático. Para a maior tensão de cisalhamento, devemos
pegar um ponto da linha neutra. Vamos usar a área pintada para calcular o momento estático.
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Agora, calculamos a tensão máxima. Para t, usamos a largura onde está localizado o ponto, ou
seja, 20 mm + 20 mm.
TEMA 4 – FLUXO DE CISALHAMENTO
Algumas vigas, por questões arquitetônicas ou estruturais, são compostas por várias partes,
partes essas que são unidas por soldas, pregos, parafusos ou colas. A Figura 8 mostra alguns
exemplos dessas vigas compostas. Na Figura 8, (a), há uma viga-caixão colada, mas que também
poderia ser unida por pregos ou parafusos. Na Figura 8, (b), tem-se uma viga glulam, que são várias
tábuas coladas juntas a fim de formarem um elemento com seção transversal maior. Já a Figura 8, (c),
mostra uma viga em I, formada por três chapas metálicas soldadas.
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Figura 8 – Exemplos de vigas compostas por vários elementos
Fonte: Gere; Goodno, 2017, p. 297.
Para descobrir qual é a força de cisalhamento que esses elementos de união devem suportar,
usa-se o fluxo de cisalhamento, que é a força cortante horizontal por unidade de distância, dada pela
equação abaixo.
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Para o cálculo do fluxo de cisalhamento, usamos uma área diferente, para calcular o momento
estático, da que era usada no cálculo da tensão de cisalhamento. Segundo Gere e Goodno (2017, p.
300), “o fluxo de cisalhamento calculado a partir da fórmula q=VQ/I é o fluxo de cisalhamento total
ao longo de todas as superfícies de contato que contornam a área em que Q é computado.”
A Figura 9 mostra alguns exemplos: as áreas mais escuras são as utilizadas para o cálculo do
momento estático e, na Figura 9, (a) e (b), temos apenas um elemento de fixação (linha mais escura)
unindo os dois elementos. Já na Figura 9, (c), temos dois elementos de fixação, o que faz com que q
tenha que ser dividido em duas partes. Portanto, há q/2 para cada elemento de fixação suportar. De
forma semelhante, na Figura 9, (d), temos 3 elementos de fixação, e cada um deve suportar q/3.
Figura 9 – Áreas usadas para calcular o momento estático para fluxo de cisalhamento
Fonte: Hibbeler, 2015, p. 278.
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4.1 EXEMPLOS
Exemplo 1 (baseado em Beer et al., 2015): a viga a seguir está submetida a uma força cortante
vertical de 5,34 kN. Sabendo que a força cortante admissível nos pregos é 333,6 N, determine o
maior espaçamento possível s, dos pregos.
Solução: como a figura é simétrica, em y, a linha neutra está no meio da figura, então vamos
calcular o momento de inércia. Para isso, vamos dividir a figura em cinco partes, como na divisão
original da viga.
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Vamos calcular o momento estático para uma das abas.
Agora, calculamos o fluxo de cisalhamento:
Como a força cortante admissível nos pregos é de 333,6 N e o fluxo de cisalhamento é a força
cortante horizontal por unidade de distância, então s será:
Exemplo 2 (baseado em Hibbeler, 2015): a escora é construída com três peças de plástico
coladas. Se a carga distribuída for w = 3 kN/m, determine o fluxo de cisalhamento ao qual cada junta
colada deve resistir.
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Solução: vamos fazer o gráfico de força cortante, começando por achar a reação de apoio.
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Depois, construímos o gráfico da força cortante dividindo a viga em três partes: de seu início até
a primeira reação de apoio, entre as duas reações de apoio e entre a última reação de apoio e o fim
da viga.
Do início até a primeira reação de apoio:
Entre as duas reações de apoio:
Entre a última reação de apoio e o fim da viga:
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Desenhamos por
fim o gráfico de força cortante:
A maior força cortante é de 3 kN.
Vamos encontrar, agora, então,a posição da linha neutra. Para isso, dividimos a seção transversal
em três partes.
Com isso, podemos achar o momento de inércia.
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O momento estático será da parte mais clara da seção transversal.
Usando a fórmula do fluxo de cisalhamento, temos que:
Mas, como na área para a qual foi calculado o momento estático tínhamos duas juntas,
dividimos o fluxo de cisalhamento por dois.
TEMA 5 – TENSÃO DE CISALHAMENTO E FLUXO DE
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS DE PAREDES FINAS
Um elemento é considerado um elemento de parede fina quando a espessura da sua seção
transversal é muito menor que sua largura e sua altura. Considere, então, a viga de paredes finas
mostrada na Figura 10, (a). Se for pego um pedaço desse elemento, como o mostrado na Figura 10,
(b); e sendo ΔH a força cortante longitudinal, pode-se usar a fórmula:
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Figura 10 – Viga de parede fina I, com força cortante: (a); pedaço da viga com força cortante
longitudinal: (b)
Fonte: Beer et al., 2015, p. 416-417.
Como a espessura t da parede é fina, ou seja, muito pequena, consideramos que a tensão de
cisalhamento ao longo de t é constante, pois a sua variação é muito pequena. Consideramos, então,
que na mesa a τxy é praticamente nula, assim como a τxz na alma da viga.
Já o fluxo de cisalhamento é dado pela mesma formula já vista.
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A direção de q ilustra-se na Figura 11, (c), e na Figura 12, (c), nas quais pode ser visto que o fluxo
de cisalhamento flui ao longo da seção transversal e, em ambos os casos, o fluxo de cisalhamento é
nulo em A e máximo em C, na linha neutra. Após a linha neutra, ele diminui, voltando a ser zero, em
E. Usando-se a fórmula do fluxo de cisalhamento para uma seção transversal, tanto a força de
cisalhamento V quanto o momento de inércia I serão os mesmos para qualquer ponto da seção
transversal, ou seja, a variação do fluxo de cisalhamento vai depender do momento estático Q.
Figura 11 – Viga-caixão mostrando a tensão de cisalhamento: (a), na mesa; (b), na alma; e (c), com
fluxo de cisalhamento
Fonte: Beer et al., 2015, p. 417.
Figura 12 – Viga I mostrando a tensão de cisalhamento: (a), na mesa; (b), na alma; e (c), com fluxo de
cisalhamento
Fonte: Beer et al., 2015, p. 417-418.
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Outro detalhe importante é que o fluxo de cisalhamento varia linearmente em partes
perpendiculares, a força cortante V; e varia parabolicamente em partes inclinadas ou paralelas, a força
cortante V, como pode ver visto na Figura 13.
Figura 13 – Variação do fluxo de cisalhamento em (a): uma seção transversal de uma viga I; e (b): uma
seção transversal de uma viga-caixão
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2015, p. 287-289.
5.1 EXEMPLO
Exemplo único (baseado em Hibbeler, 2015): uma escora de alumínio tem 10 mm de espessura
e a seção transversal a seguir. Se for submetida a um cisalhamento com V = 150 N, determine o fluxo
de cisalhamento máximo na escora.
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Solução: como a seção transversal não é simétrica, em y, vamos encontrar o centroide. Para isso,
dividimos a seção transversal em cinco partes.
Com isso, podemos achar o momento de inércia.
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Se queremos saber o fluxo de cisalhamento máximo, precisamos conhecer o momento estático
máximo, que é um ponto da linha neutra. Vamos calcular, então, o momento estático da área mais
escura, conforme segue.
Calculando o fluxo de cisalhamento máximo, temos que:
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Como o fluxo está dividido em duas superfícies, há que:
FINALIZANDO
Nesta aula, aprendemos como se dá o cisalhamento transversal, vendo como o cisalhamento
funciona em elementos retos, qual a fórmula da tensão para o cisalhamento, qual a distribuição de
tensão gerada por uma força cortante para diferentes seções transversais e o fluxo de cisalhamento
para elementos compostos por várias partes e para elementos de paredes finas. Foram demonstrados
exemplos dos assuntos apresentados, mas, para melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais.8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.