linhas de transmissão modulo 4

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Modulo 3 
 
Linhas de Transmissão em Regime Permanente Senoidal 
 
Considerando-se os ítens anteriores da Linha de transmissão no domínio do tempo, 
vamos admitir que a tensão e a corrente são grandezas variáveis senoidalmente no 
tempo. 
Desta forma podemos reescrever as equações básicas no domínio da freqüência 
aplicando a notação fasorial, lembrando que: 
 A cada derivada em relação ao tempo 
dt
d
, substituímos pelo operador j 
 Substituímos todas as grandezas pelas suas respectivas representações fasoriais 
 
Considerando a figura a seguir podemos escrever suas equações baseadas na equação de 
D’Alembert como : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 jkx
o
jkx
oo
eVeVxV 
 
 00)( 
Onde  00
oo
VeV são constantes complexas do tipo : 
 j
o
eVV 

 00 
 j
o
eVV

 00 
Chamando : jkx
o
eVV   0 e 
jkx
o
eVV

 0 
)(
00 .
 
  
kxjjjkx
o
eVeeVV 
)(
00 .
 
  
kxjjjkx
o
eVeeVV 
Podemos reescrever na forma polar as expressões de 
oo
VeV : 
 e 
 

 KxVV
o
0  KxVV
o
0
Assim podemos dizer que :  
ooo
VVxV )( 
 
Para determinação de 
o
xI )( 
0
00
)(
Z
eVeV
xI
jkx
o
jkx
o
o 

 
  
Onde  00
oo
IeI são constantes complexas do tipo : 
 
 
0
0
0
0
)(
Z
eV
Z
eV
xI
jkx
o
jkx
o
o 


  
 
 
Podemos reescrever : 
 
Assim podemos dizer que :  
ooo
IIxI )( em qualquer ponto da Linha 
 
Análise Física da Linha. 
 
A análise física das diversas componentes, são em todo semelhante a já efetuada nos 
itens anteriores, tendo pequenas particularidades devido a representação complexa. 
Linha. 
Vamos a análise física da componente 
o
V . Na forma complexa ( fasorialmente) temos: 
)(
0

 
kxj
o
eVV que representada na forma polar será : 
 
A expressão acima é a representação complexa de uma tensão variável senoidalmente 
no tempo, de valor eficaz 
0V e com fase 
 
A representação desta grandeza no domínio do tempo é dada por : 
 
  

KxtVtxV cos2),( 0 onde  02 VVMáx 
 
A representação gráfica de ),( txV em função de x, exige a fixação do instante de 
tempo. 
A curva (1) da figura a seguir representa esta grandeza no instante 1tt  . 
O ponto A desta curva nos fornece o valor desta tensão no instante 1t e na posição 1x . 
 
 
 

 KxVV
o
0
e
Z
V
I
o
o
0
0
0
0
Z
V
I
o
o

)(  Kx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura ( Extraida do livro Eletromagnetismo- Prof. Jose Roberto Cardoso Alves) 
 
 
Seja 12 tt  ; vamos determinar a posição 2x de modo que tenhamos : 
 
)()( 2,21,1 xtVxtV   ou ainda : 
 
    
 220110
cos2cos2 KxtVKxtV 
 
Para que isto ocorra devemos ter : 
 
  2211 KxtKxt 
 
Ou ainda 
)( 1212 tt
k
xx 

 e lembrando que 
v
k

 ; 
 
Teremos : )( 1212 ttvxx  
 
Nota-se portanto que o ponto A da curva (1) se desloca na direção de x crescente com 
velocidade v. 
O mesmo raciocínio é aplicado a qualquer ponto da curva (1); desta forma a curva (2) 
representa a função )( ,2 xtV , e é obtida a partir de )( ,1 xtV deslocando-se paralela a si 
mesma exatamente a distancia )( 12 ttv  . 
 
Concluindo , verifica-se que a função ),( xtV representa a onda de tensão de valor 
máximo 
0
2 V que se propaga no sentido de x crescente com velocidade 
LC
v
1
 
m/s. 
 
Definimos comprimento de onda )( como sendo a distância entre dois pontos 
consecutivos onde a função assume o mesmo valor , em um dado instante. 
 
Para que ),( xtV assume o mesmo valor num dado instante, devemos ter 
necessáriamente : 
 
     2211 coscos KxtKxt 
 
Que nos fornece :  22211  KxtKxt 
 
Observação : a soma 2 corresponde a um ciclo completo 
 
Desta forma temos : 2)( 12  xxk 
 
Como  12 xx temos que  2)( k e portanto; 
k


2
 
 
Lembramos ainda que : 
 
v
k

 e f 2 ; resultando em 
f
v
evT   
 
De forma análoga verifica-se o mesmo procedimento para ),( txV , que representa uma 
onda de tensão de valor máximo 02 V que se propaga no sentido de x decrescente 
com a mesma velocidade 
LC
v
1
 = m/s.