ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA FUNDAMENTO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA FUNDAMENTOS DA 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 
 
Nome Completo: Leonam Freire da Silva Dias 
Matrícula: 
Curso: Engenharia Elétrica 
PROPOSTA DA ATIVIDADE 
Considere uma viga biapoiada de concreto armado na seção retangular que está sujeita 
apenas a ação do próprio peso com as seguintes características: comprimento total 10M, altura 
da seção de 50cm, base da seção de 25cm, modulo de elasticidade de 30000 Mpa e peso 
especifico de 25 kN/m³. 
 
Considere ainda que a carga de peso próprio é distribuída uniformemente ao longo da 
viga pela formula: 
𝑞 = 𝑏 ∗ ℎ ∗ (𝑘𝑁/𝑀) 
E a flecha do meio do vão (Deslocamento vertical) pode ser obtida pela formula: 
𝑤 = (5/384) ∗ [(𝑞 ∗ 𝐿²)/𝐸𝐼)] 
Em que q é a carga distribuída, L é o comprimento total da barra, E é o modulo da 
elasticidade e I é o momento de inercia da seção. 
1) Determinar as reações de apoio da viga, os valores de momento fletor e os valores 
dos deslocamentos verticais para cada seção. 
2) Supondo que haja uma necessidade de reduzir a flecha no meio do vão pela metade, 
e que, por tanto, a única alternativa seja aumentar a altura da seção da viga, faça incrementos 
de 5cm e determine a altura a partir da qual o deslocamento vertical no centro da viga atenda 
esta necessidade. 
Dica: Para cada incremento, determine uma nova carga distribuída (q), determine um 
novo momento fletor no meio da viga (𝑀 = 𝑞 ∗ 𝐿²/8) e, por fim, determine o novo 
deslocamento vertical. 
 
 
RESOLUÇÃO 
A princípio precisamos de um valor para a carga distribuída (𝑞), para tal, aplicaremos 
os valores dados (convertidos em metros) na formula de carga distribuída: 
𝑞 = 0,25 ∗ 0,5 ∗ 25 = 3,125 𝑘𝑁/𝑚³ 
∑𝑀 = 3,125 𝑘𝑁 ∗ 𝐿 → 3,125 𝑘𝑁 ∗ 10 = 31250𝑘𝑁 
Logo, temos que o valor para a carga distribuída com base dos dados fornecidos para a 
viga é de 31250 𝑘𝑁/𝑚³. 
1) 
Calcularemos primeiro as reações de apoio: 
Equilibraremos as forças, igualando a zero, para encontrar as reações de apoio 
da viga, chamarei aqui os apoios de A e B, e de R a reação nos mesmos, considerando 
a viga na posição horizontal, onde a força será nula, logo que a viga está submetida 
a apenas a força de seu próprio peso, existirão somente assim forças não nulas no 
sentido vertical, que chamarei de 𝐹 . Calcularemos a força exercida verticalmente 
para encontrar o valor de equilíbrio, dessa forma: 
 
∑𝐹 = 0 → 𝑞 − 𝑅𝐴 − 𝑅𝐵 = 0 
∑𝐹 = 31250𝑘𝑁 − 𝑅𝐴 − 𝑅𝐵 = 0 → 31250𝑘𝑁 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 
∴ 𝑅𝐴 = −15,625 𝑘𝑁 𝑒 𝑅𝐵 = −15.625 𝑘𝑁 
 
Calcularemos agora o momento fletor: 
Para o momento fletor é necessário calcularmos o balanço em cada seção da 
viga, que conforme a imagem do enunciado da questão, se divide de 𝑆 ate 𝑆 , 
estando cada seção distanciadas a 2,5m entre elas e assim, teremos a seguinte 
equação do momento fletor: 
 
𝑀 =
𝑞𝐿
2
𝑥 −
𝑞𝑥
2
 →
3,12 ∗ 10
2
𝑆 −
3,12 ∗ 𝑆
2
 ⇒ 15,6 ∗ 𝑆 − 1,56 ∗ 𝑆 ² 
Em que 𝑀(𝑆 ) é o valor do momento fletor na seção. Agora para encontrar o 
momento de cada seção: 
 
𝑀𝑆 = −15,6𝑘𝑁 ∗ 0 + 1,56𝑘𝑁 ∗ 0 = 0 𝑘𝑁 
𝑀𝑆 = −15,6𝑘𝑁 ∗ 2,5 + 1,56𝑘𝑁 ∗ 2,5 = 29,2 𝑘𝑁 
𝑀𝑆 = −15,6𝑘𝑁 ∗ 5 + 1,56𝑘𝑁 ∗ 5 = 39,0 𝑘𝑁 
𝑀𝑆 = −15,6𝑘𝑁 ∗ 7,5 + 1,56𝑘𝑁 ∗ 7,5 = 29,2 𝑘𝑁 
𝑀𝑆 = −15,6𝑘𝑁 ∗ 10 + 1,56𝑘𝑁 ∗ 10 = 0 𝑘𝑁 
 
Valores dos deslocamentos verticais para cada seção: 
 
 Para obter o valor para os deslocamentos verticais foi dado no enunciado da 
questão o modulo de elasticidade 𝐸 = 30000 𝑀𝑝𝑎 (3000000 𝑘𝑁/𝑚²), e a 
formula pela qual pode se obter o deslocamento vertical, agora precisamos do 
momento de inercia de cada seção, que é dado pela seguinte equação (usaremos as 
medidas de base e altura em centímetros): 
 
𝐼 =
𝑏ℎ
12
 → 𝐼 =
0,25 ∗ 0,5³
12
= 0,00260 𝑐𝑚 → 2,6 ∗ 10 
 
 Com isso temos: 
 𝐼 = 2,6 ∗ 10 , 𝐸 = 30000000𝑁, 𝑞 = 3125𝑁 e 𝐿 = 10𝑚 
 O deslocamento de cada seção é dado pela formula: 
𝑤 = 
−𝑞𝑆
24𝐸𝐼
(𝐿 − 2 ∗ 𝐿𝑆 + 𝑆 ) 
 Onde w é o deslocamento. Aplicando então a formula acima às seções, temos: 
𝑤𝑆 = 
−3,125 ∗ 0
24 ∗ 30000000 ∗ 0,0026
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 0 ) + 0 ) = 0 
𝑤𝑆 = 
−3,125 ∗ 2,5
24 ∗ 30000000 ∗ 0,0026
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 2,5 ) + 2,5 ) = −0,00371𝑚 
𝑤𝑆 = 
−3,125 ∗ 5
24 ∗ 30000000 ∗ 0,0026
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 5 ) + 5 ) = −0,00521𝑚 
𝑤𝑆 = 
−3,125 ∗ 7,5
24 ∗ 30000000 ∗ 0,0026
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 7,5 ) + 7,5 ) = 0,00371𝑚 
𝑤𝑆 = 
−3,125 ∗ 10
24 ∗ 30000000 ∗ 0,0026
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 10 ) + 10 ) = 0 
 
2) Fazer incrementos de 5cm na altura para encontrar em que ponto o valor do 
deslocamento vertical encontrado para flecha do meio (𝒘𝑺𝟐 = -0,00521) reduza 
pela metade. 
Conforme pedido no enunciado, calcularemos uma nova carga para cada 
incremento de 5cm na altura, determinando uma nova carga distribuída, um novo 
momento fletor e então determinar o deslocamento vertical, da seguinte forma: 
 
1º Incremento 5cm 
 
𝑞 = 0,25 ∗ 0,55 ∗ 25 = 3,43𝑘𝑁 
 
𝑀𝑆 = −17.5𝑘𝑁 ∗ 5 + 1,71𝑘𝑁 ∗ 5² = 42,75 𝑘𝑁 
 
𝐼 =
0,25 ∗ 0,55³
12
= 0,00346 𝑐𝑚 
 
𝑤𝑆 = 
−3,43 ∗ 5
24 ∗ 30000000 ∗ 0,00346
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 5 ) + 5 ) = −0,00430𝑚 
 
 
2º Incremento 5cm 
 
𝑞 = 0,25 ∗ 0,60 ∗ 25 = 3,75𝑘𝑁 
 
𝑀𝑆 = 18.75𝑘𝑁 ∗ 5 + 1,875𝑘𝑁 ∗ 5² = 50,775 𝑘𝑁 
 
𝐼 =
0,25 ∗ 0,60³
12
= 0,0045 𝑐𝑚 
 
𝑤𝑆 = 
−3,75 ∗ 5
24 ∗ 30000000 ∗ 0,0045
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 5 ) + 5 ) = −0,00361𝑚 
 
 
3º Incremento 5cm 
 
𝑞 = 0,25 ∗ 0,65 ∗ 25 = 4,0625𝑘𝑁 
 
𝑀𝑆 = 20.31𝑘𝑁 ∗ 5 + 2,031𝑘𝑁 ∗ 5² = 46,87 𝑘𝑁 
 
𝐼 =
0,25 ∗ 0,65³
12
= 0,00572 𝑐𝑚 
 
𝑤𝑆 = 
−4,0625 ∗ 5
24 ∗ 30000000 ∗ 0,00572
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 5 ) + 5 ) = −0,00308𝑚 
 
 
 
4º Incremento 5cm 
 
𝑞 = 0,25 ∗ 0,70 ∗ 25 = 4,375𝑘𝑁 
 
𝑀𝑆 = 21.875𝑘𝑁 ∗ 5 + 2,1875𝑘𝑁 ∗ 5² = 54,6875 𝑘𝑁 
 
𝐼 =
0,25 ∗ 0,70³
12
= 0,00714 𝑐𝑚 
 
𝑤𝑆 = 
−4,375 ∗ 5
24 ∗ 30000000 ∗ 0,00714
∗ (10 − (2 ∗ 10 ∗ 5 ) + 5 ) = −0,00265𝑚 
 
 
 Nota-se então que no 4º incremento de 5cm, onde a seção da viga teria uma altura de 
70cm, o valor da flecha 𝑤𝑆 = −0,00265𝑚, que é a metade do valor de 𝑤𝑆 = -0,00521, sendo 
assim o valor desejado que necessidade de reduzir a flecha no meio do vão pela metade. 
 
 
Referências: 
https://www.guiadaengenharia.com/flecha-viga-linha-elastica/ 
https://www.slideshare.net/ShivendraNandan/deflection-96744731 
https://ocw.nthu.edu.tw/ocw/upload/8/258/Chapter_9-98.pdf