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TEMA 05: PROBABILIDADE – Introdução & Propriedades Introdução Há muita História por trás do desenvolvimento da Estatística, em específico do ramo do cálculo de Probabilidades. Já no séc. XII, os cálculos realizados por Aben Ezra com a finalidade de fazer previsões astronômicas (motivados por estudos hebreus/judeus da bíblia), podem ser considerados os primeiros rascunhos rumo à Teoria das Probabilidades. O livro “Jogos de Azar, de Girolamo Cardano, publicado por volta de 1550, é o primeiro manual organizado que traz algumas noções sobre probabilidade. No séc. XVII os matemáticos Blaise Pascal e Pierre de Fermat estabeleceram conceitos como expectativa, chance e média. Em 1657, Christian Huygens publicou seu livro “O Raciocínio nos jogos de dados”, onde apresenta importantes contribuições ao estudo das probabilidades. Finalmente em 1812, o matemático Pierre Simon Laplace, em seu livro “Teoria Analítica da Probabilidade”, deu forma a uma estrutura de raciocínio e a um conjunto de definições que estabeleceu a Probabilidade e a Estatística como importantes ramos da Matemática. Dica de leitura (livro): “O andar do bêbado: como o acaso determina nossas vidas”, de Leonard Mlodinow. DEFINIÇÕES E CONCEITOS 1. Experimentos Aleatórios São aqueles que, repetidos em condições idênticas, não produzem sempre o mesmo resultado. 2. Espaço Amostral (U) É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, normalmente indicado pela letra U. 2.1 Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral Exemplo 1: lançamos três moedas e observamos as faces que ficam voltadas para cima. Representar (a) o espaço amostral do experimento e (b) o evento A: sair exatamente uma cara. Solução: (a) U = {(Ca,Ca,Ca); (Ca,Ca,Co); (Ca,Co,Ca); (Co,Ca,Ca); (Ca,Co,Co); (Co,Co,Ca); (Co,Ca,Co); (Co,Co,Co)} Este resultado pode ser obtido com o auxílio da árvore de decisões. (b) A = {(Ca,Co,Co); (Co,Co,Ca); (Co,Ca,Co)} 3. Tipos de Eventos Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral será: U = {1,2,3,4,5,6} Veja os diversos tipos de eventos que podemos definir para este experimento: 3.1 Evento Elementar: qualquer subconjunto unitário de U. Exemplo: A= {5}, B = {3}, C = {2}. 3.2 Evento Certo: é o próprio espaço amostral, U. Exemplo: ocorrência de um divisor de 60 à à D = {1,2,3,4,5,6}. 3.3 Evento Impossível: é o conjunto vazio, { } ou f. Exemplo: ocorrência de um múltiplo de 8 à E = { } 3.4 Evento União: é a reunião de dois eventos. Exemplo: Evento A, ocorrência de um número primo, A = {2,3,5}; evento B, ocorrência de um número ímpar, B = {1,3,5}. Evento J ∪ L = {1,2,3,5}. 3.5 Evento Intersecção: é o conjunto formado apenas pelo elementos em comum a dois, ou mais, conjuntos. Exemplo: Evento A, ocorrência de um número primo, A = {2,3,5}; evento B, ocorrência de um número ímpar, B = {1,3,5}. Evento J ∩ L: ocorrência de um número primo e ímpar. J ∩ L = {3, 5}. 3.6 Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral são chamados mutuamente exclusivos quando 9! ∩ 9" = { }. Exemplo: evento A, ocorrência de um número par, A = {2,4,6} e evento B, ocorrência de um número ímpar, B= {1,3,5}. A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois J ∩ L = { }. 3.7 Evento Complementar: é o evento 9+ = N − 9. Exemplo: evento A, ocorrência de um número primo {2,3,5}, e evento J̅, ocorrência de um número não primo, J̅ = N − J = {1,4,6}. Ou seja J ∪ J̅ = N. 4. Probabilidade Estatística: quando o cálculo da probabilidade de um evento ocorrer é feito experimentalmente, essa probabilidade é chamada experimental ou estatística. Por exemplo, a probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida através do levantamento e do tratamento adequado de um grande número de casos. 5. Probabilidade Teórica: quando o cálculo da probabilidade de um evento aleatório é feito sem a necessidade de ‘estudos de caso’, apenas com as informações teóricas pertinentes ao evento. É esse tipo de cálculo no qual nos iremos concentrar. Esta probabilidade é dada por: P(J) = SúU>V@ E> WXY@Y 8XZ@VáZ>\Y X J SúU>V@ E> WXY@Y ]@YYíZ>\Y = S(J) S(N) Exemplo 2: retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a probabilidade de que a carta retirada seja um rei? Solução: G(!) = /ú!"9# ;" .-<#< =->#9á>"@< - A /ú!"9# ;" .-<#< B#<<í>"@< G(!) = D E4 = 5 5F = 0,0769 = 7,69% Exemplo 3: em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, qual é a probabilidade de que os dois números obtidos sejam iguais. Solução: podemos montar a árvore de decisões e obter os conjuntos: U = {(1,1); (1,2); (1,3),...,(6,4); (6,5); (6,6)}, ou seja, n(U) = 36. Já o conjunto de eventos favoráveis é E = {(1,1); (2,2); (3,3), (4,4); (5,5); (6,6)}, em que temos n(E) = 6, logo: G(!) = /(H) /(J) = 6 F6 = 5 6 = 0,1667 = 16,67% Exercício 1: considerando as seis permutações possíveis dos números 1, 2 e 3, uma é escolhida ao acaso. Considerando o número de três algarismos assim escolhido, determine a probabilidade de ele ser (a) par; (b) múltiplo de três e (c) múltiplo de 5. (1/3; 1; 0) 6. Propriedades das Probabilidades 6.1 A probabilidade do evento impossível é 0. P(f) = 0; 6.2 A probabilidade do evento certo é 1, ou 100% à P(E) = n(E)/n(U) = n(U)/n(U) = 1 = 100%; 6.3 Sendo A um evento de espaço amostral U, a probabilidade de A é um número racional entre 0 e 1, ou seja, 0 ≤ P(J) ≤ 1; 6.4 Sendo J um evento e J̅ seu complementar, então P(J) + P(J̅ ) = 1. Demonstração: sabemos que S(N) = S(J) + S(J̅ ) , dividindo toda a equação por S(N) temos /(J) /(J) = /(A) /(J) + /(A̅ ) /(J) que pode ser escrita como 1 = P(J) + P(J̅ ), C.Q.D. Exercício 2: os 900 números de três algarismos estão colocados em 900 envelopes iguais. Um dos envelopes é sorteado. Qual a probabilidade de ele conter um número que tenha, pelo menos, dois algarismos iguais? Dica: use a propriedade de eventos complementares, calculando a probabilidade da quantidade de números sem repetição de algarismos. 28% Exercício 3: três moedas são lançadas simultaneamente. (a) Descreva o espaço amostral e (b) calcule a probabilidade de se obter três coroas. Exercício 4: dois dados são lançados simultaneamente e observadas as faces voltadas para cima. Determine (a) o espaço amostral do experimento e (b) o evento A: a soma é maior que 8 Exercício 5: lançando-se um dado honesto, qual a probabilidade de se obter um número menor que 4? 50% Exercício 6: uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de que esta carta seja (a) uma dama e (b) uma dama ou um rei. 1/13 e 2/13 Exercício 7: uma moeda não viciada é lançada três vezes seguidas. Qual a probabilidade de se obter (a) 3 coroas, (b) obter exatamente 2 caras e (c) obter pelo menos 2 caras? 1/8, 3/8, 1/2 Exercício 8: numa urna existem 1000 bolas numeradas de 1 a 1000. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de (a) se observar um número múltiplo de 7 e (b) o número obtido não ser múltiplo de 7? 14,2% e 85,8%
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