Conjuntos e Intervalos Numéricos

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Profa. Dra. Deiby Gouveia
UNIDADE I
Matemática
Conjunto:
 Coleção ou agrupamento de elementos.
Elemento: 
 Cada item que compõe um conjunto.
Pertinência: 
 Quando o elemento faz parte do conjunto;
 Notação matemática:  e .
Notação: geralmente:
 Conjunto – indicado por letra maiúscula;
 Elementos – indicado por letra minúscula;
 Ex.: conjunto das vogais.
 A = {a, e, i, o, u}.
Números reais – Conjuntos
Piauí
Maranhão Ceará
Bahia
Paraíba
Pernam-
buco
Alagoas
Sergipe
Rio Grande 
do Norte
Fonte: Adaptado de: 
https://brasilescola.uol.com.br/brasil
/a-regiao-nordeste.htm
Exemplo: mapa da Região Nordeste:
Conjunto:
Elemento:
Pertinência:
Estados da Região Nordeste;
MA, PI, CE, RN, PB, PE, SE, AL, BA;
SE  aos estados da Região Nordeste;
SP  aos estados da Região Nordeste.
Números reais – Conjuntos
 Representação dos conjuntos:  Diagrama de Venn-Euler;
 Enumeração.
Exemplo:
 A = {conjunto dos números de um dado}.
Números reais – Conjuntos
A
1 3
2
4
5 
6
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Diagrama de Venn-
Euler
Enumeração
 Tipos de conjuntos  Finitos; 
Ex.: conjunto dos meses do ano: A = {jan, fev, mar, ... dez}.
 Infinitos
Ex.: conjunto dos números ímpares: B = {...-3, -1 -1, 3, 5, 7, 9...}.
 Classificação  Vazio:  ou { };
Ex.: conjunto dos meses do ano que comece com a letra G: M = {}. 
 Unitário;
Ex.: conjunto dos meses do ano que comece com a letra F: 
P = {fevereiro}. 
 Universo;
Ex.: conjunto dos meses do ano A = {jan, fev, mar, ... dez}.
Tipos de conjuntos e classificação
Operações dos conjuntos:
A) União  “ou”;
B) Intersecção  “e”;
C) Diferença.
Números reais – Conjuntos
Ex.: A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} 
A B
A∪B
A∩B
A B
BA
(A-B)
A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10} 
A  B = {2, 4} 
A - B = {1,3} 
D) Igualdade: 
Exemplo: A = {a, e, i, o, u} e B = {u, o, i, e, a}
D = {x | x + 5 = 12} e F = {7}
E) Complementar:
Exemplo: A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {2, 4} 
B  A  BC = A – B = {6, 8, 10}
Notação: B  A  BC = A – B = {x | x  A e x  B}
Números reais – Conjuntos
Exemplo: em um grupo de 20 pessoas, sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 são 
sócias de um clube B, e 6 são sócias de A e B: 
a) Quantas são sócias de A?
b) Quantas são sócias de B?
c) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A nem de B?
Números reais – Conjuntos
Diagrama de Venn-
Euler
Resposta: 4 pessoas.
Resposta: 7 pessoas.
Resposta: 4 + 6 + 7 = 17
20 - 17 = 3 pessoas
A B
4 6 7
U = 20 pessoas
Se A e B são dois conjuntos não vazios, tais que: A – B = {1, 3, 6, 7}, B – A = {4, 8} e
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; então, A  B é o conjunto: 
a) .
b) {1, 4}.
c) {2, 5}.
d) {6, 7, 8}.
e) {1, 3, 4, 6, 7, 8}.
Interatividade
c) {2, 5}.
Resolução: 
Montar o Diagrama de Venn-Euler:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; A – B = {1, 3, 6, 7} e B – A = {4, 8}; então, A  B.
Resposta
1
3
6 
7
Diagrama de Venn-
Euler
A B
4
8
2
5
A  B = {2, 5} 
A) Números naturais  N
 OBS.: N* = N - {0}
N* = {1, 2, 3, 4, ...}
 OBS.: N é um subconjunto de Z.
 Todos os elementos N pertencem ao conjunto de Z.
  N  Z.
Números reais – Tipos de conjuntos
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
B) Números inteiros  Z
 OBS.: Z* = Z - {0}
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4}
Z- = {-3, -2, -1, 0}
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
C) Números racionais  Q.
Ex.: Decimal inteiro: 6/2 = 3
Decimal exato: 5/2 = 2,5 -1/2 = -0,5
Decimal infinito periódico: 1/3 = 0,333... = 0,33
1/22 = 0,04545... = 0,045
D) Números irracionais  I
 Representação decimal: infinita e não periódica.
 Ex.:  3 = 1,73205... π = 3,14159.
Números reais – Tipos de conjuntos
Q = a/b, a  Z, b  Z* e b  0
Números reais – R:
 Representação geométrica de R.
Números reais – Tipos de conjuntos
R = Q  I R = N  Z  Q  I Diagrama de Venn-Euler:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
R
3
4
_
0,5 √2 π
Exemplo: analise os dois retângulos a seguir, calcule a diagonal de cada um deles e, depois, 
classifique os números encontrados em racionais ou irracionais: 
Números reais – Tipos de conjuntos
Cálculo da diagonal:
D2 = a2 + b2
4
5
(I)
4
3
(II)
Irracional Racional
...
 Intervalos: são subconjuntos do conjunto dos números reais. 
 Tipos de intervalos: Aberto: ] [ ou 
Fechado: [ ] ou
Representação: podem ser expressos:
 Diretamente na reta dos reais (ℝ) 
 Pelos delimitadores [ ].
Números reais – Intervalos 
R
Exemplo: representar os intervalos:
a) [3,5[ = {x ∈ R | 3  x < 5}
b) ]–∞,5] = {x ∈ R | x < 5}
c) ]3,5] = {x ∈ R | 3 < x  5}
d) ]3, ∞[={x ∈ R | x > 3}
Números reais – Intervalos 
R
R
R
R
R
3 5
5
3
3 5
Exemplo: sejam A e B os seguintes intervalos numéricos, determinar A  B, A  B, A – B, B – A:
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ]0, 5[
A  B
A  B = {x ∈ R | -1 < x < 5} = ] -1, 5 [
Números reais – Intervalos – Operações 
R
R
R
-1 1
0 5
-1 5
 Resolução: A  B.
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ]0, 5[
A  B
A  B = {x ∈ R | 0 < x < 1} = ] 0, 1 [
Números reais – Intervalos – Operações 
R
R
R
-1 1
0 5
0 1
 Resolução: A – B.
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ]0, 5[
A – B
A - B = {x ∈ R | -1 < x  0} = ]-1, 0]
Números reais – Intervalos – Operações 
R
R
R
-1 1
0 5
-1 0
 Resolução: B – A.
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ]0, 5[
B – A
B – A = {x ∈ R | 1  x < 5 } = [1, 5[
Números reais – Intervalos – Operações 
R
R
R
-1 1
0 5
1 5
Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4}, B = {x ∊ ℕ | 2 < x  6} e C = {x ∊ ℕ | 3  x < 10}, podemos dizer 
que (A⋂B) – C é igual (=) a:
a) {x ∊ ℕ | 1 < x  6}.
b) {x ∊ ℕ | 2 < x < 4}.
c) {x ∊ ℕ | 2 < x < 3}.
d) {x ∊ ℕ | 4  x < 10}.
e) {x ∊ ℕ | 2  x < 10}.
Interatividade
c) {x ∊ ℕ | 2 < x < 3}.
Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4}, B = {x ∊ ℕ | 2 < x  6} e C = {x ∊ ℕ | 3  x < 10}, podemos dizer 
que (A⋂B) – C é igual (=) a:
Resolução:
Resposta
R
A
R
B
R
A  B
2 6
R
C
3 10
R
( A  B) - C
32
1 4
2 4
 Operações matemáticas  (+), (-), (x) e ().
 Regra dos sinais.
Operações com números reais
Prioridade:
1º Parênteses ( );
2º Colchetes [ ];
3º Chaves { }.
Ordem:
1º Potenciação ou Radiciação;
2º Multiplicação ou Divisão;
3º Adição ou Subtração.
Soma/Subtração
Sinais
iguais
+2 + 3 = 5
-2 - 3 = -5
Sinais
diferentes
+2 - 3 = -1
-2 + 3 = +1
Multiplicação/Divisão
( + ) . ( + ) = +
( - ) . ( - ) = +
( + ) . ( - ) = -
( - ) . ( + ) = -
A) Adição ou Subtração:
Denominadores iguais:
Operações com frações
Denominadores diferentes:
4, 2, 5 2
2, 1, 5 2
1, 1, 5 5
1, 1, 1 2 x 2 x 5 = 20 
MMC:
B) Multiplicação de frações:
Operações com frações
C) Divisão de frações: 
Exemplo:
[30 ÷ 5 – (12 ÷ 3)] × (3 × 2 – 15 ÷ 3 ) + (14 + 6) ÷ 2 =
[ 6 – 4 ] × ( 6 – 5 ) + ( 20 ) ÷ 2 =
[ 2 ] × ( 1 ) + 10
2 + 10 = 12
S = {12} 
Expressões numéricas – Exemplo:
Definição: 
Potenciação
Exemplo: calcule
a . a . a . a = an
 Operação oposta à potenciação.
Radiciação
Exemplo: calcule
Operações:
1) Adição e Subtração:
Exemplo: 3x + 4y – 2y + 5x – 2
3x + 5x + 4y – 2y – 2
8x + 2y – 2
Expressões algébricas
“São operações matemáticas compostas de números e/ou letras”
2) Multiplicação e Divisão:
Produtos notáveis
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) 
= (a2 – a . b – b . a + b2)
= a2 - 2a . b + b2
(a + b)3 = (a + b)2. (a + b) 
= (a2 + 2a . b + b2). (a + b)
= a3 + 3a2. b + 3a . b2 + b3
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
= (a2 + a . b + b . a + b2)
= a2 + 2a . b + b2
(a – b)3 = (a – b)2. (a - b) 
= (a2 – 2a . b + b2). (a – b)
= a3 – 3a2. b + 3a. b2 – b3
(a + b) . (a –b) = (a2 – a . b + b . a – b2)
= a2 – b2
Produtos
notáveis
Exemplo: fatorar as seguintes expressões:
Expressões algébricas – Fatoração e Simplificação
A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:
a) 0.
b) 2y2.
c) - 2y2.
d) - 4xy.
e) - 2(x + y)2.
Interatividade
d) – 4xy
Resolução: a expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:
(x – y)2 – (x + y)2
x2 – 2xy + y2 – (x2 + 2xy + y2)
x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2
– 2xy – 2xy = – 4xy
Resposta
Estrutura geral das equações:
1 grau:
2 grau:
 Finalidade de uma equação  encontrar o valor da incógnita que torne a igualdade 
verdadeira.
 Exemplo: 2 x + 5 = 3.
Equações
a . x + b = 0, a e b  R e a  0
a . x2 + b . x + c = 0, a, b e c  R e a  0
João tem R$ 10,00 e quer gastar o seu dinheiro comprando trufas de chocolate. 
Se cada trufa custa R$ 2,00, quantas trufas João pode comprar com o seu dinheiro?
 Modelagem matemática: x = quantidade de trufas
2 . x = 10
x = 5 frutas
Equação de 1 grau – Aplicação
Estrutura geral:
Fórmula de Bháskara:
 = discriminante  possibilita saber a quantidade de soluções possíveis para uma equação 
de 2 grau.
 = 0  a equação admite duas raízes reais e iguais.
 > 0  a equação admite duas raízes reais e diferentes.
 < 0  a equação não admite duas raízes reais.
Equação de 2 grau
a . x2 + b . x + c = 0, a, b e c  R e a  0
Encontrar as possíveis soluções (ou raízes) das equações quadráticas:
Equação de 2 grau
 = 1
x’ = 2 e x’’ = 3
 = 0
X’ = x’’ = - 1
 = - 4
b) x2 + 2x + 1 = 0 c) x2 + 2x + 2 = 0
 = 0  A equação admite duas raízes reais e iguais.
 > 0  A equação admite duas raízes reais e diferentes.
 < 0  A equação não admite duas raízes reais.
a) x2 - 5x + 6 = 0
 Comparativo: equação X inequação.
 Exemplo: 2 x + 5 < 3.
Inequação
Equação Inequação
Finalidade
Encontrar o valor da 
incógnita que torne a 
igualdade verdadeira.
Encontrar todos os valores da 
incógnita que tornam a 
desigualdade verdadeira.
Sinal utilizado = >, <,  , 
Resultados Valores pontuais Intervalos
João tem R$ 10,00 e quer gastar o seu dinheiro comprando trufas de chocolate. Se cada trufa 
custa R$ 2,00, até quantas trufas João pode comprar com o seu dinheiro?
 Modelagem matemática: x = quantidade de trufas
2 x  10
x  5 (até 5 frutas)
Inequação – Aplicação 
Estrutura geral da inequação de 1 grau:
 ax + b < 0;
 ax + b ≤ 0;
 ax + b > 0;
 ax + b ≥ 0;
 Sendo que a e b são números reais e a ≠ 0.
Cálculo: 
 Mesma técnica de resolução de equações;
 Utiliza o sinal de desigualdade;
 Notação: intervalo.
Inequações – Inequação de 1º grau
Estrutura geral da inequação de 2 grau:
 ax2 + bx + c < 0;
 ax2 + bx + c ≤ 0;
 ax2 + bx + c > 0;
 ax2 + bx + c ≥ 0;
 Sendo a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Cálculo: 
 Mesma técnica de resolução de equações de 2 grau;
 Estuda o sinal da desigualdade;
 Notação: intervalo.
Inequações – Inequação de 2º grau
Adotando:
Inequações – Esquema para o estudo do sinal das inequações de 2º grau
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Sinal contrário do 
coeficiente a
X’ X’’
Se  > 0
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
x‘ = x’’
Se  = 0
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Se  < 0
Exemplo: encontrar os valores que tornam a inequação x2 - 5x + 6 > 0:
Estudo do sinal: 
Logo, a solução da inequação x2 - 5x + 6 > 0:
 S = {x  R / x < 2 OU x > 3}; ou
 S = ]-, 2[  ] 3, [.
Inequações 
 = 1 ( > 0)
x’ = 2 e x’’ = 3
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Sinal contrário do 
coeficiente a
X’ X’’
+ +-
2 3
Exemplo: encontrar os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 1 < 0 verdadeira:
Estudo do sinal:
 Como se deseja que, na inequação, os valores sejam 
menores do que zero (x2 + 2x + 1 < 0), não há uma solução
nos reais para essa inequação, pois, no estudo dos sinais, só 
existe o sinal positivo.
  S = ∅.
Inequações
 = 0
x’ = x’’ = -1
+ +
-1
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
x’=x’’
Exemplo: encontrar os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 2 > 0 verdadeira:
Estudo do sinal:
 Como se deseja que, na inequação, os valores sejam maiores 
do que zero (x2 - 5x + 6 > 0), todos os valores da reta dos 
reais tornam essa inequação verdadeira.
  S = R.
Inequações
 = -4 ( < 0) Mesmo sinal do 
coeficiente a
+
Tem-se (x + 2) . (x - 1) < 0 se e somente se:
a) x < 1.
b) x > -2.
c) -2 < x < 0.
d) x  -2 e x = 1.
e) -2 < x < 1.
Interatividade
e) -2 < x < 1.
Resolução: Tem-se (x + 2) . (x – 1) < 0 se e somente se:
x2 – x + 2x – 2 < 0
x2 + x – 2 < 0
 = 9 ( > 0)
x’ = -2 e x’’ = 1
Logo, a solução da inequação x2 + x -2 < 0 é:
{x  R / -2 < x < 1}
Resposta
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Sinal contrário do 
coeficiente a
X’ X’’
+ +-
-2 1
ATÉ A PRÓXIMA!