Radical Duplo

Prévia do material em texto

Radical Duplo 
1.0 - Toda expressão irracional da forma: A B é denominada Radical Duplo ou Radical 
Biquadrático. 
 
2.0 - Transformação de um Radical Duplo – Em muitas situações, para simplificar em muito 
nosso cálculo com radicais, podemos transformar um radical duplo numa soma algébrica de 
radicais simples, vejamos: 
  A B x y 
E para tal precisamos que: A2 > B e B não seja um quadrado perfeito. 
Elevando cada membro dessa igualdade ao quadrado teremos: 
          
2 2
A B x y A B x y 2 xy 
Como cada membro dessa igualdade são formados por uma parte racional e uma parte 
irracional, elas podem ser isoladamente igualadas: 
A = x + y e  B 2 xy . E onde podemos concluir que: 
A = x + y ; B = 4xy e xy = 
B
4
 
Temos então a soma e o produto de dois números x e y e com isso podemos montar uma 
equação de segundo grau: 
 
 
         
     
     
   
 
2
2 2
2
2 2
2 2
1 2
B 4A 16A 4.4.B
m Am 0 4m 4 Am B 0 m
4 2.4
4 A 16 A B 4A 4 A B A A B
m m m
8 8 2
A A B A A B
m e m
2 2
 
Chamando o radicando A2 – B de C2, teremos: 


2
1
A C
m
2
 e 


2
2
A C
m
2
 

 1
A C
m
2
 e 

2
A C
m
2
 
E com isso: 
 
  
A C A C
A B
2 2
 
Observemos que a diferença precisa ser, além de positiva, um quadrado perfeito. Só assim, 
conseguiremos, transformar um radical duplo numa soma ou numa diferença de radicaisi 
simples. 
 
3.0 - Exemplos: 
Exemplo 01 – Transforme o radical duplo 5 24 numa soma de radicais simples. 
Notemos que: A2 – B = 52 – 24 = 25 – 24 = 1 
é positivo e também um quadrado perfeito, portanto a transformação é possível, assim: 
    C 25 24 1 C 1 
E aplicando a transformação, vem: 
 
    
5 1 5 1
5 24 3 2
2 2
 
Ou seja:      5 24 3 2 e 5 24 3 2 
 
Exemplo 02 – Transforme 3 5 numa soma de radicais simples. 
Sabemos que A = 3; B = 5 e C = 23 5  C = 9 5  C = 4  C = 2 
Sendo assim podemos escrever: 
 
    
3 2 3 2 5 1
3 5
2 2 2 2
 
E se preferirmos racionalizar faremos: 
   
    
 
2 5 15 1 5 2 1 2 10 2
2 22 2 2 2 2 2
 
Sendo assim: 
 
 
2 5 1
3 5
2
 
 
Exemplo 03 – Transforme  2m m 1 numa soma de radicais simples. 
Sabemos que: A = m; B = m2 – 1 e C =       2 2 2 2m m 1 C m m 1  C = 1  C = 1 
Sendo assim podemos escrever: 
 
   2
m 1 m 1
m m 1
2 2
 
          
 
2 m 1 2 m 12 m 1 2 m 1
2 2 2
 
Sendo assim: 
 
   2
m 1 m 1
m m 1
2 2
 ou 
     
  2
2 m 1 2 m 1
m m 1
2
 
 
Radical Duplo – Exercícios Propostos 
I. Transformar em soma de radicais simples as expressões irracionais abaixo: 
01) 2 3 02) 3 8 03) 4 12 
04) 4 15 05) 5 21 06) 5 2 6 
07) 6 35 08) 6 2 5 09) 7 48 
10) 7 2 6 11) 8 2 15 12) 8 2 7 
13) 13 4 3 14) 11 21 15)  2a a 1 
16) 
 30 3 5
11
 17)   7 4 3 7 4 3 
18)   3 8 4 12 19)   8 60 8 60 
20) Simplifique o radical:     a b c 2 b a c 
21) Simplifique a expressão irracional:     2 3 2x x 1 2x x 2x 
22) Simplifique o radical: A =   1 3 13 4 3 
 
Radical Duplo – Questões de Concurso 
23) (CEPCAR) Transforme o radical  2a b 2a b numa soma de radicais simples 
24) (Colégio Naval) Transformar o radical   6 a 4 2 a em radicais simples. 
25) (Escola Normal) Simplifique: 
 
   
 
15 3
3 3 5
2 2
 
 
Radical Duplo – Respostas do Exercícios Propostos 
01) 
3 1
2 2
 02) 2 1 03) 3 1 
04) 
5 3
2 2
 05) 
7 3
2 2
 06) 3 2 
07) 
7 5
2 2
 08) 5 1 09) 2 3 
10) 6 1 11) 5 3 12) 7 1 
13) 1 12 14)  1 42 2
2
 15) 
 

a 1 a 1
2 2
 
16) 
3 15
5
11 11
 17) 4 18) 2 3 
19) 2 3 20) a b 21)       
21 2 2x x 2 2x
2
 
22) 6 23)  a a c 24)  2 2 a 
25)  1 6 2
2