Arranjo, Permutação e Combinação com repetição

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Análise Combinatória
Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Dirceu Zaleski Filho
Revisão Técnica
Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites
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• Arranjo com Repetição
• Número de Permutações com Repetição
• Combinação com Repetição
Você está iniciando a Unidade 3 de nossa disciplina. A proposta desta aula é apresentar três 
conceitos da Análise Combinatória que darão continuidade a nossos estudos, são eles:
 » Arranjo com repetição;
 » Permutação com repetição;
 » Combinação com repetição.
Ao finalizar a aula, esperamos que você tenha entendido esses importantes conceitos da 
Análise Combinatória.
Para ajudá-lo, realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico, acompanhe e refaça os 
exemplos resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções 
ao final do conteúdo.
 · Nesta aula, continuaremos a estudar outros ramos da Análise 
Combinatória. Falaremos sobre: arranjo com repetição, 
permutação com repetição e combinação com repetição, que 
estão envolvidos em várias situações do cotidiano.
 · Leia a aula, faça anotações, se necessário pesquise outros 
materiais além do que é fornecido. Fique atento às atividades 
propostas e aos prazos de realização e de entrega. 
Arranjo, Permutação e Combinação 
com repetição
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
Contextualização
A Loteria Esportiva, “Loteca”, é um jogo gerenciado pela Caixa Econômica Federal em que 
pode ser utilizada a Análise Combinatória – nesse caso, a repetição de resultados
São realizados, a cada edição, 14 jogos de futebol pelo Brasil, os apostadores devem assinalar 
na linha da cartela referente ao jogo quem será o vencedor (coluna 1 ou coluna 2) ou se o jogo 
terminará empatado, coluna “x”.
É feita uma aposta mínima que dá direito ao apostador marcar um palite duplo em um dos 
jogos. A relação dos jogos é fornecida semanalmente nas casas lotéricas.
Podem ser assinalados 4 782 969 jogos como veremos no decorrer desta aula.
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Arranjo com Repetição
Considere a situação:
Quantos arranjos de 2 elementos podemos formar com as vogais a, e, i, o, u?
Veja:
Como não foi feita a exigência de que os elementos sejam distintos, podemos ter os seguintes 
arranjos com repetição:
(a, a) (e, a) (i, a) (o, a) (u, a)
(a, e) (e, e) (i, e) (o, e) (u, e)
(a, i) (e, i) (i, i) (o, i) (u, i)
(a, o) (e, o) (i, o) (o, o) (u, o)
(a, u) (e, u) (i, u) (o, u) (u, u)
 
Observe que:
 » para a primeira escolha temos 5 possibilidades;
 » para a segunda escolha temos 5 possibilidades.
E Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de arranjos com repetição será dado 
pelo produto 5.5 = 25. 
Número de Arranjos com Repetição
Considere um conjunto E com n elementos e k ϵ N com k < n. Arranjo com repetição k a k 
dos n elementos de E é indicado por Arn,k e definido assim:
Arn,k = n
k
Pois:
 » para a escolha do 1º elemento há n possibilidades;
 » para a escolha do 2º elemento há n possibilidades.
E assim por diante, de maneira que para a escolha do kº (k ésimo) elemento que é o último 
há n possibilidades.
Chegamos a conclusão então, que o número de arranjos com repetição indicado por Arn,k 
será dado por:
Arn,k = n . n . n . ... . n (k fatores) ou A
r
n,k = n
k
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
Exemplos:
1) Seja A = {x, y, z}, apresente e calcule os arranjos com repetição desses três elementos 
tomados 2 a 2.
Resolução:
Apresentação:
(x, x) (y, x) (z, x)
(x, y) (y, y) (z, y)
(x, z) (y, z) (z, z)
Cálculo:
Ar3,2 = 3
2 = 9
2) Dados os algarismos 1,2,3,4,5, quantos números de 3 algarismos podemos formar?
Resolução:
Como não existe a restrição de que os elementos não sejam repetidos, a quantidade de 
números de 3 algarismos distintos que podem ser formados é dada por:
Ar5,3 = 5
3 = 125
Podem ser formados 125 números.
3) No sistema decimal de numeração {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, quantos números existem de 4 
(quatro) algarismos, tendo pelo menos 2 (dois) algarismos repetidos?
1ª Resolução:
Como os números só devem conter pelo menos um algarismo repetido, devemos diminuir da 
quantidade total os que possuem todos os algarismos distintos e os iniciados por 0 (zero), caso 
contrário, o número terá apenas 3 (três) algarismos:
Sejam os números com 4 (quatro) algarismos:
1º 2º 3º 4º
1º passo: calculamos o total de números de 4 algarismos:
Obs.: O 1º não pode ser 0 (zero), portanto há 9 (nove) opções (1 até 9) e os outros podem 
ser de 0 até 9, portanto há 10 (dez) opções:
9
9 10 10 10
Agora, pelo princípio fundamental da contagem é só multiplicarmos as etapas, assim:
9 x 10 x 10 x 10 = 9.000
2º passo: calculamos o total de números de 4 algarismos sem repetição:
Obs.: O 1º não pode ser 0 (zero), portanto há 9 (nove) opções (1 até 9); o 2º não pode ser 
igual ao 1º, mas pode ser 0 (zero), portanto, temos 9 (nove) opções; o 3º não pode ser igual 
ao 1º nem ao 2º, portanto 8 (oito) opções e o 4º não pode ser igual ao 1º nem ao 2º e nem 
ao 3º, portanto temos 7 (sete) opções:
9 9 8 7
Agora, pelo principio fundamental da contagem é só multiplicarmos as etapas, assim:
9 x 9 x 8 x 7 = 4.536
Portanto, com pelo menos dois algarismos repetidos teremos: 9.000 – 4.536 = 4.464.
2ª Resolução (resumo):
Pelas fórmulas: A nn k
r k
, = e Arranjo simples = A
n
n kn k,
!
( )!
=
−
, temos:
A A A Ar r10 4 10 3 10 4 9 3
4 310 10
10
10 4
9
9 3
, , , ,( )
!
( )!
!
( )!
− − − ⇒
⇒ − −
−
−
−





 ⇒
⇒ − − −




 ⇒
⇒ −
10000 1000
10 9 8 7 6
6
9 8 7 6
6
9000 10 9
. . . . !
!
. . . !
!
. .. . . .8 7 9 8 7
9000 5040 504 9000 4536 4464
−( ) ⇒
⇒ − −( ) = − =
4) Jogando-se uma moeda obtém-se Cara (C) ou Coroa (K). Se lançarmos a moeda 7 vezes 
podemos obter a sequência C,C,K,K,K,C,K. Quantas serão as sequências possíveis?
Resolução:
Esse é um problema de arranjo com repetição no qual em cada lançamento da moeda 
teremos 2 resultados possíveis, Cara (C) ou Coroa (K):
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
O número das sequências possíveis pode ser calculado pelo Princípio Fundamental da 
Contagem, pelo produto:
2.2.2.2.2.2.2 = 128
Ou, por arranjo com repetição, calculado por:
Ar2,7 = 2
7 = 128
Serão possíveis 128 sequências.
Atividades Práticas
1) Calcule Ar2,10 + A
r
10,2 + A
r
10,1 – 1134
Resposta: O resultado é zero.
2) Com os algarismos 1,2,3,4,5, quantos são os números de três algarismos que iniciam pelo 
número 1?
Resposta: São 25 números.
3) Com os algarismos 1,2,3,4,5, quantos são os números de três algarismos que podem ser 
formados contendo o número 2?
Resposta: São 61 números.
4) Quantos números do sistema decimal de numeração não iniciam por 0?
Resposta: São 9.000 números. 
Permutação com repetição.
Considere a situação:
Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
Novamente não existe a restrição de que os elementos tenham que ser distintos. Na formação 
de anagramas, o número de letras disponível será o número de letras utilizado.
A palavra ARARA tem 5 letras com a repetição de três letras “A” e duas letras “R”. O cálculo 
dos seus anagramas será menor do que o que obteríamos se as 5 letras fossem distintas.
Para formarmos os anagramas, dispomos de 5 lugares:
 __ __ __ __ __ 
 
 » Escolhemos 3 deles para colocarmos as letras A, o que pode ser feito de C5,3 maneiras distintas;
 
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 » Sobram então 2 lugares que serão preenchidos pelas letras R, o que será feito por C2,2.
O número de anagramas será dado por:
Indicamos o resultado por como permutação de 5 com repetição de 2 e 3.
Número de Permutações com Repetição
Os elementos de E são: e1, e2,..., en. Considere α1, α2,...,αk elementos respectivamente iguais a 
e1, e2,..., em, num total de α1 + α2 +... + αk = n. Permutação com repetição é indicada por Pα1, 
α2,..., αkn e definida assim:
Exemplos:
1) Em um conjunto há dois elementos iguais a “a” e dois elementos iguais a “e”. Represente 
e calcule o número de permutações com repetição desses elementos.
Resolução:
(a,a,e,e); (a,e,a,e); (a,e,e,a); (e,e,a,a); (e,a,e,a); (e,a,a,e)
Observe que temos uma permutação com repetição de 4 elementos com 
repetição de 2 e 2, então:
2) Quantos são os anagramas da palavra PERERÊ? (para o cálculo desconsidere o acento 
circunflexo)
Resolução:
Todas as letras serão usadas e com isso temos um problema de permutação com repetição. 
Temos 1 letra P, 2 letras R e 3 letras E num total de 6 letras. O resultado será dado por:
São 60 anagramas.
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
3) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 8.155.532?
Resolução:
São 7 algarismos com a repetição do número 5 três vezes. O número de permutações com 
repetição será dado por:
Sendo assim, obtemos 840 números.
4) Com 1 letra a, 2 letras e, x letras i encontramos 20 permutações com repetição. Qual é o 
valor de x?
Resolução:
O total de letras será igual a: 1+1+x = x+2, e a letra i repete-se x vezes. Temos então:
Desenvolvendo (x+2)!, temos:
 
Simplificando x! no numerador e denominador, temos:
Efetuando o produto, chegamos a equação do 2º grau:
x2 + 3x + 2 = 20
ou
x2 + 3x - 18 = 0
Resolvendo a equação, sendo a=1, b=3 e c=-18, temos
 e encontramos então x1 = -6 (não 
serve) e x = 3.
O valor de x é 3.
Atividades Práticas
1) Calcule o valor de E, sendo:
E = P5,410 + P
3,4,2
10 
Resposta: E = 13 860.
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2) Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA?
Resposta: São 5.040 anagramas.
3) A quantidade de anagramas da palavra APITO é maior que os da palavra ABALADO que 
começam por B? 
Resposta: Não, as quantidades são iguais.
4) Antônio, Amarildo, Raul, Rômulo e Evaristo querem formar uma sigla com as primeiras 
letras de cada um de seus nomes, quantas siglas poderão ser formadas? 
Resposta: Poderão ser formadas 30 siglas.Combinação com Repetição
Considere a situação:
Com as vogais a, e, i, quantas combinações com repetição de 3 elementos tomados 3 a 3 
podemos formar?
Veja:
Lembrando que a ordem dos elementos não importa, temos:
{a,a,a} {e,e,e} {i,i,i} 
{a,a,e} {e,e,i} 
{a,a,i} {e,i,i} 
{a,e,e} 
{a,e,i} 
{a,i,i}
Para calcularmos o número de combinações com repetição vamos utilizar um procedimento 
que eliminará as repetições. Toda vez que repetir o primeiro elemento, ele será substituído por 
R1, quando se repetir o segundo elemento, ele será substituído por R2.
Teremos na situação anterior o seguinte:
{a, R1 , R2} {e,R1, R2} {i, R1, R2 }
{a, R1, e} {e,R1,i}
{a, R1, i} {e,i, R2}
{a,e, R2} 
{a,e,i} 
{a,i, R2} 
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
Reescrevendo adequadamente os novos grupos teremos;
{a,e,i} {e, i, R1} {i, R1, R2 }
{a, e, R1} {e,i, R2} 
{a, e, R2} {e,R1, R2}
{a, i, R1} 
{a, i, R2} 
{a, R1, R2}
Os grupos acima são as combinações simples dos elementos {a, e, i, R1, R2 } tomados 3 
a 3. Podemos observar que, num agrupamento de 3 elementos, pode haver no máximo 3-1 
repetidores, que no caso são R1 e R2. Portanto, a combinação com repetição de três elementos 
tomados 3 a 3 é calculada da seguinte maneira:
E de maneira geral, podemos concluir por um raciocínio semelhante que o número de combinações 
com repetição de n elementos dados tomados p a p com n,p ∈ N e p ≤ n é dado por:
Crn,p = Cn + (p – 1), p
Exemplos:
1) Calcule o valor de E, sendo:
E = Cr4,1 + C
r
4,4 + C
r
5,4
Resolução:
Calculando as combinações com repetição, temos:
Calculando E, temos:
E = 4 + 35 + 70 = 109
2) Determine x, sabendo que Crx,2 = 15
Resolução:
 
15
Temos:
x2 + x = 30
x2 + x – 30 = 0
Resolvendo a equação, encontramos: x1 = -6 (não serve) e x2 = 5.
O valor de x é 5.
3) Uma empresa fabrica 9 tipos de balas, quantos pacotes podem ser feitos contendo 6 balas?
Resolução:
Temos 9 tipos de balas que podem ser combinados com repetição 6 a 6. O cálculo 
é feito assim:
Os pacotes podem ser feitos de 30.030 maneiras.
4) Vinte competidores disputam 10 prêmios, podendo cada um receber mais de um prêmio. 
De quantas maneiras os prêmios podem ser conquistados?
Resolução:
Para cada distribuição existe um grupo fixo de 10 competidores no qual um deles pode 
conseguir mais de um prêmio. A solução é dada por:
Atividades Práticas
1) Calcule o valor de E, sendo:
E = Ar2,10 + P
2
10 + C
r
10,2
Resposta: E = 1.815.479.
2) Na dieta de uma pessoa estão incluídas porções de mamão, abacate, laranja, banana, 
melão, das quais ela deve escolher três a cada dia. De quantas maneiras a escolha pode 
ser feita?
Resposta: 35 maneiras.
3) Vinte competidores disputam 10 prêmios, podendo cada um receber mais de um prêmio. 
De quantas maneiras os prêmios podem ser conquistados de modo que o competidor 
mais novo seja sempre premiado?
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
Resposta: O número de maneiras é 6.906.900
4) Calcule n, sabendo que: Crn,2 = 120.
Resposta: O valor de x é 15.
Resoluções das Atividades Práticas
Arranjo com repetição
1) Resolução
Calculando cada uma das partes, temos:
Ar2,10 = 2
10 = 1024
Ar10,2 = 10
2 = 100
Ar10,1 = 10
1 = 10
Por fim, encontramos:
1024 + 100 +10 – 1 134 = 0
Resposta: O resultado é zero
2) Resolução:
Como os números devem ser iniciados pelo algarismo 1, devemos escolher os outros dois 
algarismos. Lembre-se que os algarismos podem se repetir, portanto para as outras duas posições 
podemos ter:
Ar5,2 = 5
2 = 25
Resposta: São 25 números.
3) Resolução:
O número de arranjos que não contém o 2 é dado por: Ar4,3 = 4
3 = 4.4.4 = 64.
O número total de arranjos é dado por: Ar5,3 = 5
3 = 5.5.5 = 125.
O número de arranjos que contém o 2 é dado pela diferença entre o número total de 
arranjos e o número dos arranjos que não contém o 2, assim:
Ar5,3 - A
r
4,3 = 125 – 64 = 61.
Resposta: São 61 números. 
4) Quantos números do sistema decimal de numeração não iniciam por 0?
Resolução:
Este é um problema de arranjo com repetição, pois o problema não pede que os algarismos 
sejam distintos.
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Devemos calcular os números iniciados por zero e depois retirar da quantidade total de 
números. Considerando o “0” na primeira posição, temos 10 algarismos para 3 posições:
0 __ __ __
 10 10 10
Ar10,3 = 10 .10 .10 = 1 000
A quantidade total de números com quatro algarismos é:
__ __ __ __
10 10 10 10
Ar10,4= 10 .10 .10 . 10 = 10 000
E a quantidade final será:
Ar10,4 - A
r
10,3 = 10 000 – 1 000 = 9 000
Resposta: São 9.000 números. 
 
Permutação com repetição
1) Resolução
2) Resolução:
Temos disponíveis 10 letras, sendo 1 letra Q, 1 letra U, 3 letras R e 5 letras A. O cálculo do 
número de permutações com repetição será dado por:
Resposta: São 5.040 anagramas.
3) Resolução:
Para a palavra APITO o número de anagramas é dado por: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 =120
Para a palavra ABALADO o número de anagramas é calculado por permutação com 
repetição. Como os anagramas iniciam pela letra B, ficamos com 6 letras disponíveis com a 
letra A repetindo-se por três vezes.
Resposta: Não, as quantidades são iguais.
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
4) Resolução:
As letras iniciais dos nomes são A, A, R, R e E. Temos cinco letras com a letra A e R repetindo-
se duas vezes. O cálculo do número de siglas será dado por:
Resposta:Poderão ser formadas 30 siglas.
Combinação com repetição.
1) Resolução:
E = Ar2,10 + P
2
10 + C
r
10,2
Vamos calcular cada um dos termos:
Agora vamos calcular o valor de E:
E = 1024 + 1 814 400 + 55 = 1 815 479
Resposta: E = 1 815 479.
2) Resolução:
São 5 tipos de frutas entre as quais devem ser escolhidas três porções diárias, podendo haver 
repetição. O cálculo dos modos de escolha é feito assim:
Resposta: 35 maneiras.
3) Resolução: 
Como o competidor mais novo deve ser sempre premiado, e isso pode acontecer mais de 
uma vez, teremos os 20 competidores disputando 9 prêmios. A solução é dada por:
Resposta: O número de maneiras é 6.906.900
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4) Resolução:
Como 
Temos:
Resolvendo a equação, encontramos: x1 = -16 (não serve) e x2 = 15.
Resposta: O valor de x é 15.
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre esta unidade consulte os sites a seguir:
Site matemática didática:
• goo.gl/mbb4pg
• goo.gl/uzZvQh
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Referências
BACHX, Arago de Carvalho et ali. Prelúdio à Análise Combinatória. São Paulo: Editora 
Nacional, 1975
HAZZAN, Samuel. Combinatória e Probabilidade. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção 
Fundamentos de Matemática Elementar)
LACAZ NETTO, Francisco Antonio. Lições de Análise Combinatória. São Paulo: Nobel, 1962
NOGUEIRA, Rio. Análise Combinatória. São Paulo: Atlas, 1975.
TROTTA, Fernando. Análise Combinatória, Probabilidades e Estatística. São Paulo: 
Scipione, 1988.
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Unidade: Arranjo, Permutação e Combinação com repetição
Anotações
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