Divisibilidade e Máximo Divisor Comum

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Divisibilidade e máximo divisor comum 
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1. 
Dado um número inteiro qualquer, matematicamente denotado por ∀a∈Z, diz-se que esse inteiro a é 
divisor do número inteiro b, ou, de forma análoga, que o inteiro b é divisível por a, se existe outro número 
inteiro c, tal que b = a ∙c. A divisibilidade entre dois números satisfaz determinadas propriedades, sendo 
a propriedade ________________ enunciada por: dados∀a, b, c∈Z, se a|b e b|c, então a|c. 
Assinale a alternativa preenche corretamente a lacuna: 
Resposta incorreta. 
A. 
comutatividade. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
transitividade. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
associatividade. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
elemento inverso. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
elemento neutro. 
 
2. 
O algoritmo euclidiano da divisão é corretamente enunciado da seguinte forma: dados a, b ∈ Z, sendo b ≠ 
0, então existem q, r ∈ Z únicos tais que a = bq + r, sendo 0 ≤ r < |b|. 
Com o uso desse algoritmo, determine o número natural que, quando dividido por 5, tem quociente 7 e maior resto 
possível. 
Resposta incorreta. 
A. 
9. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
19. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
29. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
39. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
49. 
3. 
O sistema de numeração decimal foi desenvolvido pelos hindus e espalhado pelo mundo devido aos árabes. Esse 
sistema de numeração garante a realização de forma mais fácil de operações, sendo uma delas o m.d.c. para um 
conjunto de números, uma vez que permite representar qualquer quantidade de forma fácil. 
 
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem e marque (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas. 
( ) O máximo divisor comum entre 12 e 36 é 4. 
( ) Dados dois números primos p e q, então o m.d.c. entre eles é 1. 
( ) Se d ∈ Z é o máximo divisor comum entre os números a, b ∈ Z, então d também é o máximo divisor comum 
entre -a e b, a e -b e, por fim, -a e -b. 
( ) Qualquer número natural n ∈ N pode ser expresso de maneira única por n = a0 + a1 ∙ 10 + a2 ∙ 102 + ⋯ + ar ∙ 10r. 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
V, V, F, F. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
V, F, V, F. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
F, V, V, V. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
V, F, F, V. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
V, F, V, F. 
 
 
4. 
O máximo divisor comum entre um conjunto de números pode ser obtido, por exemplo, pelo método das 
divisões sucessivas. No entanto, algumas propriedades auxiliam na sua determinação. 
Nesse contexto, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas: 
I. O máximo divisor comum entre 4, 20 e 60 é 4. 
PORQUE 
II. O máximo divisor comum de um conjunto de dois ou mais números, em que o menor deles é divisor 
de todos os maiores que ele, é o menor número desse conjunto. 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: 
Resposta correta. 
A. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
4 de 
5. 
O máximo divisor comum, amplamente conhecido pelo seu acrônimo m.d.c., é uma importante ferramenta 
matemática que auxilia na resolução de inúmeros problemas, e uma das estratégias mais comuns para a obtenção do 
m.d.c. de um conjunto de números é o método das divisões sucessivas. 
Sobre os máximos divisores comum (m.d.c.) para um conjunto de naturais diferentes de zero, julgue as afirmações 
que se seguem: 
I. É valida a igualdade m.d.c.(9, 15) = 5. 
II. É valida a igualdade m.d.c.(11, 14) = 1. 
III. É valida a igualdade m.d.c.(180, 280, 300) = 20 ∙ m.d.c.(9, 14, 15). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Resposta incorreta. 
A. 
I. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
III. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
I e II. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
II e III. 
 
 
Números inteiros e indução matemática 
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1. 
Considere o enunciado: 
Clique aqui 
Resposta correta. 
A. 
apenas I. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
apenas II. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
apenas III. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
I e II. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
II e III. 
 
2. 
Os conectivos na Matemática servem para unir duas proposições p e q, a fim de se obter uma nova 
proposição, que pode ser verdadeira ou falsa. Os principais conectivos lógicos são a conjunção, a 
disjunção, a condicional e a bicondicional. 
Nesse contexto, julgue as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. Se p: para todo a e b ∈ I, então q: a/b é um número irracional I. 
PORQUE 
II. Para quaisquer a e b ∈ I operacionalizados, o resultado é um número irracional. 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
2 
3. 
O conhecimento matemático tem, como um de seus alicerces, as demonstrações, as quais têm como 
objetivo convencer o leitor a respeito de determinada argumentação matemática. 
Sobre as demonstrações matemáticas, julgue as afirmações que seguem e marque V para as verdadeiras 
e F para as falsas: 
( ) Em teoria dos conjuntos, os conceitos de elemento e pertencimento a um conjunto são aceitos 
mediante as demonstrações. 
( ) Em uma demonstração por contraexemplo, o objetivo é a negação da tese. 
( ) Em uma demonstração por absurdo, assume-se a validade da hipótese e que a tese é falsa, chegando, 
assim, a um absurdo. 
( ) É possível demonstrar que √2 é racional por absurdo. 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta de preenchimento das lacunas, de cima para baixo: 
Resposta incorreta. 
A. 
V – V – F – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
F – V – F – V. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
F – V – V – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
V – F – F – V. 
 
 
Você não acertou! 
E. 
V – F – V – F. 
 
 
4. 
Importante ferramenta matemática para demonstração, esta estratégia se caracteriza por assumir a 
validade da hipótese e assumir que a tese é falsa. Com essas informações, conclui-se ______________, 
ao se chegar a uma proposição que contradiz a suposição levantada anteriormente. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna: 
Resposta incorreta. 
A. 
uma obviedade. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
uma coerência. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
uma indução. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
um absurdo. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
uma afirmação. 
 
 
5. 
Este princípio é utilizado para demonstrar que uma sequência de proposições P(1), P(2), K, P(n) é verdadeira, sem 
que seja necessário realizar a prova para cada uma delas. Para isso, demonstra-se que é válido para P(1), assume-se 
válido para P(k) e se demonstra para P(k+1). 
Assinale a alternativa que define corretamente o princípio explanado: 
Resposta incorreta. 
A. 
Perturbação.Resposta incorreta. 
B. 
Singularidade. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Isomorfismo. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Otimização. 
 
 
Você acertou! 
E. 
Indução finita. 
 
 
Grupos cíclicos, de permutação e de 
simetrias de figuras planas 
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1. 
Na álgebra abstrata, especificadamente em teoria dos grupos, 
a concepção de potência é muito semelhante à de múltiplo. 
No entanto, existe uma diferença significativa. 
Que diferença é essa? 
Resposta correta. 
A. 
O conjunto das potências de um expoente inteiro é obtido a partir de um grupo multiplicativo, enquanto o 
conjunto de todos os múltiplos é encontrado segundo um grupo aditivo. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
A partir de expoentes naturais, obtêm-se as potências, e, com o auxílio do conjunto dos números reais 
positivos, obtêm-se os múltiplos de um grupo multiplicativo. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
Tanto potências quanto múltiplos são gerados a partir de um subgrupo, porém as potências são obtidas por 
meio de propriedades da adição, e os múltiplos, por preceitos da multiplicação. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Sendo cíclico o grupo, é possível calcular potências a partir de expoentes inteiros maiores que zero, e, para 
obter múltiplos, consideram-se números pertencentes aos reais. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
A distinção entre as potências e os múltiplos está no fato de a primeira ser obtida a partir de um subgrupo de 
um grupo aditivo, e o segundo, por um grupo cíclico. 
 
 
2. 
Tendo em vista que a teoria dos grupos aborda a dinâmica de estruturação dos grupos cíclicos, considere dois 
subgrupos distintos caracterizados por J = [−2], pertencente ao conjunto dos números inteiros aditivo, e K = [6], 
pertencente ao conjunto dos números reais multiplicativo. 
Nesse caso, os grupos cíclicos referentes aos grupos J e K são, respectivamente: 
Resposta incorreta. 
A. 
J = ｛..., 8, 4, 2, 1, 2, 4, 8, ...｝ e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 1, 6, 36, 216, ...}. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
J = ｛..., 8, 4, 2, 0, 2, 4, 8, ...｝ e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 0, 6, 36, 216, ...}. 
 
 
Você acertou! 
C. 
J = ｛..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, ...｝ e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 1, 6, 36, 216, ...}. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
J = ｛..., −8, −4, −2, 1, 2, 4, 8, ...｝ e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 1, 6, 36, 216, ...}. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
J = ｛..., −8, −4, −2, −1, 2, 4, 8, ...｝ e K = {..., 216, 36, 6, 1, 6, 36, 216, ...}. 
 
 
3. 
O conceito de simetria, quando associado ao de teoria dos grupos, possibilita a análise de qualquer 
polígono regular. 
A partir disso, e admitindo um polígono de cinco lados, assinale a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
É possível realizar 10 reflexões alternadas em torno dos eixos de simetria P5. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
É possível realizar 15 reflexões consecutivas em torno dos eixos de simetria P5. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
O número de permutações viáveis de serem realizadas em um pentágono equivale a 5. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Para o caso de um pentágono, a rotação de 72° em torno do eixo de simetria é igual a uma rotação de 298°. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
No sentido anti-horário, há 5 rotações de ângulos: 0°, 72°, 144°, 216° e 288° em torno do centro de P5. 
 
 
4. 
Grupos cíclicos geram recorrência nos resultados obtidos por meio da sua caracterização e da operação 
utilizada. 
Dito isso, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
I. ｛0, 1, 3, 5｝ é um subgrupo cíclico gerado por {3} a partir do grupo {ℤ7, +}. 
PORQUE 
II. O conjunto {0, 1, 3, 5} indica os restos obtidos e recorrentes de {3} a partir da operação aditiva. 
Assinale a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II justifica a I. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II, falsa. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II, verdadeira. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
5. 
Em Matemática, o ato de permutar elementos de um conjunto se baseia na ideia de analisar as possibilidades de se 
organizar tais elementos. 
Considerando o conjunto S4 = ｛B4 → B4 |f é uma bijeção｝ e B4 = {2, 4, 6, 8}, analise as seguintes afirmativas: 
I. O conjunto S4 é formado por 12 funções bijetivas. 
II. Na representação matricial, a primeira linha indica o domínio da função. 
III. Uma das permutações possíveis para B4 é {8, 4, 6, 2}. 
Está correto o que se afirma em: 
Você não acertou! 
A. 
I, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I e III, apenas. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
II e III, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
I, II e III. 
 
 
Introdução ao estudo de grupos 
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1. 
Uma operação * em um conjunto finito A pode ser ilustrada por meio de uma tabela de dupla entrada que indica 
que a operação x*y corresponde a cada par ordenado (x,y) de elementos de A. Essa tabela é chamada de tábua de 
operação * em A. 
Assinale a alternativa que corresponde à tábua da operação 
x*y = mdc(x,y) em A = ｛5,25,125｝. 
Você acertou! 
A. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
 
 
 
 
2. 
Em uma tábua de operação, existem propriedades relacionadas à operação * sobre determinado 
conjunto. Essas propriedades são: associativa, comutativa, elemento neutro, elementos simetrizáveis 
e regulares. 
Dentro desse contexto, assinale a alternativa que corresponde a todos os elementos neutros e 
simetrizáveis da tabela apresentada a seguir: 
 
 
Resposta correta. 
A. 
Elemento neutro: e. 
Elementos simetrizáveis: e, c, b. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
Elemento neutro: e. 
Elementos simetrizáveis: e, b. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Elemento neutro: e. 
Elementos simetrizáveis: c, b. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Elemento neutro: e. 
Elementos simetrizáveis: e, c. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Elemento neutro: e. 
Elemento simetrizável: e. 
 
 
3. 
Os grupos podem ser classificados como aditivo e multiplicativo. No caso multiplicativo, tem-se a 
operação *, o elemento neutro é "e" ou "1" e o inverso de um elemento a ∈ A será a−1. 
Considere um grupo multiplicativo A e que a e b são elementos de A. Determine o valor de x que pertence 
ao grupo A, tal que xax = bba−1, e assinale a alternativa correta: 
Resposta correta. 
A. 
x = ba−1. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
x = ba. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
x = b−1a. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
x = (ba)−1. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
x = a. 
 
 
3 de 
4. 
Um conjunto A finito pode ser um grupo finito denotado por (A,*), em que o número de elementos de A vai ser a 
ordem do grupo. O * vai representar a operação nesse grupo. Caso contrário, diz-se que (A,*) será um grupo infinito 
e que sua ordem será infinita. 
Considerando um conjunto formado por A = ｛−i,−1,i,1｝, em que i é o número complexo, assinale a alternativa que 
corresponde à tábua da operação Z1*Z2 = z1.z2. 
Você acertou! 
A. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
 
 
 
 
5. 
Um grupo (A,*), em que sua ordem é maior que 1, terá dois subgrupos triviais que podem ser colocados 
como (｛e｝,*) e (A,*). Os demais subgrupos serão chamados de subgrupos próprios. 
Dentro desse contexto, assinale a alternativa que correspondea todos os subgrupos próprios da tábua 
apresentada a seguir: 
 
Resposta correta. 
A. 
(｛e,a｝,*), ({e,b},*) e ({e,c},*). 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
(｛e,a｝,*) e ({e,b},*). 
 
 
Você não acertou! 
C. 
(｛e,a｝,*) e ({e,c},*). 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
(｛e,b｝,*) e ({e,c},*). 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
(｛e,c｝,*). 
 
Critérios de divisibilidade e o uso da 
congruência e dos teoremas de Fermat e de 
Wilson 
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1. 
Na teoria dos números inteiros, a relação de equivalência, mais conhecida como congruência, tem critérios de 
divisibilidade. Nesse caso, o critério utilizado será o do número 7. 
Então, a partir de seus conhecimentos de congruência e divisibilidade, calcule o resto da divisão de 10135 por 7 e 
assinale a alternativa correta. 
Resposta correta. 
A. 
O valor do resto da divisão é 6. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
O valor do resto da divisão é 8. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
O valor do resto da divisão é 3. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
O valor do resto da divisão é 5. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
O valor do resto da divisão é 2. 
 
 
2. 
Na teoria de congruência, existem diversas propriedades aritméticas e proposições lógicas. 
Utilizando o critério de divisibilidade do número 10, calcule o algarismo referente à unidade do número 31050 e 
assinale a alternativa correta. 
Resposta incorreta. 
A. 
O algarismo da unidade é 10. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
O algarismo da unidade é 5. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
O algarismo da unidade é 2. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
O algarismo da unidade é 7. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
O algarismo da unidade é 9. 
 
 
3. 
Entre as aplicações de congruência, está a determinação do resto de uma divisão. Esse procedimento é 
muito útil quando se está lidando com números muito grandes, ou seja, não é necessário executar a 
divisão para determinar o resto, basta usar propriedades da congruência. 
Usando seus conhecimentos de critérios de divisibilidade do número 17, e lembrando as aplicações em 
teoremas da teoria de congruências, calcule o resto da divisão de 2194 por 17, utilizando o teorema de 
Fermat, e assinale a alternativa correta. 
Você não acertou! 
A. 
O resto da divisão é 3. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
O resto da divisão é 1. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
O resto da divisão é 4. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
O resto da divisão é 7. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
O resto da divisão é 2. 
 
 
4. 
Uma das propriedades das congruências, muito útil na resolução de problemas, é a da potência. 
Considerando essa propriedade e a relação de congruência e de divisibilidade, assinale a única alternativa 
verdadeira. 
Resposta incorreta. 
A. 
220 − 1 é divisível por 19. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
220 − 1 é divisível por 14. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
220 − 1 é divisível por 23. 
 
 
Você acertou! 
D. 
220 − 1 é divisível por 11. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
220 − 1 é divisível por 26. 
 
5. 
A relação entre divisibilidade e congruência, mais especificamente as propriedades aritméticas e de potência em 
congruências, são muito úteis para avaliar se dado número é divisor de outro número cujo valor é muito alto para 
fazer os cálculos manualmente. 
Nesse contexto, assinale a única alternativa verdadeira. 
Resposta incorreta. 
A. 
9 | (270 + 370). 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
15 | (270 + 370). 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
11 | (270 + 370). 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
7 | (270 + 370). 
 
 
Você acertou! 
E. 
13 | (270 + 370). 
 
 
Classes de congruência módulo n 
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1. 
Vários resultados provados verdadeiros dentro da aritmética modular podem ser empregados para avaliar 
a divisibilidade de números de grande ordem. A respeito do número a = 220 -1, leia as assertivas a seguir 
e selecione a alternativa correta: 
I) -9 é um elemento da classe de congruência [(a + 1)/215]41. 
II) O número a + 1 é congruente a 1 módulo 41. 
III) O número inteiro 41é um fator do número a. 
IV) r = 4 é uma solução para (a + 1)r ≡ (-9)r mod 41. 
Resposta incorreta. 
A. 
I e II. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
II e IV. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
I, II e III. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
II, III e IV. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
II e III. 
 
 
2. 
A aplicação das propriedades válidas dentro da aritmética modular constitui uma maneira de simplificar 
os cálculos envolvendo congruências módulo n. Nesse contexto, considerando o número N = 310 ∙ 425 + 68, 
marque V para verdadeiro, e F para falso, para os itens a seguir: 
( ) Os restos das divisões de 310 e N por 5 são os mesmos. 
( ) 68 é um elemento da classe de congruência [1]5. 
( ) N é congruente a um número par em ℤ5. 
( ) r = 3 é um valor válido para 425 ≡ r (mod 5). 
Feito isso, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
Resposta correta. 
A. 
V – V – V – F. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
F – F – F – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
F – V – F – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
V – F – F – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
V – V – F – F. 
 
 
3. 
Dentro da teoria dos números, alguns inteiros apresentam algumas propriedades muito particulares. Esse 
é o caso dos números conhecidos como cubos perfeitos. Um número inteiro a é dito ser um cubo perfeito 
se ele é da forma n3 para algum n ∈ℤ. Sabendo disso, assinale a alternativa que indique uma afirmação 
verdadeira a respeito das classes de congruência de a módulo 9. 
Resposta incorreta. 
A. 
Se a é da forma 3k + 1, k ∈ℤ, então a é divisível por 9. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
Existem apenas 3 classes de congruência [pi] (0 < pi < 9) às quais a pode pertencer. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Todas as classes de congruência [pi] de a são pares (0 < pi < 9). 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Todo a que pode ser escrito como 3k é congruente a 1 (mod 9). 
 
 
Você não acertou! 
E. 
Se n3 = a (n ∈ℤ), então n3 ≡ n (mod 9). 
 
 
4. 
Sistemas completos de restos correspondem a outro conceito dentro da aritmética modular que 
possibilita a exploração de novos resultados. Considerando Sm = 0, 1, 2, ..., m -1 um sistema completo de 
restos módulo m, leia as assertivas a seguir: 
I) Os números de qualquer sequência de m inteiros do tipo ｛a, a + 1, a + 2, ..., a + (m -1)｝ são congruentes 
módulo m. 
II) Quaisquer m inteiros consecutivos constituem um sistema completo de restos módulo m. 
III) Se o MDC(a, m) = 1, então aSm = {0, a, 2a, 3a, ..., (m – 1)a} é um sistema completo de restos módulo m. 
IV) Para x, y ∈ Sm quaisquer e aSm = {0, a, 2a, 3a, ..., (m – 1)a}, tem-se que ax ≡ ay (mod m) → x ≠ y. 
Quais estão corretas? 
Você não acertou! 
A. 
I e II. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II e IV. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I, II e III. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
II, III e IV. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
II e III. 
 
 
5. 
Uma aplicação comumente empregada da aritmética modular é na identificação dos algarismos de dado 
número de grande ordem. Considerando o número 9(99), um primeiro passo para se determinar seus dois 
últimos algarismos é resolvendo a congruência 99 ≡ r (mod 10) cujo valor de r é _____. Na sequência, a 
congruência _____ deve ser resolvida para ser obter o valor de um inteiro p. Feito isso, pode-se afirmar 
que os dois últimos dígitos do número 9(99) são _____. 
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas: 
Resposta incorreta. 
A. 
93 / 9p ≡ p (mod 100) / 99. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
99 / 9r ≡ p (mod 10) / 29. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
9 / 9r ≡ p (mod 100) / 99. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
9 / 9r ≡ p (mod 100) / 89. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
93 / 9r ≡ p (mod 100) / 89. 
 
 
Númerosprimos e o Teorema Fundamental 
da Aritmética 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
O Teorema Fundamental da Aritmética tem grande relevância dentro da teoria dos números, e os seus 
resultados podem ser estendidos para diferentes subconjuntos dos números naturais. Seja o 
conjunto F de inteiros positivos da forma 3x + 1. Nesse caso, F consiste dos números 
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ... 
Sobre o conceito de números primos e a verificação do Teorema Fundamental da Aritmética no 
conjunto F acima, leia as assertivas a seguir: 
I. - O produto de dois números de F também é um elemento do conjunto. 
II. O conceito de número primo também pode ser observado em F. 
III. O elemento 4 é um número primo dentro do conjunto F. 
IV. O Teorema Fundamental da Aritmética é válido no conjunto F. 
Quais estão corretas? 
Resposta incorreta. 
A. 
I e II. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II e IV. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
I, II e III. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
II, III e IV. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
II e III. 
 
 
2. 
Por meio da decomposição canônica, inteiros positivos podem ter seus fatores primos listados de maneira única. 
Considerando a decomposição canônica de um inteiro positivo a = p1n1p2n2...prnre um divisor positivo b de a tal que b = 
q1k1q2k2...qrkr, onde X <= ki <= Y (i = 0, 1, 2, ..., r), marque V para verdadeiro, e F para falso, para as seguintes 
afirmações: 
I. ( ) Para que b seja um divisor de a, é preciso que, para cada fator qide b, seja verdadeira a igualdade qi = pi. 
II. ( ) Os valores de X e Y para que b seja um divisor de a devem corresponder aos valores 0 e ni, respectivamente. 
III. ( ) Para cada expoente na decomposição de b, existem ni + 1 possibilidades a fim de que b divida a. 
IV. ( ) Se a = 300, então b pode assumir 20 valores distintos, tais que todos eles sejam divisores de a. 
Feito isso, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Você acertou! 
A. 
V - V - V - F. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
F - F - F - V. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
F - V - F - F. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
V - F - F - V. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
V - V - F - F. 
 
 
3. 
Embora a definição de número primo possa ser aplicada sobre números expressos em formatos 
genéricos, as suas propriedades devem ser verificadas da mesma forma para que o conceito de 
primalidade não seja violado. Considere todos os números na forma n2- 1 e assuma que 
qualquer p expresso por meio da igualdade p = n2- 1 seja um número primo. 
Assinale a alternativa que indica uma afirmação correta a respeito desses números: 
Resposta incorreta. 
A. 
A fatoração do segundo membro da igualdade atesta a primalidade de p. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
O MDC entre um número n2 - 1 e 3k, k > 0, é 3. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Se (n + 1) = 1, então n2 - 1 é verificado como número primo. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Os números 2 e 3 são valores possíveis para n2 - 1 primo. 
 
 
Você não acertou! 
E. 
Existem infinitos primos da forma n2 - 1. 
 
 
4. 
Um número inteiro n pode ser expresso de maneira genérica conforme o resto da sua divisão por dado valor q. Se q = 
3, por exemplo, então existem três possibilidades de se expressar n: n = 3q, n = 3q + 1 e n = 3q + 2 (0, 1 e 2 são os 
restos possíveis da divisão de n por 3). 
 
Considerando essa maneira genérica de expressar um número n, e supondo que p = n2 + 2 seja primo, assinale a 
alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
Se q é um valor inteiro e n = 3q + 2, então p é verificado como primo. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
O número da forma 2p -1 também é um número primo para qualquer p primo. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Se n = 3q +1 para q > 0, então a primalidade de p é verificada. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
A decomposição de qualquer p pode ser expressa apenas como fator de 3. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Para nie ni+1 quaisquer e pie pi+1 primos, nie ni+1 são primos relativos. 
 
 
5. 
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer inteiro maior que 1 pode ser decomposto de 
maneira única em fatores primos. 
 
Considerando N como o produto de primos da forma N = (p1 × p2 × ... × pn) + 1 , onde p1 = 2, p2 = 3, ..., pode-
se afirmar que, para n = 1, ... 5, _____, para n = 6, _____, e os fatores primos de N são _____. 
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas. 
Resposta incorreta. 
A. 
N é primo / N é composto / elementos de ｛p1, ..., p5｝. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
N é composto / N é primo / diferentes dos 5 primeiros primos. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
N é primo / N também é primo / elementos de ｛p1, ..., p5｝. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
N é composto / N também é composto / elementos de ｛p1, ..., p5｝. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
N é primo / N é composto / diferentes dos 5 primeiros primos. 
 
 
Equações diofantinas e o teorema chinês do 
resto 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
Este problema envolve equações diofantinas. Sendo assim, tome como referência o seguinte teorema: 
considere a equação diofantina ax + by = c e que (x0, y0) é uma solução particular. Tem-se que x e y é 
uma solução da equação se, e somente se, e , para algum . 
Considerando essas informações, pede-se para encontrar a solução geral da equação 5x + 6y = 7, 
assinalando a alternativa que contém a resposta correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
A solução geral é dada por x = 7+ 6t e y = 7 + 5t. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
A solução geral é dada por x = 6t e y = 5t. 
 
 
Você acertou! 
C. 
A solução geral é dada por x = -7 + 6t e y = 7 - 5t. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
A solução geral é dada por x = -7 + t e y = 7 - t. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
A solução geral é dada por x = -1 + 6t e y = 1 + 5t. 
 
 
2. 
Este problema envolve o teorema chinês do resto. Sendo assim, vamos relembrá-lo: sejam a1, a2,..., 
aknúmeros inteiros positivos, de tal forma que e . Dados inteiros quaisquer b1, b2,..., bk, o sistema de 
congruências lineares ｛admite solução única módulo a1, a2,..., akdada por x = N1 y1 b1 + 
N2 y2 b2 +...Nk yk bk, em que com e yi é solução da equação . Considerando essas informações e sabendo 
que um número inteiro positivo n, quando dividido por 7, deixa resto 3 e, quando dividido por 11, deixa 
resto 5, é correto afirmar que o menor natural que dividido por 7 deixa resto 3 e quando dividido por 11 
deixa resto 5 é igual a: 
Resposta incorreta. 
A. 
9. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
26. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
77. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
115. 
 
 
Você acertou! 
E. 
38. 
 
3. 
Sabe-se que equações diofantinas são equações polinomiais com coeficientes inteiros, em que se deseja encontrar 
soluções inteiras. Em muitas situações, interessa saber se determinada equação possui solução inteira e, para tanto, 
utiliza-se o seguinte teorema: seja a, b, c∈ Z, com a, b ≠ 0. A equação ax+by = c admite solução se e somente se, 
(a,b)|c. 
Nesse contexto, verifique quantos são os pares (x,y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x+3y = 101, 
assinalando a alternativa que contém a resposta correta: 
Resposta correta. 
A. 
17. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
14. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
16. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
33. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
2. 
 
 
4. 
Para existir solução em uma dada equação diofantina linear com duas variáveis, é necessário que o 
seguinte teorema seja atendido: sejam a e b inteiros e d = mdc (a, b). Se , então a equação ax +by = c não 
possui solução inteira. Se , então possui infinitas soluções e, se x = x0 e y = y0 é uma solução particular, 
então todas as soluções podem ser dadas por: ｛. Considerando essas informações, encontre a solução 
geral da equação5x + 12y = 81, sendo que suas soluções pertencem ao conjunto dos números inteiros, 
assinalando a alternativa correta. 
Resposta incorreta. 
A. 
S = ｛(5+12t,162-5t,) comt∈Z｝. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
S = ｛(405+12t,-162-5t), comt∈Z｝. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
S = ｛(5-12t,81+5t), comt∈Z｝. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
S= ｛(400+t,-167-t), comt∈Z}. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
S = ｛(12t,-5t), comt∈Z｝. 
 
 
5. 
Em meados de 250 d.C., um grande matemático surge para dar suas contribuições à Álgebra e à Teoria dos 
números. Seu nome era Diofanto de Alexandria. Ele dedicou-se expressivamente à resolução exata de equações, tanto 
de determinadas como de indeterminadas. É importante saber que, ainda que Euclides e outros estudiosos tenham 
feito descobertas importantes, Diofanto realizou avanços incomparáveis. É por meio dos estudos deste grande 
matemático que surgem as equações diofantinas. Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa 
correta: 
I - Equações diofantinas são todas as equações polinomiais com coeficientes inteiros em que o universo das variáveis 
é o conjunto dos números inteiros. 
II - Uma equação diofantina linear ax + by = c sempre tem solução. 
III - A equação diofantina ax + by = c que tem uma solução (x0,y0) tem como conjunto das soluções S = ｛(x0+b|d)t, 
y0-(a|d)t|t∈Z｝, em que d = mdc(a,b). 
Resposta incorreta. 
A. 
Apenas a II e III estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Apenas a I está correta. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Apenas a I e II estão corretas. 
 
 
Você acertou! 
D. 
Apenas a I e III estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Apenas a II está correta. 
 
 
Equações de terceiro e quarto graus 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
Uma das maneiras de fatorar um polinômio é utilizar a divisão de polinômios, que é parecida com a divisão 
de números inteiros. No caso da divisão de polinômios, tem-se f(x) = d(x) ∙ q(x) + r(x), em que f terá grau 
maior ou igual ao grau de d, q(x) é o quociente e r(x) é o resto do polinômio. 
Nesse contexto, encontre o quociente e o resto quando 2x4 − x3 − 2 
é dividido por 2x2 + x + 1 e assinale a alternativa correta: 
Resposta correta. 
A. 
q(x) = x2 − x e r(x) = x − 2. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
q(x) = x2 − 2 e r(x) = 0. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
q(x) = x − 2 e r(x) = −2. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
q(x) = x3 − 1 e r(x) = 2. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
q(x) = x3 − x e r(x) = −2. 
 
 
2. 
As funções polinomiais de terceiro e quarto graus têm características específicas e métodos de resolução 
adequados a cada uma delas, uma vez que não podem ser solucionadas como as equações de grau 
menor. Entre os métodos e técnicas para a resolução desse tipo de equação estão Briot-Ruffini, fatoração, 
biquadrada, Cardano e Ferrari. 
Dito isso, avalie as seguintes afirmações: 
I. A forma padrão de escrever uma função polinomial é com seus termos apresentando graus crescentes. 
II. Funções monomiais são aquelas em que se tem o produto de constante e variável, por exemplo, 3x3. 
III. Ao fatorar um polinômio, é possível encontrar suas raízes e as características da representação 
gráfica. 
IV. Um polinômio que não pode ser fatorado é dito primo. 
V. Algumas das técnicas de fatoração são: colocar em evidência um fator comum, fatorar por 
agrupamento, reverter os processos usuais usando distributividade dupla e formas notáveis de fatoração. 
Está correto o que se afirma em: 
Resposta incorreta. 
A. 
IV e V, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
I, II e V, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I, IV e V, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
I, II, III e IV, apenas. 
 
 
Você acertou! 
E. 
II, III, IV e V apenas. 
 
 
3. 
Fatorar polinômios corresponde ao processo inverso do uso das leis de distributividade da multiplicação. Entre as 
técnicas de fatoração, pode-se optar por colocar em evidência um fator comum ou usar a diferença de dois 
quadrados ou cubos, conforme a função que seja dada. 
Pensando nas técnicas e nas estratégias de fatoração, fatore: 
I. 15x4 − 10x3 + 25x2. 
II. x3 − 64. 
Assinale a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
I. x2 (3x2 + 2x + 5) e II. (x − 4)(x2 − 4x − 16). 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
I. 5x2 (3x2 − 2 + 5x) e II. (x + 4)(x2 + 4x + 16). 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I. 2x2 (8x2 − 5x + 5) e II. (x − 4)(x2 + x + 4). 
 
 
Você acertou! 
D. 
I. 5x2 (3x2 − 2x + 5) e II. (x − 4)(x2 + 4x + 16). 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
I. x2 (15x2 − 10x + 5) e II. (x + 4)(x2 − 4x + 16). 
 
 
4. 
O dispositivo de Briot-Ruffini é uma ferramenta para realizar a divisão de polinômios. Importante lembrar 
que, para fazer a divisão de um polinômio p(x) por outro q(x), o polinômio q(x) deve ser um binômio de 
primeiro grau. Por meio desse dispositivo, podem-se identificar facilmente o quociente e o resto da 
divisão. 
Nesse contexto, use a regra de Ruffini para calcular o quociente e o resto de f(x) = x3 − 3x2 + 3x + 1 dividido 
por g(x) = x − 1, considerando que a raiz é igual a 1, e assinale a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
Quociente x2 + 2x − 1 e resto −2. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
Quociente x2 − 2x + 1 e resto 2. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
Quociente −2x3 + x2 + 2x e resto 0. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Quociente −2x2 + x + 2 e resto 1. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Quociente x2 − 3x + x e resto 2. 
 
 
5. 
Pode-se escrever um polinômio P(x) como P(x) = Q(x)D(x) + R(x), em que Q(x) é o quociente que se deseja 
encontrar, e R(x) é o resto. 
Utilizando a regra de Briot-Ruffini, encontre as outras raízes de 
P(x) = 2x3 + x2 − 7x − 6, considerando que uma das raízes é igual a 2. Lembre-se de que o polinômio sempre 
será divisível pelas suas raízes sem resto. 
Assinale a alternativa que contém a resposta correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
As outras raízes não são reais. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
As outras raízes são 17 e −19. 
 
 
Você acertou! 
C. 
As outras raízes estão entre −2 e 0. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
As outras raízes são iguais. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
As outras raízes são −1 e 5. 
 
 
1. 
A definição de corpo diz que, sendo K um conjunto munido de duas operações (+ e ∙), adição e multiplicação, (K, +, ∙) 
é um corpo se satisfizer algumas condições. A definição de corpo ordenado considera (K, +, ∙) um corpo e ≤ uma 
relação de ordem total em K; assim, (K, +, ∙, ≤) será um corpo ordenado se alguns axiomas específicos forem 
satisfeitos. 
Nesse contexto, analise as seguintes afirmações: 
I. Todo corpo ordenado é um anel bem ordenado. 
II. Para que um conjunto seja um corpo ordenado, ele precisa 
satisfazer algumas condições. 
III. Nenhum corpo ordenado é um anel bem ordenado. 
IV. Por definição, se K é um corpo ordenado, é possível definir P = ｛x ∈ K; x > 0｝ como o conjunto dos elementos 
positivos. 
V. Por definição, se K é um corpo ordenado, é possível definir N = {x ∈ K; x < 0} como o conjunto dos elementos 
negativos. 
Está correto o que se afirma em: 
Você não acertou! 
A. 
III e IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
I, II e V, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I e II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
I, II, IV e V. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
II, III, IV e V. 
 
 
2. 
Diz-se que há homomorfismo quando uma aplicação preserva a estrutura de duas estruturas algébricas. 
O significado da palavra homomorfismo vem do grego, em que homo significa mesmo e 
morfo significa formato. Importante destacar que algumas condições precisam ser satisfeitas para 
caracterizar um homomorfismo. 
Sejam (K, +, ∙) e (F, +, ∙) corpos, ϕ: K→F é um homomorfismo de corpos se: 
I. ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y). 
II. ϕ (x ∙ y) = ϕ(x) ∙ ϕ(y). 
III. ϕ(x + y) = ϕ(x) ∙ ϕ(y). 
IV. ϕ(x ∙ y) = ϕ(x) + ϕ(y). 
V. ϕ(1) = 1.Estão corretas as proposições: 
Você não acertou! 
A. 
III e IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
I e II, apenas. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
I, II e V, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
I, II e IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
III, IV e V, apenas. 
 
 
3. 
Diz-se que há isomorfismo quando existe uma relação biunívoca entre duas estruturas algébricas, ou dois grupos, de 
modo que as operações entre ambos sejam preservadas. O significado da palavra isomorfismo vem do latim, em 
que iso significa igual e morfo significa forma. Importante destacar que algumas condições precisam ser satisfeitas 
para caracterizar um isomorfismo. 
Nesse contexto, analise as seguintes afirmações: 
I. Considerando a existência de um único corpo ordenado e completo, chamado de corpo dos reais, contendo um 
subcorpo Q munido da soma e do produto, pode-se afirmar que Q também se torna um corpo ordenado. 
II. Corpos ordenados não contêm subconjuntos isomorfos. 
III. Todo corpo ordenado contém um subconjunto isomorfo. 
IV. A soma e o produto devem ser preservados em um isomorfismo. 
Está correto o que se afirma em: 
Você acertou! 
A. 
I, III e IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
II e IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
I, II, e IV, apenas. 
 
 
4. 
Um conjunto ou grupo é um corpo quando atende a duas operações, a adição e a multiplicação, que atendem aos 
axiomas de corpos. 
Considerando o homomorfismo de grupos, e lembrando da condição de preservar a estrutura entre os grupos, 
observe os grupos G e J a seguir: 
I. G = (Z, +); J = (Z, +); f(x) = 7x. 
II. G = (Z, +); J = (Z, +); f(x) = 7x + 1. 
III. G = (Z, +); J = (Z, +); f(x) = 7x2. 
É(são) homomorfismo(s): 
Você não acertou! 
A. 
I e III, apenas. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
I, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I e II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
III, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
II e III, apenas. 
 
 
4. 
Um conjunto ou grupo é um corpo quando atende a duas operações, a adição e a multiplicação, que atendem aos 
axiomas de corpos. 
Considerando o homomorfismo de grupos, e lembrando da condição de preservar a estrutura entre os grupos, 
observe os grupos G e J a seguir: 
I. G = (Z, +); J = (Z, +); f(x) = 7x. 
II. G = (Z, +); J = (Z, +); f(x) = 7x + 1. 
III. G = (Z, +); J = (Z, +); f(x) = 7x2. 
É(são) homomorfismo(s): 
Você não acertou! 
A. 
I e III, apenas. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
I, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I e II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
III, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
II e III, apenas. 
 
 
5. 
Em álgebra, diz-se que o conceito de homomorfismo está relacionado à preservação da estrutura de 
grupos, anéis ou espaços vetoriais, por exemplo. Tem-se um homomorfismo de corpos quando algumas 
propriedades forem satisfeitas. 
Considerando o homomorfismo de grupos, observe os grupos G e J a seguir: 
I. G = (R, +); J = (R, +); f(x) = |x|. 
II. G = (M3, ∙); J = (R*, ∙); f(x) = det⁡ x em que det ⁡M3 ≠ 0. 
III. G = (R*, ∙); J = (R, +); f(x) = |x|. 
É(são) homomorfismo(s): 
Você não acertou! 
A. 
I e II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
III, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I e III, apenas. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
II e III, apenas. 
 
 
Corpo dos números complexos 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
O uso das propriedades válidas dentro do conjunto dos números complexos possibilita que várias 
relações entre esses números possam ser avaliadas. 
 
Feito isso, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de preenchimento das lacunas: 
Resposta correta. 
A. 
V – V – V – F. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
F – F – F – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
F – V – F – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
V – F – F – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
V – V – F – F. 
 
 
2. 
O cálculo de raízes complexas de uma equação é um recurso muito empregado dentro teoria dos 
números. 
 
Quais estão corretas? 
Resposta incorreta. 
A. 
I e II, apenas. 
 
 
Você acertou! 
B. 
II e IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I, II e III, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
II, III e IV, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
II e III, apenas. 
 
 
2 
3. 
A fórmula de De Moivre é um dos resultados mais relevantes observados no conjunto dos números 
complexos. Uma de suas aplicações é na verificação das raízes de um número complexo. 
Se z = 64i, então pode-se afirmar que ________ constitui uma raiz cúbica de z. Para verificar que 2√3 + 2i 
corresponde a outra raiz cúbica de z, uma estratégia é escrever sua forma polar como ________. Logo, é 
correto afirmar que todo w ∈ ｛________｝ é uma raiz cúbica de z. 
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas. 
Você não acertou! 
A. 
Confira a alternativa A: 
 
Clique aqui 
 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Confira a alternativa B: 
 
Clique aqui 
 
 
 
Resposta correta. 
C. 
Confira a alternativa C: 
 
Clique aqui 
 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Confira a alternativa D: 
 
Clique aqui 
 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Confira a alternativa E: 
 
Clique aqui 
 
 
 
4. 
Algumas propriedades dos números complexos podem ser verificadas de maneira imediata a partir das 
definições que compõem o conjunto. Outras, no entanto, demandam manipulações algébricas 
envolvendo a aplicação de resultados mais elementares. 
Para as seguintes relações entre números complexos, marque V para verdadeiro e F para falso: 
( ) | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |. 
( ) | z1 | + | z2 | < | z1 − z2 |. 
( ) | z1 + z2 | < | z1 | − | z2 |. 
( ) || z1 | − | z2 || ≤ | z1 + z2 |. 
Feito isso, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de preenchimento das lacunas. 
Você não acertou! 
A. 
V – V – V – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
F – F – F – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
F – V – F – F. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
V – F – F – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
V – V – F – F. 
 
 
5. 
A simplificação de números complexos pode ser obtida pela aplicação de múltiplos resultados e 
identidades válidas dentro do conjunto. Comumente, isso conduz a números ou expressões numéricas 
muito mais sucintos. 
 
Assinale a alternativa que indica uma afirmação verdadeira a respeito do seu cômputo. 
Resposta incorreta. 
A. 
Com a fórmula polar, só é possível simplificar o número z até uma fração de formas polares. 
 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
A razão entre as formas polares dos termos de z produz um argumento kπ, em que k é par. 
 
 
 
Você não acertou! 
C. 
O produto dos termos do numerador por meio da forma polar gera um θ = 35π/2. 
 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
A aplicação da fórmula de De Moivre está restrita ao denominador do número z. 
 
 
 
Resposta correta. 
E. 
A simplificação do número leva à obtenção de um número inteiro. 
 
 
 
Introdução ao estudo de corpos 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
Uma estrutura algébrica corpo consiste em um conjunto não vazio F dotado de duas operações binárias, 
a saber: soma (+) e produto (*), as quais satisfazem propriedades específicas. Uma delas afirma que: 
Dado ∀ a ∈ F, existe um único b ∈ F, tal que a + (−b) = (−b) + a = 0. 
Nesse caso, o elemento b recebe o nome de: 
Resposta incorreta. 
A. 
elemento neutro. 
 
 
Você acertou! 
B. 
elemento oposto. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
elemento inverso. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
elemento comutativo. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
elemento associativo. 
 
 
2. 
Para que dado conjunto F, munido das operações habituaisde soma e produto, seja um corpo, ele deve 
satisfazer um elevado número de propriedades. Nesse sentido, intuitivamente é de se pensar que há um 
restrito número de conjuntos que se enquadram na definição de corpo. 
Dito isso, assinale a alternativa em que a terna (F, +, *) define corretamente um corpo com as operações 
habituais: 
Resposta incorreta. 
A. 
2Z. 
Confira o feedback: 
Clique aqui 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Zp, sendo p não primo. 
Confira o feedback: 
Clique aqui 
 
Você acertou! 
C. 
Zp, sendo p primo. 
Confira o feedback: 
Clique aqui 
 
Resposta incorreta. 
D. 
M3 (2Z). 
Confira o feedback: 
Clique aqui 
 
Resposta incorreta. 
E. 
M5 (5Z). 
Confira o feedback: 
Clique aqui 
3. 
Define-se como corpo todo anel comutativo, tal que (A, +, *) com elemento neutro da adição e unidade da 
multiplicação, tal que todo elemento de A − ｛0｝ é inversível para a operação de produto (*). Em outras palavras, 
um corpo é uma terna ordenada (A, +, *) que satisfaz certas condições. 
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem e marque V para verdadeiro e F para falso: 
( ) A terna (A, +) é um grupo abeliano. 
( ) ∀ a, b, C ∈ A é válida (a + b) * c = a * b + a * c = a * (b + c). 
( ) A terna (A, *) é um grupo abeliano. 
( ) Existe um único b ∈ F, tal que a * b = b * a = 1. 
A alternativa que preenche corretamente as lacunas, de cima para baixo, é: 
Você não acertou! 
A. 
V – V – F – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
V – F – V – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
V – F – F – V. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
V – F – V – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
F – F – V – V. 
 
 
4. 
Se o conjunto A com as operações de soma (+) e produto (*) habituais é um corpo, ele deve satisfazer um leque de 
propriedades em relação às operações binárias anteriormente citadas. 
Nesse contexto, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas: 
I. Sejam a, b, c ∈ A, em que A é um conjunto que, munido das operações de soma (+) e produto (*), torna a terna (A, 
+, *) um corpo, então pode-se afirmar que a * c + b ∈ A. 
PORQUE 
II. Sendo A um corpo, este, então, conta com a propriedade de fechamento da multiplicação, logo, a * c = d ∈ A, bem 
como de fechamento da adição, logo, d + b ∈ A. 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
 
 
5. 
Seja a terna (A, +, *) um corpo, considere o subconjunto S ⊂ A. Esse subconjunto de A, se munido das mesmas 
operações binárias (+, *), satisfaz todas as propriedades de corpo. 
Sobre a estrutura algébrica subcorpo (S, +, *), julgue as afirmações que seguem: 
I. S é um subconjunto não vazio de A. 
II. Para cada ∀ x, y ∈ S, então x − y ∈ S. 
III. Para cada ∀ x, y ∈ S − ｛0｝, então x * y−1 ∈ S − {0}. 
Está correto o que se afirma em: 
Você não acertou! 
A. 
I, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
I e II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
I e III, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
II e III, apenas. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
I, II e III. 
 
 
Anel dos polinômios e Teorema Fundamental 
da Álgebra 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
A definição de polinômios irredutíveis diz que, sendo K um corpo e p∈K[x], dizemos que o polinômio p é 
irredutível em K[x] ou irredutível sobre K, quando p não é um polinômio constante, e, se 
existirem f,g∈K[x] tais que p=f∙g, então f é constante ou g é constante. Nesse contexto, avalie as 
afirmações a seguir e assinale a alternativa correta: 
I. Um polinômio que não é irredutível sobre K é denominado redutível sobre K. 
II. Os polinômios redutíveis sobre K são aqueles polinômios que podem ser fatorados. 
III. Nenhum polinômio de grau 1 é irredutível em R[x]. 
IV. f=x2-9 é irredutível em R[x]. 
 
Resposta incorreta. 
A. 
Apenas III e IV estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Apenas I está correta. 
 
 
Você acertou! 
C. 
Apenas I e II estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Apenas III está correta. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Apenas II, III e IV estão corretas. 
 
 
2. 
O estudo de anéis teve origem a partir de duas classes importantes: a classe dos anéis de polinômios 
em n variáveis sobre o corpo dos números complexos e a classe dos anéis inteiros algébricos de um 
corpo de números algébricos. Ambas são responsáveis por vários resultados da álgebra, alguns muito 
sofisticados. Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta: 
I. Seja R um anel e R[x] um anel de polinômios, se R é comutativo (domínio), então R[x] também será 
comutativo (domínio). 
II. Se F é um corpo, então existe um algoritmo que permite dividir um polinômio por outro, obtendo um 
quociente e um resto. 
III. O conjunto R[x] de todos os polinômios com coeficientes em R forma um anel, denominado anel de 
polinômios sobre R. 
IV. Um domínio de integridade é um anel R no qual o produto de quaisquer dois elementos não nulos é 
um elemento nulo. 
 
Resposta incorreta. 
A. 
Apenas III e IV estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Apenas II está correta. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Apenas I e IV estão corretas. 
 
 
Você acertou! 
D. 
Apenas I, II e III estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Apenas IV está correta. 
 
 
3. 
O dispositivo de Briot Ruffini é um dos métodos utilizados para realizar a divisão de um polinômio de 
grau n>1 por um binômio do primeiro grau da forma x-a. Nesse contexto, use o dispositivo prático de 
Briot-Ruffini para encontrar o quociente e o resto de P(x)=3x3+2x2+x+5 dividido por D(x)=x+1, assinalando 
a alternativa correta. 
Resposta incorreta. 
A. 
Quociente3x2-2x+1 e resto 5. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Quociente x2-2x+1 e resto 5. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
Quociente x3-x2+2x e resto 3. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Quociente -x2+2x+3 e resto 0. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
Quociente 3x2-x+2 e resto 3. 
 
 
4. 
O método de Ruffini foi inventado por Paolo Ruffini, médico e matemático dedicado a ambas as áreas, 
com resultados importantes para a área em que atuava. Ele desenvolveu a regra básica para determinar 
o quociente e o resto que resultam da divisão de um polinômio na variável x por um binomial da forma x-
a. Considere o seguinte problema envolvendo seu método de resolução: na divisão de um 
polinômio P(x) pelo binômio (x-a), encontrou-se: 
 
Nesse contexto, considerando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, assinale a alternativa que contém os 
valores de a, b, c e d, respectivamente. 
 
Resposta incorreta. 
A. 
-2; 1; -6 e 6. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
-2; 1; -2 e-6. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
2; -2; -2 e-6. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
2; -2; 1 e 6. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
2; 1; -4 e 4. 
 
5. 
Em se tratando da divisão de polinômios, o método de Briot-Ruffini é muito utilizado. Nesse dispositivo, o resto e o 
quociente da divisão podem ser obtidos seguindo alguns passos: a) desenhar dois segmentos de reta, um na 
horizontal e outro na vertical; b) colocar os coeficientes do polinômio no segmento de reta horizontal e à direita do 
segmento vertical e repetir o primeiro coeficiente na parte de baixo. No lado esquerdo do segmento vertical, coloca-
se a raiz do binômio. Importante lembrar que, para determinar a raiz de um binômio, basta igualá-lo a zero; c) 
multiplica-se a raizdo divisor pelo primeiro coeficiente localizado abaixo da linha horizontal e, em seguida, soma-se 
o resultado pelo próximo coeficiente localizado acima da linha horizontal, repetindo-se esse processo até o último 
coeficiente. 
Nesse contexto, divida o polinômio P(x)=x4-1 pelo binômio D(x)=x-1, verificando o quociente Q(x) e o resto R(x),e 
assinale a resposta correta, respectivamente: 
Resposta correta. 
A. 
Q(x) = x3+x2+x+1 e R(x) = 0. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Q(x) = x3 e R(x) = -1. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
Q(x) = x3+x2+x+1 e R(x) = -1. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Q(x) = 2x3+x2+x e R(x) = 1. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Q(x) = x2+x+1 e R(x) = 1. 
 
 
Homomorfismos e anel quociente 
MP 
Apresentação 
Desafio 
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Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
Se os anéis (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀) são tais que (A, +, *) = (B, ⊕, ⨀), além disso, a aplicação f: A→B é um 
endomorfismo de anéis, então é correto afirmar que a aplicação f: A→A é um: 
Resposta incorreta. 
A. 
endomorfismo. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
automorfismo. 
 
 
Você não acertou! 
C. 
homomorfismo inverso. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
anel quociente. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
anel de polinômio. 
 
 
2. 
O anel quociente de A por I é o conjunto dado por: 
A/I = ｛x + I | x ∈ A｝ 
Sobre ele estão definidas as seguintes operações de adição e multiplicação, respectivamente: 
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, ∀x, y ∈ A 
(x + I) * (y + I) = (x * y) + I, ∀x, y ∈ A 
Dito isso, considere o anel A dado por A = Z, o ideal I = 6Z, calcule 
(4 + I) * (5 + I) e assinale a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
I. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
1 + I. 
 
 
Você acertou! 
C. 
2 + I. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
3 + I. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
4 + I. 
 
 
3. 
Considerando os anéis (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀), bem como a aplicação 
f: A→B, em que se verificam as propriedades: 
Para ∀x, y ∈ A, f(x + y) = f(x) + f(y) 
Para ∀x, y ∈ A, f(x * y) = f(x) * f(y) 
Julgue as afirmações que seguem e marque V para verdadeiro e F para falso: 
( ) Se S é um subanel de A, então f(S) é um subanel de B. 
( ) Para todo x, y ∈ A, f(x − y) ≠ f(x) − f(y). 
( ) Se f for uma função sobrejetora e A ter unidade 1A, então o mesmo acontece com B, e a unidade de B é f(1a) = 1B. 
( ) A função f é uma função injetora se, e somente se, N(f) = ｛0A｝. 
A ordem correta de preenchimento das lacunas, de cima para baixo, é: 
Resposta incorreta. 
A. 
F – V – F – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
V – F – V – F. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
V – F – F – V. 
 
 
Você acertou! 
D. 
V – F – V – V. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
V – V – F – V. 
 
 
4. 
Sejam A um anel e I ≠ ∅ um subconjunto de A, o subconjunto I é um ideal de A se, e somente se, para todo a, b ∈ I e 
r ∈ A, têm-se: 
a − b ∈ I, a * r ∈ I e r * a ∈ I. 
A partir disso, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas: 
I. Sejam R um anel e I um ideal de R, a função dada por f: R→R/I, sendo definida por f(a) = a + I, para todo a ∈ R, é 
um homomorfismo sobrejetor de anéis com núcleo I. 
PORQUE 
II. Todo ideal de R é núcleo de um homomorfismo de anéis com domínio R. 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: 
Resposta correta. 
A. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
5. 
Sejam A = Z, assim como o ideal I = 4Z com as operações de soma e multiplicação habituais. Sobre a 
operacionalização desse anel quociente, julgue as afirmações que seguem: 
I. É válida a igualdade (1 + I) + (2 + I) = (2 + I). 
II. É válida a igualdade (3 + I) * (3 + I) = (1 + I). 
III. É válida a igualdade (3 + I) * (2 + I) = (2 + I). 
Está correto o que se afirma em: 
Resposta incorreta. 
A. 
I, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
III, apenas. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
I e II. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
II e III. 
 
 
5. 
Sejam A = Z, assim como o ideal I = 4Z com as operações de soma e multiplicação habituais. Sobre a 
operacionalização desse anel quociente, julgue as afirmações que seguem: 
I. É válida a igualdade (1 + I) + (2 + I) = (2 + I). 
II. É válida a igualdade (3 + I) * (3 + I) = (1 + I). 
III. É válida a igualdade (3 + I) * (2 + I) = (2 + I). 
Está correto o que se afirma em: 
Resposta incorreta. 
A. 
I, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II, apenas. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
III, apenas. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
I e II. 
 
 
Resposta correta. 
E. 
II e III. 
 
 
Introdução ao estudo de anéis 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
Uma estrutura algébrica anel consiste em um conjunto não vazio A dotado de duas operações binárias: 
soma(+) e produto (∙), e estas satisfazem um conjunto de propriedades. Uma delas é a 
do ______________________, a qual afirma que, para cada a∈A, existe a'∈A, 
tal que a+a'=a'+a=0∈A. 
Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna. 
Resposta incorreta. 
A. 
elemento neutro da adição. 
 
 
Você acertou! 
B. 
elemento simétrico. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
elemento neutro da multiplicação. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
elemento comutativo. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
elemento inverso multiplicativo. 
 
 
2. 
Seja Mnxn(R)=｛X=(Xij); X ∈ R, 1 ≤ i,j ≤ n, n ∈ N｝, ou seja, Mnxn(R) é o conjunto de matrizes quadradas com 
entradas reais. Sobre esse conjunto, considere que atuam o produto e a soma habitual de matrizes, ou 
seja, 
Portanto, a terna (M nxn (R) ,+, -) é um anel. Agora, assinale a alternativa correta. 
Resposta incorreta. 
A. 
(Mnxn(R),+,∙) é ausente de elemento neutro da adição. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
(M nxn (R) ,+, ∙) é ausente de elemento simétrico. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
(M nxn (R) ,+, ∙) é um anel com unidade. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
(M nxn (R) ,+, ∙) é um anel de integridade. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
(M nxn (R) ,+, ∙) é um anel comutativo. 
 
 
3. 
Seja A um anel e B um subconjunto não vazio de A, então B é um subanel de A se e somente se: ∀a,b, ∈ B, tem-se a-b 
∈ B, e a∙b ∈ B. Nesse contexto, julgue as afirmações que se seguem e marque (V) para verdadeiro e (F) para falso. 
( ) B é fechado em relação à operação de soma (+) e produto (∙) de A. 
( ) Se B é um subanel de A, então B herda os operadores binários de A, bem como suas propriedades. 
( ) Se B é um subanel de A, então 0 ∈ B, ou seja, B contém o elemento neutro da soma. 
( ) Se B é um subanel de A, é possível encontrar a,b ∈ B tal que a+b ∉ B. 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
V, V, F, F. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
V, F, V, F. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
V, F, F, V. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
V, V, V, F. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
V, F, V, F. 
 
 
4. 
Seja F(I)=｛ f:I →R｝ o conjunto das funções definidas em I=(-1,1) com imagem em R. Além disso, 
considere o produto (∙) e a soma(+) de funções usuais, ou seja, para quaisquer f,g∈FI, tem-se: 
(f+g)(x)=f(x)+g(x),∀x∈A 
(f∙g)(x)=f(x)∙g(x),∀x∈A 
Nesse contexto, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas: 
I – A terna (F(I),+,∙) é um anel comutativo com unidade. 
PORQUE 
II – Dado 1A:I:(-1,1) ⟶1, tem-se: (f∙1A)(x)=f(x)∙1A(x)= (1A∙f)(x)=1A(x)∙f(x) = f(x). 
A respeito dessas asserções,assinale a alternativa correta: 
Você acertou! 
A. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
5. 
Os anéis são importantes estruturas algébricas, pois são capazes de suportar as operações usuais de soma e 
multiplicação. No entanto, existem anéis com características particulares, capazes de operacionalizar propriedades 
específicas. 
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem: 
I – O conjunto das matrizes M2x2(R) com as operações usuais é um anel com unidade. 
II – O conjunto das matrizes M2x2(R) com as operações usuais é um anel comutativo. 
III – Um anel é dito ser comutativo se a terna (A,+,∙) é um anel, e para todo a,b ∈ A, é valido a∙b = b∙a. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Resposta incorreta. 
A. 
I. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
II. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
III. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
I e II. 
 
 
Você acertou! 
E. 
I e III. 
 
 
Grupos normais e classes laterais 
MP 
Apresentação 
Desafio 
Infográfico 
Conteúdo do Livro 
Dica do Professor 
Exercícios 
Na prática 
Saiba mais 
1. 
Uma importante proposição das classes laterais afirma que: sejam G um grupo e x,y∈G. Seja H um subgrupo de G. 
Diz-se que x≡y (modH)↔xy-1∈H. Então ≡(modH) é uma relação de equivalência no conjunto G. Considerando um 
elemento qualquer x∈G, sua classe de equivalência é definida como Hx=y∈G:y≡x (modH). 
Assim, y∈Hx↔y≡x(modH)↔yx-1 =h∈H, para algum h∈H↔y=hx para algum h∈H. Logo, Hx={hx:h∈H}=Hx e a 
chamamos classe lateral à direita de H em G determinada por x. Também pode-se definir a relação de 
equivalência x≡y (modH)↔x-1 y∈H. Nesse caso, xH={xh:h∈H} é chamada classe lateral à esquerda de H em G 
determinada por x. Nesse contexto, no grupo multiplicativo G={1,-1,i,-i} das raízes quárticas da unidade, considera-
se o subgrupo H={1,-1}. 
As classes laterais à esquerda e à direita, nesse caso, são: 
Resposta incorreta. 
A. 
-H=0,1=-H;iH=i,i=H. 
 
 
Resposta correta. 
B. 
1H=｛1,-1}=H1; iH={i,-i}=Hi. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
2H=｛2,-2}=H2;iH={-i,i}=-H. 
 
 
Você não acertou! 
D. 
H=｛1,1}=H1;-iH={-i,-i}=-Hi. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
2H= ｛2,-2｝ =H2; H= {1,-1} =H1. 
 
 
2. 
O estudo das classes laterais nos permite avançar para os grupos normais e quociente, porque os 
conceitos, teoremas, definições e proposições estão interligados. Esse campo da álgebra é muito 
importante e contribui significativamente para o entendimento da teoria dos números. A seguir, algumas 
afirmações relativas aos grupos normais e às classes laterais são apresentadas para que você avalie sua 
veracidade ou falsidade: 
I - As classes laterais à direita e as classes laterais à esquerda sempre serão iguais. 
II - Se um grupo é abeliano, para quaisquer elementos do grupo, suas classes laterais à esquerda e à 
direita coincidem, independentemente do subgrupo envolvido. 
III - O teorema de Lagrange afirma que, se G é um grupo infinito e H é um subgrupo de G, então o número 
de elementos de H é divisor do número de elementos de G. 
IV - Sejam G um grupo e H um subgrupo de G, então existe uma bijeção entre o conjunto de classes 
laterais à direita e o conjunto de classes laterais à esquerda. 
Você acertou! 
A. 
Apenas II e IV estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
Apenas III está correta. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Apenas I e IV estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
Apenas I e III estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Apenas IV está correta. 
 
 
3. 
Um subgrupo normal é aquele em que, qualquer que seja o elemento x do grupo, os conjuntos xN e Nx coincidem. Se 
considerar H um subgrupo normal de G, então tem-se que o quociente G/H admite uma estrutura de grupo, que se 
denomina grupo quociente. Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir, assinalando a alternativa correta: 
I - Sendo e o elemento neutro do grupo G, então ｛e｝ e G são subgrupos normais de G. 
II - A interseção de subgrupos normais pode gerar um subgrupo normal ou não. 
III - Os grupos quocientes independem dos grupos normais. 
IV - Se H é um subgrupo normal em G, pode-se introduzir uma operação no conjunto das classes G/H de modo que 
G/H seja um grupo com essa operação. Esse grupo será denominado grupo quociente de G por H. 
Resposta incorreta. 
A. 
Apenas III e IV estão corretas. 
 
 
Você não acertou! 
B. 
Apenas III está correta. 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
Apenas II e III estão corretas. 
 
 
Resposta correta. 
D. 
Apenas I e IV estão corretas. 
 
 
Resposta incorreta. 
E. 
Apenas II está correta. 
 
 
4. 
Tomando H≤D3, em que D3=｛e, a, a2, b,ab,a2b}, sendo H cíclico e sabendo que (a)=(a2)={e,a,a2}, (b)={e,b}, 
(ab)={e,ab}e (a2b)={e,a2b} os subgrupos de D3 são H1={e}, H2={e,a,a2},H3={e,b},H4={e,ab},H5={e,a2b}eH6=D3. 
Por definição, seja G um grupo, diz-se que um subgrupo H de G é normal em G se gH=Hg,∀g⊂G. 
Nesse contexto, encontre o(s) subgrupo(s) normal(is) de D3, assinalando a alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
Os subgrupos normais deD3 são ｛e,ab｝, {e,a2b} e D3. 
 
 
Resposta incorreta. 
B. 
O subgrupo normal de D3 é ｛e,a2｝. 
 
 
Resposta correta. 
C. 
Os subgrupos normais de D3 são ｛e}, {e,a,a2} e D3. 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
O subgrupo normal deD3 é ｛e,b｝. 
 
 
Você não acertou! 
E. 
Os subgrupos normais de D3 são ｛e}, {e,ab}. 
 
 
5. 
Por definição, o grupo G/H é chamado de grupo quociente de G por H. De forma complementar, se H é um 
subgrupo normal em G, pode-se introduzir de modo natural uma operação no conjunto das classes G/H 
de modo que G/H seja um grupo com essa operação. 
Nesse contexto, considere G=Z4 e H=｛0,2｝ e construa a tabela de operações de G/H, assinalando a 
alternativa correta: 
Resposta incorreta. 
A. 
 
 
 
 
 
Você não acertou! 
B. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
C. 
 
 
 
 
Resposta incorreta. 
D. 
 
 
 
 
Resposta correta. 
E.