Lista de exercicios - Polinômios em uma indeterminada sobre um corpo: máximo divisor comum entre polinômios, polinômios irredutíveis, fatorização única

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática – IE
Álgebra 1 - Turma C
Semana 16 – Exercícios
Temas abordados: Polinômios em uma indeterminada sobre um corpo: máximo di-
visor comum entre polinômios, polinômios irredutíveis, fatorização única.
1) Prove, detalhadamente, que o polinômio d = 5 é máximo divisor comum de
f = 1 +X2 e q = 1 +X3, ambos de R[X].
2) Determine o máximo divisor comum unitário d dos polinômios f(X) e g(X) de
K[X] nos seguintes casos:
a) f = X4 −X2 + 1; g = X3 +X2 +X + 1; K = Z/5Z
b) f = X4 +X3 +X + 1; g = 2X3 + 2X2 +X + 1; K = Z/3Z
c) f = X4 +X3 +X + 1; g = 2X + 2; K = Q
3) Suponha que o máximo divisor comum unitário de f e g ∈ K[X] é 1. Mostre que
∀ h ∈ K[X]; f | hg =⇒ f | h.
Sugestão: use a identidade de Bezout.
4) Dados f, g, h ∈ K[X], nenhum deles nulo, mostre que:
a) MDC(f, g) = 1 e MDC(f, h) = 1 =⇒ MDC(f, gh) = 1
b) MDC(f, g) = 1, f | h e g | h =⇒ fg | h
Nota: MDC(f, g) representa o máximo divisor comum unitário de f e g.
5) Determine todos os MDC de X2 + 1 e X3 +X no anel (Z/3Z)[X].
6) Mostre que ∃ p(X), q(X) ∈ Z[X] tais que ∂p(X) = ∂q(X) = 2 e X4 + 4 =
p(X) · q(X).
7) Calcule o MDC(f, g) para os seguintes pares de polinômios em Q[X]:
a) f(X) = X3 − 6X2 +X + 4; g(X) = X5 − 6X + 1
b) f(X) = X2 + 1; g(X) = X6 +X3 +X + 1
8) Calcule q(X), r(X) tais que f(X) = q(X) · g(X) + r(X), onde ou r(X) = 0 ou
∂r(X) < ∂g(X).
a) f(X) = X5 −X3 + 3X − 5; g(X) = X2 + 7 ∈ Q[X].
b) f(X) = X5 −X3 + 3X − 5; g(X) = X − 2 ∈ Q[X].
c) f(X) = X5 −X3 + 3X − 5; g(X) = X + 2 ∈ (Z/5Z)[X].
d) f(X) = X5 −X3 + 3X − 5; g(X) = X3 +X − 1 ∈ (Z/3Z)[X].
9) Seja K um corpo e f(X) ∈ K[X]− {0}. Prove que, se f(X) é um polinômio de
grau ≥ 2 e possui uma raiz a ∈ K então f(X) é redutível sobre K.
10) Determine todos os polinômios de grau 2 que sejam irredutíveis sobreK = Z/5Z.
11) Mostre que X3 +X + 1 ∈ (Z/5Z)[X] é irredutível sobre Z/5Z.
12) Prove que f(X) = X4 + 4 é um polinômio redutível sobre o corpo Q.
13) Decomponha sobre o corpo K = Z/3Z os seguintes polinômios como produto
de irredutíveis:
a) X2 +X + 1;
b) X3 +X + 2;
1
2
c) 2X3 + 2X2 +X + 1;
d) X4 +X3 +X + 1;
14) Prove que o polinômio X2 − 3 é irredutível sobre o corpo Z/5Z. Mais ainda,
se J = (Z/5Z)[X] · p(X), onde p(X) = X2 − 3 então o corpo (Z/5Z)[X]/J possui
exatamente 25 elementos.
15) Prove que o polinômio p(X) = X3+X+1 é irredutível sobre (Z/5Z) e mostre que
o corpo (Z/5Z)[X]/J possui exatamente 125 elementos, onde J = (Z/5Z)[X] · p(X)
é o ideal principal de (Z/5Z)[X] gerado por p(X).
16) Seja p(X) um polinômio irredutível de grau n sobre o corpo Z/pZ, com p primo, e
seja J = (Z/pZ)[X]·p(X). Prove que (Z/pZ)[X]/J é um corpo contendo exatamente
pn elementos.
17) Prove que:
a) p(X) = X2 + 1 é irredutível sobre K = Z/7Z e construa um corpo contendo
49 elementos;
b) p(X) = X2+1 é irredutível sobre K = Z/11Z e construa um corpo contendo
121 elementos;
c) p(X) = X2 + 1 é redutível sobre K = Z/5Z;
d) p(X) = X3−9 é irredutível sobre K = Z/31Z e construa um corpo contendo
(31)3 elementos;
e) p(X) = X3 − 9 é redutível sobre K = Z/11Z.
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Álgebra 1 - Turma C
Semana 16 – Soluções
Temas abordados: Polinômios em uma indeterminada sobre um corpo: máximo di-
visor comum entre polinômios, polinômios irredutíveis, fatorização única.
1) Sejam K = R, f(X) = X2 + 1, g(X) = X3 + 1. Temos que
f(X) = 0g(X) +X2 + 1
g(X) = X(X2 + 1) + (−X + 1)
X2 + 1 = (−X − 1)(−X + 1) + 2
(−X + 1) = (−1
2
X +
1
2
)2 + 0
Assim o MDC(f(X), g(X)) = 12 · 2 = 1
2)
(a) Sejam K = Z/5Z, f(X) = X4−X2+1¯, g(X) = X3+X2+X+1¯. Temos
que
f(X) = (X + 4¯)g(X) + (4¯X2 + 2¯)
g(X) = (4¯X + 4¯)(4¯X2 + 2¯) + (3¯X + 3¯)
(4¯X2 + 2¯) = (3¯X + 2¯)(3¯X + 3¯) + 1¯
(3¯X + 3¯) = 1¯(3¯X + 3¯) + 0¯
Assim temos que o MDC(f(X), g(X)) = 1¯
(b) Sejam K = Z/3Z, f(X) = X4+X3+X+1¯, g(X) = 2¯X3+2¯X2+X+1¯.
Temos que
f(X) = (2¯X)g(X) + (X2 + 2¯X + 1¯)
g(X) = (2¯X + 1¯)(X2 + 2¯X + 1¯) + 0¯
Assim temos que o MDC(f(X), g(X)) = X2 + 2¯X + 1¯ = (X + 1)2
(c) Sejam K = Q, f(X) = X4 +X3 +X + 1, g(X) = 2X + 2. Temos que
f(X) = (
1
2
X3 +
1
2
)g(X) + 0
Assim g(X) | f(X) e temos que o MDC(f(X), g(X)) = X + 1
3) Suponha que o MDC(f(X), g(X)) = 1K , com f(X), g(X) ∈ K[X] onde K é um
corpo. Prove que:
∀h(X) ∈ K[X] se f(X) | h(X)g(X) então f(X) | h(X)
Prova: Como o MDC(f(X), g(X)) = 1K , pela identidade de Bezout temos que
existem l(X), t(X) ∈ K[X] tais que
f(X)l(X) + g(X)t(X) = 1K .
Agora seja h(X) um qualquer elemento deK[X] e supondo que h(X)g(X) = f(X)s(X),
para algum s(X) ∈ K[X], segue que
h(X)f(X)l(X) + h(X)g(X)t(X) = h(X)
1
2
e substituindo temos que h(X)f(X)l(X) + f(X)s(X)t(X) = h(X) ou seja
h(X) = f(X)(h(X)l(X) + s(X)t(X))
como desejado f(X) | h(X).
4) Deixado ao leitor (use ideias semelhantes ao Ex 3).
5) Notamos que X2 +1¯ | X3 +X, assim oMDC(X2 +1¯, X3 +X) = X2 +1¯ = d(X).
Os outros MDC são da forma d(X)a, onde a é um qualquer elemento invertível de
Z/3Z, ou seja temos que o outro é 2¯X2 + 2¯.
6) Veja Ex 12 a seguir.
7) Contas deixadas ao leitor:
(a) MDC(f(X), g(X)) = 1
(b) MDC(f(X), g(X)) = f(X) = X2 + 1
8) Considere:
a) f(X) = X5 −X3 + 3X − 5 g(X) = X2 + 7 ∈ Q[X]. Temos que: q(X) =
X3 − 8X r(x) = 59X − 5.
b) f(X) = X5 − X3 + 3X − 5 g(X) = X − 2 ∈ Q[X]. Temos que: q(X) =
X4 + 2X3 + 3X2 + 6X + 15 r(x) = 25.
c) f(X) = X5 − X3 + 3¯X − 5¯ g(X) = X + 2¯ ∈ (Z/5Z)[X]. Temos que:
q(X) = X4 + 3¯X3 + 3¯X2 + 4¯X r(x) = 0¯.
d) f(X) = X5 −X3 + 3¯X − 5¯ g(X) = X3 +X − 1¯ ∈ (Z/3Z)[X]. Temos que:
q(X) = X2 + 1¯ r(x) = X2 + 2¯X + 2¯.
9) Deixado ao leitor. Dica: observe que se f(X) possui uma raiz a em K, então
(X − a) | f(X).
10) Vamos primeiramente considerar os polinômios da forma X2+ a¯, com a¯ ∈ Z/5Z.
Os únicos irredutíveis são X2 + 2¯ e X2 + 3¯ que não possuem raízes em Z/5Z. (Os
outros restantes: X2, X2 + 1¯, X2 + 4¯ todos possuem raízes). Agora olhamos para os
polinômios da forma X2 + a¯X + b¯, com a¯, b¯ 6= 0¯. Teste todos os casos conferindo se
os polinômios possuem ou não raízes em Z/5Z. Contas deixadas ao leitor.
11) Considere o polinômio X3 +X + 1¯ ∈ (Z/5Z)[X]. Como o polinômio não possui
raizes em Z/5Z (conferir) não existem formas possíveis de fatorizar o polinômio
(a menos de X3 + X + 1¯ = kp(X), com k elemento invertível de Z/5Z e p(X) ∈
(Z/5Z)[X] com ∂p(x) = 3) e portanto ele é irredutivel em (Z/5Z)[X].
12) Considere o polinômio X4 + 4 ∈ Q[X]. Como o polinômio não possui raizes em
Q (de fato ∀z ∈ Q temos que z4 + 4 > 0.) as únicas formas possível de fatorização
seríam
X4 + 4 = (X2 + aX + b)(X2 + cX + d), (∗)
com a, b, c, d ∈ Q ou
X4 + 4 = (αX2 + β1X + β2)(α
−1X2 + γ1X + γ2), (∗∗)
com α, β1, β2, γ1, γ2 ∈ Q e com α 6= 0 já que o polinômio X4 + 4 é mónico. Notamos
que como α tem que ser invertível é sempre possível reescrever a forma de fatorização
dada em (∗∗) como a forma dada em (∗) simplesmente multiplicando por 1 = αα−1,
ou seja
X4+4 = (αX2+β1X+β2)(α
−1X2+γ1X+γ2) = (X2+α−1β1X+α−1β2)(X2+αγ1X+αγ2)
3
que é exatamente da forma considerada em (∗). Assim é suficiente trabalhar com a
fatorização dada em (∗). Olhando aos coeficientes obtemos as condições:
c+ a = 0
d+ ac+ b = 0
ad+ bc = 0
bd = 4
⇒

a = −c
d+ b = c2
c(b− d) = 0
bd = 4
Da terceira condição temos: ou c = 0, ou b− d = 0.
Com c = 0 chegamos a uma contradição (confira!), com b− d = 0 temos
a = −c
d+ b = c2
d = b
bd = 4
Assim conferindo temos b = d = 2 e a = 2 e c = −2 e portanto X4 + 4 é redutível
em Q[X], ou seja
X4 + 4 = (X2 + 2X + 2)(X2 − 2X + 2).
13) Contas deixadas ao leitor.
(a) X2 +X + 1¯ = (X + 2¯)2
(b) X3 +X + 2¯ = (X + 1¯)(X2 + 2¯X + 2¯). Note que (X2 + 2¯X + 2¯) é irredutível
em Z/3Z já que não possui raízes.
(c) 2¯X3 + 2¯X2 +X + 1¯ = 2¯(X + 2¯)(X + 1¯)2
(d) X4 +X3 +X + 1¯ = (X + 1¯)4
14) Considere o corpo K = Z/5Z = {0¯,1¯, 2¯, 3¯, 4¯}. Observamos que o polinômio
f(X) = X2− 3¯ é irredutível em (Z/5Z)[X] já que é de grau 2 e não possui raízes em
Z/5Z. De fato temos que f(0¯) = 2¯, f(1¯) = 3¯, f(2¯) = 1¯, f(3¯) = 1¯, f(4¯) = 3¯. Considere
agora o ideal (f(X)) = (X2−3¯) ∈ (Z/5Z)[X]. Como f(X) é irredutível, então o ideal
(f(X)) é maximal em (Z/5Z)[X] e portanto o anel quociente L = (Z/5Z)[X]/(f(X))
é um corpo. Agora queremos ver que esse corpo contem exatamente 25 elementos
(Note que 25 = 52 = 5∂f(x)). No anel quociente (Z/5Z)[X]/(f(X)) os elementos são
todas as classes da forma g(X)+(f(X)) para todos os elementos g(X) ∈ (Z/5Z)[X].
Tentamos agora descrever os elementos em uma classe g(X) + (f(X)). Se g(X) ∈
(Z/5Z)[X] sempre podemos, como f(X) 6= 0, dividir g(X) por f(X) assim temos
que
g(X) = f(X)q(X) + r(X),
para alguns q(X), r(X) ∈ (Z/5Z)[X] com ∂r(x) < ∂f(X) ou r(X) = 0. Em parti-
cular notamos que g(X) + (f(X)) = r(X) + (f(X)) já que g(X)− r(X) ∈ (f(X)).
Assim concluimos que todos los polinômios em (Z/5Z)[X] que possuem o mesmo
resto r(X) que g(X) na divisão com f(X) estão na mesma classe g(X) + (f(X)).
Em particular podemos pegar como representante da classe o resto r(X) e assim
podemos descrever todos os elementos do corpo
L = {r(X) + (f(X)) | r(X) ∈ (Z/5Z)[X], ∂r(x) < ∂f(x), ou r(x) = 0}.
Para ver que L possui 25 elementos vamos ver as possibilidades de r(x). Como
∂r(X) < ∂f(X) e ∂f(X) = 2 então r(X) = aX + b, com a, b ∈ Z/5Z. Como Z/5Z
possui 5 elementos, temos em total 25 = 52 possibilidades distintas para o polinômio
r(X).
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15), 16), 17(a), 17(b), 17(d) : Deixados ao leitor, são todos análogos ao Ex 14.
17) (c) Notamos que o polinômio p(X) = X2 + 1¯ possui raízes em Z/5Z, de fato
p(2¯) = 0¯ = p(3¯) assim temos que p(X) = (X − 2¯)(X − 3¯) e o polinômio é redutível.
(e) Anâlogo ao anterior. Dica: ache uma raiz de p(X)e logo façã a divisão. Confira
que p(X) = (X − 4¯)(X2 + 4¯X + 5¯).