Apol 2 - 90 (1)

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Nota: 90 
Disciplina(s): Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Questão 1/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia a definição a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: 
"Existe uma maneira bastante útil de se representar operadores lineares que faz uso do produto interno, 
conhecida como representação de produto externo. Suponha que |v⟩|v⟩ seja um vetor de um espaço 
vetorial VV, e |w⟩|w⟩ seja um vetor de um espaço vetorial WW. Defina |w⟩⟨v||w⟩⟨v| o operador linear de 
VV para WW cuja ação é dada por: 
(|w⟩⟨v|)(|v′⟩)≡|w⟩⟨v|v′⟩=⟨v|v′⟩|w⟩(|w⟩⟨v|)(|v′⟩)≡|w⟩⟨v|v′⟩=⟨v|v′⟩|w⟩. " 
 
Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: 
Bookman, 2005, p.96. 
Com base na representação de produto externo, assinale a alternativa que reproduz a combinação de 
portas ZXZX: 
Nota: 10.0 
 
A |0⟩⟨1|+|1⟩⟨0||0⟩⟨1|+|1⟩⟨0| 
 
B |0⟩⟨0|−|1⟩⟨1||0⟩⟨0|−|1⟩⟨1| 
 
C |1⟩⟨0|−|0⟩⟨1||1⟩⟨0|−|0⟩⟨1| 
 
D |0⟩⟨1|−|1⟩⟨0||0⟩⟨1|−|1⟩⟨0| 
Você acertou! 
O operador combinado ZX será obtido pela multiplicação entre os dois 
operadores ZZ e XX, (|0⟩⟨0|−|1⟩⟨1|).(|0⟩⟨1|+|1⟩⟨0|)(|0⟩⟨0|−|1⟩⟨1|).(|0⟩⟨1|+|1⟩⟨0|), que será 
igual 
a |0⟩⟨0|0⟩⟨1|−|1⟩⟨1|0⟩⟨1|+|0⟩⟨0|1⟩⟨0|−|1⟩⟨1|1⟩⟨0||0⟩⟨0|0⟩⟨1|−|1⟩⟨1|0⟩⟨1|+|0⟩⟨0|1⟩⟨0|−|1⟩⟨1|1
⟩⟨0|. Como os produtos internos entre estados iguais retorna 1 e estados diferentes retorna 
zero, o estado final será |0⟩⟨1|−|1⟩⟨0||0⟩⟨1|−|1⟩⟨0|. 
 
E |1⟩⟨1|+|0⟩⟨0||1⟩⟨1|+|0⟩⟨0| 
 
Questão 2/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: 
“Foi postulado que sistemas quânticos fechados evoluem de acordo com transformações unitárias. Para 
sistemas que não interagem com outros sistemas, isto está correto, mas deveria existir momentos em que 
os experimentadores e seus equipamentos – em outras palavras, um sistema físico externo – deverão 
observar o sistema para verificar o que está acontecendo dentro dele, uma intervenção que acaba com o 
isolamento do sistema, e que não é necessariamente descrita por uma transformação unitária”. 
Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: 
Bookman, 2005, p.113. 
Com base no texto anterior, a medição do estado quântico em superposição 
|ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)|ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩), supondo a medida apenas no primeiro 
q-bit e a obtenção do valor clássico “0”, resulta no estado: 
Nota: 10.0 
 
A |ψ1⟩=1√ 2 (|01⟩+|10⟩)|ψ1⟩=12(|01⟩+|10⟩) 
 
B |ψ1⟩=1√ 2 (|01⟩+|11⟩)|ψ1⟩=12(|01⟩+|11⟩) 
 
C |ψ1⟩=1√ 2 (|00⟩+|10⟩)|ψ1⟩=12(|00⟩+|10⟩) 
 
Você acertou! 
Tem-se uma medição parcial do primeiro q-bit, de um total de 2 q-bits no circuito. 
Portanto, n=2n=2 e m=1m=1. A definição do operador de medição, com o segundo q-bit 
tendo um valor dummy: 
 
M0=√ 2 |_0⟩⟨_0|M0=2|_0⟩⟨_0| 
Aplicando-se o operador, tem-se: 
|ψ1⟩=M0|ψ0⟩=√ 2 |_0⟩⟨_0|(12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)=|ψ1⟩=M0|ψ0⟩=2|_0⟩⟨_0|(12(|00⟩+|01⟩+|1
0⟩+|11⟩)= 
=√ 2 2(|_0⟩⟨_0|00⟩|_0⟩⟨_0|00⟩+|_0⟩⟨_0|01⟩+|_0⟩⟨_0|10⟩|_0⟩⟨_0|10⟩+|_0⟩⟨_0|11⟩)==22(|_0⟩⟨_0|00
⟩|_0⟩⟨_0|00⟩+|_0⟩⟨_0|01⟩+|_0⟩⟨_0|10⟩|_0⟩⟨_0|10⟩+|_0⟩⟨_0|11⟩)= 
Pela ortogonalidade dos estados no primeiro q-bit, apenas os estados contendo “0” no 
primeiro q-bit serão preservados: 
=1√ 2 (|00⟩+|10⟩)=12(|00⟩+|10⟩) 
 
 
D |ψ1⟩=1√ 2 (|00⟩+|11⟩)|ψ1⟩=12(|00⟩+|11⟩) 
 
E |ψ1⟩=1√ 2 (|00⟩+|01⟩)|ψ1⟩=12(|00⟩+|01⟩) 
 
Questão 3/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. 
“Qubits únicos podem ser representados em valor e fase relativa em duas dimensões, o que é semelhante 
à maneira como representamos coordenadas polares para números complexos.” 
Adaptado de: PERRY, R. T. The Temple of Quantum Computing, v1.1 – April, 2006. p.119. 
Considerando um vetor qualquer que esteja deslocado no sentido anti-horário em 135 graus em relação ao 
vetor no ângulo zero, o coeficiente respectivo deste estado é: 
Nota: 10.0 
 
A ei5π2ei5π2 
 
B ei5π4ei5π4 
 
C ei3π2ei3π2 
 
D ei3π4ei3π4 
Você acertou! 
O ângulo de 135 graus equivale a θ=3π4θ=3π4. 
 
E ei7π4ei7π4 
 
Questão 4/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. 
“As portas Hadamard (HH), de fase (SS) e π/8π/8 (TT) formam um conjunto discreto universal para 
computação quântica, no sentido de que, dado um circuito contendo CNOTCNOTs e portas de um q-bit, é 
possível simular o circuito com boa precisão usando somente este conjunto de portas”. 
Adaptado de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: 
Bookman, 2005, p.225. 
Considere um circuito de um q-bit no estado |1⟩|1⟩; para deslocar o estado em 225 graus, as portas a 
serem aplicadas são: 
Nota: 10.0 
 
A STTSTT 
 
B SSSSSS 
 
C SSTSST 
Você acertou! 
A porta S executa uma rotação de fase de 90 graus, enquanto que a porta T executa uma 
rotação de 45 graus. A única opção que reproduz uma rotação de 225 graus é aquela que 
utiliza duas portas S e uma porta T, sendo, portanto, SST. 
 
D ZTTZTT 
 
E ZSTZST 
 
Questão 5/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto a seguir sobre medição e depois faça o que é solicitado para a questão: 
“A evolução de um sistema quântico fechado é descrita por uma transformação unitária, ou seja, o estado 
|ψ⟩|ψ⟩ de um sistema em um tempo t1t1 está relacionado ao estado |ψ‘⟩|ψ‘⟩ do sistema em t2t2 por um 
operador unitário U que depende somente de t1t1 e t2t2: |ψ‘⟩=U|ψ⟩|ψ‘⟩=U|ψ⟩”. 
Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: 
Bookman, 2005, p.110. 
De acordo com o texto acima, o operador de medição para o estado |0⟩|0⟩ é representado matricialmente 
por: 
Nota: 10.0 
 
A M0=[0100]M0=[0100] 
 
B M0=[1000]M0=[1000] 
Você acertou! 
A medição em um sistema quântico manifesta um caráter probabilístico, trazendo a 
imprevisibilidade ao sistema. A Mecânica Quântica apenas traz uma descrição das 
probabilidades de se obter um ou outro estado quântico, sendo as causas que motivam a 
escolha de estados, após a medição, desconhecidas. De acordo com o postulado da 
medição, as medidas quânticas podem ser descritas mediante operadores de 
medição MmMmMmMm. Tais operadores atuam sobre o espaço de estados de um sistema 
quântico, com o índice m se referindo aos possíveis resultados da medida. O operador de 
medida para M0M0M0M0, é, portanto, M0=[1000]M0=[1000]. 
 
C M0=[0010]M0=[0010] 
 
D M0=[0001]M0=[0001] 
 
E M0=[1001]M0=[1001] 
 
Questão 6/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. 
“Quando observamos tamanhos de entrada grandes o suficiente para tornar relevante apenas a ordem do 
crescimento do tempo de execução, estamos estudando a eficiência assintótica dos algoritmos. Ou seja, 
estamos preocupados com a maneira como o tempo de execução de uum algoritmo aumenta com o 
tamanho da entrada no limite, à medida que o tamanho da entrada aumenta indefinidamente (sem 
limitação).” 
Extraído de: CORMEN, T. H. et al. Algoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2002, p.32. 
De conformidade com a afirmação anterior, relacione as classes de execução de algoritmos abaixo e 
depois assinale a alternativa com a ordem correta: 
1. Classe P 
2. Classe NP 
3. Classe BPP 
4. Classe BQP 
( ) A classe de algoritmos quânticos que resolvem os problemas de forma eficiente em um computador 
quântico, aceitando-se uma margem de erro 
( ) A classe dos problemas que podem ser resolvidos de forma rápida em um computador clássico 
( ) A classe que contém problemas que podem ser resolvidos utilizando-se algoritmos aleatórios que 
podem resolver em tempo polinomial, aceitando uma probabilidade de erro limitada 
( ) A classe de problemas onde as soluções podem ser verificadas eficientemente em um 
computador clássico 
Nota: 10.0 
 
A 3-1-4-2 
 
B 4-2-3-1C 4-1-3-2 
Você acertou! 
As duas classes de problemas mais importantes são denominadas P e NP. A classe P é 
considerada a classe dos problemas que podem ser resolvidos de forma rápida em um 
computador clássico. A classe NP (Non-deterministic Polynomial), por sua vez, se refere à 
classe de problemas onde as soluções podem ser verificadas eficientemente em um 
computador clássico. Se um problema está em NP, não é requerido que exista um 
algoritmo de tempo polinomial que possa resolvê-lo. certos tipos de problemas podem ser 
resolvidos utilizando-se algoritmos aleatórios que podem resolver em tempo polinomial, 
aceitando uma probabilidade de erro limitada. Esta classe de problemas é denominada 
BPP (Bounded Probability Polynomial). Existe a contrapartida da classe BPP na 
computação quântica, a BQP (Bounded Quantum Polynomial), que é definida como a 
classe de algoritmos quânticos que resolvem os problemas de forma eficiente em um 
computador quântico, aceitando-se uma margem de erro. 
 
D 3-2-4-1 
 
E 3-4-2-1 
 
Questão 7/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. 
“O algoritmo de Grover nos fornece uma velocidade quadrática para uma ampla variedade de algoritmos 
de pesquisa clássicos. Os exemplos mais comuns de algoritmos de busca que podem se beneficiar de 
uma arquitetura quântica são os algoritmos de busca de rotas mais curtas e algoritmos para encontrar 
elementos específicos em um banco de dados não classificado.” 
Adaptado de: PERRY, R. T. The Temple of Quantum Computing, v1.1 – April, 2006. p.212. 
Assinale nos passos do algoritmo de busca de Grover a ordem correta e depois marque a alternativa 
condizente (considerando somente uma iteração de Grover): 
( ) Medida 
( ) Deslocamento de fase 
( ) Portas Hadamard 
( ) Oráculo 
Nota: 0.0 
 
A 4-3-1-2 
A busca mediante o algoritmo de Grover é feita de forma a aumentar a probabilidade de se 
encontrar o elemento desejado dentro do espaço de q-bits. O algoritmo altera, portanto, as 
amplitudes de todas as possíveis soluções através da aplicação de operadores específicos. 
Após a transformação de Haramard, o oráculo marca a solução, aplicando-se um 
deslocamento de fase para, por último, fazer a medida. 
 
B 4-3-2-1 
 
C 4-2-1-3 
 
D 3-4-1-2 
 
E 3-1-2-4 
 
Questão 8/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: 
“Um produto interno é uma função que toma dois vetores de entrada |v⟩|v⟩ e |w⟩|w⟩ de um espaço 
vetorial e produz um número complexo como saída. (...) A notação padrão na mecânica quântica para o 
produto interno (|v⟩,|w⟩)(|v⟩,|w⟩) é ⟨v|w⟩⟨v|w⟩, em que ⟨v|⟨v| é o vetor dual de |v⟩|v⟩.” 
Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: 
Bookman, 2005, p.94. 
Com base na definição apresentada, o resultado do produto interno do vetor|ψ⟩=[1i]|ψ⟩=[1i] com ele 
mesmo será: 
Nota: 10.0 
 
A 11 
 
B 22 
Você acertou! 
Para o cálculo do produto interno, é necessário calcular o vetor dual 
de |ψ⟩|ψ⟩: ⟨ψ|=[1−i]⟨ψ|=[1−i]. Note o valor negativo, pois o vetor dual “bra” refere-se ao 
tranposto conjugado do vetor “ket”. A seguir, basta aplicar a definição de produto interno e 
fazer a multiplicação matricial que resulta em um escalar. 
 
C 00 
 
D 1−i1−i 
 
E 1+i1+i 
 
Questão 9/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. 
“A grande utilizada do algoritmo (Grover) se deve ao fato de que não se supõe a priori nenhuma estrutura 
particular do problema de busca em questão.” 
Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: 
Bookman, 2005, p.286. 
Lov Grover propôs um algoritmo de busca que permite encontrar um elemento em um espaço de 
busca contendo N elementos, sem nenhum conhecimento prévio sobre a estrutura da informação 
contida nele. Este algoritmo possui, em relação à busca tradicional: 
Nota: 10.0 
 
A ganho linear 
 
B ganho quadrático 
Você acertou! 
Os algoritmos clássicos de busca apresentam complexidade O(N)O(N), enquanto que o 
algoritmo de Grover apresenta complexidade O(√N)O(N). 
 
C ganho exponencial 
 
D ganho logarítmico 
 
E ganho fatorial 
 
Questão 10/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação 
Leia o texto a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: 
“É possível examinar um bit para determinar se ele está no estado 0 ou 1. Por exemplo, os computadores 
fazem isso toda vez que recuperam o conteúdo em suas memórias. Curiosamente, não se pode examinar 
um q-bit a fim de determinar seu estado quântico, isto é, os valores de αα e ββ. Ao invés disso, a 
mecânica quântica nos ensina que só podemos ter acesso a uma informação muito mais restrita sobre o 
estado quântico”. 
Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: 
Bookman, 2005, p.43. 
A probabilidade de obtenção da medida do estado quântico em superposição 
|ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)|ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩), supondo a obtenção do estado clássico 
10, é de: 
Nota: 10.0 
 
A 1414 
 
Você acertou! 
A medida do estado em superposição irá resultar em apenas um dos estados 
especificamente. Cada estado possui amplitude 1212. O cálculo da 
probabilidade p=∥12∥2=14=0,25p=∥12∥2=14=0,25. 
 
B 1212 
 
C 1√ 2 12 
 
D −14−14 
 
E 2424