Matemática para Computação

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COMPUTAÇÃO
PARA
Código Logístico
I000122
ISBN 978-65-5821-071-9
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 7 1 9
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Código Logístico
I000122
ISBN 978-65-5821-071-9
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 7 1 9
Matemática para 
Computação 
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2021
© 2021 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora e do 
detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: whiteMocca/majcot/Lantica/Shutterstock
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427m
Vargas, Marina
Matemática para computação / Marina Vargas. - 1. ed. - Curitiba [PR] 
: Iesde, 2021.
160 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-65-5821-071-9
1. Computação - Matemática. 2. Programação (Computadores). 3.
Algoritmos. 4. Matrizes (Matemática). I. Título.
21-72772
21-72772 CDD: 518.1
CDU: 519.165:004.021
Marina Vargas Pós-doutora em Mecânica Computacional pela 
Universidade Federal do Paraná (UFPR). Doutora 
e mestre em Métodos Numéricos em Engenharia 
pela UFPR. Especialista em Educação Matemática 
e licenciada em Matemática pela Universidade 
Paranaense (Unipar). Professora no ensino superior 
nas modalidades presencial e a distância, ministra 
as disciplinas Cálculo de Funções de uma e mais 
Variáveis, Álgebra Linear, Geometria Analítica, Métodos 
Numéricos, Teoria dos Números, Pesquisa Operacional, 
Matemática Aplicada, Estatística Aplicada e Métodos 
Quantitativos. Atua também como professora 
conteudista em diversas instituições e empresas. 
Atualmente, desenvolve pesquisas nas áreas de 
programação matemática, mecânica computacional, 
educação matemática e educação em engenharias.
SUMÁRIO
Agora é possível acessar os vídeos do livro por 
meio de QR codes (códigos de barras) presentes 
no início de cada seção de capítulo.
Acesse os vídeos automaticamente, direcionando 
a câmera fotográ�ca de seu smartphone ou tablet 
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Em alguns dispositivos é necessário ter instalado 
um leitor de QR code, que pode ser adquirido 
gratuitamente em lojas de aplicativos.
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1 Por que estudar matemática? 9
1.1 O que é matemática computacional 9
1.2 Idealização de um algoritmo numérico 15
1.3 Relações de recorrência 19
1.4 Conceito de função no aspecto computacional 22
1.5 Diferenças entre problemas qualitativos e quantitativos 24
2 Noções sobre sistemas de numeração 29
2.1 Sistemas de numeração 29
2.2 Representação numérica 35
2.3 Representação em ponto flutuante 43
2.4 Erros numéricos 46
3 Matrizes 54
3.1 Vetores de uma matriz 55
3.2 Análise do algoritmo padrão para multiplicação de matrizes 58
3.3 Bases 61
3.4 Fatoração matricial – Método de Gauss 64
3.5 Decomposição LU e LDU 69
3.6 Inversa de uma matriz 75
4 Sistemas de equações lineares 81
4.1 Sistemas equivalentes e operações 82
4.2 Sistemas triangulares e escalonados 86
4.3 Eliminação gaussiana 94
4.4 Condicionamento de sistemas lineares 101
4.5 Métodos iterativos 108
5 Grafos e árvores 123
5.1 O que é um grafo: terminologia e tipos 124
5.2 Representação computacional de um grafo 132
5.3 Conceito de árvore 138
5.4 Raízes e árvores binárias 142
5.5 Introdução a procedimentos de busca 145
 Resolução das atividades 150
Nesta obra, buscamos trazer os conceitos básicos da 
matemática para o trabalho, não só com algoritmos a serem 
implementados nas mais diversas linguagens de programação, 
mas, principalmente, a lógica por trás dos cálculos computacionais.
Quando mencionamos cálculos computacionais, além de 
pensarmos a forma como a máquina opera e, portanto, trabalha 
com sistemas de numeração, erros numéricos e vetores, é 
necessário falarmos de conceitos, como sistemas em rede e grafos, 
pois estes estão diretamente relacionados às teorias mais atuais 
da computação, como inteligência artificial, redes neurais etc.
Desse modo, destinamos o primeiro capítulo a apresentar 
um pouco da história do desenvolvimento da computação, que 
está diretamente ligada ao desenvolvimento da matemática. 
Apresentamos alguns dos nomes importantes dessa história e 
mostramos suas contribuições para a matemática computacional. 
Além disso, contextualizamos conceitos como algoritmo e 
relações de recorrência e tratamos da diferença entre problemas 
qualitativos e quantitativos.
No segundo capítulo, discorremos sobre os sistemas de 
numeração aditivos e posicionais, destacando o sistema de 
numeração posicional decimal, relacionando-o com o sistema 
por trás das máquinas eletrônicas: o sistema posicional binário. 
Também trabalhamos o conceito de erro entre o resultado 
esperado e o resultado encontrado. Para esse fim, construímos 
um fluxograma que mostra, com base em um modelo real, 
as ramificações possíveis até que seja obtida a solução 
numérica/computacional desejada.
A proposta do Capítulo 3 é a explanação sobre os conceitos 
de vetores e matrizes e as operações que os representam. Essa 
escolha se dá pela facilidade em operar computacionalmente por 
meio dessas estruturas matemáticas. Assim, seu entendimento 
é essencial para a matemática computacional. Além disso, 
trabalhamos com a decomposição de matrizes, preparando 
caminho para o tema do próximo capítulo.
APRESENTAÇÃOVídeo
8 Matemática para Computação
Nesse contexto, entramos no quarto capítulo, que trata dos sistemas 
de equações e visa trazer técnicas numéricas e algoritmos que permitam a 
implementação computacional desses sistemas. Podemos exemplificar essa 
necessidade por meio de uma extensa lista de aplicações, entre elas: redes de 
computadores, resolução de modelos que representam fenômenos físicos e 
gerenciamento de sistemas. No entanto, além desse contexto, elas podem ser 
diretamente aplicadas ao próximo capítulo, que aborda os grafos.
O Capítulo 5 apresenta a concepção de grafo. Por intermédio de um 
grafo, podemos representar problemas aplicados e identificar situações em 
que a busca por um caminho mínimo não só agiliza processos, mas também 
minimiza custos. Para essa construção, retomamos o uso de matrizes e 
vetores, sendo essa uma importante forma de implementação desse conceito. 
É fácil notarmos que os três últimos capítulos têm uma conexão importante 
dentro da matemática computacional e se comunicam com a computação de 
maneira quase que natural. Esse é um dos fatores para que esses conceitos 
estejam em todos os melhores cursos de computação e tecnologia da 
informação com todas as suas ramificações.
Este é o foco desta obra. Nossa proposta é trazer o raciocínio lógico 
matemático por trás da necessidade de implementação computacional de 
problemas aplicados na área da tecnologia da informação e computação. 
Esperamos que este livro auxilie no aprendizado para a formação de um 
melhor profissional na área escolhida.
Bons estudos!
Por que estudar matemática? 9
1
Por que estudar 
matemática?
A matemática está por trás da lógica de programação de uma maneira 
que você talvez nunca tenha parado para pensar. A ciência da programa-
ção começou por intermédio de matemáticos curiosos e muito à frente de 
seus tempos, que tentavam otimizarprocessos e avançar com a possibi-
lidade dos cálculos serem realizados por máquinas. A ideia era que essas 
máquinas recebessem mais do que números, ou seja, que pudessem re-
ceber instruções. E eles conseguiram!
Neste capítulo, destinado ao estudo da ligação da matemática com a 
computação, vamos conhecer um pouco da história desses matemáticos 
e compreender por que é tão importante conhecer matemática para dis-
cutirmos sobre computação.
Com o estudo deste capítulo, você será capaz de:
• compreender a matemática por trás de conceitos 
computacionais;
• reconhecer a diferença entre matemática teórica e matemá-
tica computacional;
• identificar o uso de cálculos numéricos por trás de algoritmos;
• relacionar o conceito de função em diferentes realidades 
computacionais;
• compreender as dimensões quantitativas de um problema.
Objetivos de aprendizagem
1.1 O que é matemática computacional
Vídeo
Quando pensamos em matemática computacional, precisamos en-
tender, em primeiro lugar, como um “computador” faz cálculos. Aqui, 
estamos chamando de “computador” todos os objetos que são capazes 
de realizar cálculos discretos, como: calculadoras, computadores, celu-
10 Matemática para Computação
lares, dentre outros. Assim, todos os objetos que utilizam o princípio de 
abertura e fechamento de chaves e que permitem ou não a passagem 
de energia serão analisados perante a mesma lógica de construção 
para obtenção da chamada matemática computacional.
Quando escrevemos os cálculos, percebemos que eles serão reali-
zados usando um princípio mecânico básico de abertura e fechamento 
de chaves, e que estamos envolvendo nesse processo uma lógica bi-
nária. Essa lógica precisa ser processada e interpretada. É nesse ponto 
que entram os diferentes hardwares de processamento e, em conjun-
to, os softwares que interpretam esses dados processados.
É justamente por esse desenvolvimento que começamos a identifi-
car a existência de erros numéricos, os quais podem surgir no processo 
de cálculo. Além disso, é por meio da lógica binária que identificamos o 
teor discreto da matemática computacional.
Agora vamos conhecer alguns dos nomes que permitiram que a ma-
temática computacional acontecesse.
1.1.1 Ada Lovelace
Augusta Ada Byron King, Condessa de Lovelace, nasceu em 10 de 
dezembro de 1815 na cidade de Londres e faleceu em 27 de 
novembro de 1852, aos 36 anos, no bairro Marylebone, na 
mesma cidade em que nasceu, na Inglaterra. Ada Lovela-
ce é conhecida como a primeira programadora da 
história.
Ela viveu em uma época em que as mulheres não 
eram bem-vistas em universidades. Por esse motivo, e com 
estímulo de sua mãe (Anne Isabella “Anabella” Byron, Baro-
nesa de Wentworth), Ada estudou em casa com tutores como 
Augustus De Morgan e Mary Sommerville, que se tornou não apenas 
sua tutora, mas sua amiga (BIM, 2018).
Foi Sommerville quem apresentou Ada ao cientista Charles Babba-
ge (1791-1871), matemático, conhecido por ter criado a primeira má-
quina capaz de resolver e imprimir cálculos matemáticos.
A invenção, chamada de máquina analítica (Figura 1), é considera-
da precursora dos computadores modernos (BROMLEY, 1982).
Ada Lovelace
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Por que estudar matemática? 11
Charles Babbage 
Connormah/Wikimedia Commons 
Figura 1
Réplica da máquina analítica
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Mas foi Lovelace quem criou o primeiro algoritmo resolvido pela 
máquina analítica, publicado como nota de rodapé de um artigo de 
Babbage. Nesse material, Ada descreveu a possibilidade de a máqui-
na realizar cálculos complexos envolvendo letras, números e sím-
bolos, além de instruções que permitiam repetição (looping). Além 
disso, constava nessas notas um algoritmo que permitia o cálculo 
para os números de Bernoulli.
Foi por causa desse artigo que Babbage percebeu a geniali-
dade da moça e aceitou trabalhar em conjunto com ela, o que 
se transformou em uma grande amizade.
Na matéria “Ada Lovelace desafiou o machismo e se tornou 
a primeira programadora da história”, que retrata a história de 
Ada Lovelace sob o olhar da escritora Angela Saini, Simões (2021) 
relata que a “matemática estava muito à frente de seu tempo quan-
do teve a genial ideia do que um algoritmo seria capaz de fazer”.
Ada e Babbage trabalharam juntos ao longo de muitos anos. Nesse 
período, ela desenvolveu diversos algoritmos que permitiriam que a má-
quina analítica computasse valores de funções matemáticas. Esses algo-
ritmos foram posteriormente analisados por um outro matemático – que 
será apresentado mais à frente.
Para conhecer um pouco 
mais da história e feitos 
de Babbage e Lovelace, 
sugerimos dois vídeos. 
O primeiro conta a vida 
de Lovelace. Já o segundo, 
traz a parceria entre 
Lovelace e Babbage na 
idealização e construção 
da máquina analítica.
• Biografias 23 – Ada Lovelace, a 
primeira programadora.
 Disponível em: https://www.
youtube.com/ 
watch?v=gcNKhlKW7uQ&ab_
channel=OMundoDaCi%C3 
%AAncia. Acesso em: 31 maio 2021.
• O primeiro Computador do 
Mundo – Charles Babbage & Ada 
Lovelace – Documentário. 
 Disponível em: https://
www.youtube.com/
watch?v=35MwtZ5MKjM. 
Acesso em: 31 maio 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=gcNKhlKW7uQ&ab_channel=OMundoDaCi%C3%AAncia
https://www.youtube.com/watch?v=gcNKhlKW7uQ&ab_channel=OMundoDaCi%C3%AAncia
https://www.youtube.com/watch?v=gcNKhlKW7uQ&ab_channel=OMundoDaCi%C3%AAncia
https://www.youtube.com/watch?v=gcNKhlKW7uQ&ab_channel=OMundoDaCi%C3%AAncia
https://www.youtube.com/watch?v=gcNKhlKW7uQ&ab_channel=OMundoDaCi%C3%AAncia
https://www.youtube.com/watch?v=35MwtZ5MKjM
https://www.youtube.com/watch?v=35MwtZ5MKjM
https://www.youtube.com/watch?v=35MwtZ5MKjM
12 Matemática para Computação
Mas o que é um algoritmo?
Fazendo uma analogia simples, um algoritmo é como uma receita 
de bolo que mostra detalhadamente os métodos necessários para re-
solver uma atividade.
Na matemática, um algoritmo é fundamental para que consigamos 
resolver uma expressão. A seguir, veremos que na computação tam-
bém é essencial.
Exemρlo 1
Pense em um cálculo qualquer. Pode ser um cálculo simples, como
(2 + 2) + 2
Um algoritmo para esse cálculo pode ser montado como a seguir:
Início:
Resolva primeiro os parênteses.
Laço:
Dentro dos parênteses procure operações de multiplicação e 
divisão.
Se não houver, resolva as operações de adição e subtração.
Com o resultado da soma, elimine os parênteses e some esse nú-
mero com o restante das parcelas.
Fim.
O Exemplo 1 traz um algoritmo muito simples, escrito de maneira 
direta e, no momento, sem pensarmos como essa lista de regras seria 
realmente programada para que a máquina pudesse resolver. Porém, 
com esse exemplo, conseguimos visualizar a necessidade de regras 
claras sobre a maneira de resolução, pois sem elas o computador não 
irá operar corretamente. Essa forma de escrita que adotamos para re-
presentar um algoritmo é conhecida como pseudocódigo ou portugol.
Fica claro que sem os algoritmos e esse avanço trazido por Ada 
Lovelace é quase impossível pensarmos na ciência da computação e na 
matemática avançada da maneira que a vemos hoje.
Por que estudar matemática? 13
1.1.2 Alan Turing
Alan Mathison Turing nasceu em 23 de junho de 1912, 
na cidade de Paddington, na Inglaterra, e faleceu em 
7 de junho de 1954, aos 41 anos, em Wilmslow, 
Inglaterra. Alan Turing é conhecido como o pai da 
ciência da computação e da inteligência artificial.
Estudou na Universidade de Cambridge, onde 
obteve seu bacharelado em matemática e concluiu 
seu mestrado. Prosseguiu seus estudos, obtendo 
seu doutorado em matemática pela universidade de 
Princeton.
Dentre os vários projetos que fizeram desse matemático o “cien-
tista do século 20”, em pesquisa 1 realizada pela BBC no ano de 2019, 
ficando à frente de Albert Einstein e Marie Curie, está a chamada má-
quina de Turing, também conhecido como máquina universal.
A máquina de Turing é um modelo abstrato que permite mani-
pular símbolosem uma fita de acordo com regras preestabelecidas, 
restringindo-se apenas aos aspectos lógicos do seu funcionamento, 
como a memória, os estados e as transições. Por meio dessa máqui-
na, podemos modelar qualquer computador digital.
Turing foi um dos responsáveis para que os Aliados – incluindo 
a Inglaterra – ganhassem uma importante vantagem em relação à 
Alemanha na Segunda Guerra Mundial. Sua máquina física Bombe, 
construída com os conceitos da máquina universal e tendo como 
referência os trabalhos de Lovelace e Babbage, dentre outros, per-
mitiu que os Aliados quebrassem o código alemão Enigma em Blet-
chley Park. Dessa forma, eles passaram a ter conhecimento das 
estratégias que seriam usadas e puderam se antecipar aos ataques, 
levando à vitória.
Muitos outros nomes estão envolvidos na construção histórica 
da computação e na forma como trabalhamos com a matemática 
hoje. Dentre eles, citamos John Von Neumann (1903-1957) e Norbert 
Wiener (1894-1964).
Contudo, percebemos que Ada Lovelace e Alan Turing, dois ma-
temáticos, viram a matemática muito além do que cálculos reali-
zados à mão, com abordagem abstrata e sem aplicação no mundo 
Alan Turing
Bruno Barral/Wikimedia Commons
Acesse na íntegra a pes-
quisa Scientists of the 20th 
Century. Disponível em: 
https://www.bbc.co.uk/
programmes/p06y1tmk. 
Acesso em: 30 ago. 2021
1
Para saber um pouco 
mais sobre a vida e con-
tribuição de Turing, suge-
rimos a matéria 17 fatos 
e curiosidades sobre a vida 
do Alan Turing, publicada 
pela revista Galileu. 
Disponível em: https://revistagalileu.
globo.com/Cultura/noticia/2018/06/
17-fatos-e-curiosidades-sobre-vi-
da-do-alan-turing.html. Acesso em: 
31 maio 2021.
Leitura
O filme O jogo da imitação, 
de 2014 – indicado ao 
Oscar em duas categorias 
–, retrata vida e morte de 
Alan Turing, o processo de 
criação da máquina física 
Bombe e a guerra.
Direção: Morten Tyldum. Reino 
Unido: Warner Bros, 2014.
Filme
https://revistagalileu.globo.com/Cultura/noticia/2018/06/17-fatos-e-curiosidades-sobre-vida-do-alan-turing.html
https://revistagalileu.globo.com/Cultura/noticia/2018/06/17-fatos-e-curiosidades-sobre-vida-do-alan-turing.html
https://revistagalileu.globo.com/Cultura/noticia/2018/06/17-fatos-e-curiosidades-sobre-vida-do-alan-turing.html
https://revistagalileu.globo.com/Cultura/noticia/2018/06/17-fatos-e-curiosidades-sobre-vida-do-alan-turing.html
14 Matemática para Computação
físico. Por meio de seus raciocínios analíticos, viram a possibilidade 
de resolver problemas de maneira mais rápida e otimizada e con-
seguiram colocar em prática o que hoje chamamos de matemática 
computacional.
1.1.3 Por que estudar matemática 
computacional?
A matemática computacional permite que trabalhemos com pro-
blemas extremante complexos que não poderiam ser resolvidos por 
uma única pessoa e, muitas vezes, nem mesmo por uma grande 
equipe.
Esse conceito pode parecer absurdo, mas é a realidade de nossos 
dias. Os computadores mudaram a vida em sociedade e por meio 
deles conseguimos trabalhar com operações complexas, com modelos 
cada vez mais elaborados que representam o mundo real, e analisar 
uma infinidade de dados que não conseguiríamos avaliar em gera-
ções passadas.
Além disso, entenda, sem uma quantidade de dados razoavel-
mente grande – em torno de milhões – não teríamos os serviços 
cada vez mais personalizados, os sistemas otimizados e a precisão 
em diversos processos, que são exigências do mundo atual.
Dessa forma, podemos entender a matemática computacional 
como uma nova ciência que une os conceitos da computação e da 
matemática e nos permite resolver problemas, por exemplo, repre-
sentar o genoma humano, calcular a eficiência e ajuste de foguetes, 
dentre outros, que não seriam possíveis sem os computadores.
Contudo, para que possamos levar para o computador a mate-
mática por traz desses avanços, inicialmente precisamos compreen-
der alguns conceitos, como: o que são dados quantitativos, como 
montar uma relação de recorrência ou, ainda, como escrever um 
algoritmo que resolva problemas envolvendo vetores, matrizes, sis-
temas de equações, funções, dentre muitos outros.
É desses questionamentos que nasce a ciência matemática com-
putacional. Desse modo, precisamos entender a matemática e como 
Por que estudar matemática? 15
a máquina processa essa matemática? Com certeza! Além disso, pre-
cisamos representar os problemas cotidianos em modelos matemá-
ticos para que tenhamos essa associação.
Desse modo, vamos trazer um pouco mais da matemática que 
precisamos compreender para que seja possível criar as oportunida-
des de aplicação usando os computadores.
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Figura 2
Mecanismo de Gottfried Leibniz
1.2 Idealização de um algoritmo numérico
Vídeo
Em 1671, o filósofo e mate-
mático Gottfried Wilhelm Leibniz, 
um dos criadores – juntamente 
com Isaac Newton – do cálculo 
diferencial e integral, construiu 
um mecanismo (Figura 2) que 
permitia realizar multiplica-
ções e divisões mediante adi-
ções e subtrações sucessivas. 
Na época, a metodologia usada 
por Leibniz ocasionava muitos 
erros, sendo descartado seu 
uso. Entretanto, manteve-se a 
ideia principal, que permitia, 
por meio de operações simples, 
escrever outras operações.
A primeira calculadora capaz 
de efetuar as quatro operações 
aritméticas básicas foi construí-
da pelo francês Charles Xavier Thomas em 1820. Considerada a primei-
ra calculadora possível de ser comercializada, a máquina de Thomas 
executava as multiplicações por meio de somas, como idealizado por 
Leibniz, e as divisões podiam ser executadas com auxílio do usuário.
Contudo, nenhuma dessas máquinas era programável, ou seja, era 
possível entrar com valores numéricos, mas não era possível passar 
instruções.
16 Matemática para Computação
Vimos que um algoritmo é constituído exatamente de ins-
truções a serem realizadas e esse feito começa a ser possível 
apenas com a criação da máquina de Lovelace e Babbage 
e, posteriormente, com a máquina de Turing.
Um algoritmo é uma etapa essencial para que uma 
construção matemática possa ser executada por um 
computador. Ao construirmos um algoritmo, não preci-
samos pensar qual será a linguagem de programação utili-
zada, mas sim como queremos que o cálculo seja realizado.
Exemρlo 2
Acompanhe o algoritmo a seguir e observe o resultado obtido.
Variáveis inteiras: a, soma
Seja a=0 e Soma=0
Se Soma<6, faça:
 a=a+1
 Soma=Soma+a
Imprima Soma
Vamos interpretar esse algoritmo:
Variáveis inteiras: a, soma #Declaração de variáveis. Nesse pon-
to apresentamos a que conjunto elas pertencem.
Seja a=0 e Soma=0 #Valores iniciais das variáveis.
Se Soma<6, faça: #Note que, nesse ponto temos um laço ou looping 
que será executado enquanto a condição “Soma<6” for válida.
a=a+2 #Cada vez que entramos no laço, precisamos pegar 
o último valor de a e acrescentar 1, gerando um novo valor 
de a.
Soma=Soma+a #Cada vez que entramos no laço, 
precisamos pegar o último valor de Soma e acrescentar a, 
gerando um novo valor para Soma.
Imprima Soma #Quando não for mais possível realizar o laço, ou 
seja, quando “Soma ≥ 6”, imprime-se o último valor encontrado 
para a variável Soma.
Charles Xavier Thomas
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Por que estudar matemática? 17
Quadro 1
Resumo do algoritmo
a Soma
Início 0 0
Laço a=0+1=1 Soma=0+1=1
Laço a=1+1=2 Soma=1+2=3
Laço a=2+1=3 Soma=3+3=6
Imprime Soma=6
Fonte: Elaborado pela autora.
De acordo com Campos Filho (2007, p. 1),
o cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas 
matemáticos por intermédio de um computador, sendo ampla-
mente utilizado por engenheiros e cientistas. Uma solução via 
Cálculo numérico é sempre numérica, enquanto os métodos 
analíticos usualmente fornecem um resultado em termos de 
funções matemáticas.
Para a construção de um algoritmo numérico, são necessárias as 
quatro operações aritméticas fundamentais e as operações lógicas 
que são: comparação, conjunção,disjunção e negação. A vantagem 
é que essas operações são exatamente as operações realizadas pelo 
processador de um computador.
O processo se dá inicialmente pelo fechamento e abertura de cha-
ves que permitem a passagem ou não de energia. Esse mecanismo é 
compilado em zeros e uns. Isto é, quando a energia passa, o compila-
dor entende esse resultado como 1 (sim). Quando a energia não passa, 
esse resultado é igual a 0 (não).
O processador permite que os cálculos binários sejam realizados e, 
a partir desse ponto, entra em jogo o sistema operacional que transfor-
ma tudo o que você faz nessa linguagem binária, a qual é passada para 
o software, podendo, por sua vez, fazer o que você quer.
Para auxiliar no entendimento desse processo binário, sugerimos o artigo 
Aritmética de números binários e suas relações com circuitos lógicos, dos auto-
res Rafael Pinheiro Leite e Prof. Dr. Matheus da Silva Menezes.
Acesso em: 31 maio 2021.
https://repositorio.ufersa.edu.br/bitstream/prefix/5854/1/RafaelPL_ART..pdf
Artigo
18 Matemática para Computação
Para elaborar um algoritmo numérico, precisamos de algumas eta-
pas anteriores.
Exemplo:
Queremos encontrar a divisão 
exata de a
2
�, com a > 0 usando 
apenas as quatro operações 
fundamentais.
Definição do 
problema
É a primeira etapa. 
Como o próprio 
nome sugere, é preciso 
compreender o que se deseja 
estruturar e as possibilidades 
de resposta.
Modelagem
A segunda etapa é 
por meio de uma 
formulação matemática. 
Transformamos o problema real em 
um problema matemático.
Exemplo:
Usando o exemplo anterior, escrevemos 
a {2x�|�x *� � � }
Assim, modelamos a definição do problema 
colocando as características matemáticas 
necessárias para resolvê-lo. Nesse caso, 
identificamos que a precisa ser um número 
par para que tenhamos divisão exata.
Solução numérica
Nesta terceira etapa escolhemos 
o método numérico apropriado
para resolver o modelo
matemático. É nesse ponto que 
precisamos avaliar os métodos 
existentes e escolher aquele que 
resulte em menor erro numérico.
A escrita do algoritmo entra 
nessa etapa e é idealizada 
aplicando as possibilidades 
do método escolhido.
Kh
vo
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 1
98
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Sh
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rs
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ck
da
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od
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
As duas últimas etapas não serão abordadas neste capítulo, visto 
que não é escopo desta obra trabalhar com as linguagens de progra-
mação, entretanto, para que possamos registrar os passos seguintes à 
escrita do algoritmo, temos:
Por que estudar matemática? 19
Codificação 
do algoritmo
Processamento 
do programa 
A transformação 
do algoritmo para 
a linguagem de 
programação escolhida.
Implementação do 
algoritmo na linguagem de 
programação escolhida. 
Nesse caso, o programa será 
escrito em um arquivo para 
ser executado.
ST
RI
PB
AL
L/
Sh
ut
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ck
ST
RI
PB
AL
L/
Sh
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Kh
vo
st
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hu
tte
rs
to
ck
Observe que a idealização de um algoritmo numérico passa pela 
etapa de modelagem do problema, que só é possível com o conheci-
mento matemático sobre esse conteúdo. Já na etapa de solução numé-
rica, além do entendimento dos métodos numéricos disponíveis para a 
resolução do modelo, é preciso analisar os possíveis erros obtidos com 
essa escolha. Essa etapa é otimizada quando entendemos os tipos de 
erros que podem ser gerados pelo computador.
Muitos algoritmos usam as chamadas relações de recorrência para 
realizar seus cálculos e convergir para a resposta desejada. Vamos en-
tender esse conceito na sequência.
1.3 Relações de recorrência
Vídeo A base da maior parte dos algoritmos matemáticos vem do conceito 
de relação de recorrência. Uma relação de recorrência é uma técnica 
matemática que nos auxilia na definição de sequências, conjuntos, ope-
rações ou algoritmos. Para que tenhamos uma fórmula de recorrência, 
20 Matemática para Computação
precisamos analisar as características do problema e escrever uma re-
gra que o represente.
Com o intermédio dessa regra, podemos calcular qualquer termo 
em função dos antecessores. Nesta seção, vamos trazer como objeto 
para entendermos as relações de recorrência a famosa fórmula de re-
corrência de Fibonacci.
Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, que significa fi-
lho do Bonacci, descreveu sua sequência pela primeira vez em seu livro 
Liber Abaci, em 1202, a fim de modelar um problema relacionado com 
o crescimento de uma população de coelhos.
Fibonacci desejava descrever a quantidade de casais em uma po-
pulação de coelhos após n meses (Figura 3), partindo dos seguintes 
pressupostos (ZAHN, 2011):
1. nasce apenas um casal no primeiro mês;
2. casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
3. assumimos que não há problemas genéticos no cruzamento 
consanguíneo;
4. todos os meses, cada casal dá à luz um novo casal;
5. os coelhos nunca morrem.
Figura 3
Sequência de casais em 
uma população de coelhos
M
ag
ic
le
af
/S
hu
tte
rs
to
ck
Por que estudar matemática? 21
O que ele encontrou foi a fórmula de recorrência – uma função 
aritmética – da definição a seguir:
Definição 1
Seja uma sequência de Fibonacci, formada por n termos e denotada por fn. Para 
calcularmos o n-ésimo termo dessa sequência fazemos:
f
 
 
 
n �
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
0 0
1 1
11 2
, � �
,� �
, � ��
se n
se n
f f se nn n
Com essa função podemos montar a sequência de Fibonacci e des-
cobrir quantos coelhos foram gerados em cada mês. Vamos exemplifi-
car essa definição.
Exemρlo 3
Utilizando a fórmula de recorrência
f
 
 
f f 
n
�n n
�
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0 0
1 1
11 2
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,� ��
� � ,�� � �
se n
se n
se n
Temos que:
 • f5 = f5–1 + f5–2 = f4 + f3 = 5;
 • f10 = f10–1 + f10–2 = f9 + f8 = 55.
Os primeiros números da sequência de Fibonacci são: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 
8, 13, 21, 34, 55, 89.
Percebemos com esse exemplo a usabilidade das relações de re-
corrência em processos matemáticos, principalmente nos processos 
que precisam ser transformados em algoritmos, para que possam ser 
programados.
Para saber mais sobre as 
relações de recorrência e 
a sequência de Fibonacci, 
sugerimos dois vídeos do 
canal Programa de Inicia-
ção Científica da OBMEP:
• Aula 01 - Sequências definidas 
por recorrências – Disponível 
em: https://www.youtube.com/
watch?v=S9zDoNAr3d4. Acesso 
em: 31 maio 2021.
• Indução Matemática - Aula 6 - 
Sequência de Fibonacci. Disponível 
em: https://www.youtube.com/
watch?v=QVlTuInyZKk. Acesso 
em: 31 maio 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/channel/UC5azyx8w7Y5qzASuxDSseOw
https://www.youtube.com/channel/UC5azyx8w7Y5qzASuxDSseOw
https://www.youtube.com/watch?v=S9zDoNAr3d4
https://www.youtube.com/watch?v=S9zDoNAr3d4
https://www.youtube.com/watch?v=QVlTuInyZKk
https://www.youtube.com/watch?v=QVlTuInyZKk
22 Matemática para Computação
1.4 Conceito de função no aspecto 
computacionalVídeo
Na matemática, uma função é uma “regra” que associa a cada ele-
mento x ∈ X um único elemento y = f(x) ∈ Y (GUIDORIZZI, 2018). Temos 
que X e Y são conjuntos que podem conter elementos previamente de-
finidos, por exemplo, números naturais, reais etc., ou outros tipos de 
elementos, como chapéus, aves, laços etc.
Assim, desde que consigamos relacionar, por meio de uma regra, 
um elemento do conjunto X com um único elemento do conjunto Y, 
podemos dizer que estamos trabalhando com uma função.
Na matemática, dizemos que essa regra é uma lei matemática. 
A notação usada para essa definição é dada por:
f: X → Y
Definição 2
No aspecto computacional, uma função pode ser escrita por meio da soma de 
um número finito de parcelas.
Observe no exemplo a seguir como podemos representar uma fun-
ção por meio de somas de infinitas parcelas. Esse é um processo mate-
mático conhecido como séries de funções. Computacionalmente não é 
possível manusear somas infinitas, mas ao sintetizarmos a série, temos 
a representação da função com um erro aceitável.
Exemρlo 4
Uma série geométrica da forma
1 + x2+ x4 + x6 + ...
Representa uma função escrita como
f x
x
� � �
�
1
1 2
Até mesmo as funções trigonométricas podem ser escritas por meio 
de uma soma infinita de parcelas, como vemos no exemplo 5.
Por que estudar matemática? 23
Exemρlo 5
senx x x x x ��� �
�
�
��
�
�
�� �
�
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��
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3 5 7! ! !
cos
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x x x x� �
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�
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��
�
�
�� ��1 2 4 6
2 4 6
Essa forma de representarmos as funções é também chamada 
de série e comumente estudada em disciplinas de Cálculo Avançado. 
Essa é uma maneira de pensarmos em funções quando tratamos dos 
aspectos computacionais.
Uma segunda abordagem do aspecto computacional das funções é 
a possibilidade de considerá-las como ferramentas de cálculo dentro 
de algoritmos. Por exemplo, na linguagem de programação PythonTM 
(Figura 4), uma função é uma sequência de comandos que executa al-
guma tarefa. Essa sequência é geralmente nomeada, para que a função 
possa ser “chamada” sempre que necessária.
Figura 4
Função cone em PythonTM
#A is height B is radius 
def cone (a, b):
 formula = (3.14 * .33 *a)*(b * b)
 return formula
Aa
æ
/W
ik
im
ed
ia
 
 C
om
m
on
s
Consideremos o cálculo do volume de uma esfera, em que seu raio 
é conhecido. O exemplo a seguir mostra a estrutura lógica que permite 
realizar o cálculo desse volume, considerando r como uma variável que 
pode assumir qualquer valor real.
Exemρlo 6 
Crie uma função para o cálculo do volume de uma esfera de raio r.
Solução
r é real
def esfera(r)
Para conhecer um pouco 
mais das possibilidades 
de aplicação de séries 
numéricas usadas para 
representar funções, su-
gerimos o vídeo Séries de 
Potências no Computador. 
Disponível em: http://eaulas.usp.br/
portal/video.action?idItem=7701. 
Acesso em: 31 maio. 2021.
Vídeo
Quer saber mais sobre 
funções em PythonTM? 
Sugerimos o material 
Funções. 
Disponível em: https://panda.ime.
usp.br/pensepy/static/pensepy/
05-Funcoes/funcoes.html. Acesso 
em: 31 maio. 2021.
Saiba mais
http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=7701
http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=7701
https://panda.ime.usp.br/pensepy/static/pensepy/05-Funcoes/funcoes.html
https://panda.ime.usp.br/pensepy/static/pensepy/05-Funcoes/funcoes.html
https://panda.ime.usp.br/pensepy/static/pensepy/05-Funcoes/funcoes.html
24 Matemática para Computação
 formula = 4/3 *(3,14)*r^3
 return formula
Agora podemos usar essa função. Assim, se escrevermos esfera(2), 
teremos como retorno o valor formula = 33 37
75
Entretanto, nos dois sentidos, podemos perceber o princípio fun-
damental de uma função matemática, que é o de ser uma regra que 
vincula dois conjuntos de dados diferentes.
1.5 Diferenças entre problemas 
qualitativos e quantitativosVídeo
Um problema é dito qualitativo quando os dados usados para re-
solver o modelo são dados qualitativos, ou seja, são baseados em cará-
ter subjetivo, em que são usadas narrativas escritas ou faladas.
Uma pesquisa qualitativa pode reunir informações como o nome 
das pessoas que foram avaliadas em um determinado estudo, o estilo 
de vida desse grupo de pessoas, as preferências alimentares, hobbies, 
dentre outras informações que, em geral, são fornecidas por meio de 
narrativas, questionários abertos, entrevistas, observações etc., e que 
não são codificadas usando um sistema numérico.
Uma pesquisa qualitativa pode ser dividida em pesquisa nominal ou 
ordinal. Como a própria nomenclatura sugere, uma pesquisa nominal 
é aquela em que temos como resposta à pesquisa “nomes”, sendo que 
não é possível ordenar tais respostas. Por exemplo, uma pesquisa que 
possui o campo “sexo”, terá como resposta “masculino” ou “feminino”. 
Esse tipo de resposta pode ser quantificado, contudo não conseguimos 
colocar ordem de importância para tal.
Ainda no campo da pesquisa qualitativa, podemos ter dados ordi-
nais. Nesse caso, é possível categorizar as variáveis em relação a de-
terminado grau para cada categoria. Por exemplo, uma pesquisa que 
procura analisar o grau de instrução de seus participantes, pode conter 
a variável “nível de escolaridade”, como ensino fundamental e ensino 
médio. É possível construir uma classe para cada grau de escolaridade, 
e até quantificar os participantes em cada uma dessas, mas a variável 
continua tendo um teor puramente qualitativo.
Por que estudar matemática? 25
O interesse quando modelamos um problema com o auxílio de pes-
quisas quantitativas é identificar e compreender os fenômenos através 
de dados numéricos.
Por exemplo, se desejamos saber a quantidade de pessoas que to-
maram determinado remédio ou votaram em determinado candidato, 
precisaremos realizar pesquisas quantitativas.
Podemos pensar na escolha de um método ou outro da seguinte 
forma:
 • Método qualitativo: geralmente é utilizado para categorizar uma 
determinada situação, classificar problemas e gerar hipóteses etc.
 • Método quantitativo: é utilizado, como o próprio nome remete, 
a quantificar objetos. Os métodos quantitativos são muito usa-
dos na estatística. Em geral, adotam-se questionários que permi-
tem a contagem das variáveis pesquisadas.
O que caracteriza um método como quantitativo ou qualitativo são 
as variáveis que ele apresenta. Assim, chamamos de variáveis quanti-
tativas as que possuem características que podem ser quantificadas, 
isto é, medidas em determinada escala quantitativa. Por esse motivo, 
são representadas numericamente e podem ser divididas em duas ca-
tegorias: discretas ou contínuas.
As variáveis discretas são representadas por valores (números) in-
teiros. Alguns exemplos são: quantidade de filhos, de pessoas em de-
terminado local e de produtos na geladeira.
As variáveis contínuas recebem valores em uma escala contínua, 
em que podem estar presentes valores representados por frações e 
decimais (finitos ou infinitos). É comum a necessidade de instrumen-
tos de medição para avaliar uma variável quantitativa contínua, como 
balanças, réguas, relógios e outros instrumentos de medição. Alguns 
exemplos desse tipo de variável são: idade, peso, altura etc.
As variáveis qualitativas, ao contrário, não são representadas por 
valores que podem ser quantificados. Elas representam categorias, ou 
seja, algum tipo de classificação para pessoas, objetos ou situações, e 
podem estar subdivididas em duas categorias: nominais ou ordinais.
As variáveis nominais não exigem ordenação, por exemplo: sexo, 
cor dos olhos, religião, profissão etc. Já as variáveis ordinais exigem 
ordenação dos dados coletados. São exemplos: classe social (A, B, C) 
e escolaridade (1º ano, 2º ano, 3º ano).
Tanto um problema qualitativo como um problema quantitativo 
pode ser investigado para que seja “resolvido” com o auxílio de um al-
goritmo executado computacionalmente. Mas é na pesquisa quantita-
tiva que esses resultados têm ganhado destaque.
A ciência de dados (Figura 5), considerada uma ciência estatística, 
teve seu início com a ideia de podermos resolver problemas matemáti-
cos de maneira computacional.
Figura 5
Áreas da ciência de dados
CIÊNCIA DE DADOS
Megadados Classificação 
de dados
Análise de dados Estatística Solucionador Tomada de 
decisão
Conhecimento 
aberto
bu
ffa
lo
bo
y/
Sh
ut
te
rs
to
ck
.
Ela pode ser definida como um conjunto de ferramentas e métodos 
que nos permitem analisar, visualizar e tomar decisões com base em 
dados (RAMOS, 2021).
É aqui que a matemática e a computação, novamente, se encon-
tram. A quantidade de dados gerados por ferramentas como Google, 
Netflix, Twitter, Uber, entre outras que usamos no nosso dia a dia, é 
imensa. Para coletar, organizar e aplicar em modelos que deem um 
retorno para essas empresas em forma de resultado financeiro, é ne-
cessário que diversas áreas da matemática sejam envolvidas, dentre 
elas encontra-se a estatística, talvez a mais utilizada nesse sentido.
Diana_Karch/Shutterstock
Rede neural
2626 Matemática para ComputaçãoMatemática para Computação
https://oestatistico.com.br/decisoes-big-data-feeling-better-data/https://oestatistico.com.br/decisoes-big-data-feeling-better-data/
Por que estudar matemática? 27
De acordo com Ramos (2021), “o chamado ‘cientista de dados’ é 
o profissional responsável por aplicar técnicas, modelos, tecnologias 
e processos para extrair informação relevante dos dados. Tudo isso 
com muita estatística e programação aplicada”.
Dessa forma, pensar em algoritmos que possibilitam o uso des-
ses dados é fundamental para o crescimento das empresas. Esses 
algoritmos poderão, por exemplo, estar vinculados ao marketing digi-
tal, fazendo com que dados quantitativos e qualitativos gerem lucro.
Nesse ponto, entram os chamados algoritmos de inteligência artifi-
cial. Um dos quesitos necessários para esse tipo de algoritmo é que ele 
processe um grande volume de dados quantitativos ou qualitativos.
A diferença desse tipo de algoritmo para os demais é a possibi-
lidade de se aplicar um “fator de decisão”, ou seja, a existência de 
variáveis randômicas ou condicionadas, dentro de um domínio deter-
minado, que permitirão que os resultados não sejam únicos, e sim ter 
uma gama de possibilidades definidas para o contexto aplicado.
Nesse ponto, podemos ter algoritmos construídos com o uso de 
diferentes funções. É possível trabalhar em diferentes camadas e com 
funções matemáticas específicas para cada camada de dados.
Perceba que, mesmo nesse quesito, o domínio sobre o algoritmo 
está na mão do programador. É ele quem determina o que serão es-
ses “fatores de decisão” e como será seu comportamento matemático 
para que o cálculo se torne randomizado. A compreensão da mate-
mática levará à obtenção dos resultados desejados.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, trouxemos uma pequena parte do gigantesco mundo 
da matemática aplicada à computação, à qual nos referimos como mate-
mática computacional.
As possibilidades são enormes, a depender da área almejada. É possí-
vel trabalhar desde processos de otimização de redes até a bela área da 
programação gráfica, passando pelo rico campo da inteligência artificial 
e da ciência de dados. Independentemente da área escolhida, a necessi-
dade da compreensão da matemática que envolve todos esses cálculos é 
imprescindível para sua correta implementação.
Desse modo, esperamos que você se sinta motivado a seguir nesse 
caminho que relaciona essas duas ciências: matemática e computação.
28 Matemática para Computação
ATIVIDADES
Sabendo que um algoritmo é compreendido como um processo que 
mostra detalhadamente os métodos necessários para a resolução de 
uma atividade, e que podemos pensar nessa estrutura em formato de 
pseudocódigo como estrutura inicial, descreva um pseudocódigo para o 
cálculo da expressão numérica 1 + 3(5 + 1).
Atividade 1
Descreva o modelo matemático que pode ser utilizado para representar 
a definição do problema a , para a > 0, usando apenas as quatro 
operações aritméticas.
Atividade 2
Uma pesquisa foi realizada coletando dados referentes à altura de alu-
nos de uma sala de aula. Esse tipo de dado é qualitativo ou quantitativo? 
Justifique.
Atividade 3
REFERÊNCIAS
BIM, S. A. A vida de Ada Lovelace. Porto Alegre: Sociedade Brasileira de Computação, 2018.
BROMLEY, A G. Charles Babbage’s Analytical Engine, 1838. Annals of the History of 
Computing, v. 4, n. 3, 1982. Disponível em: http://athena.union.edu/~hemmendd/Courses/
cs80/an-engine.pdf. Acesso em: 31 maio 2021.
CAMPOS FILHO, F. F. Algoritmos numéricos: uma abordagem moderna de Cálculo Numérico. 
São Paulo: LTC, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
KHOURY, J. Application to a probleme of Fibonacci. Disponível em: http://aix1.uottawa.
ca/~jkhoury/fibonacci.htm. Acesso em: 31 maio 2021.
RAMOS, R. Ciência de dados: uma breve história. O Estatístico. Disponível em: https://
oestatistico.com.br/ciencia-de-dados-uma-breve-historia/. Acesso em: 31 maio 2021.
SIMÕES, I. Ada Lovelace desafiou o machismo e se tornou a primeira programadora 
da história. Darkside. Disponível em: https://darkside.blog.br/ada-lovelace-desafiou-o-
machismo-e-se-tornou-a-primeira-programadora-da-historia/. Acesso em: 31 maio 2021.
ZAHN, M. Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2011.
http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/fibonacci.htm
http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/fibonacci.htm
Noções sobre sistemas de numeração 29
2
Noções sobre sistemas 
de numeração
Você já parou para pensar que o sistema de numeração que usamos 
na atualidade passou por diversas transformações ao longo da história 
para chegar ao que ele é hoje?
Além disso, por muito tempo ele não foi único. Diferentes civilizações 
construíram seus próprios sistemas de numeração com os conhecimen-
tos que tinham na época.
E você sabia que esse sistema numérico que usamos, o indo-arábico, 
fortemente desenvolvido, embasado e com toda a estrutura matemática 
moderna construída sobre ele, é deixado de “lado” quando pensamos em 
cálculos realizados por um computador?
Além do sistema de numeração adotado, quando o computador é usa-
do ainda precisamos admitir propagações de erro. Sim, o computador 
comete muitos erros numéricos.
Com o estudo deste capítulo, você será capaz de:
• compreender os diferentes sistemas de numeração;
• identificar erros numéricos e como interpretá-los;
• caracterizar as diferentes representações numéricas 
computacionais;
• compreender o conceito de erro numérico.
Objetivos de aprendizagem
2.1 Sistemas de numeração 
Vídeo Um dos sistemas de numeração mais antigos foi encontrado, por 
meio de pesquisas arqueológicas, na Tchecoslováquia, Europa, em 1937, 
com data entre aproximadamente 35000 a.C. e 20000 a.C. Basicamente, 
30 Matemática para Computação
os pesquisadores encontraram um osso (tíbia) de lobo jovem com mar-
cações unitárias feitas por meio de traços (cortes transversais), na forma:
I II III IIII
Ao todo eram 57 traços, sendo os primeiros 25 agrupados de 5 em 5 
(ALMEIDA, 2011).
Essa descoberta nos mostra a necessidade da contagem e possibili-
ta discutir sobre os sistemas de numeração.
O tipo de contagem observada nesse estudo é dita aditiva, em que, 
para se ter o próximo número, basta acrescentar uma marcação (|). 
Além disso, o sistema de numeração foi composto de apenas um sím-
bolo, sendo chamado de sistema de numeração de base 1.
A obra Através do espelho e o que Alice encontrou por lá, escrita em 
1871 pelo matemático Lewis Carroll (1832-1898) e traduzida para mui-
tos idiomas – inclusive o português –, traz um diálogo entre a rainha 
Branca e Alice, que demonstra a dificuldade que teríamos se o sistema 
de numeração de base 1 fosse adotado atualmente. Alice fala para a 
rainha que aulas servem para nos ensinar a fazer contas, e a rainha 
lhe pergunta: “e sabe Adição? Quanto é um mais um mais um mais um 
mais um mais um mais um mais um mais um mais um?”. Alice lhe res-
ponde: “não sei. Perdi a conta” (CARROLL, 2013, p. 186).
Na história da matemática identificamos diversas civilizações que 
adotaram sistemas ditos aditivos.
Mas como exatamente (algebricamente) podemos definir um sistema 
aditivo?
Vamos assumir que b é um número natural, tal que determinado 
sistema aditivo está escrito na base b. Assim, temos duas condições 
que precisam ser respeitadas:
1 O sistema deverá ter b símbolos para sua representação numérica, 
ou seja, teremos a1, a2, ..., ab símbolos para representar os números 
de um até b. Esses números deverão ser representados em ordem 
crescente.
Caso tenha se interessado 
pelas obras de Carroll e 
queira saber um pouco 
mais sobre esse assunto, 
sugerimos o texto Lewis 
Carroll e a matemática 
do País das Maravilhas, 
publicado pela Sociedade 
Brasileira de Matemática.
Disponível em: https://www.
sbm.org.br/noticias/lewis-carroll-
e-a-matematica-do-pais-das-
maravilhas. Acesso em: 2 jun. 2021.
Leitura
https://www.sbm.org.br/noticias/lewis-carroll-e-a-matematica-do-pais-das-maravilhas
https://www.sbm.org.br/noticias/lewis-carroll-e-a-matematica-do-pais-das-maravilhashttps://www.sbm.org.br/noticias/lewis-carroll-e-a-matematica-do-pais-das-maravilhas
https://www.sbm.org.br/noticias/lewis-carroll-e-a-matematica-do-pais-das-maravilhas
Noções sobre sistemas de numeração 31
2 Deve-se obedecer a regra do sucessor, que implica assumir que 
se um número termina em ai, com i ≠ b, então a representação de 
seu sucessor será obtida por meio da substituição de ai por ai+1. 
Caso a representação de um número termine em ab, seu sucessor 
será obtido acrescentando a1 à representação dada.
Entre alguns dos sistemas aditivos mais importantes na história, en-
contram-se o sistema hieroglífico (Figura 1), desenvolvido pelos egíp-
cios por volta de 3400 a.C., e o sistema de numeração da antiga Grécia, 
desenvolvido por volta do século IV a.C. 
Figura 1
Sistema numeral egípcio
Numerais egípcios
Sistema numérico hieroglífico egípcio
Sistema egípcio de numeração hierática
Si
dh
e/
Sh
ut
te
rs
to
ck
No entanto, foi com o sistema chamado posicional que a matemáti-
ca começou a se desenvolver com maior rapidez.
32 Matemática para Computação
Não se tem consenso de qual foi a civilização que idealizou primeiro o 
chamado sistema de numeração posicional, em que se encontram o nosso 
sistema posicional de base decimal e o sistema binário computacional, 
mas o que se sabe é que, para esse tipo de construção, foi necessário 
o desenvolvimento lógico da ideia de agrupamentos entre os números.
Nesse contexto histórico, identificou-se que os hindus praticaram o 
sistema posicional decimal e tiveram a preocupação de construir uma 
representação visual dele, que pudesse ser transferida de maneira 
escrita. Entretanto, foram os árabes que divulgaram esse sistema de 
numeração pelo ocidente, e por esse motivo o chamamos de sistema 
indo-arábico.
Figura 2
Evolução do sistema posicional decimal
Hindu – 300 a.C.
Hindu – 500 d.C.
Árabe – 900 d.C.
Árabe – (Espanha) 1000 
d.C.
Italiano – 1400 d.C.
Hoje
Fonte: Elaborada pela autora.
Um sistema de numeração posicional é aquele em que a posição 
na qual o algarismo se encontra modifica o seu valor, ou seja, no caso 
do sistema posicional de base decimal (o sistema que usamos), se o 
algarismo 1 estiver na posição (casa) da unidade, ele vale 1 unidade. Se 
o mesmo algarismo estiver na posição da dezena (casa da dezena), ele 
vale 10 unidades. Se estiver na posição da centena, vale 100 unidades, 
e assim sucessivamente.
Usando o sistema numérico posicional decimal, a Tabela 1 apre-
senta alguns exemplos com diferentes posicionamentos para o al-
garismo 1.
Noções sobre sistemas de numeração 33
Tabela 1
Posição do algarismo 1 em relação ao valor numérico obtido
Classes Milhões Milhares Unidades simples
Ordens c d u c d u c d u
1
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
Fonte: Elaborada pela autora.
Um sistema de numeração posicional pode ser definido de maneira 
geral (algébrica), assim como fizemos para os sistemas posicionais.
Nesse contexto, usaremos b ∈ ℕ como uma base qualquer. Assim, para 
construir um sistema posicional de base b, precisamos garantir duas con-
dições. Por isso, considere b ≠ 1. Inicialmente, precisamos determinar b 
símbolos, sendo um desses destinado a representar a casa vazia (zero) e 
os demais destinados a representar os números de 1 a (b – 1).
1 Se o número a ser representado tem como unidade um dos 
algarismos que representam 0, 1, ..., (b – 2), ele terá um sucessor 
substituindo-se esse algarismo por seu sucessor, apresentado na 
ordem crescente, que será (b – 1).
2 Se o número a ser representado tem como unidade o algarismo 
que representa (b – 1), ele já é o último algarismo dessa base. Nesse 
caso a representação do sucessor será obtida substituindo-se esse 
algarismo por zero e, em seguida, aplicando-se recorrentemente os 
itens 1 e 2 dessa regra à casa seguinte.
3 Se a casa seguinte for vazia, considera-se como se ela tivesse o 
valor zero.
Atualmente, o sistema de numeração posicional de base dez (siste-
ma indo-arábico), em que a posição do algarismo indica a potência de 
10 que o dígito representa, é usado em todo o mundo, sendo utilizado 
de maneira tão intuitiva, como uma criança pequena que usa os dedos 
para contar, que é difícil imaginar qualquer tipo de construção numéri-
ca sem essa formatação.
34 Matemática para Computação
Observe o exemplo de como decompomos um número no sistema 
posicional decimal por meio da representação geral enunciada.
Exemρlo 1
x = (1957)10 = 1 · 10
3
 + 9 · 10
2 + 5 · 101 + 7 · 100
 
Note que, com esse formato, fica evidente o uso da chamada base 
decimal. Essa formatação será adotada para a escrita das próximas ba-
ses que estudaremos nesta obra.
Queremos conceituar e identificar as características não só para o 
sistema posicional decimal, mas para outros sistemas posicionais que 
são usados na matemática e na computação, permitindo, assim, uma 
visão do cálculo numérico envolvido nesse processo.
Definição 1
Dados um número natural com b > 1 e o conjunto de símbolos {±, 0, 1, 2, ..., 
b – 1}, a sequência de símbolos
(dndn–1 ... d1d0, d-1d-2 ...)b
representa o número positivo
dn · b
n + dn–1 · b
n–1 + ... + d0 · b
0
 + d–1 · b
–1 + d–2 · b
–2 + …
Para representar números negativos, usamos o símbolo – à esquer-
da do numeral, conforme exemplificamos a seguir.
Exemρlo 2
x = (1.957,897)10
x = 1 · 103 + 9 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100 + 8 · 10–1 + 9 · 10–2 + 7 · 10–3
x = 1.000 + 900 + 50 + 7 + 0,8 + 0,09 + 0,007
Portanto, percebemos que, além da escolha do sistema de numera-
ção (aditivo ou posicional), há muitas representações distintas em rela-
ção à quantidade de algarismos envolvida em cada um desses modelos 
(bases adotadas).
Noções sobre sistemas de numeração 35
Na próxima seção, focamos nos sistemas posicionais mais utilizados 
pela matemática moderna e pela matemática computacional.
2.2 Representação numérica 
Vídeo Entender a representação numérica do sistema escolhido não só 
possibilita sua compreensão, mas viabiliza realizar operações com o 
tipo de numeração escolhido, além de permitir verificar possíveis erros 
cometidos nos cálculos.
Como nosso foco é trabalhar com a matemática para a computa-
ção, dedicaremos esta seção à representação numérica implícita nas 
máquinas digitais eletrônicas, ou seja, nos computadores.
Assim, o primeiro sistema que vamos discutir é o chamado sistema 
de numeração posicional de base dois ou base binária.
2.2.1 Sistema binário
Quando pensamos em um sistema de numeração que permita 
realizar operações no computador (chamamos de computador as má-
quinas digitais eletrônicas), a base utilizada é a base dois. Seu uso está 
diretamente vinculado ao desenvolvimento das máquinas digitais.
Durante muitos séculos se creditou a Gottfried Wilhelm Leibniz 
(1646-1716) a idealização da base binária.
Para saber mais sobre Leibniz e a relação desse matemático com a base da 
computação, sugerimos a leitura de Leibniz e nosso mundo digital, de Gilberto 
Garbi, publicado pela Revista do Professor de Matemática (RPM).
Acesso em: 2 jun. 2021.
https://www.rpm.org.br/cdrpm/84/1.html
Artigo
Contudo, pesquisas recentes demonstram que 
em uma pequena ilha da Polinésia, séculos an-
tes da idealização de Leibniz, o povoado de 
Mangareva já utilizava a base binária para rea-
lizar cálculos que permitiam a comercialização 
de seus produtos.
Gottfried Wilhelm 
Leibniz
Nicku/Shutterstock 
36 Matemática para Computação
Ao analisar a pesquisa dos cientistas noruegueses Andrea 
Bender e Sieghard Beller, do departamento de ciência psicossocial 
da Universidade de Bergen, na Noruega, Javier Sampedro (2013) 
descreve que os pesquisadores
mostram agora como os habitantes da Mangareva não só inven-
taram o sistema para contar peixes, frutas, cocos, polvos e outros 
bens de diferente valor em suas transações comerciais, como tam-
bém que isso conduziu a uma aritmética binária que teria mere-
cido a aprovação do Leibniz por sua simplicidade e naturalidade.
Dos fatos históricos, sabemos que a base binária foi deixa-da de lado até mesmo por Leibniz, e apenas séculos após sua 
morte, em 1841, foi redescoberta pelo matemático George 
Boole (1815-1864), o qual desenvolveu a chamada álgebra 
booleana, que permitiu o desenvolvimento do computador 
digital eletrônico, imprescindível para o desenvolvimento em 
praticamente todas as áreas do conhecimento na atualidade.
O computador lida com grandezas representadas como se-
quências de bits (base 2).
Quando precisamos transcrever um método matemático para um mé-
todo numérico, ou seja, para a matemática computacional, precisamos, 
em primeiro lugar, compreender como um computador manipula as in-
formações – no nosso caso, as informações são numéricas e simbólicas.
Toda informação manipulada por um computador é representada 
como uma sequência de bits (binary digits). Ao agrupar 8 bits, temos 1 
byte; quando agrupados (Figura 3), os bytes darão origem aos kilobytes, 
megabytes, gigabytes, terabytes etc. – termos comumente usados na 
computação e no nosso dia a dia.
Figura 3
Sequência de bits
Ra
hi
m
ov
 E
m
in
/S
hu
tte
rs
to
ck
Medidas de informação eletrônica
Célula de memória 
de 8 bits
0 1 0 1
1 0 1 0
1 byte = 8 bit
1 KB = 8.192 bit
1 KB = 1.024 byte
1 MB = 1.024 KB
1 GB = 1.024 MB
1 TB = 1.024 GB
KB – kilobyte
MB – megabyte
GB – gigabyte
TB – terabyte
Sugerimos a leitura na 
íntegra do texto Um 
sistema binário inventado 
na Polinésia séculos antes 
de Leibniz, do autor Javier 
Sampedro.
Disponível em: https://brasil.
elpais.com/brasil/2013/12/16/
sociedad/1387215405_275511.
html. Acesso em: 2 jun. 2021.
Leitura
George Boole
Wd
wd
/W
ikim
edi
a C
omm
ons
https://brasil.elpais.com/brasil/2013/12/16/sociedad/1387215405_275511.html
https://brasil.elpais.com/brasil/2013/12/16/sociedad/1387215405_275511.html
https://brasil.elpais.com/brasil/2013/12/16/sociedad/1387215405_275511.html
https://brasil.elpais.com/brasil/2013/12/16/sociedad/1387215405_275511.html
Noções sobre sistemas de numeração 37
Um bit aceita duas respostas possíveis:
 • 0 – não, falso, desligado;
 • 1 – sim, verdadeiro, ligado.
Na área eletrônica, interpreta-se isso como passagem de ener-
gia (sim) ou sem passagem de energia (não). Essa leitura do código 
binário é feita milhares de vezes por segundo.
Esse tipo de representação, também chamado de representação 
binária, matematicamente pode ser traduzido como um sistema de 
numeração na base dois.
Exemρlo 3
Assim, para a codificação de um número natural entre 0 e 255, 
por exemplo, seriam suficientes 8 bits, pois 28 = 256. Desse modo, 
para representá-los, restaria apenas atribuir valores 0 ou 1.
O número natural 255 será representado em uma sequência de 
bits (sequência binária) por 11111111.
Mais adiante explicaremos os processos de conversão.
Como demonstramos, o sistema de numeração na base dois, 
também chamado de binário na área da computação, tem seus al-
garismos reconhecidos e representados por meio dos bits (binary 
digits). Já identificamos que um bit pode assumir dois valores dis-
tintos: 0 ou 1.
Embasados nos conhecimentos adquiridos até o momento so-
bre base binária, começamos a trabalhar com as mudanças de 
base.
Com essa finalidade, o exemplo a seguir apresenta uma mudan-
ça da base binária para a base decimal, tendo como ideia principal 
o tipo de conversão adotada pelo computador.
fli
gh
t o
f i
m
ag
in
at
io
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Representação do código 
binário pelos botões com 
símbolos I (ligado) e O 
(desligado).
Figura 4
0 ou 1
Para conhecer mais sobre 
a relação entre bits e 
bytes e a sucessão de 
agrupamentos, sugerimos 
a leitura de Qual a diferen-
ça entre Kilobyte, Megabyte, 
Gigabyte e Terabyte?, pu-
blicado no site da Copel 
Telecom. 
Disponível em: https://www.
copeltelecom.com/site/blog/
kilobyte-megabyte-gigabyte-
terabyte/. Acesso em: 2 jun. 2021.
Leitura
https://www.copeltelecom.com/site/blog/kilobyte-megabyte-gigabyte-terabyte/
https://www.copeltelecom.com/site/blog/kilobyte-megabyte-gigabyte-terabyte/
https://www.copeltelecom.com/site/blog/kilobyte-megabyte-gigabyte-terabyte/
https://www.copeltelecom.com/site/blog/kilobyte-megabyte-gigabyte-terabyte/
38 Matemática para Computação
Exemρlo 4
Seja x = 1001,101, então
 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 1 · 2–1 + 0 · 2–2 + 1 · 2–3
 = 8 + 0 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125
 = 9,625
Portanto, (1001,101)2 = (9,625)10.
Note que no exemplo utilizado respeitamos a posição de cada um 
dos elementos e fizemos a conversão, em primeiro plano, assumindo o 
valor de cada posição e, na sequência, somando esses resultados.
Esse é o processo que será adotado para as bases que veremos na 
sequência.
2.2.2 Sistema quaternário
No sistema quaternário a base b é igual a 4 e, portanto, temos o 
conjunto de algarismos {0, 1, 2, 3}.
Exemρlo 5
Seja x = (301,2)4, então
 3 · 42 + 0 · 41 + 1 · 40 + 2 · 4–1 = 48 + 0 + 1 + 0,5 = 49,5
Portanto, (301,2)4 = (49,5)10.
Mais adiante veremos como converter uma base decimal para uma 
base qualquer.
Na sequência, apresentamos a base hexadecimal, ou seja, uma base 
formada por 16 algarismos.
2.2.3 Sistema hexadecimal
O estudo do sistema hexadecimal auxilia no processo de represen-
tação de sequências maiores de bits, por exemplo, com 16 ou 32 bits.
Se b > 10, usamos as letras A, B, C, ... para denotar A = 10, B = 11, C = 12, ...
Para ficar claro esse sistema, vamos exemplificar.
Noções sobre sistemas de numeração 39
Exemρlo 6
Se temos b = 16, ou seja, o conjunto de algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}, e queremos converter o número x = (E2AC)16 para 
a base decimal, fazemos:
(E2AC)16 = 14 · 16
3 + 2 ·162 + 10 ·161 + 12 · 160
(E2AC)16 = 57.344 + 512 + 160 + 12 = 58.028
A base hexadecimal também é amplamente usada na computação.
Você já ouviu falar do tripleto hexadecimal, também chamado de 
web color (Figura 5)?
O tripleto hexadecimal recebe esse nome porque é uma combina-
ção de 3 bytes, pois cada cor formada possui três duplas escritas em 
formato hexadecimal. Cada dupla representa uma cor, sendo elas: ver-
melho, verde e azul (RGB).
A variação da combinação hexadecimal no tripleto dará origem às 
demais cores.
Figura 5
Web color
R.
 A
. N
on
en
m
ac
he
r/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
40 Matemática para Computação
Exemρlo 7
A cor azul-marinho é escrita como 12 0A 8F no sistema tripleto 
hexadecimal.
Portanto, cada dupla terá 16 possibilidades para a primeira posição 
e mais 16 para a segunda, formando um byte de 256 possibilidades. 
Como temos três duplas, as possibilidades de combinação serão 256 · 
256 · 256 = 16.777.216.
Essa estrutura de cores é usada para documentos HTML, CSS, entre 
outros.
É possível observar os códigos hexadecimais de uma quantidade 
considerável de cores e a conversão para outros sistemas de cores que 
podem ser adotados computacionalmente.
A seguir, veremos o processo da transformação inversa, ou seja, co-
nhecendo um número na base 10, converteremos ele para a base b 
desejada.
2.2.4 Processo inverso
Nesta seção trabalharemos com a conversão de números na base 
decimal (x)10, os quais serão convertidos para uma base b qualquer.
Ou seja, queremos trabalhar com a seguinte representação algébrica:
(x)10 = (dndn–1 ... d0, d–1 ...)b
(x)10 = dn · b
n + dn–1 · b
n–1 + … + d0 · b
0 + d–1 · b
–1 + …
Inicialmente, para conseguirmos realizar a conversão, separamos 
a parte inteira de (x)10 da sua parte fracionária (também chamada de 
mantissa), obtendo (x)10 = x
i + xf. Assim, temos
xi = dn · b
n + dn–1 · b
n–1 + … + d0 · b
0
x
d
b
d
b
f � � ��� �1
1
2
2
Uma tabela bem extensa 
de combinações de cores 
pode ser encontrada no 
site Nas artes gráficas. 
Disponível em: http://
nasartesgraficas.blogspot.
com/2014/08/lista-de-cores.html. 
Acesso em: 2 jun. 2021.
Site
http://nasartesgraficas.blogspot.com/2014/08/lista-de-cores.html
http://nasartesgraficas.blogspot.com/2014/08/lista-de-cores.html
http://nasartesgraficas.blogspot.com/2014/08/lista-de-cores.html
Noções sobre sistemas de numeração 41
Portanto,precisamos determinar os valores para o conjunto 
{dn, dn–1, ...}, que é composto tanto de elementos da parte inteira como 
de elementos da parte fracionária.
 • Parte inteira
(xi = dn · b
n + dn–1· b
n–1 + … + d0 · b
0) ÷ (b) =
x
b
d b d b d
d
b
i
n
n
n
n� � � � ��� �� �
�1
1
2
1
0
Observe que d0 é o resto da divisão de x
i por b, pois d1 + d2 ∙ b1 + ... 
+ dn–1 · b
n–2 + dn ∙ bn–1 é inteiro e 
d
b
0 é uma fração com d0 < b. Da mesma 
forma, o resto da divisão de d1 + d2 ∙ b1 + ... + dn–1 · bn–2 + dn ∙ bn–1 por b 
é d1. Ou seja, repetindo esse processo encontramos os algarismos d0, 
d1, d2, ..., dn.
Para a análise da parte inteira, temos uma ferramenta extremamen-
te simples que pode ser usada: a divisão.
Por meio de sucessivas divisões, podemos rapidamente converter 
um número da base decimal para a base binária.
Exemρlo 8
Para a conversão de (3)10 para a base binária, fazemos:
 3 ÷ 2 = 1 → Resto 1
 1 ÷ 2 = 0 → Resto 1
O resultado será obtido, justamente, por meio dos restos. Portanto, 
(3)10 = (11)2.
Também podemos converter um número na base 10 para a base 
binária por meio das divisões sucessivas, como é feito no exemplo 
a seguir.
42 Matemática para Computação
Exemρlo 9
A conversão do número (142)10 para a base binária poderia ser re-
solvida assim:
(142)10 = (10001110)2
142 2
71 2
35 2
17 2
8 2
4 2
2 2
1 2
0
0
0
0
0
1
1
1
1
Por fim, um exemplo da conversão de bases de um número decimal.
Exemρlo 10
Vamos converter o número 3,625 para a base binária (b = 2). Pri-
meiramente, decompomos 3,625 na soma de suas partes inteira e 
fracionária.
x = 3 + 0,625
Logo, xi = 3 e xf = 0,625.
Nesse exemplo, resolveremos a parte inteira dessa conversão. Assim, 
precisamos fazer sucessivas divisões por b = 2. Então:
xi = 3 = 1 · 2 + 1 = 1 · 21 + 1 · 20
Portanto, xi = 1 · 21 + 1 · 20 = (11)2.
Para a parte fracionária do número, temos o seguinte:
 • Parte fracionária
x
d
b
d
b
b b x d
d
b
f f� � ��
�
�
�
�
�
� � � � � � � � ��� � � �11 22 1 2
Noções sobre sistemas de numeração 43
Nesse produto, note que a parte inteira é d–1 e a parte fracionária 
é 
d
b
�� ��2 ; ao multiplicarmos novamente por b, temos d–2. Para encon-
trar os algarismos restantes, repetimos esse processo.
Exemρlo 11
Continuando o Exemplo 10, agora precisamos fazer sucessivas 
multiplicações por b = 2, para obtermos a parte fracionária do nú-
mero 3,625.
xf = 0,625
2 · xf = 1,25 · 2–1 = 1 · 2–1 + 0,25 · 2–1
= 1 · 2–1 + (0,5 · 2–1) · 2–1 = 1 · 2–1 + 0,5 · 2–2
= 1 · 2–1 + (1 · 2–1) · 2–2 = 1 · 2–1 + 1 · 2–3
Portanto, xf = 1 · 2–1 + 0 · 2–2 + 1 · 2–3 = (101)2.
Logo, (3,625)10 = (11,101)2.
Outras ferramentas computacionais podem ser usadas – entre elas, 
encontram-se algumas linguagens de programação, como Sclilab e 
PythonTM.
Aqui, relembramos que o processo aplicado pelo computador é o 
de converter de binário para decimal, mas as conversões são impor-
tantes para garantir a veracidade dos nossos cálculos e a viabilidade de 
possíveis aplicações.
2.3 Representação em ponto flutuante 
Vídeo Um número, na matemática, pode ser infinito, e isso é impossível 
de ser representado no computador, visto que este trabalha com um 
número de bits limitado e predefinido (WEBER, 2004).
Pensando na estrutura numérica computacional, dizemos que há 
três formas possíveis de representação de um número no computador:
I. Inteiro natural.
II. Inteiro relativo.
III. Generalização dos dois casos anteriores, ou seja, um número real.
44 Matemática para Computação
É possível representar números inteiros, ou seja, considerar a 
parte negativa do conjunto, atribuindo um bit mais à esquerda, cha-
mado de sinal ou bit forte. Por meio desse primeiro bit saberemos se 
o número é positivo ou negativo.
Já no caso dos números reais, ou seja, considerando também núme-
ros decimais, a Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE) defi-
ne uma fórmula para ser aplicada (padrão IEEE754). Essa representação 
(Quadro 1) é chamada de representação em ponto flutuante. Seja um com-
putador de 32 bits, essa estrutura fica escrita da seguinte forma:
(–1)S ∙ bE ∙ F
Quadro 1
Organização do ponto flutuante
S
 bit1�
 E F
Fonte: Elaborado pela autora.
Em que:
 • b é a base;
 • S = 0 (número positivo) ou S = 1 (número negativo);
 • E deve ser calculado por m ≤ E ≤ M, com m sendo o valor míni-
mo que a máquina pode representar e M sendo o valor máximo 
(|m| ≈ M);
 • F, chamado de mantissa, conterá os bits situados após a vírgula.
Acompanhe o exemplo a seguir para compreender melhor.
Exemρlo 12
Considere uma máquina com registro de 32 bits e base b = 2. Pelo 
padrão IEEE754 (Quadro 2), 1 bit será usado para o sinal (S), 8 bits serão 
usados para o expoente (c7, ..., c0) e 23 bits serão usados para a man-
tissa (d1, ..., d23).
Quadro 2
Padrão IEEE754
S c7 c6 ... c0 d1 d2 ... d22 d23
Fonte: Elaborado pela autora.
Se você se interessou por 
esse tema, sugerimos a 
leitura do material Padrão 
IEEE 754 para aritmética 
binária de ponto flutuante. 
Disponível em: https://www.lia.ufc.
br/~valdisio/download/ieee.pdf. 
Acesso em: 2 jun. 2021.
Leitura
https://www.lia.ufc.br/~valdisio/download/ieee.pdf
https://www.lia.ufc.br/~valdisio/download/ieee.pdf
Noções sobre sistemas de numeração 45
Assumindo que E = c – BIAS, em que BIAS é o valor do deslocamento 
do expoente (polarização), temos:
x = (–1)S ∙ 2c–BIAS F
com
c = (c7c6 ... c0)2 e F = (1,d1d2 ... d22d23)
De acordo com Gilat e Subramaniam (2008, p. 23, grifos do original), 
“computadores armazenam números e realizam cálculos em precisão 
simples ou em precisão dupla. Na precisão simples, os números são 
armazenados em uma cadeia de 32 bits (4 bytes), e, na precisão dupla, 
em uma cadeia de 64 bits (8 bytes)”.
Exemρlo 13
Queremos representar em notação ponto flutuante os números
 • x = (1)10
 • y = (–11)10
 • z = (231)10
assumindo precisão simples (32 bits) e base hexadecimal.
No primeiro caso, x = (1)10, teremos a primeira casa composta do 
sinal, logo S = 0, pois 1 é positivo. Assim:
0 0 1 0 0 0 0 0 0
Agora, no segundo caso, y = (–11)10, como o valor é negativo, a pri-
meira casa será representada por S = 1. Assim:
1 b 0 0 0 0 0 0 0
No último caso, ou seja, z = (231)10, teremos S = 0 e a representação:
0 e 7 0 0 0 0 0 0
Note que na representação em ponto flutuante dos três números 
não usamos as casas referentes a:
d1 d2 ... d22 d23
Isso porque em nenhum deles há parte fracionária.
46 Matemática para Computação
Note que aumentar o número de bits na mantissa melhora a preci-
são. Já aumentar a quantidade de bits no expoente permite que tenha-
mos um intervalo de números representáveis muito maior. Com isso, 
é possível perceber padrões muito bem definidos para a construção do 
cálculo numérico e da matemática computacional.
2.4 Erros numéricos 
Vídeo Quando falamos de erros, estamos tratando da diferença entre o 
valor real e o valor obtido.
É comum que sejam necessárias diversas simplificações do pro-
blema real para que se tenha um modelo matemático com solução 
possível.
Observe a Figura 6 a seguir, que apresenta a comparação entre um 
modelo físico (geoide) e um modelo matemático (elipsoide) da super-
fície da Terra.
Figura 6
Comparação entre modelos
Modelo físico – geoide
jd
rv
_a
rt/
Sh
ut
er
st
oc
k
Modelo matemático – elipsoide
Al
ex
an
de
rZ
am
/S
hu
te
rs
to
ck
Assim sendo, o processo de propagação de erros começa quan-
do transformamos um problema real em um modelo físico e este 
em um modelo matemático. Tal modelo matemático poderá ser 
resolvido de modo que tenhamos uma solução analítica ou uma 
solução numérica.
Noções sobre sistemas de numeração 47
Ku
bk
o/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Problema 
real
Modelo 
físico
Modelo 
matemático
Solução 
analítica
Solução 
numérica
Implementação 
computacional
Resultado 
numérico
Note que ao desenvolvermos o modelo matemático, precisamos 
escolher entre a obtenção de uma solução analítica e uma solução 
numérica.
Neste ponto, temos um grandequestionamento. Por que usar um método 
numérico?
A resposta é mais simples do que imaginamos. Os modelos que 
possuem solução analítica precisam ser extremamente simplificados. 
Já os modelos que podem ser resolvidos numericamente podem con-
48 Matemática para Computação
ter mais variáveis e equações e, assim, um requinte maior nas equa-
ções que os contemplam.
Como o modelo usado para a obtenção numérica é mais “refinado”, o 
erro inerente ao método e à máquina pode ser muito menor se compa-
rado ao erro obtido com a solução analítica, que foi encontrada por meio 
de um modelo muito mais “grosseiro”.
Com isso, concluímos que nem sempre usamos o mesmo modelo 
matemático para as duas abordagens. Em geral, modelos matemáticos 
computacionais podem abranger um número maior de situações quan-
do comparados ao problema real.
Por meio do arredondamento e do truncamento, que especificare-
mos na sequência, conseguimos perceber a propagação de erros a que 
a resolução de um problema pode estar exposta.
Como vimos, os números não são representados computacionalmen-
te de maneira exata. Essa “perda” dependerá da capacidade da máquina.
A precisão, denotada por p, de um computador é o número de dígi-
tos significativos usados para representar um número. Os dígitos signi-
ficativos são todos os dígitos certos adicionados ao primeiro algarismo 
duvidoso.
Dessa forma, os números infinitos (ou mesmo muito grandes) aca-
bam sendo arredondados ou truncados, ocasionando erros. Esses 
mesmos números, quando em operações, ocasionarão a chamada pro-
pagação de erros.
Além desses erros, ainda temos a chamada incerteza dos dados e 
os erros de modelagem matemática. Nesse caso, em vez de pensar na 
transformação de um número para sua forma finita, levamos em con-
sideração a construção do modelo matemático e, com isso, a acurácia 
dos instrumentos de medição que estão envolvidos na construção desse 
modelo, além das ferramentas matemáticas disponíveis para solucionar 
o problema.
Vamos entender qual tipo de ajuste é necessário quando arredon-
damos ou truncamos um número e o que isso acarreta para o cálculo.
2.4.1 Erro de arredondamento
O arredondamento de um número é feito analisando o primeiro al-
garismo após o dígito duvidoso.
acurácia: “[Física] Proxi-
midade entre o resultado 
de um instrumento de 
medida e o verdadeiro 
valor do que foi medido” 
(DICIO, 2021).
Glossário
Noções sobre sistemas de numeração 49
Caso o dígito duvidoso seja maior do que 5, aumenta-se de uma unidade 
o algarismo duvidoso e desprezam-se os demais.
Caso o dígito duvidoso seja menor do que 5, mantém-se o valor do 
algarismo duvidoso e desprezam-se os demais.
Caso o dígito duvidoso seja igual a 5, há dois caminhos:
• Se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte despre-
zada for um número ímpar, deve-se aumentá-lo em uma unidade.
• Se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte despre-
zada for um número par, deve-se deixá-lo como está (inalterado).
di
fu
gi
 c
re
at
ive
/S
hu
tte
rs
to
ck
Para compreender essas especificações sobre arredondamento, 
acompanhe o exemplo a seguir.
Exemρlo 14
 
1
3
0 333 0 33� � �� � �, � ,
 π = 3,1415926 ... ≈ 3,141693
 1,55500... ≈ 1,56
 0,805... ≈ 0,80
Adotamos o arredondamento numérico porque computacional-
mente não é possível representar números infinitos, ou seja, esse tipo 
de ajuste é feito por causa das limitações existentes na representação 
numérica em máquinas digitais. Mas existem outros tipos de erros que 
podem se propagar quando transformamos um problema.
2.4.2 Erro de truncamento
O chamado truncamento será o corte aplicado aos dígitos não sig-
nificativos de um número infinito (ou muito grande), de acordo com a 
precisão possível da máquina.
50 Matemática para Computação
O truncamento também ocorre quando se aplica um método numé-
rico na solução de um problema e esse método leva a uma sucessão de 
termos infinitos. Computacionalmente, essa abordagem não é possível; 
nesses casos, trunca-se a série de termos em determinado ponto no 
qual o erro seja aceitável.
Em geral, é necessário definir em cada problema o que é conside-
rado um erro aceitável. Assim, o resultado encontrado, após o trunca-
mento, será analisado perante a obtenção desse erro.
Resumidamente, um erro de truncamento ocorre quando transfor-
mamos uma representação de um processo infinito em uma represen-
tação finita.
É comum, por exemplo, truncarmos séries de funções, como no 
exemplo a seguir.
Exemρlo 15
Seja a função sen x escrita por meio de uma série de potências na forma:
sen x x x x x� � � � ��
3 5 7
3 5 7! ! !
Sabemos que o valor de sen �π
6
é igual a 1
2
. Contudo, se calcular-
mos esse valor por meio de uma série de potências trigonométrica 
truncadas, teremos:
sen � �
� � �
6 6
6
3 2 1
6
5 4 3 2 1
6
7 6 5
3 5 7
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �44 3 2 1� � �
Nesse caso, sen
�
6
0 49999999187�
�
�
�
�
� � , .
Note que para esse cálculo, além do erro de truncamento, ainda te-
mos um erro de arredondamento. Portanto, começamos a perceber a 
propagação de erros intrínseca em diversos métodos computacionais.
2.4.3 Erro absoluto e erro relativo
Com os ajustes numéricos necessários para a representação com-
putacional (arredondamento, truncamento etc.), além dos ajustes nos 
Noções sobre sistemas de numeração 51
modelos e nas demais aproximações aplicadas, surge a questão refe-
rente à quantificação dos erros envolvidos nesses processos.
Para verificar se o resultado atingido foi bom, é necessário compará-
-lo ao resultado exato.
Nesse ponto, surgem algumas métricas que nos permitem quanti-
ficar os erros.
As medidas de erro mais utilizadas são o erro absoluto e o erro relativo.
Definição 2 – erro absoluto
Sejam x um número real e�x sua aproximação. O erro absoluto da aproximação
�x é definido, de acordo com Justo et al. (2021), como:
E x xA � �
Apresentamos a seguir um exemplo que nos auxilia na compreen-
são do cálculo para esse tipo de erro.
Exemρlo 16
 
A área da circunferência é dada por A = πr². Se r = 3, então a área 
exata será dada por A = 9π. Mas o que ocorre se π for arredondado?
Sejam π1 = 3,14 e π2 = 3,141593. Então, A1 = 9 · 3,14 = 28,26 e A2 = 
9 · 3,141593 = 28,274337.
Erro absoluto: E x xA � � → EA = |28,274337 – 28,26| = 0,014337.
Em muitos casos, desejamos calcular uma taxa entre o erro e a solu-
ção real. Nessa situação, precisamos do chamado erro relativo, definido 
a seguir.
Definição 3 – erro relativo
Sejam x um número real e�x sua aproximação. O erro relativo da aproximação 
�x é definido, de acordo com Justo et al. (2021), como:
E
x x
x
�xR �
�
�, 0 
O erro relativo é adimensional e, muitas vezes, é expresso em 
porcentagens.
52 Matemática para Computação
Exemρlo 17
Utilizando os mesmos dados do Exemplo 14, vamos calcular o erro 
relativo.
Sejam π1 = 3,14 e π2 = 3,141593. Então, A1 = 9 · 3,14 = 28,26 e A2 = 
9 · 3,141593 = 28,274337.
Erro relativo: E
x� �x
xR
�
�
.
E
� �
� � %R �
�
� � �
28 274337 28 26
28 274337
0 0005070675927 100 0 050
, ,
,
, , 77%
Uma forma de minimizar o alastramento de erros em um modelo 
numérico é reduzir o número de operações.
Exemρlo 18
Considere o polinômio dado por:
pn(x) = anx
n + an–1x
n–1 + … + a1x
1 + a0 = ((…(anx + an–1)x + an–2)x + …a1)x + a0
Note que a primeira representação do polinômio contém mais ope-
rações do que a segunda representação.
Sendo assim, o erro geral no segundo caso será menor, pois serão 
necessários menos ajustes numéricos e, com isso, um menor alastra-
mento de erros.
Esse tipo de manipulação precisa ser trabalhado com suas especifi-
cidades, dentro de cada método numérico e cada situação que permita 
a implementação computacional.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo percorremos trechos da história da matemática que 
permitiram o desenvolvimento da história da computação.
Identificamos alguns matemáticos que estiveram diretamente relacionados 
com a construçãonão só das linguagens de programação, mas da própria má-
quina digital eletrônica (computador moderno) e do modo como ela opera.
• O relato de alguns 
acidentes atribuídos a 
erros de cálculo numérico 
pode ser encontrado na 
leitura de Some disasters 
attributable to bad 
numerical computing.
 Apesar de o texto estar 
em língua estrangeira, 
ele pode ser facilmente 
traduzido por meio de 
um tradutor on-line. 
Disponível em: http://www-
users.math.umn.edu/~arnold//
disasters/. Acesso em: 2 jun. 2021.
 • Além disso, indicamos 
também a leitura de Erros 
de cálculo na engenharia. 
Disponível em: https://www.
aedb.br/seget/arquivos/
artigos18/23226187.pdf. Acesso 
em: 2 jun. 2021.
Leitura
http://www-users.math.umn.edu/~arnold//disasters/
http://www-users.math.umn.edu/~arnold//disasters/
http://www-users.math.umn.edu/~arnold//disasters/
https://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos18/23226187.pdf
https://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos18/23226187.pdf
https://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos18/23226187.pdf
Noções sobre sistemas de numeração 53
Percebemos a importância das estruturas lógicas-matemáticas en-
volvidas no processo por trás da lógica computacional e, com isso, re-
pensamos algumas das estruturas matemáticas clássicas que, quando 
convertidas para serem interpretadas pelo computador, ainda mantêm 
suas caraterísticas principais, ou seja, mantêm sua estrutura matemática.
Com base em todos esses conceitos, reforçamos a importância do es-
tudo da matemática para todos interessados pela área da computação, 
com todas as suas ramificações e possibilidades.
ATIVIDADES
Podemos considerar o sistema de numeração romano um sistema 
aditivo ou um sistema posicional? Explique.
Atividade 1
É possível converter um número na base 10 para a base hexadecimal 
por meio de divisões sucessivas? Explique essa conversão e converta o 
número (9)10 para essa base.
Atividade 2
Considere a escrita do número de Napier da forma e = 2,718... e
e
n
n
� � � � � ��
�
�
0
1 1
0
1
1
1
2
1
3
�
! ! ! ! !
No primeiro caso, devemos usar qual tipo de ajuste numérico para obter 
um número finito? E no segundo caso? Quais são os erros envolvidos 
em cada um dos casos?
Atividade 3
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, M. C. Origens da matemática: a pré-história da matemática – o neolítico e o 
alvorecer da história. Curitiba: Progressiva, 2011. (v. 1)
CARROLL, L. Aventuras de Alice no país das maravilhas & Através do espelho e o que Alice 
encontrou por lá. São Paulo: Zahar, 2013.
DICIO. Dicionário Online de Português. 2021. Disponível em: https://www.dicio.com.br/. 
Acesso em: 2 jun. 2021.
GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenheiros e cientistas: uma 
introdução com aplicações usando o MATLAB. Porto Alegre: Bookman, 2008.
JUSTO, D. A. R. et al. REAMAT: cálculo numérico. Porto Alegre: UFRGS. Disponível em: https://
www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/main.html. Acesso em: 2 jun. 2021.
SAMPEDRO, J. Um sistema binário inventado na Polinésia séculos antes de Leibniz. 
El País, 16 dez. 2013. Disponível em: https://brasil.elpais.com/brasil/2013/12/16/
sociedad/1387215405_275511.html. Acesso em: 2 jun. 2021.
WEBER, R. F. Fundamentos de arquitetura de computadores. v. 8. Porto Alegre: Bookman, 2004. 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/main.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/main.html
https://brasil.elpais.com/brasil/2013/12/16/sociedad/1387215405_275511.html
https://brasil.elpais.com/brasil/2013/12/16/sociedad/1387215405_275511.html
54 Matemática para Computação
3
Matrizes
Quando falamos em matemática para computação, temos como 
objetivo possibilitar uma base para conceitos que serão usados não 
só como ferramenta para desenvolver e aprimorar o raciocínio lógico 
dentro da matemática e de outras disciplinas, mas também como ins-
trumento essencial para a programação – seja esta como objeto de 
aprendizagem teórico ou mesmo como objeto aplicado.
Você já se perguntou quanta matemática está por trás de um sim-
ples software de reconhecimento de imagem? Ou como transformar 
um problema real em um problema computacional? É a matemática 
envolvida nessas situações que queremos apresentar.
Assim, iniciamos com o conceito de matriz, possivelmente já visto 
por muitos de vocês no ensino médio, mas que será reforçado, nesse 
momento, para que possamos ampliar o nosso ferramental aplicado 
à computação.
Dessa forma, este capítulo trará a estrutura das matrizes e as suas 
propriedades, pois queremos possibilitar o entendimento da relação 
desse conceito com estruturas vetoriais, listas, arrays, dentre outros, 
que são essenciais na maior parte das linguagens de programação.
Na sequência, aprofundaremos a definição de operação matricial, 
abordando determinantes, matrizes inversas e fatoração de matrizes. 
Essa base auxiliará no entendimento de construções da lógica da pro-
gramação e na aplicação dessa lógica voltada ao tratamento vetorial, 
ao processamento numérico e à modelagem computacional.
A ideia é possibilitar um estudo crítico e de real aprendizado, 
direcionado para as necessidades da profissão e do mundo que 
nos cerca.
Matrizes 55
Com o estudo deste capítulo, você será capaz de:
• relacionar o conceito de vetor e matriz;
• pensar a definição de multiplicação matricial de 
modo computacional;
• compreender o conceito de base de espaços formados por 
vetores, para a agilidade dos resultados computacionais;
• entender e aplicar o processo de fatoração matricial, conhe-
cido por método de Gauss;
• aplicar o conceito de algoritmo para resolver os processos 
de fatoração e decomposição matriciais;
• interpretar a inversa de uma matriz por meio de processos 
de decomposição matricial.
Objetivos de aprendizagem
3.1 Vetores de uma matriz 
Vídeo Você conhece as regras do jogo de xadrez? Antes de entender qual-
quer regra que envolva esse tipo de jogo, precisamos conhecer o tabu-
leiro, pois toda e qualquer regra estará vinculada à posição em que as 
peças se encontram.
Assim, o tabuleiro de xadrez é formado por linhas, representadas 
por números, e colunas, retratadas por letras, conforme podemos 
observar na Figura 1.
Figura 1
Linhas e 
colunas no 
xadrez Va
pa
rt/
Sh
ut
te
rs
to
ck
56 Matemática para Computação
Assim, quando o jogador pensa na movimentação que fará com sua 
peça, ele identifica a linha e a coluna para onde fará o movimento.
Por exemplo, o peão branco na casa 2D pode se movimentar para a 
4D. Outro peão branco, localizado na casa 2C, pode avançar para a 4C. 
Na Figura 2, temos o peão preto, que foi movido para a casa 5D.
Dimitrios Karamitros/Shutterstock
Figura 2
Movimentação 
no tabuleiro 
de xadrez
Note que compreender a movimentação por meio de linhas e 
colunas 1 facilita muito a escrita de jogadas. Se isso não fosse normali-
zado dessa forma, seria bem difícil explicar diferentes jogadas e movi-
mentações para outros jogadores por intermédio de obras literárias e 
artigos técnicos.
Partindo dessa ideia, definimos matematicamente o conceito de matriz.
Definição 1
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m ⨯ n elementos dispostos 
em m linhas e n colunas da seguinte forma (LEON, 2019):
A
a a a
a a a
a a a
am n
n
n
m m mn
ij m� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12 1
21 22 2
1 2
�
� � � �
�
[ ] ��n
Se pensarmos em matriz como uma forma de organizar coisas em 
posições específicas, é possível perceber que os elementos dessa ma-
triz podem ser qualquer objeto. Contudo, matematicamente, entende-
mos os elementos de uma matriz como números (reais ou complexos), 
funções ou, ainda, outras matrizes.
Ficou curioso com as 
movimentações possíveis 
do jogo de xadrez? Suge-
rimos a leitura de duas 
obras que podem ajudá-lo 
nessa área e, como 
consequência, no entendi-
mento das matrizes:
SUMMERSCALE, C. Xadrez: guia 
passo a passo totalmente ilustrado. 
São Paulo: Zastras, 2008.
NIMZOWITSCH, A. Meu sistema: o 
primeiro livro de ensino de xadrez. 
São Paulo: Solis, 2007.
LeituraEstamos usando a 
nomenclatura usual para 
matrizes (linha e coluna), 
mas, no xadrez, o padrão 
é nomear primeiro a colu-
na e depois a linha.
1
https://www.amazon.com.br/Xadrez-Guia-Passo-Totalmente-Ilustrado/dp/8521313993/ref=sr_1_2?__mk_pt_BR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&dchild=1&keywords=xadrez+para+ilustrado&qid=1623522307&s=books&sr=1-2
https://www.amazon.com.br/Xadrez-Guia-Passo-Totalmente-Ilustrado/dp/8521313993/ref=sr_1_2?__mk_pt_BR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&dchild=1&keywords=xadrez+para+ilustrado&qid=1623522307&s=books&sr=1-2
Matrizes 57
A nomenclatura usual para uma matriz é dada por:
Ol
lie
 T
he
 D
es
ig
ne
r/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Letras maiúsculas para 
simbolizar matrizes.
Letras minúsculas para 
denotar seus elementos.
A posição de cada elemento 
é apresentada por meio de 
subíndices, sendo que usamos 
i para a posição do elemento 
em relação à linha e j para 
a posição do elemento em 
relação à coluna aij.
Para indicar a ordem de 
uma matriz A (isto é, o 
número de linhas e colunas), 
escreve-se Am⨯n, sendo que 
m representa o número de 
linhas, e n o de colunas.
Cada elemento da matriz A tem dois índices: aij, sendo que o primei-
ro índice representa a linha a que esse elemento pertence, e o segundo 
a coluna. Dessa forma, [aij], com i variando de 1 a m, e j de 1 a n, repre-
sentamos abreviadamente a matriz A de ordem m por n.
Ol
lie
 T
he
 D
es
ig
ne
r/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Duas matrizes A = [aij] e 
B = [bij] de ordem m por n 
são iguais (equivalentes) se, e 
somente se, aij = bij. A matriz de ordem n por 1 é 
uma matriz coluna:
A
a
a
a
an
n
ij n� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
11
21
1
1

[ ]
A matriz de ordem 1 por n é 
uma matriz linha:
A a a a an n ij n1 11 12 1 1� �� ��� �� � [ ]
58 Matemática para Computação
Cada linha (ou coluna) representa um vetor. Assim, se a matriz é de 
ordem m por n, teremos vetores m, vetores linha ou n vetores coluna.
Logo, o que determina se olharemos para as linhas ou para as colu-
nas como vetores é a aplicação relacionada a essa matriz.
De acordo com Feofiloff (2018):
um vetor, ou arranjo (= array), é uma estrutura de dados que 
armazena uma sequência de objetos, todos do mesmo tipo, 
em posições consecutivas da memória RAM (= random access 
memory) do computador. Essa estrutura permite acesso aleató-
rio: qualquer elemento do vetor pode ser alcançado diretamen-
te, sem passar pelos elementos anteriores (o décimo elemento, 
por exemplo, pode ser alcançado sem que seja necessário passar 
antes pelo primeiro, segundo, etc., nonos elementos).
Note que Feofiloff (2018) usa termos específicos da computação, 
mas que são, simplesmente, conceitos matemáticos que já conhece-
mos: vetores e matrizes.
Um array pode ser unidimensional ou multidimensional. Quando o 
array é unidimensional, temos o vetor, que é capaz de armazenar mui-
tas variáveis do mesmo tipo. Uma coleção de arrays, ou seja, um array 
multidimensional, é entendida como uma matriz; também pode ser 
compreendida como um vetor de vetores.
Cada elemento da matriz é acessado pelos seus índices, ou seja, i e j, 
que determinam a posição desse elemento.
A proposta do nosso material não é a de simplesmente revisar o 
conceito de matriz, mas a de trazer uma nova abordagem para este, 
pensando na sua aplicação na computação. Para isso, vamos focar as 
maneiras de aplicarmos as matrizes e os seus vetores, tendo como 
objetivo as operações realizadas computacionalmente.
É nesse contexto que entramos na próxima seção, na qual aborda-
remos as operações matriciais e os algoritmos.
3.2 Análise do algoritmo padrão para 
multiplicação de matrizes Vídeo
Talvez você já tenha pensado no processo de adição e subtração 
matricial de maneira computacional. A soma e a subtração entre duas 
Matrizes 59
matrizes exigem apenas que a ordem destas seja igual, visto que, para 
a obtenção do resultado, será necessário somar ou subtrair, respecti-
vamente, termo a termo dessas matrizes.
A soma de duas matrizes A = [aij] e B = [bij] de ordem m por n é uma 
matriz C = [cij], tal que cij = aij + bij.
a a
a a
b b
b b
an
n mn
n
n mn
11 1
1
11 1
1
1�
� � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 11 1 1
1 1
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
b a b
a b a b
n n
n n mn mn
�
� � �
�
Para compreender essa operação, acompanhe o exemplo a seguir.
Exemρlo 1
Sejam as matrizes A �e�B ��
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 2
3 4
4 5
6 7
, então:
A B� �
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 4 2 5
3 6 4 7
5 7
9 11
A mesma propriedade é válida para a subtração entre matrizes, 
como podemos notar no exemplo a seguir.
Exemρlo 2
Sejam as matrizes A �e�B�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 2
3 4
4 5
6 7
, então:
A B� �
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
1 4 2 5
3 6 4 7
3 3
3 3
Contudo, o processo de multiplicação não é tão intuitivo. Por 
esse motivo, apresentamos, na sequência, o algoritmo que permite 
fazermos multiplicações entre duas matrizes.
60 Matemática para Computação
Algoritmo 1
Sejam A = [aij]m⨯n e B = [brs]n⨯p, o produto de A por B é definido como
AB = [cuv]m⨯p
onde
c a b a b a buv
k
n
uk kv u v un nv� � ���
�
�
1
1 1
O produto entre duas matrizes Am⨯n e Bl⨯p só é possível se o número 
de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B, n = l. 
O resultado desse produto será uma matriz de ordem m ⨯ p.
O elemento resultante desse produto será denotado por cij (i-ésima 
linha e j-ésima coluna da matriz produto) e obtido por meio da soma en-
tre os produtos dos elementos da i–ésima linha da primeira matriz pelos 
elementos correspondentes da j–ésima coluna da segunda matriz.
Acompanhe o exemplo a seguir para compreender melhor como 
calculamos a multiplicação de matrizes.
Exemρlo 3
Vamos efetuar o produto entre as matrizes A1⨯2 = [–1 1] e 
B2 3
2 1 4
3 4 3�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� .
Verificamos se o número de colunas da matriz A é igual ao número 
de linhas da matriz B. Nesse caso:
colunas de A = linhas de B = 2
Portanto, o produto entre matrizes é possível e dará origem a uma 
matriz C, com o número de linhas de A e o número de colunas de B, ou 
seja, originará uma matriz C1⨯3.
C1 3 1 1
2 1 4
3 4 3�
� ��� �� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
= [(–1) · 2 + 1 · 3 (–1)(–1) + 1 · 4 (–1)(–4) + 1 · (–3)]
= [1 5 1]
m
yd
eg
ag
e/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Matrizes 61
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
 • Em geral, AB ≠ BA.
 • AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0.
 • AI = IA = A, onde I é a matriz identidade.
 • Distributividade:
 • A(B + C) = AB + AC;
 • (A + B)C = AC + BC;
 • (AB)C = A(BC).
 • A(AB)t = BtAt.
 • 0A = 0 e A0 = 0.
Fechamos esta seção com as propriedades algébricas da multipli-
cação entre matrizes. Com isso, temos em mãos as propriedades ma-
triciais necessárias para resolvermos diversos exemplos e aplicações.
3.3 Bases 
Vídeo Vimos que uma matriz é constituída de linhas e colunas. Essas 
mesmas linhas e colunas podem ser consideradas vetores dessa matriz.
Observe a Figura 3, que apresenta, graficamente, duas equações 
de retas, representadas em um mesmo sistema de coordenadas 
cartesianas, ℝ².
Figura 3
Sistema de equação 
2 4
3 2
x y
x y
� �
� �
�
�
�
3,5
4
3,5 4,5 5,5–3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0
3
3 4 5 6
X
Y
2,5
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
–1
0,5
0,5
0,5
eq2: 3x – y = 2eq1: 2x + y = 4
eq1
eq2
Fonte: Elaborada pela autora.
62 Matemática para Computação
Esse sistema, escrito como 
2 4
3 2
x y
x y
� �
� �
�
�
�
��
, pode ser representado na 
forma matricial a seguir:
2 1
3 1
4
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
x
y
Ao analisarmos os vetores linha da matriz dos coeficientes, dados 
por v1 = [2, 1] e v2 = [3, –1], podemos expressar que v1 não pode ser 
escrito como uma combinação linear de v2, ou seja, não podemos de-
notar como v1 ≠ αv2.
Essa simples análise nos fornece a informação de que esses veto-
res são linearmente independentese, como eles são formados por 
duas coordenadas, isto é, são bidimensionais e estão contidos em um 
espaço bidimensional, ainda podemos afirmar que esses mesmos dois 
vetores, v1 e v2, formam uma base para o ℝ2.
No caso de um sistema de equações composto por n equações e 
n variáveis, identificar que os vetores que formam a matriz dos coefi-
cientes são, também, uma base para ℝn nos permite afirmar que esse 
sistema é compatível e determinado, então tem uma única solução.
Assim, para identificar se n vetores de uma matriz formam uma 
base para o espaço ℝn, precisamos analisar duas situações:
I. se os vetores são linearmente independentes (LI);
II. se os vetores geram ℝn.
A base mais simples para um espaço de vetores é a base canôni-
ca. Para o ℝ², ela é formada pelos vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Note 
que, se admitirmos um outro vetor qualquer nesse sistema, por exem-
plo, o vetor v = (–5, 3), este será escrito como uma combinação linear 
(Figura 4) de e1 e e2 na forma:
(–5, 3) = –5(1, 0) + 3(0, 1) = –5v1 + 3v2
Geometricamente, o que estamos mostrando é que existem escala-
res α1 = –5 e α2 = 3, tais que v = α1 v1 + α2 v2.
Trouxemos o conceito 
de base pensando na 
proposta aplicada, mas, 
caso você tenha interesse 
em se aprofundar nesse 
tema, com a visão da 
álgebra linear, sugerimos 
o vídeo Combinações li-
neares, subespaços gerados 
e bases | A essência da 
Álgebra Linear, capítulo 
2, publicado pelo canal 
3Bluw1Brown.
Disponível em https://www.youtu-
be.com/watch?v=k7RM-ot2NWY. 
Acesso em: 6 jul. 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY
https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY
Matrizes 63
Figura 4
Combinação linear entre v1 e v2 y
x
3v2
v2 = (0, 1)
v1 = (1, 0)
–5v1
Fonte: Elaborada pela autora.
Portanto, uma combinação linear pode ser definida como:
Definição 2
Sejam v1, ..., vn elementos de um espaço de vetores V, então v é uma combinação 
linear de v1, ..., vn se existirem números reais α1, ... ,αn, tais que:
v = α1v1 + ... + αnvn (1)
Já o que define a independência linear é:
Definição 3
Uma sequência de vetores v1, ..., vn de um espaço vetorial V é linearmente 
independente (LI) se:
α1v1 + ... + αnvn =

0 (2)
e isso só é verdade se α1 = ... = αn = 0.
Se dispusermos os vetores que desejamos analisar em uma matriz 
quadrada A, como fizemos com a matriz dos coeficientes do sistema de 
equações anterior, e calcularmos seu determinante, podemos ter dois 
tipos de solução:
 • se det A = 0, então os vetores são LD;
 • se det A ≠ 0, então os vetores são LI.
LD: linearmente 
dependente.
Glossário
64 Matemática para Computação
Para compreender esses conceitos, acompanhe o próximo exemplo.
Exemρlo 4
Sejam os vetores u = (1, 2, 3), v = (3, –1, 6) e w = (4, 2, 1). Queremos 
classificar os três vetores em LI ou LD. Assim, fazemos:
A � �
1 2 3
3 1 6
4 2 1
Aplicando a regra de Sarrus, podemos escrever:
A � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �
1 2 3
3 1 6
4 2 1
1 1 1 2 6 4 3 3 2 4 1 3 2 6 1 1 3 2 59
Logo, os vetores u, v e w são linearmente independentes, pois o 
determinante de A resultou em um valor diferente de zero.
Portanto, pode-se usar as matrizes e suas operações – nesse caso, 
o determinante – para analisar se os vetores que a compõem são 
linearmente independentes. Conhecendo a quantidade de elementos 
que está alocada nesses vetores e a dimensão do espaço a ser analisa-
do, é possível avaliar se esse espaço pode ser gerado por esses veto-
res. Com essas duas conclusões em mãos, podemos afirmar (ou não) a 
existência de uma base de vetores para o espaço avaliado.
3.4 Fatoração matricial – Método de Gauss 
Vídeo Computacionalmente, podemos trabalhar com matrizes com um 
número muito grande de elementos.
Ao pensarmos, por exemplo, na análise de dados, nas redes de 
computadores ou mesmo na área de inteligência artificial, o número 
de elementos em uma matriz pode estar na casa dos milhares ou mais. 
Portanto, é impossível realizarmos cálculos de maneira manual, sem a 
utilização de uma ferramenta computacional.
Matrizes 65
Dessa forma, a correta manipulação desses dados dentro das matri-
zes é fundamental para que encontremos resultados coerentes.
Assim, vamos abordar, nesta seção, a fatoração (decomposição) de 
matrizes, para que possamos viabilizar algoritmos que nos permitam 
resolver determinantes, encontrar a inversa ou mesmo resolver gran-
des sistemas de equações, dentre outras aplicações.
Seja uma matriz Am⨯n dada por:
A
a a a a a
a a a
k m n
k
1
1 1
11
1
12
1
1
1
1
1
1
1
21
1
22 2
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a a a a a
m n
kk km kn
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1
2
1
1 1
1 1 1
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k k
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2
1 1 1 1� � � � � � � � � �
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��
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�
�
E, ainda, seja A(k) uma matriz semelhante a A(1), já triangularizada:
A
a a a a a
a a a
k
k m n
k m
� �
� � � � � � � � � �
� � � � �
�
11
1
12
1
1
1
1
1
1
1
22
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2
2
2
20
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a
a a a
a
n
kk
k
km
k
kn
k
mk
k
2
2
0 0
0 0 aa amm
k
mn
k� � � �
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��
A triangularização de matrizes é um dos processos mais práticos 
para a resolução de diversos problemas dentro da álgebra, como aque-
les citados anteriormente.
Vamos entender esse processo de modo que seja possível 
transcrevê-lo em formato de algoritmo.
Note que:
A M A
A M Am m
m
2
1
1
1
1
� � � �
� �
�
�� �
� �
� �
�
�
��
�
�
�

Portanto, precisamos de m – 1 passos para concluir a decomposi-
ção. Vamos escrever esse processo em etapas.
66 Matemática para Computação
Se a11
1 0� � � , então:
A = A
a a a a a
a a a
1
k m n
k
� �
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� � � �
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11
1
12
1
1
1
1
1
1
1
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1
22 2
1
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1 1 1
2 2
1
1
2
1
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a a a a a
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kk km knk k
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�
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� � �a a a a amK mm mnm m1
1
2
1 1 1 1
��
�
�
�
�
�
�
�
�
Assim, existe uma matriz M1 (m⨯m):
M
a
a
a
a
m
1
21
1
11
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
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a
a
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a
a
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a
a
m
m
21
21
1
11
1 31
31
1
11
1 1
1
1
11
1
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1
Logo:
A
a a a a a
a a a
k m n
k m
2
11
1
12
1
1
1
1
1
1
1
22
2
2
2
2
20
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a a a a
a
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k kk km kn
m
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2
2
2 2 2 2
2
2
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�� � �a a amk mm mn
2 2 2
Note que M1 multiplica todas as colunas de A, mas só zera a coluna 1, abaixo da 
posição (1, 1), ou, ocasionalmente, alguma outra coluna.
De
si
gn
-S
py
/S
hu
tte
rs
to
ck
PASSO 
1
Matrizes 67
Se a22
2 0� � � , então existe uma matriz M2 (m⨯m), tal que A(3) = M2 · A(2) = M2 · M1 · A(1).
M
a
a
a
a
m
2
32
2
22
2
2
2
22
2
1
1
1
1
1
1
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m
a
a
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a
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m
m
32
32
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42
2
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2
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222
2� � .
Logo:
A
a a a a a
a a a
k m n
k m
3
11
1
12
1
1
1
1
1
1
1
22
2
2
2
2
20
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a
n
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2
3 3 3
3
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0 0 aa amm mn
3 3� � � �
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PASSO 
2
De
si
gn
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py
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rs
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ck
Se akk
k� � � 0, então A(k+1) = Mk · A(k).
A
a a a a
a a a
ak
k n
k n
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11
1
121
1
1
1
1
22
2
2
2
2
20
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k
kn
k
k k
k
k n
k
m k
a
a a
a
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� � � � �
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
1 1
1
1
1
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, 11
1 1k
m n
ka�� � �� �
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�
�
�
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�
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�
�
�
�
�
�� ,
O processo deve ser seguido até o passo r, em que r = min{m – 1, n}.
Dessa forma, podemos escrever:
A(k+1) = Mk · A
(k) = Mk · Mk–1 · ... · M1 · A
(1).
De
si
gn
-S
py
/S
hu
tte
rs
to
ck
PASSO 
K
68 Matemática para Computação
Mas por que todo esse procedimento? Porque sabemos que o 
determinante de uma matriz pode ser calculado por meio da multipli-
cação dos elementos da diagonal principal; porém, também, porque 
usaremos métodos de decomposição aplicados a outras operações 
com matrizes, por exemplo, no cálculo da inversa de uma matriz. Além 
disso, outro motivo é o computador resolver processos numéricos 
discretos, por etapas, podendo, ainda, carregar muitos erros (de arre-
dondamento, truncamento e cancelamento).
Dessa forma, para implementar uma matriz e as operações sobre 
esta, é necessário que tenhamos um passo a passo do processo numé-
rico. Transformar um problema matemático em um algoritmo nos ofe-
rece justamente esse passo a passo necessário para que o computador 
possa resolvê-lo.
Agora, vamos colocar na prática os passos observados na teoria.
Exemρlo 5
Seja A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 4 2
1 1 5
4 1 2
. A decomposição de Gauss ocorrerá em 
r = min{2, 3} = 2 passos. Então, fazendo o passo a passo, temos:
 • Passo 1: a11 ≠ 0
M1
1 0 0
1
2
1 0
4
2
0 1
� �
�
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�
�
�
�
�
�
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�
�
�
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�
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�
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A M A2 1
1
1 0 0
1
2
1 0
4
2
0 1
2 4 2
1 1 5
4 1 2
� � � �� � � �
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�
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�
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�
2 4 2
0 3 6
0 7 2
Cada algoritmo precisa 
ser adaptado para uma 
linguagem de programa-
ção específica. Se utili-
zarmos uma linguagem de 
alto nível, possivelmente, 
a própria linguagem já tra-
ga de maneira intrínseca 
questões como armaze-
namento dos dados de 
uma matriz na memória, 
módulos de inversão, 
cálculo do determinante 
etc. Mas, se for uma 
linguagem de baixo nível, 
todas essas questões 
serão declaradas pelo 
programador. Sugerimos 
a leitura dos seguintes 
materiais, que trazem um 
pouco da programação 
usada em Python (alto ní-
vel) e em C++ (baixo nível) 
em casos de aplicações 
que usam matrizes:
• Aulas de introdução 
à computação com 
Python: matrizes. 
Disponível em: https://panda.ime.usp.
br/aulasPython/static/aulasPython/
aula11.html. Acesso em: 6 jul. 2021.
• Curso de C: matrizes. 
Disponível em: http://mtm.ufsc.
br/~azeredo/cursoC/aulas/c530.
html. Acesso em: 6 jul. 2021.
Leitura
https://panda.ime.usp.br/aulasPython/static/aulasPython/aula11.html
https://panda.ime.usp.br/aulasPython/static/aulasPython/aula11.html
https://panda.ime.usp.br/aulasPython/static/aulasPython/aula11.html
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/cursoC/aulas/c530.html
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/cursoC/aulas/c530.html
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/cursoC/aulas/c530.html
Matrizes 69
 • Passo 2: a22 ≠ 0
M2
1 0 0
0 1 0
0 7
3
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A M A3 2
2
1 0 0
0 1 0
0 7
3
1
2 4 2
0 3 6
0 7 2
� � � �� � �
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�
�
�
�
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�
�
�
2 4 2
0 3 6
0 0 12
Os elementos akk
k� � são os elementos pivôs.
O resultado obtido com o método de Gauss pode ser aplicado em 
muitos contextos, como citamos anteriormente.
Usando esse método como “motor” para as nossas próximas de-
composições, vamos ver algumas possibilidades para a decomposição 
matricial que podem agilizar o processo de cálculo computacional e mi-
nimizar os erros obtidos nesse processo.
3.5 Decomposição LU e LDU 
Vídeo Nesta seção, apresentaremos alguns tipos de fatoração de matrizes 
que serão úteis para a resolução de sistemas de equações lineares.
Esses processos de fatoração também são chamados de méto-
dos de decomposição. Iremos, então, estudar a decomposição LU e a 
LDU. Esse último método ainda pode ser ramificado em outros mé-
todos, dependendo do tipo de matriz que tivermos. Vamos entender 
esses processos.
3.5.1 Decomposição LU
Seja uma matriz A de ordem m. A decomposição dessa matriz em 
outras duas matrizes, sendo a primeira uma matriz triangular infe-
rior L (lower) e a segunda uma matriz triangular superior U (upper), é 
chamada de decomposição LU (FRANCO, 2006).
70 Matemática para Computação
A
a a
a a
l
l l
um
m mm m mm
�
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1
11
1
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u
u
L U
m
mm
1
0
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� �
Esse tipo de decomposição não é único. Ou seja, podem existir dife-
rentes matrizes triangulares inferiores e superiores que, quando mul-
tiplicadas, originarão a matriz A. Assim, para encontrá-las, usamos o 
processo de eliminação de Gauss, que nos auxilia a escrever a matriz A 
na forma fatorada em matrizes mais simples.
É possível ter uma ideia da aplicação desse tipo de decomposição com a 
leitura do artigo Estimação de estado em sistemas elétricos de potência: meto-
dologia para análise de observabilidade considerando medidas convencionais 
e fasoriais. Nesse artigo, os autores fazem uso do método LU para tratar o 
problema real transformado em modelo matemático.
Acesso em: 6 jul. 2021.
https://www.researchgate.net/publication/277717877_ESTIMACAO_DE_ESTADO_EM_SISTEMAS_ELETRICOS_DE_POTENCIA_
METODOLOGIA_PARA_ANALISE_DE_OBSERVABILIDADE_CONSIDERANDO_MEDIDAS_CONVENCIONAIS_E_FASORIAIS
Artigo
Como vimos, o processo de Gauss gera matrizes M1, M2, ... ,Mr , com 
r = min{m – 1, n}, tal que:
A(r+1) = Mr ⋅ Mr–1 ⋅ ... ⋅ M1 ⋅ A
As matrizes M não são singulares, portanto podemos calcular suas 
inversas. Assim:
A �M �M � � M �A r
r� � � � � �� � � �� �1
1
2
1 1 1
Portanto, L M M Mr� � ���
� � �
1
1
2
1 1 e U = A(r+1), com:
Triangular inferior Triangular superior
L M M M
m m m
r
r
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
� � �
1
1
2
1 1
1 2
1
1
1

...
e
U
a
a
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m
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� � �
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�
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�
�
� �
� �
� �
11
1
22
2
...
Para compreender como desenvolver a decomposição LU de uma 
matriz, acompanhe o próximo exemplo.
Matrizes 71
Exemρlo 6
Seja A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2 4
1 1 2
4 3 2
. Determine a decomposição LU da matriz A.
Usando a decomposição de Gauss, temos como primeiro pivô o ele-
mento na posição a11
1 3� � � .
Assim, os multiplicadores são: m
a
a
�e�m
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21
21
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1
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A A m
m
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1
2 21 1
3 31 1
3 2 4
1 1 2
4 3 2
3 2 4
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3
2
3
0 1
L L
L L
33
10
3
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O próximo pivô é a22
2 1
3
� � � . Então, o multiplicador é m
a
a
32
32
2
22
2
1
3
1
3
1� � �
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A
L m L
2
3 32 2
3 2 4
0 1
3
2
3
0 1
3
10
3
3 2 4
0 1
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Portanto, L carrega os multiplicadores (triangular inferior) e U é a 
última matriz após a triangularização (triangular superior).
L �e�U�
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3
1 0
4
3
1 1
3 2 4
0 1
3
2
3
0 0 4
Além da decomposição LU, que, como vimos, não é única, pode-
mos nos basear nela para um outro tipo de decomposição, chamado 
de LDU. Vamos entendê-lo na sequência.
Na linguagem MATLAB, 
é possível usar as fun-
ções intrínsecas dessa 
linguagem para calcular 
a decomposição LU. 
Assim, tendo a matriz A, 
basta fazer:
>[L, U] = lu(A)
>[L, U, P] = lu(A)
Curiosidade
72 Matemática para Computação
3.5.2 Decomposição LDU
A decomposição LDU, ao contrário da LU, é única, desde que os 
pivôs sejam diferentes de zero. Como o próprio nome nos leva a 
perceber, A será fatorada (decomposta) em uma matriz triangular in-
ferior (L), uma matrizdiagonal (D) e uma matriz triangular superior (U) 
na forma:
L ������D
d
d
dnn
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�����U
1
1
1
1
Gauss pode ser aplicado sem troca de linhas ou colunas. 
Dessa maneira,
A(n) = Mn–1 · ... · M1A
(1)
Assim,
A(n) = L–1 · A(1) = L-1 · A
Portanto, A = L · A(n), em que A(n) tem todos os pivôs akk
k� � � 0.
Definindo D
a
a
ann
n
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11
1
22
2
...
, então D–1 existe e
D
a
a
ann
n
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1
11
1
22
2
1
1
1
...
Definindo U = D–1 · A(n), temos que: U
a
a
a
a
a
a
n
n�
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1
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1
2
2
22
2
...
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Matrizes 73
E como:
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1
1
11 2
...
Então, A = L · A(n) = L · D(D-1 · A(n)) = LDU.
Assim, A pode ser decomposta da forma descrita. Acompanhe o 
exemplo a seguir para praticar a decomposição em LDU de uma matriz.
Exemρlo 7
Decomponha a matriz A �
�
�
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�
1 1 2
1 5 3
4 9 1
 em LDU.
Para decompor a matriz A em LDU, utilizamos a decomposição de 
Gauss. Assim, calculamos M1 usando, inicialmente, o pivô a11
1 1� � � , e en-
contramos m
a
a
�e�m
a
a
�21
21
1
11
1 31
31
1
11
1
1
1
1 4
1
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Portanto, a matriz obtida é M1
1 0 0
1 1 0
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Desse modo, obtemos, nessa etapa, a matriz 
A m
m
2
2 21 1
3 31 1
1 1 2
0 4 5
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L L
L L
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Agora, precisamos calcular M2 usando como pivôs 
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a
a
22
2
32
32
2
22
2
4 5
4
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. Portanto, M2
1 0 0
0 1 0
0 5
4
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Assim, A L m L
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3 32 2
1 1 2
0 4 5
0 0 3
4
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0 0 3
4
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� LU
74 Matemática para Computação
Agora, basta organizar U na forma:
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Portanto,
A �
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1 5 3
4 9 1
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1 1 0
4 5
4
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1 0 0
0 5 0
00 0 3
4
1 1 2
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� LDU
Dependendo de como D é tratado, existem três tipos de decomposições:
1 2Decomposição de Doolittle (direto de 
Gauss)
A = L · (D · U) = L · U’, em que lii = 1, ∀ i.
A �
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1
1
1
...
.
Decomposição de Crout
A = (L · D) · U = L’ · U, em que uii = 1, ∀ i.
A �
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.
...
1
1
1
3 Decomposição de Cholesky
A = Q · QT, em que lii = uii, ∀ i.
A
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x
x
x
x
x
x
x
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Observação: a decomposição de Cholesky 
pode ser encontrada baseada em Gauss, pois, 
se A é simétrica, A = LDU e U = LT. Contudo, a 
decomposição de Cholesky só é possível quando 
A for uma matriz positiva definida por A = LDLT.
Se D > 0, então:
D
a
ann
1
2
11
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�· · · ·
1
2
1
2
Matrizes 75
Quando aplicamos os processos de decomposição para agilizar a 
resolução de sistemas de equações, percebemos que cada tipo desses 
sistemas se comporta melhor com uma decomposição específica. Se as 
matrizes são esparsas, adotamos um método; se temos uma matriz em 
blocos, podemos adotar outro.
O importante é termos o conhecimento prévio das ferramentas que 
podem ser utilizadas, para que possamos definir, em cada caso, qual 
a melhor estratégia de resolução, considerando a agilidade, a rapidez 
computacional e a minimização de erros.
Uma matriz é denomi-
nada positiva definida se 
os determinantes das n 
submatrizes principais de 
A forem positivos, ou seja:
|Akk| > 0, para todo 
1 ≤ k ≤ n
A matriz identidade é 
um exemplo de matriz 
positiva definida.
Saiba mais
3.6 Inversa de uma matriz 
Vídeo Há algumas maneiras de calcular a inversa de uma matriz. Uma de-
las exige o cálculo do determinante.
Como vimos, o determinante pode ser encontrado por meio da 
triangularização de uma matriz. Após esse processo, basta multiplicar 
os elementos da diagonal resultante.
Logo, pensando computacionalmente, o cálculo do determinante de 
uma matriz depende de operações elementares (as quais não alteram 
a solução do sistema) que podem ser descritas dos seguintes modos:
I. Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha.
Li ↔ Lj – é trocar as linhas, o que é equivalente a trocar a posição 
das equações.
II. Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo λ.
Li → λLi – refere-se ao mesmo que multiplicar um número não 
nulo na equação correspondente.
III. Substituição da i–ésima linha pela i–ésima linha mais λ vezes a 
j–ésima linha.
Li → Li + λLj – corresponde a somar o múltiplo da outra equação.
Vamos praticar o cálculo do determinante de uma matriz, utilizando 
as operações elementares.
A plataforma da Khan 
Academy tem um material 
muito interessante sobre 
as operações aplicadas 
sobre linhas e colunas 
de uma matriz. Além da 
leitura, é possível resolver 
alguns exercícios sobre 
o assunto. 
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/precalculus/
precalc-matrices/elementary-matrix-
-row-operations/a/matrix-row-ope-
rations. Acesso em: 6 jul. 2021.
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/elementary-matrix-row-operations/a/matrix-row-operations
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/elementary-matrix-row-operations/a/matrix-row-operations
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/elementary-matrix-row-operations/a/matrix-row-operations
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/elementary-matrix-row-operations/a/matrix-row-operations
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/elementary-matrix-row-operations/a/matrix-row-operations
76 Matemática para Computação
Exemρlo 8
Seja a matriz A �
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�
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2 2 3
1 1 3
2 0 1
, queremos calcular seu determinante 
por meio de uma triangularização. Assim, aplicando operações elemen-
tares, temos:
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2 2 3
1 1 3
2 0 1
2 2 3
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2
0
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2 2
1
2 1
L L L
L L L 22 4�
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2
0 2 4
2 2 3
0 2 4
0 0 9
2
3 2L L
��
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�
�
Nesse ponto, já temos uma matriz triangularizada; portanto, 
det A �� � � � ��
�
�
�
�
� �2 2
9
2
18 .
Com base nesse princípio, desenvolvemos, na sequência, o cálculo 
da inversa de uma matriz, conhecendo seu determinante.
3.6.1 Inversa de uma matriz por meio de determinantes
Uma das maneiras de encontrarmos a inversa de uma matriz qua-
drada A é por meio da matriz dos cofatores de A. Com esse resultado, é 
possível obter a matriz adjunta de A e, na sequência, sua matriz inversa.
Dessa forma, inicialmente, precisamos conhecer o cofator de cada 
um dos elementos de A, dados por:
Aij = (–1)
i+j |Mij|
Assim, Mij representa a matriz obtida da matriz original pela elimina-
ção da i-ésima linha e da j-ésima coluna.
É possível formar uma nova matriz, denominada de Ā, em que 
Ā = [Aij]. Essa será a matriz dos cofatores.
Matrizes 77A transposição dessa matriz Ā origina a chamada matriz adjunta 
de A, denotada por adj(A). Logo:
adj(A) = Āt
Com o conceito de determinante de uma matriz e de matriz ad-
junta, podemos enunciar um teorema que permite o cálculo da in-
versa de uma matriz A baseado nesses conceitos.
Teorema 1
Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se, det (A) ≠ 0 (KOLMAN; 
HILL, 2013). Nesse caso:
A
 A
adj A� �
� � � �� �
1 1
det
Assim como as propriedades para as operações entre matrizes 
ou mesmo as propriedades para o determinante de uma matriz, 
destinamos, nesta seção, um espaço para tratarmos das proprie-
dades das matrizes invertíveis. São elas:
 • Sejam duas matrizes quadradas A e B, de ordem n, com deter-
minante diferente de zero e, portanto, não singulares – o que 
nos permite afirmar que são invertíveis. Portanto, se existe 
A–1 e B–1, então A · B é invertível e (A · B)–1 = B–1 · A–1.
 • Seja A uma matriz quadrada, de ordem n, com BA = I, portan-
to B é, também, de ordem n. Logo, A é invertível, ou seja, A–1 
existe e, além disso, B = A–1.
 • Dizemos que uma matriz A é semelhante a uma matriz B se, e 
somente se, existir uma matriz invertível Q, tal que podemos 
escrever A = Q–1 BQ.
Em todos os casos, podemos usar essas características algébri-
cas para otimizar os processos numéricos e agilizar a obtenção de 
uma resposta.
Computacionalmente, encontramos muitas vantagens quando 
podemos simplificar processos, e uma delas é a possibilidade de 
diminuir o custo computacional. Ainda, é possível minimizar erros 
quando reduzimos a quantidade de operações realizadas. Dessa 
forma, o estudo das matrizes invertíveis e suas propriedades nos 
traz um ganho em diferentes áreas e aplicações.
78 Matemática para Computação
3.6.2 Inversa de uma matriz por meio 
do método de Gauss-Jordan
Vamos supor que uma matriz A, de ordem n, possa ser fatorada até 
ser equivalente à matriz identidade:
In = Mk · Mk–1 · ... · M2 · M1 · A
Sendo assim, podemos multiplicar os dois lados da igualdade para 
obtermos a matriz inversa de A, ou seja:
(In) · A
–1 = (Mk · Mk–1 · ... · M2 · M1 · A) · A
–1
A–1 = (Mk · Mk–1 · ... · M2 · M1) · In
Na prática, se temos uma matriz A, de ordem n, podemos escrever 
essa matriz da forma:
[A│I]n⨯2n
Aplicando operações elementares sobre [A│I]n⨯2n, precisamos obter
[I│B]n⨯2x
com B = A–1.
Uma observação: se, ao realizar o procedimento, ocorrer uma linha 
de zeros do lado esquerdo, significa que a matriz A não tem inversa. 
Para comprovar esse resultado, basta calcular o determinante de A e 
verificar que ele é igual a zero.
O exemplo a seguir esclarece como encontrar a inversa de uma ma-
triz por meio da triangularização, ou seja, pelo método Gauss-Jordan.
Exemρlo 9
Encontre a inversa de 
2 6
1 3�
�
�
�
�
�
� .
Aplicando algumas operações elementares nessa matriz, obtemos:
2 6
1 3
1 0
0 1
1 3
1 3
1
2
0
0 112
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1
2
1
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O material sobre inversão 
de matrizes do professor 
Rodney Josué Biezuner 
tem muitos exemplos 
resolvidos. Sugerimos 
a leitura deste mate-
rial, além de refazer os 
exemplos e exercícios 
presentes no texto. 
Disponível em: 
http://150.164.25.15/~rodney/
notas_de_aula/matrizes_inversas.
pdf. Acesso em: 17 jun. 2021.
Saiba mais
http://150.164.25.15/~rodney/notas_de_aula/matrizes_inversas.pdf
http://150.164.25.15/~rodney/notas_de_aula/matrizes_inversas.pdf
http://150.164.25.15/~rodney/notas_de_aula/matrizes_inversas.pdf
Matrizes 79
L L L
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1
2
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Portanto,
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1
1
4
1
2
1
12
1
6
Com essas técnicas, relembramos os conceitos de vetores e matrizes, 
além de fazermos a manipulação de operações sobres essas estruturas.
Percebam que o nosso foco foi trazer novas ferramentas e abor-
dagens que se adequem, de maneira mais suave, à necessidade de 
aplicação computacional dos conceitos matemáticos.
Desse modo, são abordagens que, quando transformadas em algo-
ritmos, podem ser implementadas com facilidade, sendo que algumas 
linguagens de programação já têm essa base matemática implemen-
tada para uso direto das operações.
Mesmo nesses casos, é importante saber o que está acontecendo por 
trás da resposta obtida. Por esse motivo, sempre estimulamos que os 
conceitos matemáticos envolvidos nas funções intrínsecas a cada uma 
das linguagens de programação sejam avaliados antes do seu uso.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, recordamos alguns conceitos estudados no ensino 
médio e fundamental e aprendemos algumas teorias ainda não trabalha-
das no ensino básico.
O conceito de matriz é peça fundamental para a programação. Acre-
ditamos que o tripé teoria, prática e aplicação é necessário para a boa 
compreensão de qualquer conceito ou disciplina. Por isso, sugerimos que 
resolva os exercícios encontrados nas obras de referência bibliográfica, 
acesse os links indicados como complementação do conteúdo e resolva o 
máximo de exercícios possível sobre o tema.
80 Matemática para Computação
ATIVIDADES
Nas regras do xadrez, cada peça tem uma movimentação possível. Por 
exemplo, o cavalo só pode se movimentar em “L”, ou seja,
• duas casas para a direita (ou para a esquerda) e uma para frente (ou 
para trás);
• uma casa para a direita (ou para a esquerda) e duas casas para frente 
(ou para trás).
A figura a seguir é um exemplo das possíveis movimentações que um 
cavalo na casa 4D pode fazer.
8
7
6
5
4
3
2
1
HGFEDCBA
Explique, usando a notação “linha-coluna”, as possíveis movimentações 
do cavalo branco que está na casa 1G (observação: ele não pode ficar 
sobre outra peça branca).
Atividade 1
De acordo com o conceito de base para um espaço de vetores, indique 
dois conjuntos de vetores que formam uma base para o ℝ³. Justifique o 
porquê dessas escolhas.
Atividade 2
Explique por que afirmamos que a decomposição LU não é única.
Atividade 3
REFERÊNCIAS
FEOFILOFF, P. Vetores. IME, 2018. Disponível em: https://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos/
aulas/array.html. Acesso em: 6 jul. 2021.
FRANCO, N. M. B. Cálculo numérico. 1. ed. São Paulo: Pearson Universidades, 2006.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científicos, 2013.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2019.
Sistemas de equações lineares 81
4
Sistemas de equações lineares
Os sistemas de equações são encontrados em uma gama de apli-
cações e nas mais diversas áreas. Das exatas às ciências biológicas, 
passando pelas áreas tecnológicas e ciências sociais, resolver um sis-
tema de equações pode nos levar a resultados de balanceamentos 
químicos, respostas de sistemas elétricos, equilíbrio de forças, distri-
buições de alimentos, dentre tantos outros.
De maneira mais conceitual, porém ainda aplicada, os sistemas de 
equações nos permitem encontrar o que se relaciona nas diferentes 
estruturas que os compõem, ou seja, pontos de intersecção, retas co-
muns ao sistema e planos que se interceptam.
Para resolver um sistema de equações, existem diversos métodos, 
desde diretos e iterativos até exatos ou com solução aproximada, mas, 
em todos os casos, se queremos expandir o conjunto de aplicações, 
precisamos levar esses modos de resolução para um aspecto computa-
cional. Esse é o tema do capítulo sobre sistemas de equações lineares.
Com o estudo deste capítulo, você será capaz de:
• analisar a equivalência entre sistemas de equações lineares 
e aplicar operações elementares sobre eles;
• resolver sistemas de equações de maneira direta e iterativa;
• analisar alguns algoritmos de resolução de sistemas de equa-
ções lineares, para incentivar o pensamento computacional;
• compreender as propriedadesinerentes aos sistemas trian-
gulares ou triangularizados;
• classificar os sistemas de equações lineares.
Objetivos de aprendizagem
82 Matemática para Computação
4.1 Sistemas equivalentes e operações
Vídeo Aprender a resolver os mais diversos tipos de sistemas de equações, 
de maneira exata ou aproximada, é uma tarefa de grande necessidade 
dentro das ciências. Antes de discorrermos sobre as diferentes aborda-
gens e métodos de resolução, discutiremos, nas subseções a seguir, sobre 
a estrutura de um sistema de equações lineares e como podemos realizar 
operações nesse tipo de sistema. 
4.1.1 Sistemas equivalentes
Analisar a equivalência entre objetos é compará-los, dois a dois, de 
acordo com algumas propriedades. A definição de sistemas equivalen-
tes está descrita a seguir.
Definição 1
“Dois sistemas de equações lineares envolvendo as mesmas variáveis são equivalen-
tes se, e somente se, tiverem o mesmo conjunto solução” (LEON, 2019, p. 4).
Dessa maneira, vamos supor um sistema AX1 = B e um segundo sis-
tema QX2 = C. Se X1 = X2, os dois sistemas serão equivalentes.
Exemρlo 1
O sistema 
3 4 2
8
2 1
1 2 3
1 2 3
2 3
x x x
x x x
x x
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 é equivalente ao sistema 
3 4 2
4
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1
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x x x
x x
x
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pois ambos apresentam como solução o vetor X �
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23
2
9
2
8
. 
A definição e o exemplo nos levam a pensar que, se temos um siste-
ma no qual A é uma matriz complicada de ser resolvida, ou seja, exige 
Sistemas de equações lineares 83
muitos cálculos, podemos transformá-la em uma matriz semelhante, 
mais simples, por exemplo, uma matriz triangular, de modo que não 
alteremos a solução do sistema.
Dessa maneira, temos na definição de matrizes equivalentes uma fer-
ramenta essencial para nos auxiliar na resolução de sistemas de equações.
Mas quais são as operações que podem ser aplicadas para essa 
transformação na matriz sem que o sistema seja alterado? No tópico a 
seguir, vamos apresentar as operações e aplicar em alguns exemplos.
4.1.2 Operações elementares
Um dos modos mais rápidos de encontrar o conjunto solução para 
um sistema de equações lineares é por meio do chamado escalonamen-
to da matriz ampliada.
Uma matriz é denominada escalonada quando o número de zeros 
ao lado esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha aumenta a 
cada linha. Por exemplo, a matriz a seguir está escalonada.
1 2 0 1
0 2 0 1
0 0 1 0
0 0 0 3
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No caso de ter esgotado o número de colunas, isto é, quando uma 
linha se torna nula, todas as linhas seguintes devem ser linhas nulas.
Para obter uma matriz escalonada, com base em uma matriz amplia-
da do sistema de equações lineares, utilizamos operações elementares, 
como a seguir.
O vídeo Exemplo prático: 
sistemas equivalentes de 
equações, da plataforma 
Khan Academy, é um 
conteúdo interessante 
sobre o tema sistemas de 
equações. Além de assistir 
ao vídeo, você pode resol-
ver exercícios usando a 
plataforma, que é gratuita, 
gamificada e adaptativa. 
Essa prática te ajudará a 
fixar o conteúdo. 
Disponível em: https://pt.kha-
nacademy.org/math/algebra/
systems-of-linear-equations/
equivalent-systems-of-equa-
tions/v/identifying-equivalent-
-systems-of-equations. Acesso 
em: 14 jun. 2021.
Vídeo
 Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha. A troca de linhas corresponde à troca de posição das equações, 
o que não influencia na solução do sistema.
Li ↔ Lj
 Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo λ. Equivale a multiplicar um número não nulo na 
equação correspondente, que também não altera a solução.
Li → λLi
 Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais λ vezes a j-ésima linha. Equivale a somar o múltiplo da 
outra equação, que também não altera a solução do sistema.dav
oo
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ck
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-equivalent-systems-of-equations
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-equivalent-systems-of-equations
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-equivalent-systems-of-equations
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-equivalent-systems-of-equations
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-equivalent-systems-of-equations
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-equivalent-systems-of-equations
84 Matemática para Computação
Li → Li + λLj
As operações realizadas em uma matriz ampliada resultam em uma 
matriz equivalente. Conforme o exemplo a seguir ilustra.
Exemρlo 2
O sistema 
3 4 2
8
2 1
1 2 3
1 2 3
2 3
x x x
x x x
x x
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, apresentado no Exemplo 1, pode ser 
escrito na forma de matriz ampliada como
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1 1 1
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3 1 4
0 4
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Aplicando as operações anteriormente elencadas, fazemos
3 1 4
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3 1 4
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Na sequência, desenvolvemos
3 1 4
0 4
3
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0 4
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Note que, após a aplicação de operações elementares, obtemos 
uma matriz ampliada escalonada, sendo que podemos transcrevê-la 
da forma matricial para a forma de sistema.
3 4 2
4
3
1
3
26
3
3
2
12
1 2 3
2 3
3
x x x
x x
x
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De acordo com Leon (2019), dois sistemas que possuem matrizes 
ampliadas equivalentes têm o mesmo conjunto solução. Dessa manei-
ra, podemos definir:
Sistemas de equações lineares 85
Definição 2
“Desde que possuam matizes ampliadas equivalentes, os sistemas podem ser deno-
minados sistemas equivalentes” (LEON, 2019, p. 4).
Uma importante característica dos sistemas de equações lineares é 
a possibilidade de verificação da solução (prova real). Para isso, basta 
substituirmos a solução encontrada nas equações originais, como é de-
senvolvido no exemplo a seguir.
Exemρlo 3
No Exemplo 1, afirmamos que os sistemas 
3 4 2
8
2 1
1 2 3
1 2 3
2 3
x x x
x x x
x x
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1 2 3
2 3
3
x x x
x x
x
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 eram equivalentes porque tinham a mesma solução. 
Assim, verificamos que eles realmente têm essa característica.
Como X �
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23
2
9
2
8
, então, substituindo essa solução no primeiro 
sistema, temos que
3 23
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E o mesmo pode ser feito no segundo sistema:
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3
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2
1
3
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88 12� � �
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Como ambos os sistemas têm X como solução, eles são sistemas 
equivalentes.
86 Matemática para Computação
Com os sistemas equivalentes e operações definidos, veremos na 
sequência a aplicação de inversão de matrizes para a solução de um 
sistema de equações.
4.1.3 Análise da matriz inversa
Um sistema linear da forma AX = B com A sendo uma matriz de coefi-
cientes quadrada pode ser resolvido com a aplicação de matrizes inversas.
Note que, para esse tipo de aplicaçãoser possível, devemos ter sis-
temas de equações bem específicos (com n equações e n variáveis). 
Outra questão importante é a necessidade de que A seja invertível, ou 
seja, que tenha det A ≠ 0.
Se essas exigências são verificadas, podemos escrever: 
Definição 3
Seja A uma matriz n⨯n com A invertível, então é válida a sequência de cálculos 
a seguir:
I. AX = B.
II. A-1 · (AX) = A-1 · B.
III. In · X = A-1 · B.
IV. X = A-1 · B.
Portanto, se A cumpre essas condições, temos que X = A-1 · B será a 
solução única para o sistema determinado.
4.2 Sistemas triangulares e escalonados
Vídeo O processo que permite o escalonamento de uma matriz tem como 
fundamentação teórica o método de Gauss (fatoração ou eliminação 
gaussiana), que nos permite escrever um sistema de equações lineares 
na sua forma triangular superior.
Por meio de um sistema de equações lineares na forma triangula-
rizada (inferior ou superior), é possível encontrar a solução utilizando 
substituições progressivas (triangular inferior) ou regressivas (triangu-
lar superior). Vamos entender esse processo.
No vídeo Testando uma 
solução para um sistema 
de equações, do canal da 
Khan Academy Brasil, 
você poderá rever esse 
procedimento sendo 
aplicado em outros siste-
mas de equações. É uma 
ferramenta poderosa 
para verificar se a solução 
encontrada está correta. 
Disponível em: https://youtu.be/
sxJHonr96kA. Acesso em: 14 jun. 2021.
Vídeo
Sugerimos que você assis-
ta ao vídeo Escalonamento, 
disponível no canal Portal 
da Matemática OBMEP. 
Com ele, é possível reca-
pitular a decomposição 
gaussiana e começar a 
aplicá-la no contexto dos 
sistemas de equações 
lineares. 
Disponível em: https://www.youtu-
be.com/watch?v=QmmYqR-7zm4. 
Acesso em: 14 jun. 2021.
Vídeo
https://youtu.be/sxJHonr96kA
https://youtu.be/sxJHonr96kA
https://www.youtube.com/watch?v=QmmYqR-7zm4
https://www.youtube.com/watch?v=QmmYqR-7zm4
Sistemas de equações lineares 87
Seja um sistema de equações lineares da forma LX = B, com
 • L
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l ln nn
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1

Portanto, esse é um sistema triangular inferior no qual a matriz dos 
coeficientes, L, tem seus elementos na forma lij = 0 para i < j.
Portanto,
l x b
l x l x b
l x l x l x bn n nn n n
11 1 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
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Podemos montar algoritmos para calcular a solução de sistemas li-
neares com essa característica e que poderão ser reescritos na lingua-
gem de programação desejada.
Para estruturar tal algoritmo, usaremos uma linha genérica li, tal que
li1 · x1 + li2 · x2 + ⋯ + lii · xi = bi
Dessa maneira, isolando xi, obtemos
x
b l l x l x
li
i i i ii i
ii
�
� � � � � �( )1 2 2 1 1
Portanto, podemos denotar esse raciocínio como o algoritmo a seguir.
Algoritmo 1
x b
l1
1
11
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Para i = 2, ..., n faça
x
b l x
li
i ij j
j
i
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88 Matemática para Computação
Para compreender melhor o Algoritmo 1, acompanhe o exemplo a 
seguir.
Exemρlo 4
Seja um sistema de equações lineares triangular inferior da forma
1 0 0
2 3 0
1 2 1
2
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1
1
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x
x
Vamos resolver esse sistema usando o Algoritmo 1. Assim,
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1
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1
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2 21 1
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2 2 2
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1 2 4
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Portanto, S = {–2, –2, –5}.
O mesmo princípio é adotado em um sistema de equações lineares 
triangular superior (forma padrão obtida por meio do escalonamento).
Nesse caso, usaremos como modelo um sistema de equações linea-
res da forma UX = B, com
 • U �
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 • B
b
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1

Sistemas de equações lineares 89
Portanto, esse é um sistema triangular superior no qual a matriz 
dos coeficientes, U, tem seus elementos na forma uij = 0 para i > j. 
Denotamos
u x u x u x b
u x u x b
u x b
n n
n n
nn n n
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
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Também podemos montar um algoritmo para a solução dos siste-
mas no formato UX = B e, para isso, usaremos a i-ésima linha da forma:
uii · xi + uii+1 · xi+1 + uii+2 · xi+2 + ... + uin · xn = bi
Isolando xi, obtemos
xi = bi – ui(i+1) · xi+1 – ui(i+2) · xi+2 – ... – uin · xn
Portanto, podemos escrever esse raciocínio da seguinte maneira:
Algoritmo 2
x b
un
n
nn
=
Para i = (n – 1), (n – 2), ..., 1, faça:
x
b u x
u
u xi
i
j i
n
ij j
ii
ij j�
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1
Exemρlo 5
Seja um sistema de equações lineares triangular superior da forma:
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0 3 0
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2
2
1
1
2
3
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x
x
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to
ck
90 Matemática para Computação
Usando o Algoritmo 2, resolvemos esse sistema da seguinte forma:
x
b
u3
3
33
1
1
1= = =
x
b u x
u2
2 23 3
22
2 0 1
3
2
3
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x
b u x u x
u1
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2 2 2
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1
13
3
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Logo, a solução para esse sistema de equações é S � � ���
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13
3
2
3
1, , .
Devemos notar que os algoritmos não dependem de linguagem de 
programação previamente escolhida e precisam ser adaptados à lin-
guagem que queremos programar.
4.2.1 Classificação de um sistema de equações lineares
Começaremos esse tópico elencando três exemplos simples 
(Figura 1) que serão resolvidos de forma escalonada e usados para 
exemplificar os tipos de soluções possíveis em um sistema de equa-
ções lineares. Vamos utilizar uma calculadora on-line para resolver o 
escalonamento .
Figura 1
Sistemas de equações escalonados por meio de calculadora on-line
Sistema Escalonamento por meio de calculadora on-line
x x
x x
1 2
1 2
2
3 2 3
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1 1
3 2
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3
1 1 2
0 1 3� �
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��
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��· (–3) L2 – 3 · L1 → L2
x x
x x
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1 2
2 3
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1 2
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��· (–3) L2 – 3 · L1 → L2
x x
x x
1 2
1 2
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1 2
3 6
3
3
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��
�
· (–3) L2 – 3 · L1 → L2
1 2 3
0 0 6�
�
�
��
�
�
��
Fonte: Elaborada pela autora.
https://matrixcalc.org/pt/slu.html
Sistemas de equações lineares 91
Mediante o processo de escalonamento da matriz ampliada, o siste-
ma de equações lineares pode ser resolvido por meio de substituições 
regressivas.
Ao observarmos o primeiro sistema de equações da Figura 1, temos 
que, se as matrizes ampliadas são equivalentes, a solução do sistema 
gerado pela matriz escalonada é equivalente à solução do sistema ori-
ginal. Assim, podemos escrever:
x x
x
1 2
2
2
3
� �
� � �
�
�
�
��
Logo, x2 = 3 e x1 = –1.
Observando graficamente 1 essas duas retas que formam o nosso 
sistema de equações lineares, obtemos:
Figura 2
Sistema de equações x x
x
1 2
2
2
3
� �
� � �
�
�
�
eq1: x + y = 2
eq2: –y = –3
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11–12 2 3 4 5 6 7 8 90
–1
x
A = (–1, 3)
Fonte: Elaborada pela autora.
Observamos que as retas formadas pela eq1 e eq2 se interceptam 
em um ponto que, não por acaso, é a solução do sistema. Ou seja, a so-
lução de um sistema de equações é justamente o ponto de intersecção 
das retas que formam esse sistema. Entretanto, o que ocorre nos siste-
mas de equações seguintes?
No segundo sistema de equações da Figura 1, após o escalonamen-
to, podemos escrever o sistema de equações equivalente da seguinte 
maneira:
x x
x x1 2 1 2
2 3
0 0
2 3
� �
�
� � �
Para obter esse gráfico, 
utilizamos o software 
GeoGebra on-line. 
Disponível em: https://www.
geogebra.org/graphing/jxrjp8dc. 
Acesso em: 15 jul. 2021.
1
https://www.geogebra.org/graphing/jxrjp8dchttps://www.geogebra.org/graphing/jxrjp8dc
92 Matemática para Computação
Observe o gráfico a seguir formado pelas retas.
Figura 3
Sistema de equações x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 9
� �
� �
�
�
�
eq1: x + 2y = 3
eq2: 3x + 6y = 9eq2: 3x + 6y = 9
y
2
2
4
44
6
6
8
8
10
10
12
12–2
–2
–4–6–8–10–12–14–16–18 0
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Observamos que eq1 e eq2, presentes na Figura 3, se sobrepõem, 
isto é, são retas coincidentes. Portanto, nesse caso, afirmamos que 
temos infinitos pontos de intersecção, o que nos permite concluir que 
temos infinitas soluções para o sistema de equações.
Vamos fazer o mesmo com o terceiro sistema de equações da Fi-
gura 1. Primeiro, reescreveremos o sistema de equações equivalente 
escalonado da seguinte forma:
x x
x x
1 2
1 2
2 3
0 0 6
� �
� � �
O qual representamos graficamente como:
Figura 4
Sistema de equações x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 3
� �
� �
�
�
�
eq1: x + 2y = 3
eq2: 3x + 6y = 3eq2: 3x + 6y = 3
y
2
2
4
44
6
6
8
8
10
10
12
12–2
–2
–4–6–8–10–12–14–16–18 0
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a.
Sistemas de equações lineares 93
Já no sistema de equações 
x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 3
� �
� �
�
�
�
��
, as equações eq1 e eq2 
são paralelas, o que nos mostra que não têm pontos de intersecção. Isso 
significa que o último sistema de equações representado na Figura 1 
não tem solução.
Assim, podemos afirmar que existem três tipos de soluções possí-
veis para um sistema de equações lineares:
I. quando existe uma única solução, denomina-se sistema compatível 
e determinado;
II. quando existem infinitas soluções, denomina-se sistema 
compatível e indeterminado;
III. quando não existe solução, denomina-se sistema incompatível.
Desejamos criar uma generalização para esse conceito para que 
possamos classificar um sistema de equações com base em sua matriz 
dos coeficientes e em sua matriz ampliada escalonada. Desse modo, 
introduziremos o conceito de posto de uma matriz.
Definição 4
O posto p de uma matriz A é o número máximo de linhas não nulas após o seu 
escalonamento.
Denotamos o posto da matriz dos coeficientes por pc e o posto da 
matriz ampliada por pa. Assim, seja um sistema de equações da forma:
a x a x b
a x a x b
n n
m mn n m
11 1 1 1
1 1
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
� � �
�
Com matriz dos coeficientes 
a a
a a
n
m mn
11 1
1
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
e matriz ampliada dada 
por 
a a b
a a b
n
m mn m
11 1 1
1
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.� Classificamos:
I. Se pc = pa, o sistema é compatível.
a. Se pc = pa = n, em que n é o número de variáveis do sistema, o 
sistema é compatível e determinado (solução única).
b. Se pc = pa < n, o sistema é compatível e indeterminado (infinitas 
soluções).
II. Se pc < pa, o sistema é incompatível.
O material da aula Sistemas 
de equações lineares e ma-
trizes, do professor Daniel 
Norberto Kozakevich, traz, 
além da teoria relacionada 
à classificação dos sistemas 
de equações lineares, 
muitos exemplos resolvi-
dos. Sugerimos que eles 
sejam refeitos para fixar o 
conteúdo aprendido nesta 
subseção. 
Disponível em: http://www.mtm.ufsc.
br/~daniel/7105/aula_3.pdf. Acesso 
em: 15 jun. 2021.
Saiba mais
http://www.mtm.ufsc.br/~daniel/fotos.htm
http://www.mtm.ufsc.br/~daniel/7105/aula_3.pdf
http://www.mtm.ufsc.br/~daniel/7105/aula_3.pdf
94 Matemática para Computação
Reunimos no Quadro 1 os conceitos e as definições abordados até 
o momento. É importante notar que, para essa representação, escolhe-
mos alguns sistemas de equações lineares como exemplo, para uma 
melhor compreensão dos resultados.
Quadro 1
Síntese de conceitos
Primeiro sistema Segundo sistema Terceiro sistema
Sistema de 
equações
x x
x x
1 2
1 2
2
3 2 3
� �
� �
�
�
�
��
x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 9
� �
� �
�
�
�
��
x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 3
� �
� �
�
�
�
��
Matriz dos 
coeficientes
1 1
3 2
1 1
0 1
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
1 2
3 6
1 2
0 0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 2
3 6
1 2
0 0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
pc pc = 2 pc = 1 pc = 1
Matriz 
ampliada
1 1 2
3 2 3
1 1 2
0 1 3
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
1 2 3
3 6 9
1 2 3
0 0 0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 2 3
3 6 3
1 2 3
0 0 6
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
pa pa = 2 pa = 1 pa = 2
Posto pa = pc = n pa = pc < n pc < pa
Denominação Compatível e determinado Compatível e indeterminado Incompatível
Fonte: Elaborado pela autora.
Percebemos que, por meio da análise da matriz dos coeficientes e 
da matriz ampliada, podemos classificar sistemas de equações de qual-
quer tamanho, ou seja, formados por m equações e n variáveis.
4.3 Eliminação gaussiana
Vídeo
Agora, vamos resolver um sistema de equações lineares para que 
possamos, por intermédio desse desenvolvimento, definir o método da 
eliminação gaussiana usando, para isso, a fatoração matricial (decom-
posição gaussiana).
Desse modo, seja:
2 4 2 6
5 0
4 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
� � �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
Sistemas de equações lineares 95
Portanto, pela fatoração matricial, escrevemos
A A
M
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
2 4 2
1 1 5
4 1 2
� ����� �����
multiplicandopor
 
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A
M
2
2
2 4 2
0 3 6
0 7 2
� ����� �����
multiplicandopor
 
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A3
2 4 2
0 3 6
0 0 12
O que faz o M1? Zera todos os elementos abaixo da posição (1, 1). 
O que faz o M2? Zera todos os elementos abaixo da posição (2, 2).
Com isso, ao invés de resolvermos A1 · x = b, resolvemos A3 · x = c, 
em que:
A2 = M1 · A1
A3 = M2 · A2 = M2 · M1 · A1
e
M2 · M1 · A1 · x = M2 · M1 · b = c
Com base nesse exemplo, podemos definir:
Definição 5
Uma matriz elementar triangular inferior de ordem n e índice k pode ser escrita 
como:
M I men k
T� �
Em que e mi
T � �0 , para i = 1, …, k e m
m
m
mn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
...
é ortogonal a todos os vetores 
canônicos e1, e2, ..., ek.
Então,
1 0 0 0 0
1
2
1... ...
�� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
m
m
m
m
n
0 1 0 0 0
1
2
2... ...
�� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
m
m
m
m
n
96 Matemática para Computação

0 1 0 0
1
2...
...
posição�k
n
k
m
m
m
m
�
�
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�
�
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�
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�
�
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�
�
�
�
�
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�
�
�
�
� � �� 0
Dessa forma, temos:
M
m
m
k
n
�
�
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�
�
�
�
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�
�
�
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�
1
1
1
0
0
0 0
1
...
...
. ... 11 0
1
1
1
0

posição�k
...
...
...
�
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�
�
�
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�
�
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�
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�
�
�
00 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0
1
...
...m
m
k
n
coluna�k
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
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
Logo,
M
m
m
k
n
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0
0 1
1
...
...
(1)
é a matriz elementar triangular inferior de ordem n e índice k. Com a 
matriz elementar, podemos extrair os seguintes resultados:
 • Resultado 1: se M �I � �m �en k
T� � � , então M �I � �m �en k
T� � � �1 .
 • Resultado 2: dado x, com xk ≠ 0, existe uma única matriz elemen-
tar triangular M, de índice k, que anula todos os elementos de x 
abaixo da posição k, mantendo todos os demais. 
De acordo com a fatoração gaussiana, se A é uma matriz com m 
linhas e n colunas, então temos m – 1 passos para obter a matriz A(m), 
tal que
A(1) → A
(2) = M1 · A
(1) → ... → A(m) = Mm–1 · A
(m–1)
Sistemas de equações lineares 97
Assim, generalizando esse processo e escrevendo por meio de ma-
trizes elementares, teremos
A(k+1) = Mk · A
(k) = Mk · Mk–1 · ... · M1 · A
(1)
em que
M �I � �m �ek n k
T� � �
Logo,
A I m e Ak n k k
T k�� � � �� �� � �1
� ���� ����
Mk
Que matricialmente é escrito como
A A m
m
ak k
k k
m k
kk
k�� � � �
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
1
0
0
0 0


,
,
... aakn
k� ��
��
�
��
Portanto,
A A
�
m a
k k k k
k k kk
k
�� � � �
�� �� �
� � � �
� � � �
� � �
� � �
1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0
   ,
, mm a
x
m a m a a
k k kn
k
m k kk
k
m k kk
k
kn
k
�
� �
� � � � � �
� � � �
� � �
�
�
�
�
�
1
0
0 0 0
,
, ,
 
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
que apresenta o processo de atualização de A(k).
A matriz A(k+1) pode ser obtida por intermédio da matriz A(k), basta 
alterarmos o canto inferior direito, isto é,
a aij
k
ij
k�� � � ��1 , i = 1, ..., k e j = 1, ..., n
a aij
k
ij
k�� � � �� �1 0 , i = k + 1, ..., m e j = 1, ..., k
Logo,
a a m a �i k m�
j k n
ij
k
ij
k
ik kj
k�� � � � � �� � � � �
� �
1 1
1
, ,...,
,...,
98 Matemática para Computação
Esse processo nos permite escrever o algoritmo a seguir:
Algoritmo 3 – Decomposição de Gauss da matriz A
Seja A mxn∈ , m > 1, r = min{m – 1, n} akk
k� � � 0
A
a a a a a
a a a a
k m n
k m
�
� � � � � � � � � �
� � � � � �
11
1
12
1
1
1
1
1
1
1
22
2
2
2
2
2
� � �
� � � � 22
2
1 2
n
kk
k
km
k
kn
k
k mm
m
a a a
�
m m m a
� �
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� � � � � � � �
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� � ��� � �� �
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�
�
�
�
1 1� amn
m
Em que mk são as posições abaixo da diagonal que são zeradas. 
Assim, para k = 1, 2, ..., r podemos escrever:
a m a
a
i k mik ik ik
kk
� � � �, ,...,1
a a m a i k m
j k n
ij ij ik kj� � � � �
� �
, ,...,
,...,
1
1
Observação: os elementos akk
k� � são chamados de elementos pivôs.
m
yd
eg
ag
e/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Vamos acompanhar o próximo exemplo para compreender como 
utilizar o Algoritmo 3.
Exemρlo 6
Seja A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 4 2
1 1 5
4 1 2
, a decomposição de Gauss ocorrerá em 
r = min{2, 3} = 2 passos. Então, fazemos:
 • Passo 1: a11 ≠ 0
M1
1 0 0
1
2
1 0
4
2
0 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Sistemas de equações lineares 99
A M A2 1
1
1 0 0
1
2
1 0
4
2
0 1
2 4 2
1 1 5
4 1 2
� � � �� � �
�
�
�
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��
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 4 2
0 3 6
0 7 2
 • Passo 2: a22 ≠ 0
M2
1 0 0
0 1 0
0 7
3
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A M A3 2
2
1 0 0
0 1 0
0 7
3
1
2 4 2
0 3 6
0 7 2
� � � �� �
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 4 2
0 3 6
0 0 12
Se o Algoritmo 3 for aplicado, a matriz encontrada será:
A 3
2 4 2
1
2
3 6
2 7
3
12
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
O método de eliminação de Gauss pode ser observado, na subseção 
a seguir, mediante o chamado pivoteamento completo ou pivoteamento 
parcial. 
4.3.1 Pivoteamento completo
Seja a matriz A(k) da forma
A
a
a
k kk
k
lk ck
k
� �
� �
� ��
� � � �
� �
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
,
100 Matemática para Computação
Caso o pivô akk
k� � � 0 e os demais a �� ��ak k
k
m k
k
�
� � � �
1, ,, ..., forem diferentes de 
zero, então podemos realizar o chamado pivoteamento completo.
Nesse caso, trocamos akk
k� � por alk ck
k
,
� � . Para isso, fazemos a troca en-
tre as linhas kk e lk e as colunas kk e ck.
A troca de linhas equivale a realizar uma pré-multiplicação da ma-
triz, ou seja,
I �A Ak lk
k k
, ·
� � � ��
Já a troca entre as colunas kk por ck pode ser calculada por meio de 
uma pós-multiplicação calculada por
A I Ak k ck
k� � � ��· ,
Portanto,
A(k+1) = Mk · (Pk · A
(k) · Qk) (2)
Vamos acompanhar o exemplo a seguir para compreendermos melhor.
Exemρlo 7
Seja A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, então P23
1 0 0
0 0 1
0 1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. Assim,
P A23
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
7 8 9
4 5 6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�.
��
�
�
�
�
�
Considerando Q23
1 0 0
0 0 1
0 1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, escrevemos
AQ23
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 3 2
4 6 5
7 9 8
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�.
��
�
�
�
�
�
Sejam Qi, Pi e Mi as matrizes utilizadas até o passo k, a generalização 
desse processo, fazendo-se a decomposição de A, com i = 1, ..., k, será:
A(k+1) = Mk · (Pk · ... · M2 · (P2 · M1 · (P1 · A
(1) · Q1) · Q2) · ... · Qk)
Sistemas de equações lineares 101
Agora, vamos considerar a matriz A = A(1) e efetuar todas as trocas 
de linhas e colunas que foram aplicadas ao longo do processo até o 
passo k, encontrando outra matriz A’:
A’(1) = Pk · ... · P1 · A
(1) · Q1 · ... · Qk
Aplicando o processo de Gauss em A’ e considerando que A’(i) são as 
matrizes encontradas e M’i as matrizes elementares usadas, temos que:
A’(k+1) = M’k · ... · M’1 · A’
(1)
Algoritmo 4 – Decomposição de Gauss da matriz A com 
pivoteamento completo
Para k = 1, 2, ..., r, queremos encontrar lk, ck ≥ k, tal que |alk,ck| = 
max {|aij|, i, j ≥ k}. Se alk,ck = 0, faça r = k – 1, para
akj ↔ alk,j, j = k, ..., n
aik ↔ ai,ck, i = 1, ..., m
a m
a
a
i k mik ik
ik
kk
� � � �, ,...,1
a a m a i k m
j k n
ij ij ik kj� � � �
� �
. , ,...,
,...,
1
1
O processo para realizar o pivoteamento parcial é semelhante, po-
rém a diferença é que podemos realizar apenas a troca de linha (ou 
coluna), se isso já for suficiente para obter o pivô desejado.
4.4 Condicionamento de sistemas lineares
Vídeo
Antes de tratarmos do condicionamento de sistemas de equações 
lineares, vamos relembrar rapidamente os conceitos de norma de ve-
tores e matrizes.
4.4.1 Norma de vetores e matrizes
A análise do condicionamento de uma matriz depende do conceito 
de norma de matriz, que, por sua vez, depende da norma de um vetor. 
Assim, temos algumas definições que antecedem a construção da aná-
lise do condicionamento, como as elencadas a seguir.
102 Matemática para Computação
 
Definição 6
Norma de vetor é uma função
‖ · ‖: ℝn → ℝ
 x ↦ ‖x‖
Satisfazendo:
• ‖x‖ ≥ 0, ∀ x ∈ ℝn;
• ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0;
• ‖α · x‖ = |α| · ‖x‖, α ∈ ℝ; 
• ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.
Algumas das normas mais utilizadas, de acordo com Campos 
Filho (2018), são:
I. Norma da soma de magnitudes:
x
1
1
�
�
� xi
i
n
II. Norma euclidiana:
x
2
2
1
�
�
�Xi
i
n
III. Norma do máximo ou norma infinita:
x max x
i n i�
� � �
� �1
O conceito de norma está relacionado geometricamente ao concei-
to de distância. Dessa maneira, é comum trabalharmos com a defini-
ção de distância entre pontos ou mesmo entre vetores. Veremos na 
sequência mais algumas definições que trazem esses conceitos, para 
que possamos aplicá-los no conceito de norma e distância de matrizes.
Definição 7
A distância entre dois pontos é dada pela expressão
d(x, y) = ‖x – y‖
para qualquer norma.
Sistemas de equações lineares 103
Após apresentarmos a distância entre vetores, podemos trazer a 
definição de convergência, que considera como base as definições 
8 e 9, as quais usam como eixo central a definição 7.
Definição 9
{x(k)} → x em relação à norma ‖ · ‖∞ ⇔ lim x x
k i
k
i
�
� � �
�
, i = 1, 2, ..., n.
Definição 8
{x(k)} → x em relação à norma ‖ · ‖, se para todo ε > 0 existe um N(ε), tal 
que ‖x(k) – x‖ < ε,∀ k ≥ N (ε).
 
Concluímos que todas as normas vetoriais no ℝn são equivalentes à 
convergência, ou seja, se {x(k)} → x em relação a uma norma ‖ · ‖, então 
{x(k)} → x em relação a qualquer outra norma ‖ · ‖.
Quando se trata de matrizes, as relações são semelhantes. 
Definição 10
A norma de uma matriz An é uma função
‖ · ‖: ℝnxn → ℝ
 A ↦ ‖A‖
que satisfaz:
• ‖A‖ ≥ 0, ∀ A ∈ ℝnxn;
• ‖A‖ = 0 ⇔ A = 0 matriz nula;
• ‖α · A‖ = |α| · ‖A‖, α ∈ ℝ;
• ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖.
Podemos definir a distância entre matrizes, apesar de parecer um 
conceito bastante estranho, da seguinte maneira: d(A, B) = ‖A – B‖.
Com isso, a norma de uma matriz é definida usando os conceitos 
vistos anteriormente para as normas vetoriais, sendo que algumas nor-
mas matriciais costumam ser mais adotadas do que outras. Observe a 
definição a seguir sobre uma dessas normas.
Definição 11
Se ‖ · ‖ é uma norma vetorial, então
  
 
A max A x max a
x i n ij
jn
�
�
�� � �� � �
�
�
1 1
1
é uma norma matricial, que se chama norma natural ou induzida.
104 Matemática para Computação
Normas induzidas (naturais) têm diversas vantagens, como:
 • Seja x ≠ 0 e ‖ · ‖ uma norma natural ou induzida pela norma ve-
torial, então
‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖
 • ‖l‖ = 1;
 • Raio espectral ρ(A) = max|λ|, em que λ é um autovalor de A.
Algumas das normas mais utilizadas são:
I. Norma 1:
  
 
A max A x max a |
x j n iji=1
n
1
1 1
1 1
� � �
� � �
�|
II. Norma euclidiana:
A max A x
x2 2 1
2
� � � �
�
�( )A AT
III. Norma do máximo ou norma infinita:
� � ��
� �
� ����� �����
A max A x max a |
x i n
máximo�d
ij
j=1
n
�
�
�� � �� � �
�
1 1
|
aa�soma�das�linhas
Com o conhecimento de algumas propriedades das normas de ve-
tores e de matrizes, podemos entrar no assunto condicionamento.
4.4.2 Número de condicionamento
Considere o sistema � .
1 1
1 2
10
5
1
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
x
x
, cuja solução exata 
é xexato �
�
�
�
�
�
�
5
5
.
Estamos fazendo uma pequena perturbação no sistema quando al-
teramos os elementos da matriz dos coeficientes ou do vetor indepen-
dente de maneira muito suave, ou seja, com uma pequena alteração.
Para esse sistema, vamos perturbar o vetor de termos independentes 
b �
�
�
�
�
�
�
�
10
5
, para b1
10 01
5
�
�
�
�
�
�
�
�
, .
Sistemas de equações lineares 105
O sistema passa a ser 1 1
1 2
10 01
5
1
2�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
x
x
, , cuja solução é 
x �
�
�
�
�
�
�
5 007
5 003
,
,
, sendo que x xexato≈ e o resíduo (r = Ax – b) é pequeno, pois
1 1
1 2
5 007
5 003
10
5�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
,
,
Agora, seja o sistema de equações representado por 
1 1
1 001 1
10
10 005
1
2, ,
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
x
x
, cuja solução exata também é xexato �
�
�
�
�
�
�
5
5 , 
ao perturbarmos o vetor de termos independentes b, transformando-o 
em b1
10
10 1
�
�
�
�
�
�
�,
, encontramos:
1 1
1 001 1
10
10 1
1
2, ,
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
x
x
cuja solução é x �
�
�
�
�
�
�
�
100
90
.
Se olharmos apenas para o resíduo, ou seja, para r = Ax – b, temos que
1 1
1 001 1
100
90
10
10 1, ,
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � b
Contudo, percebemos que a solução se apresentou muito diferente 
do que foi encontrado no primeiro sistema. Por isso, a pergunta que 
fazemos é:
Por que uma perturbação de mesma ordem de grandeza interferiu tanto 
em uma resposta, mas não na outra?
A resposta para esse problema está justamente no condicionamen-
to da matriz ou, mais especificamente, no número que representa esse 
condicionamento.
Vamos supor que x resolve exatamente A · x = b, e x resolve aproxi-
madamente A · x = b, isto é, A · x ≈ b e r é o resíduo r = b – A · x .
Então,
 
 
 
 
x x
x
cond A r
b
�
� � � �
106 Matemática para Computação
Queremos analisar se ‖r‖ ≈ 0 implica ‖x – x ‖ ≈ 0. Para isso, assumi-
mos que r = b – A · x . Assim, desenvolvemos
r = Ax – A · x = A(x – x )
(x – x ) = A-1 · r
Mas,
‖x – x ‖ = ‖A-1 · r‖ ≤ ‖A-1‖ · ‖r‖
Pois estamos considerando uma norma induzida.
Portanto,
 
 
   
 
x x
x
A r
x
�
�
��1
Como 1
 
 
 x
A
b
≤ , temos que:
x x
x
A r
A
b
�
� � ��1
Definindo cond(A) = ‖A-1‖ · ‖A‖, obtemos:
 
 
 
 
x x
x
cond A r
b
�
� � � �
ou
ER cond A ERx
Erro�relativo�em�x
b
Erro�relativo�e
��� �� ��� ��
� � � �
mm�b
O erro relativo em b é considerado porque r b Ax b b� � � � .
Com isso, mesmo que ‖r‖ ≈ 0, não implica  x x� � 0 , a menos que 
cond(A) também seja pequeno (CHAPRA, 2016).
Concluímos assim que, quanto maior é o cond(A), é mais provável 
que o sistema seja sensível às mudanças em dados iniciais. Além disso, 
definimos:
Definição 12
O número de condicionamento de uma matriz não singular A é
condp(A) = ‖A‖p · ‖A-1‖p
em que p é a norma adotada. Observe que o número de condicionamento 
depende da norma escolhida.
Sistemas de equações lineares 107
A seguir, listamos as propriedades, considerando apenas normas 
induzidas.
I. cond(A) ≥ 1
cond(A) = ‖A‖ · ‖A-1‖ ≥ ‖A · A-1‖ = ‖ I ‖ = 1
II. Se D é uma matriz diagonal, então cond D
d
d
ii
ii
� � � max
min
, indepen-
dentemente da norma escolhida. Por exemplo, na norma infinita:
D
d
d
dnn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
22
...
, D
d
d
dnn
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
11
22
1
1
1
...
 D dii��max , 
 D
d dii ii
� � �1
1 1
� max min
cond D
d
d
ii
ii
� � � max
min
III. cond(αA) = cond(A), ∀ α ∈ ℝ, α ≠ 0. Isso significa que, se uma ma-
triz for multiplicada por um escalar, seu número de condição não 
mudará:
cond A A A A A cond A� �
�
�
�
� � � � � � � � � � � �� �1 11 1
IV. cond(A) = cond(A-1).
O exemplo a seguir nos ajudará a compreender algumas dessas 
propriedades.
Exemρlo 8
Seja um sistema de equações Ax = b, no qual A �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 992 0 873
0 481 0 421
, ,
, ,
, 
assumimos que
  
 
A max A x max a
x i n ij
j
n
�
�
�� � �� � �
�
�
1 1
1
Lembre-se de que, para 
facilitar esses cálculos, é 
possível usar diversas fer-
ramentas computacionais. 
Sugerimos a página do 
Matrixcalc para o cálculo 
da matriz inversa de A. 
Disponível em: https://matrixcalc.
org/pt/#%7B%7B0%2e992, 
-0%2e873%7D,%7B0%2e481, 
-0%2e421%7D% 
7D%5E%28-1%29. 
Acesso em: 16 jul. 2021.
Já para aqueles que se 
interessam por programa-
ção, enquadrando-se os 
que estão iniciando nessa 
área, sugerimos o Python. 
Nesse caso, recomenda-
mos o código que consta 
no Exemplo 8, que calcula 
o condicionamento da 
matriz A para a norma 1, 
norma euclidiana e norma 
infinita.
Código 1:
import numpy as np
A = np.array([[0.992, 
-0.873],[0.481,-
0.421]], 
dtype=’double’)
print(np.linalg.
cond(A,p=1))
print(np.linalg.
cond(A,p=2))
print(np.linalg.con-
d(A,p=np.inf))
Saiba mais
https://matrixcalc.org/pt/#%7B%7B0%2e992,-0%2e873%7D,%7B0%2e481,-0%2e421%7D%7D%5E%28-1%29
https://matrixcalc.org/pt/#%7B%7B0%2e992,-0%2e873%7D,%7B0%2e481,-0%2e421%7D%7D%5E%28-1%29
https://matrixcalc.org/pt/#%7B%7B0%2e992,-0%2e873%7D,%7B0%2e481,-0%2e421%7D%7D%5E%28-1%29
https://matrixcalc.org/pt/#%7B%7B0%2e992,-0%2e873%7D,%7B0%2e481,-0%2e421%7D%7D%5E%28-1%29
https://matrixcalc.org/pt/#%7B%7B0%2e992,-0%2e873%7D,%7B0%2e481,-0%2e421%7D%7D%5E%28-1%29
108 Matemática para Computação
Assim, temos que a norma infinita para A será
‖A‖∞ = max{(|0,992| + |-0,873|), (|0,481| + |-0,421|)} = 1,865
Como desejamos calcular o condicionamento de A, precisamos en-
contrar a matriz A–1 e, na sequência, encontrar ‖A-1‖∞. Para isso, fazemos
A� �
�
�
�
�
�
�1
421 000
2 281
873 000
2 281
481 000
2 281
992 000
2 281
.
.
.
.
.
.
.
.
��
�
�
�
�
�
�
�
Logo,
‖A-1‖∞ = max
.
.
.
.
, .
.
.
� �
�
�
�
�
�
� � �
421 000
2 281
873 000
2 281
481 000
2 281
992 000
2..281
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
 = 645,77 
Com isso, o condicionamento de A será
cond(A) = ‖A-1‖ · ‖A‖ = 1,865 · 645,77 = 1.204,36
Portanto, o condicionamento de uma matriz pode ser analisado 
para compreendermos o comportamento do sistema de equações a 
ser resolvido. Além disso, podemos usar o condicionamento para ana-
lisar a matriz dos coeficientes e, com isso, escolher o método mais ade-
quado para a resolução do sistema.
4.5 Métodos iterativos 
Vídeo Um método iterativo é aquele que usa informações de, no mínimo, 
um passo anterior para resolver o seguinte, sendo de grande impor-
tância na solução de problemas que envolvem matrizes esparsas de 
grande porte no caso dos sistemas de equações.
Uma matriz esparsa tem como característica um grande número 
de elementos iguais; em geral, esse elemento repetido é o elemento 
neutro. São também consideradas matrizes esparsas aquelas com ele-
mentos faltantes. Isso é comum quando essa matriz foi alimentada, por 
exemplo, por uma pesquisa que possuía dados incompletos de seus 
participantes. Essas matrizes tambémsão comuns no estudo da teoria 
dos grafos e na resolução de equações diferenciais. A seguir, definimos 
o formato dos métodos iterativos.
Sistemas de equações lineares 109
Definição 13
Seja A ∈ ℝn⨯n esparsa e de grande porte, tal que Ax = b, os métodos itera-
tivos têm o formato geral: 
A = N – P (3)
Assim,
N · x – P · x = b
N · x = P · x + b = b
tal que N · x = b seja mais fácil de ser resolvido do que A · x = b.
O processo iterativo é definido por 
N · x(k+1) = P · x(k) + b, k = 0, 1 (4)
com x(0) dado.
Portanto,
x(k+1) = N–1 · P · x(k) + N–1 · b (5)
Se a sequência gerada {x(k)} converge para x* quando k → ∞, então 
N · x* = P · x* + b converge para Ax* = b, isto é, x* é a solução do sistema.
Partindo desse processo principal, temos uma questão importante 
que diferencia os métodos iterativos: a escolha da matriz N.
Assim, os métodos que serão tratados na sequência se diferenciam 
justamente por essa matriz. Vamos entendê-los.
4.5.1 Método de Gauss-Jacobi
Como comentamos anteriormente, a escolha de N define diferentes 
métodos iterativos. O primeiro método que estudaremos é conhecido 
como método de Gauss-Jacobi ou simplesmente método de Jacobi.
4.5.1.1 Escolha de N
No método de Jacobi, a matriz N será uma matriz diagonal, ou seja,
N
a
a
ann
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
22
0 0
0 0
0 0
...
...
... ... ... ...
...
O matemático alemão 
Carl Gustav Jakob Jacobi 
(1804 – 1851) deixou 
importantes contribuições 
nas mais diversas áreas 
da Matemática. Dentre 
elas, encontramos a 
matriz Jacobiana, impor-
tante para a resolução 
de problemas de cálculo 
avançado. Também é 
ele quem referenciamos 
quando trabalhamos com 
o método para solução 
de sistemas de equações 
iterativo que assume a 
matriz N como uma ma-
triz diagonal. Para saber 
mais sobre Jacobi e suas 
contribuições, sugerimos 
o material disponível no 
Instituto Superior Técnico. 
Disponível em: http://e-escola.
tecnico.ulisboa.pt/personalidade/
jacobi-carl-gustav-jakob. Acesso em: 
16 jul. 2021.
Saiba mais
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/personalidade/jacobi-carl-gustav-jakob
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/personalidade/jacobi-carl-gustav-jakob
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/personalidade/jacobi-carl-gustav-jakob
110 Matemática para Computação
Pela equação (3), temos:
P N A
a a
a a
a a
n
n
n n
� � �
� �
� �
� �
�
�
�
�
0
0
0
12 1
21 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Portanto, fazendo N · x = P · x + b, obtemos
a
a
a
x
x
xnn
11
22
1
2
0 0
0 0
0 0
...
...
... ... ... ...
...
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� nn
n
n
n
a a
a a
a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
0
0
12 1
21 2
1
...
...
... ... ... ...
aa
x
x
x
b
b
bn n n2
1
2
1
2
0...
.
... ...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Se aii ≠ 0 para todo i, então x� � N �P �x� � N �b
T c
� � �� �1 1� �� �� � �� �� , o que nos leva 
à seguinte equação
x = Tx + c (6)
que tem como representação matricial:
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
1
2
12
11
1
11
21
22
2
0
0
...
...
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
222
1 2
1
0
... ... ... ...
...
.
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
a
a
a
x
n
nn
n
nn
xx
x
b
a
b
a
b
a
n
n
nn
2
1
11
2
22...
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
As equações de iteração são obtidas quando isolamos, em cada 
equação do sistema, uma variável de cada vez. Assim,
x
a
b a x � a x
x a
b
k k
n n
k
k
1
1
11
1 12 2 1
2
1
22
2
1
1
�� � � � � �
�� �
� � � ��
�
�
�
�
�
�
�
...
aa x a x
x
a
b a x a
k
n n
k
n
k
nn
n n
k
21 1 2
1
1 1
1
� � � �
�� � � �
� ��
�
�
�
�
�
� � � �
...
...

nn n n
kx �, � �
� ��
�
�
�
�
�1 1
Veremos a interpretação gráfica do método na Figura 5.
Sistemas de equações lineares 111
4.5.1.2 Interpretação gráfica do método
Para apresentarmos a interpretação gráfica, vamos assumir que o 
sistema de equações é composto por duas equações e duas incógnitas. 
Para esse tópico, assumiremos alguns valores específicos para o siste-
ma de equações de modo que possamos garantir uma representação 
gráfica consistente.
Assim, seja Ax = b dado por duas retas r1 e r2, tais que 
r �x y
r x y
1
2
5
2 8
:
:
� �
� �
�
�
�
��
, 
assumiremos que x 0
1
2
1
2
� � � �
�
�
�
�
�, . O gráfico com a intersecção entre essas 
duas retas, também compreendida como a solução do sistema de 
equações, será:
Figura 5
Representação do sistema r �x y
r x y
1
2
5
2 8
:
:
� �
� �
�
�
�
y
–0,5–1,5–2,5–3,5–4,5–5,5 –1–2
–2
–1,5
–0,5
0,5
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,51 2 3 4 5 6 7 8
r1 : x + y = 5
r2 : x + 2y = 8
A = (2,3)
x(0)
x(1)
9
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
–1
–3–4–5–6 0 x
G
J
H
I
Fonte: Elaborada pela autora.
112 Matemática para Computação
Para verificar se o método converge para a solução do sistema, 
fazemos:
x x
x x
k k
k k
1
1
2
2
1
1
5
4 1
2
�� � � �
�� � � �
� �
� �
�
�
�
�
�
Assumindo, assim,
x 0
1
2
1
2
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A próxima etapa é calcular x(1). Portanto,
x
x
1
1
2
1
5 1
2
9
2
4 1
2
1
2
15
4
� �
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
Logo,
x �x �*1
9
2
15
4
2
3
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
Portanto, o método converge para a solução do sistema.
4.5.1.3 Convergência do método
Quando citamos métodos numéricos iterativos, sempre menciona-
mos a convergência do método. Para o método de Jacobi, seja qualquer 
x(0) inicial, ou seja, ponto de partida, a sequência {x(k)} ficará definida por
x(k+1) = T · x(k) + c
Portanto, {x(k)} converge para uma única solução x, tal que
 x = T · x + c ⇔ ρ(T) <1
ou
‖T‖ < 1 ⇒ {x(k)} → x
em que Ax = b para qualquer x(0).
Sistemas de equações lineares 113
De acordo com Dornelles Filho (2016, p. 67), que valida o trabalho 
de Burden e Faires (2015), “o primeiro critério é necessário e suficiente, 
porém computacionalmente trabalhoso de ser verificado. O segundo 
critério é suficiente, mas não necessário, porém mais facilmente verifi-
cável”. Usando a norma infinita, temos:
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
nn
�
� �
� �
� �
0
0
12
11
1
11
21
22
2
22
1
...
...
... ... ... ...
aa
a
T
n
nn
2 0
1
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � (max soma das linhas)
Portanto,
a
a
ij
iij
j i
n
�
�
� �
1
1,
para todo i, tal que
a a � �iii ij
n
� �
�
�
� ,
j
j i
1
o que equivale a afirmar que A é diagonalmente dominante.
Algoritmo 5 – Gauss-Jacobi
• Passo 1: entrada: A, b, �, N, x(0)
• Passo 2: k = 0
• Passo 3: para i = 1, 2, ..., n
x
a
b a x a xi
k
ii
i ij
j
i
j
k
ij
j i+1
n
j
k�� �
�
�
� �
�
� �� � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
� �1
1
1
1
• Passo 4: se x x �i 1, ..., ni
k
i
k�� � � �� � �1 � , ou k > N, então x = x(k+1). 
Se não, k = k + 1, voltar para passo 3.
O exemplo a seguir faz uma aplicação do algoritmo do método 
de Jacobi.
114 Matemática para Computação
Exemplo 9
Vamos organizar a primeira iteração que permite resolver pelo mé-
todo de Jacobi o sistema de equações Ax = b, com
A �x
x
x
x
�e�b� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
10 2 1
0 5 2
1 2 20
20
20
20
1
2
3
, ���
�
�
�
�
�
�
�
Calculando as matrizes P, N-1 e T, temos
P �
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 2 1
0 0 2
1 2 0
, N� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
10
0 0
0 1
5
0
0 0 1
20
e �T �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1
5
1
10
0 0 2
5
1
20
1
10
0
.
Podemos notar que a matriz A � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
10 2 1
0 5 2
1 2 20
 é diagonalmente 
dominante, pois ‖T‖ < 1.
Consideraremos x 0
0
0
0
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. Assim,
x b x x
x b x x
k k k
k k k
1
1
1 2 3
2
1
2 1 3
1
10
2
1
5
0 2
�� � � � � �
�� � � � �
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�� ��
�� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�x b x x
k k k
3
1
3 1 2
1
20
2
 
A ordem de convergência e a taxa de convergência também podem 
ser avaliadas. Lembrando que esses valores são descritos por inter-
médio da análise da aproximação da solução numérica em relação à 
solução exata por meio da expressão
lim
x x
C
k
k
p
Ordem�de�convergência
Taxa�de�conv
�
�� � �
�
�
�
1
x xk( ) 

eergência
Sistemas de equações lineares 115
Desse modo, teremos p = 1. Temos, portanto, uma convergência 
linear e 
lim
x x
x x
T
k
k
k p�
�� �
� �
�
�
�
�
1
, pois
x � �x T x ��xk k�� � � �� � � �� �1  
Sendo assim,
lim
x x
x x
T
k
k
k�
�� �
� �
�
�
�
�
1
1
Desse modo, além de conseguirmos resolver um sistema de equações 
por métodos chamados de iterativos, é possível avaliarmos a convergência 
do método, fato esse que é imprescindível para uma boa análise numérica 
sobre a aplicação de qualquer tipo de método numérico.
4.5.2 Método de Gauss-Seidel
Assim como no método de Jacobi, a escolha da matriz N define os 
passos a seguir. Portanto, para definirmos o método de Gauss-Seidel, 
em primeiro lugar tratamos da matriz N.
4.5.2.1 Escolha de N
No método iterativo de Gauss-Seidel, a escolha da matriz N se dá 
por uma matriz triangular inferior na forma
N
a
a a
a a an n nn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
21 22
1 2
0 0
0
...
...
... ... ... ...
...
Com isso, teremos
P N A
a a
a
n
n� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0 0
0 0 0
12 1
2
...
...
... ... ... ...
... ��
116 Matemática para Computação
Portanto, assumindo N · x = P · x + b, obtemos
a
a a
a a a
x
n n nn
11
21 22
1 2
10 0
0
...
...
... ... ... ...
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
xx
x
a a
a
n
n
n2
12 1
2
0
0 0
0 0
...
...
...
... ... ... ...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
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....
.
... ...
0
1
2
1
2
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�
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�
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�
�
�
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�
�
�
�
�
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x
x
x
b
b
bn n
��
�
�
�
�
�
�
�
�
E podemos escrever
x
a
b a x a x
x
a
b a
k k
n n
k
k
1
1
11
1 12 2 1
2
1
22
2
1
1
�� � � � � �
�� �
� � � ��
�
�
�
�
�
� �
...
221 1
1
2
1
1 1
11
x a x
x
a
b a x
k
n n
k
n
k
nn
n n
k
�� � � �
�� � �� �
� ��
�
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�
�
�
� � �
...
.
 
... ,�
�
�
�
�
�
�� �
�� �a xn n n
k
1 1
1
Note que, x k1
1�� � é calculado apenas com termos no passo x(k). Os 
demais valores para xi, com i = 2, …, n, além de utilizarem valores no 
passo k, também usam valores no passo k + 1 para os xi elementos, 
com xi = 1, …, n – 1.
4.5.2.2 Interpretação gráfica do método
Para apresentarmos a interpretação gráfica, adotaremos o mesmo 
princípio usado no método de Gauss-Jacobi e o mesmo sistema de 
equações lineares.
Assim, seja Ax = b dado por duas retas r1 e r2, tais que 
r �x y
r x y
1
2
5
2 8
:
:
� �
� �
�
�
�
��
. 
Assumiremos x 0 1
2
1
2
� � � �
�
�
�
�
�, .
A seguir, apresentamos o gráfico que mostra a intersecção entre 
essas duas retas, também compreendida como a solução do sistema 
de equações.
Sistemas de equações lineares 117
Figura 6
Sistema de equações r �x y
r x y
1
2
5
2 8
:
:
� �
� �
�
�
�
y
–0,5–1,5–2,5–3,5–4,5–5,5 –1–2
–2
–3
–1,5
–2,5
–0,5
0,5
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 101 2 3 4 5 6 7 8
r1 : x + y = 5
r2 : x + 2y = 8
A = (2,3)
x(0)
x(1)
9
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
5,5
–1
–3–4–5–6 0
x
G
H
JI
Fonte: Elaborada pela autora.
Para verificarmos se o método converge para a solução do sistema, 
fazemos:
x x
x x
k k
k k
1
1
2
2
1
1
1
5
4 1
2
�� � � �
�� � �� �
� �
� �
�
�
�
�
�
Assumindo, então,
x 0
1
2
1
2
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
118 Matemática para Computação
A próxima etapa é calcular x(1). Portanto,
x
x
1
1
2
1
5 1
2
9
2
4 1
2
9
2
7
4
� �
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
Logo,
x x*1
9
2
7
4
2
3
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
Assim, o método converge para a solução do sistema.
4.5.2.3 Convergência do método
De acordo com Chapra (2016), temos que as condições para a con-
vergência do método coincidem com as condições já vistas no método 
de Jacobi, ou seja, ρ(T) ≤ 1, em que T = N-1 · P.
Além da verificação por meio do raio espectral, podemos usar uma 
condição suficiente, conhecida por critério de Sassenfeld, como expressam 
Burden e Fraires (2015).
De acordo com esses dois autores, precisamos calcular βj, com j = 1, 
2, ..., n em que
�1
12 13 1
11
1�
� � �
�
a a a
a
n...
�
� �
j
j j j j j j jn
jj
a a a a
a
j n�
� � � � � � �
� �
� � �1 1 1 1 1 1 2
... ...
, ,...,, ,
Se β = max1≤j≤n, βj < 1, então o método de Gauss-Seidel converge para 
x independente de x(0), isto é, {x(k)} → x.
A ordem de convergência, assim como no método de Jacobi, é li-
near, e a taxa de convergência será igual a β, sendo que, quanto menor 
seu valor, mais rápida será a convergência. O exemplo a seguir esclare-
ce esses conceitos.
Sistemas de equações lineares 119
Exemρlo 10
Seja A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
8 2 1
5 4 1
4 3 4
 uma matriz não diagonalmente dominante, note 
que ρ(T) ≤ 1, pois os autovalores de T são λ1 = 0, λ2 = 0,2983 e λ3 = 0,2095. 
Portanto, podemos usar o critério de Sassenfeld. Assim, obtemos
�1
2 1
8
1� � �
�
�
2
15 1
4
23
32
1�
� �
� �
�
� �
3
1 24 3
4
117
128
1�
� � �
� �
Nesse caso, como βi < 1 para i = 1, 2, 3, podemos aplicar qualquer 
um dos métodos iterativos vistos anteriormente (Gauss-Jacobi ou 
Gauss-Seidel).
O que podemos afirmar sobre a relação entre os critérios de linha 
e de Sassenfeld?
Se o critério de linhas for satisfeito, então o critério de Sassenfeld tam-
bém será.
Se o critério de Sassenfeld não for satisfeito, o critério de linhas também 
não será.
Resumidamente:
CL⇒ CS e não CS ⇒ não CL
Por intermédio da análise do critério de Sassenfeld para o método 
de Gauss-Seidel, notamos que o método gera uma sequência conver-
gente. Assim, se
‖x(k+1) – x‖ ≤ β ‖x(k) – x‖, ∀ k
120 Matemática para Computação
Então,
lim
k
k
k Ordem�de�convergência
Taxa�de�co
x x
x x
�
�� �
� � �
�
�
�
�
�
1
1 ���
nnvergência
Observação: a taxa de convergência é menor do que a taxa do mé-
todo de Gauss-Jacobi, pois:
a a a a
a
a a ak k k k k k kn
kk
k k k k1 1 1 1 1 1 1� � � � � � � �
� � �� � � �� �... ... ..., , , ,, ... ,k kn
kk
a
a
�k�
� �
�1
a a a a
a
max
a ak k k k k k kn
kk k
k k k1 1 1 1 1 1� � � � � � � �
� �� � � �� �... ... ..., , , 11 1� � ��
�
�
��
�
�
�
��
� ��
a a
a
T kk k kn
kk
, .... ,
βk < ‖T‖, ∀ k
Então, maxβk < ‖T‖.
Logo,
�
��� ���
Taxa�de�Gauss Seidel Taxa�de�Gauss Jacobi
T
� �
�
Algoritmo 6 – Gauss-Seidel
• Passo 1: entrada: A, b, �, N, x(0).
• Passo 2: k = 0.
• Passo 3: para i = 1, 2, ..., n
x
a
b a x a xi
k
ii
i ij
j
i
j
k
ij
j
j
k�� �
�
�
�� �
� �
� �� � � � �
�
�
�
��
�
�
�� �1
1
1
1
1
1
i
n
���
• Passo 4: se x x �para�i ni
k
i
k�� � � �� � �1 1� , ,..., , ou k > N, então x = 
x(k+1). Se não, k = k + 1, voltar para o passo 3.
Vamos acompanhar o exemplo a seguir, no qual utilizamos o algo-
ritmo de Gauss-Seidel.
Sistemas de equações lineares 121
Exemρlo 11
Seja a matriz A dada por A � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
10 2 1
0 5 2
1 2 20
, resolva, utilizando o 
método de Gauss-Seidel, o sistema de equações dado por Ax �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
20
20
20
, 
considerando x 0
0
0
0
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Para isso, fazemos
x x x
x x x
k k k
k k
1
1
2 3
2
1
1
1
3
1
10
20 2
1
5
20 0 2
�� � � � � �
�� � �� �
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
� � kk
k k kx x x
� �
�� � �� � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�3
1
1
1
2
11
20
20 2
Devemos notar que cada método se adapta melhor a um tipo de sis-
tema ou situação aplicada. Os métodos podem ser comparados, com 
isso, geram uma análise mais profunda dos resultados obtidos.
Compare os métodos 
e faça a análise dos 
resultados.
Desafio
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com este capítulo foi possívelrevermos alguns conceitos estudados 
nos ensinos médio e fundamental, além de aprendermos algumas teorias 
ainda não trabalhadas nos ensinos de base.
Temos com isso várias estratégias para a resolução de sistemas de 
equações lineares vinculados diretamente ao conceito de matrizes e 
transformados em algoritmos, para conseguirmos pensar em estratégias 
computacionais de programação para tais métodos.
A intenção é munir você de ferramentas que serão extremamente 
úteis não só no que se refere à resolução de problemas, mas em muitas 
outras situações, de maneira teórica e aplicada.
Também indicamos que você acesse aos links sugeridos como comple-
mentação ao conteúdo e resolva o máximo de exercícios possíveis sobre 
o tema. Acreditamos que o tripé teoria, prática e aplicação é necessário 
para a boa compreensão de qualquer conceito.
122 Matemática para Computação
ATIVIDADES
Seja A a matriz dos coeficientes de um sistema de equações lineares 
do tipo Ax = b, por que precisamos ter det ≠ 0 para garantir a inversão 
dessa matriz? Explique.
Atividade 1
Um sistema de equações lineares pode ter como solução infinitas solu-
ções. Isso é válido para o sistema a seguir? Justifique.
x y z
x y z
x y z
� � �
� � �
� � � � �
�
�
�
�
�
1
2 2 2 2
1
Atividade 2
Explique, com suas palavras, o que significa a análise de convergência 
de um método e qual é a sua importância para garantir o resultado 
encontrado.
Atividade 3
REFERÊNCIAS
BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise numérica. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
CAMPOS FILHO, F. F. Algoritmos numéricos: uma abordagem numérica de cálculo numérico. 
Rio de Janeiro: LTC, 2018.
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. 7. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2016.
DORNELLES FILHO, A. A. Fundamentos de cálculo numérico. São Paulo: Bookman, 2016.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2019.
Grafos e árvores 123
5
Grafos e árvores
O primeiro teorema desenvolvido na teoria dos grafos é atribuído ao 
matemático Leonhard Euler. Isso ocorreu no ano de 1736. Euler desen-
volveu um modelo que permitia encontrar um caminho passando pe-
las sete pontes da cidade de Königsberg, antiga Prússia, hoje chamada 
Kaliningrado, na atual Rússia.
Mas não era um caminho qualquer. Uma vez que se passasse por 
determinado trecho para chegar em uma das pontes, aquele caminho 
precisava ser retirado do modelo e, assim, não era possível passar duas 
vezes pelo mesmo trecho do caminho.
Euler trabalhou sobre esse modelo assumindo algumas simplificações 
das ligações entre as regiões e desenvolveu um teorema que estabelece 
em que condições é possível percorrer cada trecho (linha) exatamente 
uma vez e voltar ao ponto inicial.
Esse tipo de modelo, hoje em dia, é usado por empresas como Amazon, 
Uber e Correios, que dependem, por exemplo, de rapidez no transporte 
de mercadorias. Mas não é só o transporte de produtos que se beneficia 
desses conceitos. Facebook, Google e outras gigantes da tecnologia tam-
bém usam a teoria dos grafos para o transporte de informações.
Vamos ver, ao longo do texto, a teoria e as aplicações do conceito de 
grafos e a importância dessa grande área do conhecimento, que por si só 
renderia uma obra inteira.
Com o estudo deste capítulo, você será capaz de:
• conhecer um pouco a história dos grafos, suas terminologias e 
seus tipos;
• vincular o conceito de grafos e árvores aos conceitos de funções;
• aplicar a formulação matricial ou vetorial ao conceito de grafo 
por meio dos caminhos entre vértices e arestas;
• compreender o conceito de árvore como subgrupo dos grafos;
• identificar alguns algoritmos de busca representados por grafos 
ou árvores.
Objetivos de aprendizagem
5.1 O que é um grafo: terminologia e tipos 
Vídeo A teoria dos grafos, que teve início com um modelo desenvolvido 
por Euler em 1736, é hoje a base de diversas estruturas matemáticas e 
computacionais, como as redes neurais, a criação de fluxogramas, as 
redes de comunicação, os modelos de fluxo de dados, os algoritmos de 
escalonamento e de pesquisa e ordenação, o layout de circuitos e os 
modelos de máquinas de estado.
Ha
ha
m
 h
an
uk
a~
co
m
m
on
sw
ik
i/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s Leonhard Paul Euler é um dos grandes nomes 
da matemática e da física, mas acabou exercendo 
influência em muitas outras áreas, inclusive na mú-
sica. Nascido na Basileia, Suíça, em 1707, passou a 
maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha e 
faleceu em São Petersburgo, Rússia, em 1783.
O problema modelado por Euler é conhecido 
como o problema das sete pontes de Königsberg e con-
siste em um algoritmo que permite passar pelas sete 
pontes dessa cidade, hoje chamada Kaliningrado, na 
Rússia, sem passar pelos caminhos já percorridos.
Na sequência de figuras a seguir, é possível acom-
panhar o modelo usado nessa construção.
A Figura 1 mostra um pedaço do Rio Prególia, 
onde ao fundo conseguimos observar uma das pon-
tes. Na época de Euler, as duas grandes ilhas localiza-
das nessa extensão do rio formavam um importante 
complexo interligado por 7 pontes.
124 Matemática para ComputaçãoMatemática para Computação
Figura 1
Modelo real
Gumerov Ildar/Wikimedia Commons
Grafos e árvores 125
A Figura 2 foi idealizada para a comemoração dos 600 anos da fa-
mília real. Seu desenho está embasado em uma gravura de Joachim 
Bering (1613) e data de aproximadamente 1813.
Figura 2
Modelo físico
M
er
ia
n-
Er
be
n/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
A imagem original não apresenta as marcações destacadas sobre as pontes e sobre o Rio Prególia.
Por fim, a Figura 3 apresenta o modelo matemático proposto por 
Euler, que permitia a conexão entre as diferentes regiões do complexo 
formado pelo rio, as ilhas e as sete pontes.
Figura 3
Modelo matemático
Nu
x/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
126 Matemática para Computação
Esse modelo foi idealizado em 1736, portanto, muitas mudanças 
ocorreram ao longo dos anos, sendo que uma delas foi a derrubada de 
algumas das pontes.
A Figura 4, a seguir, apresenta a vista por satélite da cidade de 
 Kaliningrado no ano de 2021.
Figura 4
Visualização de Kaliningrado por satélite
Fonte: Google Earth, 2021.
A teoria dos grafos é bastante extensa e precisaríamos de pelo menos 
uma obra inteira para discutirmos sobre ela em todos os seus detalhes. 
Mas traremos as características mais importantes quando pensamos em 
possibilidades de transcrição de grafos e árvores para algoritmos, vincu-
lando esses conceitos às funções, aos vetores e às matrizes.
A estrutura de um grafo está diretamente relacionada às funções e às 
matrizes. De maneira não formal, podemos afirmar que um grafo é um 
par (ou um trio) de conjuntos. Formalmente temos a seguinte definição:
Definição 1
Um grafo é um objeto matemático (ou uma estrutura matemática) formado por 
dois conjuntos. O primeiro deles, que denotaremos por V, é o conjunto de vérti-
ces. O segundo é o conjunto que relaciona os vértices (BOAVENTURA NETTO; 
JURKIEWICZ, 2017).
Grafos e árvores 127
As relações entre vértices são chamadas de arestas. Portanto, o se-
gundo conjunto, denotado por A, é o conjunto de arestas. Assim, o gra-
fo é denotado por G = (V, A).
Por sua vez, o conjunto de arestas A, que relaciona dois vértices – 
v e w –, tem elementos denotados por (v, w), sendo que v, w ∈ V. Com isso, 
temos que os elementos do conjunto de arestas são pares ordenados.
Alguns autores referem-se aos vértices como nós. Portanto, qual-
quer uma das nomenclaturas pode ser usada de acordo com a aplica-
ção e a área em que o grafo está inserido.
Exemρlo 1
Determine os conjuntos de vértices e arestas do grafo representa-
do na Figura 5.
Figura 5
Grafo com quatro nós e cinco arestas
Fonte: Elaborada pela autora.
1
4
2
3
Observando a figura, identificamos os quatro vértices (nós) demar-
cados com a numeração de 1 a 4. Além disso, conseguimos descrever 
as arestas que interligam alguns desses nós. Usando a notação defini-da anteriormente, escrevemos:
 • G = (V, A)
 • V = {1, 2, 3, 4}
 • A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
128 Matemática para Computação
O número de vértices é representado por n = |V|. Logo, para o 
Exemplo 1, temos n = 4. Já o número de arestas é representado por 
a = |A|, observe que no grafo da Figura 5 temos a = 5.
Esse é um exemplo de grafo não orientado (não dirigido, não di-
recionado). Essa estrutura matemática pode ser vista em muitas si-
tuações aplicadas.
Um circuito eletrônico é formado por componentes e placas, mas, 
em geral, o que desejamos saber é o caminho percorrido pela corrente 
elétrica que passa por esses componentes.
Sistemas eletrônicos ou sistemas digitais funcionam por meio da 
abertura e do fechamento de chaves lógicas (portas lógicas), sendo que 
o fechamento permite que a energia passe pelo sistema, e a abertura 
faz com que a energia seja cortada. Essas duas variáveis são represen-
tadas matematicamente por 0 e 1, o que é conhecido como sistema 
binário (ou base binária).
As portas lógicas são formadas com base em transistores, mosfets e 
resistores e cada uma realizará uma operação lógica diferente, tendo 
também uma simbologia padrão relacionada. As Figuras 6 e 7 mostram 
um pouco dessa simbologia.
Figura 6
Porta lógica AND
Fonte: Elaborada pela autora.
A
B
Xe
Figura 7
Porta lógica OR
Fonte: Elaborada pela autora.
A
B
Xou
A junção de diferentes portas lógicas está representada na Figura 8.
Figura 8
Portas lógicas
Fonte: Elaborada pela autora.
A
B
C
X
e
You
Para saber mais sobre 
circuitos e sistemas 
eletrônicos, indicamos as 
seguintes leituras:
Organização estrutura-
da de computador, que 
esclarece essa teoria com 
o auxílio de imagens e re-
sume algumas seções da 
obra Organização Estrutu-
rada de Computadores de 
Andrew S. Tanenbaum.
Disponível em: http://www.dpi.
inpe.br/~carlos/Academicos/
Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html. 
Acesso em: 24 ago. 2021.
Na Apostila de teoria para 
circuitos digitais, escrita 
por Alexandre Santos 
de la Vega, você saberá 
mais sobre a teoria para 
circuitos eletrônicos
Disponível em: http://www.
telecom.uff.br/~delavega/public/
CircDig/apostila_teo_cd.pdf. 
Acesso em: 24 ago. 2021.
Leitura
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
Grafos e árvores 129
Apesar de esse tipo de sistema parecer bastante complexo, pode-
mos simplificá-lo usando vértices e arestas, já que o que desejamos 
entender é o percurso realizado pela corrente elétrica.
Figura 9
Circuito eletrônico x grafo
Esquema
1
3
Grafo
5
42
3
5
42
1
Fonte: Adaptado de Goldbarg; Goldbarg, 2012.
Quando conhecemos a direção das arestas, ou seja, o caminho impos-
to entre um vértice e outro, temos um vetor que nos orienta sobre qual 
é o vértice de partida e qual é o vértice de chegada. Nesse caso, o grafo 
formado por esses vértices e essas arestas é chamado de grafo dirigido (ou 
digrafo).
As Figuras 10 e 11, a seguir, mostram exemplos de grafos digrafos.
Figura 10
Grafo dirigido com quatro nós e cinco arestas
Figura 11
Digrafo composto por 20 nós e 20 arestas
Fonte: Elaborada pela autora.
1
4
2
3
al
ri/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Note que, no grafo da Figura 10, temos os mesmos vértices do grafo 
da Figura 5, porém agora as arestas estão orientadas. Dessa maneira, 
escrevemos o conjunto de arestas como:
A = {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (3, 1), (4, 3)}
Podemos associar a cada aresta uma função. Nesse caso, teremos 
uma tripla ordenada da forma G = (V, A, f), em que f é uma função, 
O material Uma introdução 
sucinta à teoria dos grafos, 
dos professores Feofiloff, 
Kohayakawa e Wakabayashi, 
apresenta de maneira bas-
tante didática e acessível 
a estrutura conceitual e 
alguns exemplos sobre 
a teoria dos grafos. É um 
material bem completo 
que pode ser usado como 
complemento de nosso 
material. 
Disponível em: https://www.ime.
usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/
TeoriaDosGrafos.pdf. Acesso em: 24 
ago. 2021.
Leitura
https://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/TeoriaDosGrafos.pdf
https://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/TeoriaDosGrafos.pdf
https://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/TeoriaDosGrafos.pdf
130 Matemática para Computação
f: A → P (V), que associa a cada aresta um subconjunto de dois ou de 
um elemento de V, interpretado como os pontos terminais da aresta.
Em um grafo ou digrafo com pesos, uma função adicional A → ℝ 
associa um valor a cada aresta, o que pode ser considerado como seu 
“custo”. O exemplo a seguir esclarece esses conceitos.
Exemρlo 2
Considere o grafo representado na Figura 12 a seguir. Determine o 
número e o conjunto de vértices e arestas desse grafo.
Figura 12
Grafo com custos nas arestas
al
ri/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Note que esse grafo apresenta valores em suas arestas, portanto, 
identificamos que esses valores podem ser descritos por uma função 
custo, como definido anteriormente.
Na sequência, apresentamos o conjunto de vértices, sendo n o nú-
mero de elementos desse conjunto, e, então, o número de vértices.
 • V = {A, B, C, D, E, F}
 • n = 6
Após essa etapa, montamos o conjunto de arestas, que leva em 
consideração o sentido de cada uma delas. O valor a = 9 representa 
o número de elementos desse conjunto, logo, é o número de arestas.
A = {(A, B), (A, D), (B, C), (B, E), (C, E), (C, F), (D, C), (D, E), (E, F)}
Podemos analisar a adjacência entre vértices por meio da conexão 
entre arestas. A definição para esse conceito é apresentada a seguir.
Existem diversos tipos 
de grafos: completos, 
regulares, nulos, entre 
outros. Para saber mais 
sobre esse assunto e 
poder escolher qual o 
melhor tipo de grafo para 
determinada representa-
ção, sugerimos o material 
Grafos e algoritmos, de 
Filipe Chagas.
Disponível em: https://medium.
com/@filipe.chagas/os-grafos-
e-os-algoritmos-697c1fd4a416. 
Acesso em: 24 ago. 2021.
Saiba mais
https://medium.com/@filipe.chagas/os-grafos-e-os-algoritmos-697c1fd4a416
https://medium.com/@filipe.chagas/os-grafos-e-os-algoritmos-697c1fd4a416
https://medium.com/@filipe.chagas/os-grafos-e-os-algoritmos-697c1fd4a416
Grafos e árvores 131
Definição 2
Se um vértice v do grafo G é um dos extremos de alguma aresta a desse grafo, 
então, a incide em v e vice-versa. Dois vértices v e w de um grafo G são adjacen-
tes (ou vizinhos) se existir uma aresta de G cujos extremos são v e w.
Observe a Figura 13 para compreender a definição anterior. A ares-
ta a4 incide sobre os vértices v1 e v3, logo, v1 e v3 são adjacentes.
Figura 13
Grafo G
Fonte: Elaborada pela autora.
v1 v3
v4
a4
a1 a2
a3
a5
v2
Portanto, a estrutura dos grafos é construída com base em modelos 
matemáticos que transmitirão um resultado aproximado (ou exato) a 
problemas físicos.
5.1.1 Caminhos, passeios e trilhas
Agora, vamos retomar a Figura 13 para tratar do conceito de 
caminho. Ou seja, as arestas serão interpretadas como estruturas que 
determinam caminhos.
Um caminho do vértice v1 para o vértice v4, no grafo G, é uma se-
quência de vértices v1, v2, v3, v4, de tal modo que (v1, v2), (v2, v3), (v3, v4) 
são arestas em A. O comprimento (ou tamanho) de um caminho é o 
número de arestas que ele contém.
Um caminho simples é um caminho em que todos os vértices são 
diferentes, com a possível exceção do primeiro e do último. Um ciclo é 
um caminho simples em que o primeiro e o último vértices são iguais. 
Um ciclo também pode ser chamado de caminho fechado. Um trajeto é 
um caminho no qual todas as arestas são distintas.
132 Matemática para Computação
De acordo com Nicoletti e Hruschka Júnior (2018), quando nenhuma 
aresta aparece mais do que uma vez, tendo em umgrafo os vértices 
u e v, sendo u o vértice inicial e v o vértice final, chamamos de trilha. 
Se u ≠ v, teremos uma trilha aberta. Caso u = v, obtemos uma trilha 
fechada ou circuito.
Ainda por Nicoletti e Hruschka Júnior (2018, p. 78), temos que
(1) Uma trilha é um passeio no qual nenhuma aresta é repetida. 
(2) Um caminho é um passeio no qual nenhum vértice é repe-
tido. (3) Consequentemente, em um caminho nenhuma aresta 
pode ser repetida, o que garante que todo caminho é uma trilha. 
(4) Nem sempre toda trilha é um caminho. (5) Por definição, todo 
caminho é um passeio.
Afirmamos que uma estrutura matemática é um grafo conexo (ou 
interligado) se existir pelo menos um caminho entre cada par de vérti-
ces do grafo. Caso contrário, o grafo é chamado de desconexo.
Toda essa estrutura matemática pode ser usada em diversas situa-
ções aplicadas. Por exemplo, uma pequena empresa de entrega de re-
feições pode usar um modelo de grafo para resolver o problema da 
entrega de refeições quentes, em um intervalo de tempo de duas horas 
e com o menor custo possível para a empresa, ou seja, minimizando o 
trajeto para as entregas.
Esse tipo de modelo, que não é dos mais simples, mas que pode ser 
idealizado por meio dos conceitos aprendidos neste capítulo, precisa 
ser resolvido em tempo real.
É nesse momento que entra a computação científica. Assim, o grafo 
precisa ser escrito em um formato em que o computador possa lê-lo 
e operá-lo. Para essa transcrição, serão necessários conceitos como 
funções, matrizes e vetores, que viabilizarão o cálculo de problemas 
logísticos como o citado anteriormente.
5.2 Representação computacional de um grafo 
Vídeo Visualmente os grafos são estruturas bem fáceis de serem com-
preendidas, mas quando precisamos levar essas informações para a 
área computacional, a representação gráfica pode ser um complicador. 
Assim, foram desenvolvidas formas de representar os grafos por meio 
de matrizes e sequências, fazendo com que a estrutura do grafo possa 
ser representada computacionalmente de maneira simples.
Para conhecer um 
pouco mais sobre grafos 
conexos e desconexos 
e visualizar exemplos 
desses casos, indicamos 
o material Conceito básico 
da teoria de grafos.
Disponível em: https://www.inf.
ufsc.br/grafos/definicoes/definicao.
html. Acesso em: 24 ago. 2021.
Saiba mais
https://www.inf.ufsc.br/grafos/definicoes/definicao.html
https://www.inf.ufsc.br/grafos/definicoes/definicao.html
https://www.inf.ufsc.br/grafos/definicoes/definicao.html
Grafos e árvores 133
O problema das sete pontes de Königsberg tem seu grafo descrito 
na Figura 14 a seguir.
A
1
2
3
4
6
7
5
B
C D
Figura 14
As setes pontes de Königsberg
Fonte: Elaborada pela autora. 
Note que os vértices A, B e D têm três arestas, enquanto C tem cin-
co. O número de arestas que incide sobre cada vértice determina o 
grau de um vértice. Logo, podemos afirmar que C tem grau cinco, en-
quanto A, B e D têm grau três.
O grau de um grafo é a soma dos graus de seus vértices. O teorema do 
aperto de mãos (handshaking) ainda permite que escrevamos que o grau de 
um grafo G é igual a duas vezes o número de arestas de G.
Euler provou que se um vértice tem um número ímpar de arestas, 
então, caso queira percorrer as arestas apenas uma vez, nunca acaba-
rá no vértice que começou (GOLDBARG; GOLDBARG, 2012; NICOLETTI; 
HRUSCHKA JÚNIOR, 2018).
Esse grafo pode ser representado por uma matriz chamada matriz 
de adjacência, que será escrita como a seguir.
0
0
1
1
 0 1 1
 0 1 1
 1 0 1
 1 1 0
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
A B C D
A
B
C
D
Veremos como construir esse tipo de matriz.
O teorema de handsha-
king (aperto de mãos) é 
descrito para grafos não 
direcionados e finitos, 
compostos por um núme-
ro par de vértices de grau 
ímpar.
A analogia ao aperto de 
mãos se faz, pois, supondo 
que exista um grupo de 
pessoas em que algumas 
apertam mãos, um núme-
ro par de pessoas deve 
ter apertado um número 
ímpar de mãos de outras 
pessoas. Isso também 
nos permite afirmar que a 
soma dos graus de todos 
os vértices de um grafo 
não direcionado finito é 
duas vezes o número de 
arestas desse grafo.
Em circuitos digitais o 
handshaking é definido 
como o processo de troca 
de sinais pelo qual dois 
dispositivos digitais ou 
sistemas estabelecem 
entre si uma comunicação 
(FLOYD, 2007).
Saiba mais
134 Matemática para Computação
5.2.1 Representação por meio de 
matrizes de adjacências
Dado um grafo G com n vértices, podemos representá-lo em uma 
matriz que está em um espaço de tamanho |V| ⨯ |V|. Portanto, po-
demos chamá-la de B (ordem n) com |V| = n. Essa é uma matriz de 
G (grafo G(V, A)), logo, denotamos Bn⨯n (G), em que os elementos de 
Bn⨯n (G) serão [bij].
Os elementos bij guardam informações sobre como os vértices adja-
centes se relacionam na forma:
B i j se i j
caso contrário
( , ) , ,
,
� � �����
��
1
0
 A
 
Se as arestas do grafo tiverem pesos, bij pode conter, no lugar de 1, 
o peso (custo) dessa mesma aresta.
Na figura a seguir temos um grafo dirigido. Note que as arestas 
contêm sentido duplo e essa informação foi apresentada na matriz de 
adjacência.
Figura 15
Matriz de adjacência
al
ri/
Sh
ut
te
rs
to
ck
A seguir, construiremos a matriz de adjacência conhecendo o grafo 
que a representa.
Para saber mais sobre 
essa importante afirmação 
de Euler que se tornou o 
primeiro teorema da teo-
ria dos grafos, sugerimos 
a obra Grafos: conceitos, 
algoritmos e aplicações, 
de Marco Cesar Goldbarg 
e Elizabeth Goldbarg. O 
teorema está descrito na 
página 89 da obra.
GOLDBARG, M.; GOLDBARG, E. 1. ed. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2012.
Já na obra Fundamentos 
de teoria dos grafos para 
computação, de Maria do 
Carmo Nicoletti e Estevam 
R. Hruschka Júnior, página 
163, também é possível 
acompanhar o teorema 
e sua prova. Os autores 
apresentam exemplos 
que nos auxiliam a fixar a 
ideia e visualizar diferen-
tes situações aplicadas 
ao teorema.
NICOLETTI, M. C.; HRUSCHKA JÚNIOR, 
E. R. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
Livro
Grafos e árvores 135
Exemρlo 3
Analise o grafo a seguir (Figura 16) e escreva a matriz de adjacência dele.
Figura 16
Grafo não dirigido
a4
a1
a2
a3
a5
v1
v3
v4
v2
v5
Fonte: Elaborada pela autora. 
A matriz de adjacência apresenta a conexão entre os vértices. 
Assim, teremos:
0
1 0 0 1 0
0 0 0
 1 0 1 0
 
 
 
 
1 1
1 1 1 0 0
0 0 1 0 0
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
v1 v2 v3 v4 v5
v1
v2
v3
v4
v5
B = 
Quando trabalhamos com grafos direcionados, podemos adotar a 
chamada matriz de incidência. Assim, usa-se o sinal positivo ou negativo 
em relação aos vértices e às suas arestas incidentes, deixando evidente 
o vértice de chegada ou de partida.
Com isso, se desejamos representar matricialmente um grafo G com 
n vértices e m arestas, podemos escrever uma matriz Bn⨯m da forma:
B i j
se a aresta j sai do vértice i
se( , )
,
,�
�1
1
 
 a arresta j chega no vértice i
0, caso contrário
�
�
�
��
Para compreender mais 
sobre a matriz de adjacên-
cia, sugerimos assistir ao 
vídeo Algoritmos e Estrutu-
ras de Dados - USP - Matriz 
de Adjacência em Grafos. 
Disponível em: https://youtu.be/
q3lh8NcmH14. Acesso em: 24 
ago. 2021.
Vídeo
https://youtu.be/q3lh8NcmH14
https://youtu.be/q3lh8NcmH14
136 Matemática para Computação
Esse conceito pode ser observado por meio do digrafo apresentado 
na Figura 17. Note que a matriz de incidência foi montada respeitando 
as relações entre arestas direcionadas e nós.
B i j
a a a
( , ) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 2 3
Figura 17
Digrafo com três vértices e três arestas
a1
a2
a3
1
2
3
Fonte: Elaborada pela autora. 
Além da representação matricial, podemos representar os grafos 
por intermédio de listas. Na computação, chamamos de listas as estru-
turas de dados que permitem armazenar informações de determinadotipo em uma ordem previamente especificada. Uma lista pode armaze-
nar, por exemplo, informações dos vértices ou das arestas.
A implementação das listas pode ser feita por meio de arrays ou 
encadeamentos. Uma matriz é um array multidimensional. Já um vetor 
é um array unidimensional.
Cada elemento de um array deve ser colocado em uma posição es-
pecífica e, caso seja necessário retirar algum elemento dele, pode ha-
ver a necessidade de reposicionamento dos elementos restantes.
Já o encadeamento envolve conceitos de programação, como pon-
teiros e referências.
Para criar listas encadeadas, é preciso que os elementos da lista 
referenciem algum outro elemento, ou seja, indiquem onde podemos 
encontrar um outro elemento. As listas de adjacência, as quais vere-
mos na sequência, são listas encadeadas, pois têm os vértices fazendo 
referência a outros vértices conectados a eles.
Vamos entender esse conceito como mais uma proposta de repre-
sentação computacional dos grafos.
Grafos e árvores 137
5.2.2 Representação por meio de lista de adjacências
Uma lista de adjacência em um grafo será composta por todos os 
vértices nos quais existe uma aresta como conexão. Nesse caso, essa 
será a lista de adjacência desse vértice.
Considere o grafo representado na Figura 18 a seguir.
Figura 18
Grafo não dirigido de cinco nós e cinco arestas
Fonte: Elaborada pela autora. 
a4
a1
a2
a3
a5
v1
v3
v4
v2
v5
Teremos as seguintes listas vinculadas aos vértices v1, v2, v3, v4 e v5, 
respectivamente:
 • Adj[v1] = [v2,v4];
 • Adj[v2] = [v1,v4];
 • Adj[v3] = [v4,v5];
 • Adj[v4] = [v1,v2,v3];
 • Adj[v5] = [v3].
Em um grafo dirigido, o princípio será o mesmo. Assim, seja o 
grafo a seguir (Figura 19), montaremos as listas de adjacência refe-
rentes a cada vértice.
138 Matemática para Computação
Figura 19
Digrafo de 3 vértices
Fonte: Elaborada pela autora. 
a1
a2
a3
v2
v1
v3
Esse grafo será representado pelas seguintes listas de adjacência:
 • Adj[v1] = [ ];
 • Adj[v2] = [v1];
 • Adj[v3] = [v1, v2].
Note que as listas de adjacência de cada vértice respeitam o sen-
tido da aresta.
Portanto, é possível escolher por representações computacionais 
distintas. Essa escolha levará em consideração: características especí-
ficas da aplicação, seleção da linguagem de programação, necessidade 
de representação visual, dentre outras características.
5.3 Conceito de árvore 
Vídeo Talvez o exemplo mais simples que nos permita entender o conceito 
de árvore seja a árvore genealógica (Figura 20).
 Iv
an
 A
le
x 
Bu
rc
ha
k/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Figura 20
Árvore genealógica
Grafos e árvores 139
Isso mesmo, a árvore genealógica que estudamos desde a educação 
infantil, a qual construímos diversas vezes em sala de aula e permite 
entendermos nossa ancestralidade, é um grafo com características dis-
tintas que possibilita que a nomeemos de árvore.
Matematicamente, uma árvore é um grafo conexo sem ciclos.
Com o desenvolvimento da teoria dos grafos, muitas áreas benefi-
ciaram-se de suas definições, para que pudessem ser estruturadas e 
melhor explicadas conceitualmente.
Gustav Robert Kirchhoff, nascido em Königsberg (1824-1877), exa-
tamente onde toda a teoria dos grafos começou, utilizou-a para de-
senvolver e validar seu trabalho com circuitos elétricos, tendo como 
particular conceito nessa construção as árvores.
Esses resultados serviram de incentivo para que outros pesquisa-
dores e cientistas, das mais diversas áreas, utilizassem esses conceitos 
em seus trabalhos.
Como vimos, uma lista encadeada é uma estrutura de dados linear. 
Nela, os elementos do conjunto são associados por relações de “poste-
rior” ou “anterior”, na intenção de criar uma espécie de fileira imaginária.
As árvores são estruturas de dados não lineares, nas quais os ele-
mentos costumam ser associados por relações de “esquerdo”, “direito”, 
“inferior”, “superior”, “pai”, “filho”, “menor”, “maior” etc. Essas estrutu-
ras formam grafos conexos e acíclicos. Quando representados gra-
Aa
ar
gl
~c
om
m
on
sw
ik
i/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Gustav Robert Kirchhoff
Figura 21
Tipos de árvores de 
decisão
Ze
rn
 L
ie
w/
Sh
ut
te
rs
to
ck
O material de aula do 
professor José Augusto 
Baranauskas, do depar-
tamento de ciência da 
computação e matemática 
da Universidade de São 
Paulo, apresenta conceitos, 
exercícios e aplicações 
computacionais sobre gra-
fos e árvores. Os exemplos 
são bastante didáticos e 
os exercícios auxiliam na 
melhor compreensão do 
tema estudado.
Disponível em: http://dcm.ffclrp.
usp.br/~augusto/teaching/aedii/
AED-II-Grafos.pdf. Acesso em: 24 
ago. 2021.
Saiba mais
ficamente, formam diagramas 
que remetem à estrutura física 
de uma árvore (da natureza), com 
galhos ramificados.
De acordo com Almeida (2018, 
p. 19), “como nem todo grafo é 
uma árvore, podemos afirmar 
que um grafo será uma árvore se 
e somente se existir um único ca-
minho entre dois vértices quais-
quer deste grafo”. Todo grafo 
conexo tem, ao menos, uma árvo-
re composta de todos seus vérti-
ces e algumas de suas arestas.
http://dcm.ffclrp.usp.br/~augusto/teaching/aedii/AED-II-Grafos.pdf
http://dcm.ffclrp.usp.br/~augusto/teaching/aedii/AED-II-Grafos.pdf
http://dcm.ffclrp.usp.br/~augusto/teaching/aedii/AED-II-Grafos.pdf
140 Matemática para Computação
Vamos entender esse princípio: considere o grafo apresentado 
na Figura 22.
Figura 22
Conceito de árvore geradora
Fonte: Elaborada pela autora. 
a1
a4
a5
a6 a2
a3
v2
v5v6 v4
v1 v3
Observe que se retirarmos a aresta a3, ainda assim todos os vértices 
estarão interligados. Com isso, se os vértices são, por exemplo, pontos 
de entregas de produtos e queremos analisar qual o caminho mínimo 
para passarmos por todos esses pontos, precisaremos que eles este-
jam conectados, mas não necessariamente usaremos todas as arestas 
como vias de acesso aos pontos de entrega.
Nesse momento entramos em um conceito chamado caminho míni-
mo, que explicaremos melhor na sequência.
Mas, independentemente de sabermos qual seria o trajeto mais 
curto, precisamos encontrar todas as árvores possíveis presentes 
nesse grafo, ou seja, todas as formas de chegarmos a todos os vértices 
sem que exista dualidade entre os caminhos. Esse tipo de problema é 
conhecido como problema de roteamento.
As três figuras a seguir apresentam as árvores geradoras para o gra-
fo apresentado na Figura 22, observe.
Figura 23
Primeiro exemplo de árvore geradora
Fonte: Elaborada pela autora. 
a1
a4
a5
a6 a2
v2
v5v6 v4
v1 v3
Grafos e árvores 141
Figura 24
Segundo exemplo de árvore geradora
Fonte: Elaborada pela autora. 
a4
a5
a6 a2
a3
v2
v6 v4
v1
v5
v3
Figura 25
Terceiro exemplo de árvore geradora
Fonte: Elaborada pela autora. 
a5
a1
a6 a2
a3
v2
v6 v4
v1
v5
v3
Em qualquer uma das três árvores temos todos os pontos de entrega 
interconectados. Com isso, podemos começar a pensar em qual dessas 
três árvores geradoras temos um conjunto de rotas que minimiza a dis-
tância para as entregas, ou seja, qual é a árvore geradora mínima.
Note que, nesse caso, é necessário conhecermos o valor das arestas 
ou a função aplicada em cada um desses caminhos, que pode levar em 
consideração a distância, o custo do combustível, o tipo de meio de 
locomoção usado etc. Portanto, para esse fim, precisamos de um grafo 
com pesos. Observe a definição a seguir.
Definição 3
Uma árvore geradora mínima, para um grafo com pesos, é uma árvore geradora 
que tem o menor peso total possível dentre todas as possíveis árvores gerado-
ras do grafo.
142 Matemática para Computação
Note que dependendo da quantidade de vértices e arestas de um 
grafo, o número de árvores geradoras pode ser enorme. Por exemplo, 
o grafo de Petersen, que pode ser analisado na Figura 26 a seguir, tem 
2.000 árvores geradoras.
Figura 26
Grafo de Petersen
Le
sh
ab
iru
ko
v/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Existem alguns algoritmos conhecidos para se obter uma árvore 
geradora mínima. Desses, o algoritmo de Kruskal(1956) e algoritmo 
de Prim (1957) talvez sejam os mais populares. Ambos são chamados 
de algoritmos gulosos, pois fazem escolhas levando em consideração a 
melhor solução imediata (mais próxima).
Com os algoritmos de busca aplicados aos grafos e, particularmen-
te, às árvores, notamos um campo imenso de aplicações possíveis que 
vai muito além dos denominados problemas de roteamento.
Na sequência, vamos ver mais alguns conceitos importantes sobre 
árvores que podem ser aplicados a procedimentos de busca.
5.4 Raízes e árvores binárias 
Vídeo Como foi mencionado nas seções anteriores, uma árvore é um gra-
fo conexo e acíclico. Na formação de uma árvore, podemos destacar al-
guns pontos importantes, sendo um deles o conceito de raiz da árvore.
Uma árvore que apresenta um vértice distinto facilmente distinguí-
vel é chamada árvore enraizada (Figura 27). Esse vértice é considerado 
o vértice raiz. Nesse caso, afirmamos que os vértices têm hierarquia.
Assista aos vídeos Algo-
ritmo de Kruskal - Árvore 
Geradora Mínima e Algo-
ritmo de Prim – Teoria dos 
Grafos (Exemplo Prático).
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=3Q6RdxGmDgQ. 
Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=Pgf-
AL1vYb4. Acesso em: 24 ago. 2021.
Vídeo
Os algoritmos de Kruskal 
e de Prim podem ser 
encontrados em diversas 
obras específicas sobre 
grafos. Sugerimos a obra 
Grafos: introdução e práti-
ca, de Boaventura Netto e 
Jurkiewicz, p. 86 (Kruskal) 
e p. 87 (Prim).
BOAVENTURA NETTO, P. O; 
JURKIEWICZ, S. 2. ed. São Paulo: 
Blücher, 2017.
Saiba mais
https://www.youtube.com/watch?v=3Q6RdxGmDgQ. Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pgf-AL1vYb4
https://www.youtube.com/watch?v=3Q6RdxGmDgQ. Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pgf-AL1vYb4
https://www.youtube.com/watch?v=3Q6RdxGmDgQ. Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pgf-AL1vYb4
https://www.youtube.com/watch?v=3Q6RdxGmDgQ. Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pgf-AL1vYb4
https://www.youtube.com/watch?v=3Q6RdxGmDgQ. Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pgf-AL1vYb4
https://www.youtube.com/watch?v=3Q6RdxGmDgQ. Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pgf-AL1vYb4
Grafos e árvores 143
Podemos montar uma árvore genealógica como uma árvore enrai-
zada. Para isso, escolhemos um dos membros para o primeiro casal e 
partimos dali para seus filhos e assim sucessivamente.
Figura 27
Árvore enraizada
to
vo
va
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
É visível a identificação da raiz de uma árvore, e sua localização é mui-
tas vezes considerada o ponto de partida para algoritmos de busca para 
esse tipo de árvore. Uma árvore não enraizada é uma árvore dita livre.
Nicoletti e Hruschka Júnior (2018, p. 184) trazem a seguinte definição 
para árvore binária: “é um grafo vazio ou tem um vértice especial r chama-
do raiz, e os demais vértices da árvore são subdivididos em dois subcon-
juntos disjuntos: as subárvores esquerda e direita de r, as quais são 
também árvores binárias”. A Figura 28 exemplifica tipos dessas árvores.
Figura 28
Tipos de árvores binárias
Sh
ad
eD
es
ig
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Árvore equilibrada ou 
árvore binária cheia
Árvore em 
profundidade
Árvore em largura
144 Matemática para Computação
Uma árvore binária pode ser dita completa ou incompleta. A seguir 
temos a definição de árvore binária completa.
Definição 4
Uma árvore binária completa é uma árvore enraizada, tal que existe exatamente 
um vértice de grau dois e cada um dos vértices restantes tem grau um ou três. 
Naturalmente, o vértice de grau dois é o vértice raiz da árvore.
Caso a definição não se verifique, temos uma árvore binária incompleta.
Uma aplicação envolvendo árvores binárias pode ser encontrada 
em trabalhos sobre otimização e distribuição de sinal em redes. Tam-
bém existem aplicações na área de redes óticas e otimização de siste-
mas submersos para gerenciamento de extração de petróleo 1 .
Algumas propriedades das árvores binárias permitem que possa-
mos estimar o número de operações, vértices e arestas envolvidas na 
solução de um algoritmo de busca. Vamos conhecê-las a seguir.
5.4.1 Propriedades de árvores binárias
As árvores binárias costumam ser usadas em diversas aplicações 
por sua característica essencial, a qual é a de permitir que seja tomada a 
decisão entre dois caminhos (direita ou esquerda) até que se chegue 
a um objetivo determinado.
 Assim, para chegarmos ao objetivo com rapidez e eficiência, é essencial 
entendermos algumas propriedades e operações que permitem calcular 
o número de vértices e arestas e compreendermos operações usadas em 
um algoritmo de busca que tem como base uma árvore binária.
O número de vértices em uma árvore binária completa (com 
três ou mais vértices) é sempre ímpar. Já uma árvore binária comple-
ta com n vértices terá p n� �1
2
 vértices pendentes, que são o objetivo 
da busca.
A altura h de uma árvore binária é a distância entre a raiz e seu 
descendente 2 mais afastado.
Se T é uma árvore binária completa composta por p vértices pen-
dentes e tem altura h, então:
Alguns desses exemplos 
podem ser observados 
no livro de Nicoletti e 
Hruschka Júnior (2018).
1
Um descendente em 
uma árvore binária é 
qualquer vértice (nó) que 
possa ser atingido por 
meio da decisão entre os 
dois caminhos possíveis 
(direita ou esquerda) em 
qualquer ordem.
2
Grafos e árvores 145
I. p ≤ 2h
II. h p l n� � � �|log | | og |2 2
1
2
1 
Conhecendo a estrutura dos grafos, suas designações e proprieda-
des, trazemos, a seguir, a interpretação do conceito de procedimentos 
de busca.
5.5 Introdução a procedimentos de busca 
Vídeo Árvore binárias e árvores geradoras mínimas são muito utilizadas 
em procedimentos de busca. Isso ocorre, pois esse tipo de grafo é co-
mumente aplicado em testes que apresentam duas possíveis respostas.
Tendo como ponto de partida a raiz da árvore, o teste é iniciado e 
nos encaminha para um dos dois vértices da próxima camada (nível) 
em que novos testes são efetuados.
Quando atingimos o objetivo da busca (vértice pendente), o proce-
dimento de busca se encerra. Com isso, entender os procedimentos de 
busca depende da definição do conceito de distância entre vértices (nós).
Tendo em um grafo os vértices u e v, sendo u o vértice inicial e 
v o vértice final, calcular a distância ou o comprimento do caminho entre 
esses dois vértices depende de algumas propriedades algébricas, como:
I. d(u, v) ≥ 0 e d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v.
II. d(u, v) = d(v, u) – comutatividade.
III. d(u, v) + d(v, w) ≥ d(u, w) – desigualdade triangular.
O grafo da Figura 29 representa graficamente a distância medindo 
uma unidade de medida em cada aresta.
Figura 29
Distância 1 em cada aresta
Fonte: Elaborada pela autora. 
1
1
1
1
v1
v2
v4
v3
146 Matemática para Computação
A matriz de distâncias tem como elementos a distância entre os vér-
tices que a compõem. Observe a seguir a matriz de distância Dist(G) 
referente ao grafo da Figura 29.
Dist G( ) � 
 1 2 1
 
 
0
1 0 1 2
2 1 0 
 
1
1 2 1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
v1 v2 v3 v4
v1
v2
v3
v4
Note que a matriz de distância é construída para a menor distância 
entre dois vértices.
Nos procedimentos de busca mais conhecidos estão os chamados: 
procedimentos de busca em profundidade (depth first) e os procedimentos 
de busca em largura (breadth first)
A busca em profundidade é um algoritmo que caminha pelo grafo bus-
cando, sempre que possível, o descendente mais distante (o mais profundo).
A estratégia desse tipo de busca é, com base em um vértice v 
recém-descoberto, explorar as arestas que partem de v que ainda não 
foram exploradas.
Quando todas as arestas adjacentes a v forem visitadas, a busca come-
ça a explorar os vértices para trás, tais que estes saiamdo vértice v já 
descoberto.
O algoritmo é a base para muitos outros algoritmos importantes, 
tais como: a verificação de grafos acíclicos, a ordenação topológica e os 
componentes fortemente conectados.
Já a busca em largura visa encontrar o comprimento de um cami-
nho entre um vértice e seu descendente mais distante, usando o me-
nor número de arestas.
De acordo com Goldbarg e Goldbarg (2012, p. 65), a busca em largura 
pode ser definida como: “uma busca é denominada em largura se, para o 
critério de seleção de vértices, for exigido que a escolha seja feita sobre o 
vértice não marcado menos recentemente alcançado na busca”.
Com essas duas estratégias de busca determinadas, podemos 
apresentar alguns dos algoritmos mais conhecidos que as utilizam 
e que permitem calcular o caminho mínimo para a obtenção de um 
vértice pendente.
Conheceremos alguns desses algoritmos a seguir.
Para conhecer um pouco 
mais sobre os algoritmos 
de busca, sugerimos a 
leitura do material Algorit-
mos em grafos, elaborado 
por Charles Ornelas 
Almeida, Israel Guerra e 
Nivio Ziviani. 
Disponível em: http://www2.dcc.
ufmg.br/livros/algoritmos/cap7/
slides/pascal/completo1/cap7.pdf. 
Acesso em: 24 ago. 2021.
Leitura
http://www2.dcc.ufmg.br/livros/algoritmos/cap7/slides/pascal/completo1/cap7.pdf
http://www2.dcc.ufmg.br/livros/algoritmos/cap7/slides/pascal/completo1/cap7.pdf
http://www2.dcc.ufmg.br/livros/algoritmos/cap7/slides/pascal/completo1/cap7.pdf
Grafos e árvores 147
5.5.1 Algoritmos de caminho mínimo
A teoria dos grafos é largamente utilizada em problemas de rotea-
mento, sendo, nesses casos, usados os chamados algoritmos de busca.
Dentre os algoritmos mais conhecidos, encontram-se o algoritmo do 
vizinho mais próximo, o algoritmo de Dijkstra, o algoritmo de Floyd etc.
O algoritmo de Dijkstra tem como conceito base a construção de 
uma matriz de distâncias, a qual terá seus elementos sendo a menor 
distância entre dois vértices.
O cientista da computação holandês, Edsger Wybe Dijkstra, nasceu 
em Roterdã, 1930, e faleceu em Nuenen. Ele fez diversas contribuições 
nas áreas de desenvolvimento de algoritmos, sistemas operacionais e 
processamento distribuído. Em 1972, recebeu o prêmio Turing por suas 
contribuições no desenvolvimento de linguagens de programação.
O conjunto S que será construído com base no algoritmo Dijkstra é 
composto por vértices cujos caminhos mais curtos até um vértice origem 
já são conhecidos. Esse conjunto produz uma árvore de caminhos mais 
curtos de um vértice origem s para todos os vértices que são alcançáveis 
a partir de s.
Não vamos nos aprofundar na estrutura desses algoritmos, pois, 
como comentamos no início do capítulo, a teoria dos grafos é bastante 
extensa, riquíssima e existem obras específicas sobre o tema. Mas caso 
tenha curiosidade para conhecer e até implementar esses algoritmos, 
sugerimos alguns materiais.
O Problema do Caixeiro-viajante (PCV) é do tipo “caminho mínimo”. Seu algoritmo 
é estruturado para que seja possível visitar, em ordem sequencial, um conjunto 
de pontos dispersos de um grafo, ou seja, sair de um vértice inicial, visitar todos os 
outros e voltar para a origem inicial sem repetir nenhum vértice.
Podemos indicar muitas aplicações que usam o PCV. Dentre elas, escolhemos o 
artigo publicado pela Associação Brasileira de Engenharia de Produção (ABREPO), 
intitulado Teoria dos grafos aplicada à roteirização na logística de distribuição: o 
problema do caixeiro viajante em uma empresa fabricante de farinha de trigo.
Acesso em: 24 ago. 2021.
http://www.abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_291_1644_39148.pdf
Artigo
Assim, vimos a estrutura de um grafo e suas ramificações. Conhe-
cemos as terminologias do tema, alguns tipos de grafos e formas de 
representação computacional, que nos deram uma base importante e 
que conecta a matemática e a computação de maneira aplicada.
Assista aos dois vídeos 
sobre os algoritmos de 
Floyd e Dijkstra, Algoritmo 
de Floyd e Algoritmo de 
Dijkstra. Escolha uma 
linguagem de progra-
mação de seu domínio e 
reflita sobre as possibili-
dades de implementação 
computacional de um ou 
mais algoritmos de busca 
nessa linguagem.
Disponível em: https://youtu.be/Dfga-
Bkp02HY. Acesso em: 24 ago. 2021.
Disponível em: https://youtu.be/vzW-
VCqYDlAs. Acesso em: 24 ago. 2021.
Vídeo
Ha
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on
 R
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ha
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W
ik
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 C
om
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on
s
Edsger Wybe Dijkstra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Roterd%C3%A3
https://pt.wikipedia.org/wiki/1930
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nuenen
https://youtu.be/DfgaBkp02HY
https://youtu.be/DfgaBkp02HY
https://youtu.be/vzWVCqYDlAs
https://youtu.be/vzWVCqYDlAs
148 Matemática para Computação
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Fechamos o capítulo destinado à teoria dos grafos e árvores e espera-
mos que, após esta introdução, você esteja curioso para aprender ainda 
mais sobre esse tema tão rico e aplicável em nosso cotidiano e em outras 
áreas do conhecimento.
Podemos até afirmar que as relações sociais por meios digitais não 
existiriam sem a teoria dos grafos e que nossa comida chegaria gelada 
caso o entregador de pizza não otimizasse sua rota de entrega.
Percebemos que muito dessa teoria é aplicada mesmo sem notarmos 
sua existência ou importância. Mas agora que você conhece um pouco so-
bre ela, poderá enxergar a matemática por trás de tarefas simples e com-
plexas, por exemplo, as conexões neurais realizadas pelo nosso cérebro. 
Sim, elas também podem ser representadas por grafos.
Indicamos que acesse os materiais sugeridos como complementação 
do conteúdo. Acreditamos que o tripé teoria, prática e aplicação é ne-
cessário para a boa compreensão de qualquer conceito.
ATIVIDADES
Construa uma matriz de adjacência e uma matriz de incidência para o 
grafo apresentado a seguir e descreva as diferenças entre os dois resul-
tados. Note que a1 = [v4, v1], a2 = [v5, v2], a3 = [v1, v3], a4 = [v2, v4] 
e a5 = [v3, v5].
v1
v5
a1
a2
a3
a5 a4
v2
v4 v3
Atividade 1
Grafos e árvores 149
Seja o grafo exposto na figura a seguir.
v1
v6
v5 v2
v4 v3
Apresente uma árvore geradora para esse grafo usando o conceito de 
extração de arestas.
Atividade 2
Usando as árvores binárias, desenvolva um grafo para representar 
a quantidade de jogos necessários em um torneio de vôlei com 16 
inscritos.
Atividade 3
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, L. de A. e. Árvores: algoritmos e aplicações. 2018. Dissertação (Mestrado em 
Matemática) – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro. Disponível em: 
https://impa.br/wp-content/uploads/2018/03/TCC_2018_Lauro-e-Almeida.pdf. Acesso em: 
23 ago. 2021.
BOAVENTURA NETTO, P. O; JURKIEWICZ, S. Grafos: Introdução e prática. São Paulo: 
Blücher, 2017.
FLOYD, T. L. Sistemas digitais: fundamentos e aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GOLDBARG, M.; GOLDBARG, E. Grafos: conceitos, algoritmos e aplicações. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2012.
GOOGLE EARTH. 2021. Disponível em: https://earth.google.com/web/search/Kalinin-
grad,+Oblast+de+Kaliningrado,+R%c3%bassia/@54.6947304,20.56456713,4.1195937
9a,6991.5150592d,35y,0h,0t,0r/data=CpcBGm0SZwolMHg0NmUzM2Q4ZDRiN2MyM-
WE5OjB4NTA1MDk2MDAxNjEyNmVkMxmFG5VA71pLQCG_x6pSxHM0QCosS2FsaW5pb-
mdyYWQsIE9ibGFzdCBkZSBLYWxpbmluZ3JhZG8sIFLDunNzaWEYASABIiYKJAm582YmF0Q-
3wBHfS-j8FUg3wBnqs6-zuJxHwCGsWQUE7aBHwA. Acesso em: 23 ago. 2021.
NICOLETTI, M. C.; HRUSCHKA JÚNIOR, E. R. Fundamentos da teoria dos grafos para 
computação. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
https://earth.google.com/web/search/Kaliningrad,+Oblast+de+Kaliningrado,+R%c3%bassia/@54.6947304,20.56456713,4.11959379a,6991.5150592d,35y,0h,0t,0r/data=CpcBGm0SZwolMHg0NmUzM2Q4ZDRiN2MyMWE5OjB4NTA1MDk2MDAxNjEyNmVkMxmFG5VA71pLQCG_x6pSxHM0QCosS2FsaW5pbmdyYWQsIE9ibGFzdCBkZSBLYWxpbmluZ3JhZG8sIFLDunNzaWEYASABIiYKJAm582YmF0Q3wBHfS-j8FUg3wBnqs6-zuJxHwCGsWQUE7aBHwA
https://earth.google.com/web/search/Kaliningrad,+Oblast+de+Kaliningrado,+R%c3%bassia/@54.6947304,20.56456713,4.11959379a,6991.5150592d,35y,0h,0t,0r/data=CpcBGm0SZwolMHg0NmUzM2Q4ZDRiN2MyMWE5OjB4NTA1MDk2MDAxNjEyNmVkMxmFG5VA71pLQCG_x6pSxHM0QCosS2FsaW5pbmdyYWQsIE9ibGFzdCBkZSBLYWxpbmluZ3JhZG8sIFLDunNzaWEYASABIiYKJAm582YmF0Q3wBHfS-j8FUg3wBnqs6-zuJxHwCGsWQUE7aBHwAhttps://earth.google.com/web/search/Kaliningrad,+Oblast+de+Kaliningrado,+R%c3%bassia/@54.6947304,20.56456713,4.11959379a,6991.5150592d,35y,0h,0t,0r/data=CpcBGm0SZwolMHg0NmUzM2Q4ZDRiN2MyMWE5OjB4NTA1MDk2MDAxNjEyNmVkMxmFG5VA71pLQCG_x6pSxHM0QCosS2FsaW5pbmdyYWQsIE9ibGFzdCBkZSBLYWxpbmluZ3JhZG8sIFLDunNzaWEYASABIiYKJAm582YmF0Q3wBHfS-j8FUg3wBnqs6-zuJxHwCGsWQUE7aBHwA
https://earth.google.com/web/search/Kaliningrad,+Oblast+de+Kaliningrado,+R%c3%bassia/@54.6947304,20.56456713,4.11959379a,6991.5150592d,35y,0h,0t,0r/data=CpcBGm0SZwolMHg0NmUzM2Q4ZDRiN2MyMWE5OjB4NTA1MDk2MDAxNjEyNmVkMxmFG5VA71pLQCG_x6pSxHM0QCosS2FsaW5pbmdyYWQsIE9ibGFzdCBkZSBLYWxpbmluZ3JhZG8sIFLDunNzaWEYASABIiYKJAm582YmF0Q3wBHfS-j8FUg3wBnqs6-zuJxHwCGsWQUE7aBHwA
https://earth.google.com/web/search/Kaliningrad,+Oblast+de+Kaliningrado,+R%c3%bassia/@54.6947304,20.56456713,4.11959379a,6991.5150592d,35y,0h,0t,0r/data=CpcBGm0SZwolMHg0NmUzM2Q4ZDRiN2MyMWE5OjB4NTA1MDk2MDAxNjEyNmVkMxmFG5VA71pLQCG_x6pSxHM0QCosS2FsaW5pbmdyYWQsIE9ibGFzdCBkZSBLYWxpbmluZ3JhZG8sIFLDunNzaWEYASABIiYKJAm582YmF0Q3wBHfS-j8FUg3wBnqs6-zuJxHwCGsWQUE7aBHwA
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150 Matemática para Computação
Resolução das atividades 
1 Por que estudar matemática?
1. Sabendo que um algoritmo é compreendido como um processo 
que mostra detalhadamente os métodos necessários para 
a resolução de uma atividade, e que podemos pensar nessa 
estrutura em formato de pseudocódigo como estrutura 
inicial, descreva um pseudocódigo para o cálculo da expressão 
numérica 1 + 3(5 + 1).
Início:
Sejam os números 1, 3 e 5 dispostos como 1 + 3(5 + 1), então:
Resolva a operação dentro dos parênteses.
Se encontrar multiplicação ou divisão, resolva.
Caso contrário, resolva a adição ou a subtração.
Após eliminar os parênteses, resolva.
Se encontrar multiplicação ou divisão, resolva.
Caso contrário, resolva a adição ou a subtração.
Finalize imprimindo o resultado da expressão.
Fim.
2. Descreva o modelo matemático que pode ser utilizado para 
representar a definição do problema a , para a > 0, usando 
apenas as quatro operações aritméticas.
Conseguimos transformar o problema real dado por a , com a > 0 
usando a expressão
x a=
x2 = a
Logo,
f(x) = x2 – a
Assim, determinando a raiz de f(x), que se transformará em uma 
equação do segundo grau da forma
x2 – a = 0
percebemos que essas raízes serão a e − a� .
Resolução das atividades 151
3. Uma pesquisa foi realizada coletando dados referentes à altura 
de alunos de uma sala de aula. Esse tipo de dado é qualitativo 
ou quantitativo? Justifique.
A altura coletada de um grupo de pessoas é um dado quantitativo. Esse 
tipo de dado pode ser classificado por meio de relações numéricas de 
intervalos de classe por se tratar de um dado numérico que não 
pode ser representado por um número inteiro, havendo a necessidade 
de ser representado por um decimal, que pode assumir qualquer 
valor após a vírgula, por exemplo, 152,1 cm. É também chamado de 
dado quantitativo contínuo.
2 Noções sobre sistemas de numeração
1. Podemos considerar o sistema de numeração romano um 
sistema aditivo ou um sistema posicional? Explique.
O sistema de numeração romano, usado em algumas representações 
até hoje, como em relógios e para marcar itens, é um sistema aditivo, 
e podemos perceber essa dinâmica, por exemplo, quando precisamos 
escrever números como 20 (XX) e 30 (XXX), conforme é apresentado 
na figura a seguir.
im
ag
es
to
ck
de
si
gn
/S
hu
tte
rs
to
ck
Números Romanos
Ele é um típico sistema de numeração aditivo, mas que teve alguns 
avanços quando comparado a sistemas desse tipo que não permitiam 
a escrita rápida de números muito grandes.
2. É possível converter um número na base 10 para a base 
hexadecimal por meio de divisões sucessivas? Explique essa 
conversão e converta o número (9)10 para essa base.
152 Matemática para Computação
Como a base hexadecimal é composta de um número de algarismos 
maior do que a base 10, qualquer número menor que 10 não precisa 
ser convertido, sendo escrito diretamente na sua forma decimal e 
apenas corrigindo a base.
Assim, para o número (9)10 teremos (9)10 = (9)16.
Contudo, se esse número fosse maior do que 9, por exemplo, se 
tivéssemos (10)10, teríamos como conversão (10)10 = (A)16.
Por meio da divisão, precisamos fazer 10 ÷ 16 = 0 → Resto 10. Nesse 
caso, precisamos compreender quem é o representante para 10 na 
base hexadecimal, e esse elemento é a letra A, portanto (A)16 = (10)10.
3. Considere a escrita do número de Napier da forma e = 2,718... e
e
n
n
� � � � � ��
�
�
0
1 1
0
1
1
1
2
1
3
�
! ! ! ! !
No primeiro caso, devemos usar qual tipo de ajuste numérico 
para obter um número finito? E no segundo caso? Quais são os 
erros envolvidos em cada um dos casos?
Ao escrever o número de Napier da forma e = 2,718 ..., precisamos 
fazer um arredondamento para obter um número finito. Nesse caso, 
teríamos o valor e ≈ 2,72, que acarretará um erro de arredondamento.
Quanto ao segundo caso:
e
n
n
� � � � � ��
�
�
0
1 1
0
1
1
1
2
1
3
�
! ! ! ! !
Como temos uma série numérica, podemos transformar e para 
uma forma finita por meio de um truncamento nos termos da série. 
Portanto, teremos um típico erro de truncamento.
3 Matrizes
1. Nas regras do xadrez, cada peça tem uma movimentação 
possível. Por exemplo, o cavalo só pode se movimentar em “L”, 
ou seja,
 • duas casas para a direita (ou para a esquerda) e uma para 
frente (ou para trás);
 • uma casa para a direita (ou para a esquerda) e duas casas 
para frente (ou para trás).
Resolução das atividades 153
A figura a seguir é um exemplo das possíveis movimentações 
que um cavalo na casa 4D pode fazer.
8
7
6
5
4
3
2
1
HGFEDCBA
Explique, usando a notação “linha-coluna”, as possíveis 
movimentações do cavalo branco que está na casa 1G 
(observação: ele não pode ficar sobre outra peça branca).
Sabendo das possíveis movimentações do cavalo e assumindo que 
o cavalo branco, que precisa ser movimentado, está na posição 1G, 
conforme a figura, temos que este poderia se mover para as casas 
3F ou 3H.
Va
pa
rt/
Sh
ut
te
rs
to
ck
154 Matemática para Computação
2. De acordo com o conceito de base para um espaço de vetores, 
indique dois conjuntos de vetores que formam uma base para o 
ℝ³. Justifique o porquê dessas escolhas.
Podemos escolher muitos conjuntos com a característica de serem 
base para ℝ³. Todos eles precisam respeitar dois conceitos:
 • serem formados por vetores LI;
 • gerarem ℝ³.
Assim, respeitando esses parâmetros, definimos:
 • o conjunto de vetores canônicos V = {e1, e2, e3}, em que e1 = (1, 0, 0), 
e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1);
 • W = {v1, v2, v3}, em que v1 = (1, 2, 3), v2 = (–1, 3, 5) e v3 = (0, 1, 4).
Tanto V como W são formados por vetores linearmente independentes. 
Para verificar essa condição, basta calcular o determinante de ordem 3, 
composto pelos vetores de cada um desses conjuntos:
V �W� � � � � � �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0
1 2 3
1 3 5
0 1 4
12 0;
Além disso, tanto W como V são conjuntos formados por vetores 
tridimensionais, sendo, assim, necessários e suficientes para gerarem 
todo o ℝ³.
3. Explique por que afirmamos que a decomposição LU não é 
única.
Quando realizamos a decomposição LU, obtemos duas matrizes 
na forma:
A
a a
a a
l
l l
um
m mm m mm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 1
1
11
1
110�
� � �
�
�
� � �
�
��
� � �
�
u
u
L U
m
mm
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
Em geral, a matriz L carrega, na sua diagonal principal, elementos 
iguais a 1. Contudo, a matriz U, que tem, em sua diagonal principal, 
elementos que ainda podem ser fatorados, poderia ser escrita com 
outros tipos de fatoração, pensandona fatoração dos elementos da 
diagonal principal e carregando esse ajuste para a matriz L. Desse 
modo, existem diversas maneiras de escrever LU, para obtermos A 
como resultado.
Resolução das atividades 155
4 Sistemas de equações lineares
1. Seja A a matriz dos coeficientes de um sistema de equações 
lineares do tipo Ax = b, por que precisamos ter det ≠ 0 para 
garantir a inversão dessa matriz? Explique.
De maneira aplicada, resolver um sistema de equações lineares é 
procurar a intersecção entre as estruturas que o formam. Portanto, 
precisamos garantir que os vetores que fazem parte desse 
sistema sejam linearmente independentes. Caso esses vetores 
sejam linearmente dependentes, precisamos do vetor de termos 
independentes para garantir algum tipo de solução.
Matematicamente a inversa de uma matriz A, quadrada, pode ser 
calculada pela expressão
A
det A
adj A� � � � � �� �
1 1
Portanto, se det = 0, recairemos em uma divisão que não pode ser 
realizada, o que inviabiliza o cálculo da inversa de A.
2. Um sistema de equações lineares pode ter como solução infinitas 
soluções. Isso é válido para o sistema a seguir? Justifique.
x y z
x y z
x y z
� � �
� � �
� � � � �
�
�
�
�
�
1
2 2 2 2
1
Nesse sistema, rapidamente percebemos que todas as equações que 
o compõem são equações de planos. Ainda, os coeficientes dessas 
equações são proporcionais. Assim, se montarmos a matriz ampliada 
e a escalonarmos, obteremos
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0


� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
~
|
|
|
Isso significa que pa = pc = 1 e n = 2 > pa, portanto temos um sistema 
compatível e indeterminado, permitindo-nos concluir que temos 
infinitas soluções. Nesse caso, teremos geometricamente três planos 
coincidentes, os quais podem ser observados em: https://www.
geogebra.org/3d/uypbwxrt.
https://www.geogebra.org/3d/uypbwxrt
https://www.geogebra.org/3d/uypbwxrt
156 Matemática para Computação
3. Explique, com suas palavras, o que significa a análise de 
convergência de um método e qual é a sua importância para 
garantir o resultado encontrado.
Basicamente a análise de convergência é o que nos permite decidir 
se o método leva a uma solução que se aproxima da solução exata ou 
não. Os métodos ditos numéricos em geral são descritos por processos 
iterativos, que, por sua vez, só são válidos se a solução aproximada 
convergir para a solução exata.
Quando analisamos a ordem de convergência e taxa de convergência, 
já estamos considerando que o método converge (primeira análise a 
ser verificada). A ordem de convergência e taxa de convergência nos 
mostrarão como essa solução aproximada converge para a solução 
real e em qual velocidade.
5 Grafos e árvores
1. Construa uma matriz de adjacência e uma matriz de incidência 
para o grafo apresentado a seguir e descreva as diferenças entre 
os dois resultados. Note que a1 = [v4, v1], a2 = [v5, v2], a3 = [v1, v3], 
a4 = [v2, v4] e a5 = [v3, v5].
v1
v5
a1
a2
a3
a5 a4
v2
v4 v3
Resolução das atividades 157
Como o grafo é direcionado, a adjacência leva em consideração o 
sentido da aresta. Usando B(i,j)= 1, se i, j A
0, caso contrário
�� ��
�
�
��
, teremos a matriz de 
adjacência da seguinte forma:
matriz de adj = 
 0 1 0 0
0 0 
0
0 11 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 
0
0
 0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
v1 v2 v3 v4 v5
v1
v2
v3
v4
v5
Para a matriz de incidência usamos:
B(i,j)=
-1, se a aresta j sai do vértice i
1, se a areesta j chega no vértice i
0, caso contrário
�
�
�
��
Portanto,
matriz�de�inc
v
v
v
v
v
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
4
5
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a a a a a1 2 3 4 5
Note que a matriz de incidência, ao contrário da matriz de adjacência, 
tem em sua diagonal principal todos os elementos iguais a 1. Isso ocorre 
porque temos a incidência da aresta 1 sobre o vértice 1 e assim por 
diante, até o vértice e a aresta 5. Já no caso da matriz de adjacência, a 
análise é sobre a adjacência entre os vértices. Desse modo, a diagonal 
principal é formada apenas por elementos nulos, pois um vértice i não 
exerce influência sobre outro vértice i.
Logo, a principal diferença está na questão de que a matriz de 
adjacência, assim como a lista de adjacência, analisa a adjacência entre 
vértices. Já a incidência é uma relação entre aresta e vértice.
158 Matemática para Computação
2. Seja o grafo exposto na figura a seguir.
v1
v6
v5 v2
v4 v3
Apresente uma árvore geradora para esse grafo usando o 
conceito de extração de arestas.
Podemos descrever algumas árvores geradoras, mas escolhemos a 
seguinte:
v5
v1
v6
v2
v3v4
Note que todos os vértices são acessados por alguma aresta e temos 
uma árvore geradora mínima.
3. Usando as árvores binárias, desenvolva um grafo para 
representar a quantidade de jogos necessários em um torneio 
de vôlei com 16 inscritos.
A árvore binária, nesse caso, pode ser dita invertida, pois assumiremos 
que os vértices pendentes são os 16 times inscritos e os vértices 
internos mais a raiz, os jogos. Portanto, podemos representá-la como 
a figura a seguir.
Resolução das atividades 159
v1
v3
v5
v7
v9
v11
v13
v15
v2
v4
v6
v8
v10
v12
v14
v16
v17
v18
v19
v20
v21
v22
v23
v24
v25
v26
v27
v28
v29
v30
v31
Então, teremos 16 vértices pendentes, 8 vértices internos na primeira 
camada, 4 vértices internos na segunda camada e 2 vértices internos 
na terceira camada. O jogo final é a raiz. Esse cálculo nos permite 
escrever que, ao todo, temos 31(n) vértices e 30(n – 1) arestas.
M
A
RIN
A
 V
A
RG
A
S
MARINA VARGAS
M
A
TEM
Á
TICA
 PA
RA
 CO
M
PUTA
ÇÃ
O
M A T E M Á T I C A
COMPUTAÇÃO
PARA
Código Logístico
I000122
ISBN 978-65-5821-071-9
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 7 1 9
M
A
RIN
A
 V
A
RG
A
S
MARINA VARGAS
M
A
TEM
Á
TICA
 PA
RA
 CO
M
PUTA
ÇÃ
O
M A T E M Á T I C A
COMPUTAÇÃO
PARA
Código Logístico
I000122
ISBN 978-65-5821-071-9
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 7 1 9