Lista Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Cieˆncias e Tecnologia
Unidade Acadeˆmica de Matema´tica
Disciplina: A´lgebra Linear I – 2019.2
Lista 6 – Transformac¸o˜es Lineares (Parte 2), Autovalores e
Autovetores, e Diagonalizac¸a˜o
1. Seja T : R3 → R2 a transformac¸a˜o linear definida por
T (x, y, z) = (2x+ y − z, 3x− 2y + 4z).
Sejam α = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β = {(1, 3), (1, 4)} bases ordenadas de R3 e R2,
respectivamente. Determine [T ]αβ .
2. Seja T : M(2, 2)→ R2, definida por
T
([
a b
c d
])
= (a+ d, b+ c).
Sejam α e β as bases canoˆnicas de R2 e M(2, 2), respectivamente, e γ = {(1,−1), (1, 2)}.
a) Encontre [T ]βα e [T ]
β
γ .
b) Se S : R2 →M(2, 2) e´ a transformac¸a˜o linear tal que
[S]αβ =

2 1
1 −1
−1 0
0 1
 ,
determine S(x, y) e, se poss´ıvel, um vetor v ∈ R2 tal que
S(v) =
[
1 0
0 1
]
.
3. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases ordenadas de R2 e
R3, respectivamente, e seja T : R2 → R3 a transformac¸a˜o linear tal que
[T ]αβ =
 1 01 1
0 −1
 .
1
a) Encontre T (x, y).
b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), encontre [S]αβ .
c) Determine uma base γ de R3, tal que
[T ]αγ =
 1 00 0
0 1
 .
4. Considere α a base canoˆnica de R2 e seja T : R2 → R2 o operador linear que satisfaz
[T ]αα =
[
−1 −2
0 1
]
.
a) Se poss´ıvel, encontre u, v ∈ R2 tais que T (u) = u e T (v) = −v.
b) Determine o nu´cleo e a imagem de T .
c) Se T for um isomorfismo, encontre [T−1], e determine T−1(x, y).
5. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) = (x− y, 2y, y + z).
a) Mostre que T e´ um isomorfismo.
b) Encontre uma matriz que represente T−1 e determine T−1(x, y, z).
6. Considere o operador linear T de R3 definido por
T (x, y, z) = (2x, 4x− y, 2x+ 3y − z).
a) Mostre que T e´ um isomorfismo.
b) Encontre T−1.
7. Considere a transformac¸a˜o linear T : P2 → R3 tal que T (1) = (1, 0, 1), T (x2 + x) =
(1, 2,−2) e T (1− x) = (0,−1, 1). Encontre T−1.
8. Dadas a transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x−y+z, 3x+y−2z)
e as bases α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} do R3 e β = {(1, 2), (0, 1)} do R2. Determine
a) [T ]αβ .
b) [T (3, 4, 2)]β.
9. Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3, cujo nu´cleo conte´m o vetor (0, 2), e e´ tal
que T (1, 1) = (1, 2, 0).
2
10. Qual e´ o operador linear T : R2 → R2 que possui λ1 = −2 e λ2 = 3 como autovalores
associados, respectivamente, aos autovetores da forma (3y, y) e (−2y, y), com y 6= 0?
11. Sejam R, S e T treˆs transformac¸o˜es lineares de R3 em R3. Se
[R]αα =
 1 0 12 1 1
0 −1 1
 e [S]αα =
 −2 1 −13 1 2
1 −2 0
 ,
onde α e´ a base canoˆnica de R3, determine T tal que R = S ◦ T .
12. Se R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x), determine:
a) R ◦ S.
b) S ◦R.
13. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Determine uma base do nu´cleo de T .
b) Deˆ a dimensa˜o da imagem de T .
c) T e´ sobrejetora?
14. Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} bases de R2 e R3. Se
[S]αβ =
 2 04 0
0 −4
 ,
obtenha S(x, y).
15. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das transformac¸o˜es lineares abaixo:
a) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2y, x).
b) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z).
c) T : P2 → P2 tal que T (ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b.
d) T : R4 → R4 tal que T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w).
e) T : M(2, 2)→M(2, 2) tal que T (A) = AT .
16. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes abaixo:
a) A =
 1 2 30 1 2
0 0 1
.
3
b) B =
 1 0 2−1 0 1
1 1 2
.
c) C =

2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0
.
17. Considere T : M(2, 2) → M(2, 2) o operador linear com autovetores v1 =
[
1 0
0 0
]
,
v2 =
[
0 1
0 0
]
, v3 =
[
1 0
1 0
]
, v4 =
[
0 0
1 1
]
associados aos autovalores λ1 = 1, λ2 = −1,
λ3 = 2 e λ4 = 0, respectivamente. Determine
T
([
a b
c d
])
.
18. Seja T : R2 → R2 o operador linear definido por T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y).
a) Determine uma base do R2 em relac¸a˜o a` qual a matriz do operador T e´ diagonal.
b) Encontre a matriz de T nessa base.
19. Considere as transformac¸o˜es lineares T : V → V abaixo. Se poss´ıvel, encontre uma base
β para V tal que a matriz [T ]ββ de T , em relac¸a˜o a` base β, seja diagonal.
a) T : P1 → P1 definida por T (a+ bx) = (4a+ 2b) + (a+ 3b)x.
b) T : P2 → P2 definida por T (p(x)) = p(x+ 1).
20. Verifique se cada matriz abaixo e´ diagonaliza´vel:
a) A =
[
5 −1
1 3
]
.
b) B =
 1 2 1−1 3 1
0 2 2
.
c) C =

2 −1 0 1
0 2 1 −1
0 0 3 2
0 0 0 3
.
21. Determine o valor de k para que a matriz
 2 k 00 2 1
0 0 3
 seja diagonaliza´vel.
4