Lista Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande
Unidade Acadêmica de Matemática
Centro de Ciências e Tecnologia
Disciplina: Álgebra Linear I
Semestre: 2019.1
2a Lista
Nome: Matŕıcula:
Q1. Sejam V e W espaços vetoriais e T : V →W uma transformação linear. Prove que ImT é um subespaço
de W e que kerT é um subespaço de V .
Q2. Uma transformação linear T : V →W é injetora se, e somente se, kerT = 0.
Q3. Encontre a transformação linear T : R2 → R3, sabendo que
T (−1, 1) = (1, 2, 0) e (0, 2) ∈ kerT.
Q4. Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da
imagem.
a) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x− y, 0);
b) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ 2y, y − z, x+ 2z);
c) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ y, x+ y);
d) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x+ y, y + z);
e) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ z, x− z, y);
f) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x+ 2z, z).
Q5. . Seja T : M(2, 2)→M(2, 2), definida por T (A) = BA, onde
B =
[
1 −1
−2 2
]
.
Detremine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T .
Q6. Seja T : R4 → R3 a transformação linear definida por
T (x, y, z, t) = (x− y + z + t, x+ 2z − t, x+ y + 3z − 3t).
Determine bases para ImT e kerT .
Q7. Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por
T (x, y, z) = (2x+ y − z, 3x− 2y + 4z).
1
Sejam α = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β = {(1, 3), (1, 4)} bases ordenadas de R3 e R2, respectivamente.
Determine [T ]αβ .
Q8. Seja T : M(2, 2)→ R2, definida por
T
(
a b
c d
)
= (a+ d, b+ c).
Sejam α e β as bases canônicas de R2 e M(2, 2), respectivamente, e γ = {(1,−1), (1, 2)}.
a) Encontre [T ]βα e [T ]
β
γ ;
b) Se S : R2 →M(2, 2) é a transformação linear tal que
[S]αβ =

2 1
1 −1
−1 0
0 1
 ,
determine S(x, y) e, se posśıvel, um vetor v ∈ R2 tal que
S(v) =
[
1 0
0 1
]
.
Q9. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases ordenadas de R2 e R3, respectiva-
mente, e seja T : R2 → R3 a transformação linear tal que
[T ]αβ =
1 01 1
0 −1
 .
a) Encontre T (x, y);
b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), encontre [S]αβ ;
c) Determine uma base γ de R3, tal que
[T ]αγ =
1 00 0
0 1
 .
Q10. Considere α a base canônica de R2 e seja T : R2 → R2 o operador linear que satisfaz
[T ]αα =
[
−1 −2
0 1
]
.
a) Se posśıvel, encontre u, v ∈ R2 tais que T (u) = u e T (v) = −v;
b) Determine o núcleo e a imagem de T ;
c) Se T for um isomorfismo, encontre [T−1], e determine T−1(x, y).
2
Q11. Considere o operador linear T : R3 → R3, definido por
T (x, y, z) = (x− y, 2y, y + z).
a) Mostre que T é um isomorfismo;
b) Encontre uma matriz que represente T−1 e determine T−1(x, y, z).
Q12. Considere o operador T de R3 definido por
T (x, y, z) = (2x, 4x− y, 2x+ 3y − z).
a) Mostre que T é um isomorfismo
b) Encontre T−1
Q13. Dadas a transformação linear T : R3 ⇒ R2 definida por T (x, y, z) = (x− y+ z, 3x+ y− 2z) e as bases
α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} do R3 e β = {(1, 2), (0, 1)} do R2. Determine
a) [T ]αβ
b) [T (3, 4, 2)]β
Q14. Encontre a transformação linear T : R2 → R3, cujo núcleo contém o vetor (0, 2), e é tal que
T (1, 1) = (1, 2, 0).
Q15. Qual é o operador linear T : R2 → R2 que possui λ1 = −2 e λ2 = 3 como autovalores associados,
respectivamente, a auto vetores da forma (3y, y) e (−2y, y), com y 6= 0?
Q16. Sejam R, S e T três transformações lineares de R3 em R3. Se
[R]αα =
1 0 12 1 1
0 −1 1
 e [S]αα =
−2 1 −13 1 2
1 −2 0
 ,
onde α é a base canônica de R3, determine T tal que R = S ◦ T .
Q17. Se R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x), determine:
a) R ◦ S
b) S ◦R
Q18. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Determine uma base do núcleo de T ;
b) Dê a dimensão da imagem de T ;
c) T é sobrejetora?
3
Q19. Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} base de R2 e R3. Se
[S]αβ =
2 04 0
0 −4
 .
Dê a expressão para S(x, y).
Q20. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares abaixo:
a) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2y, x);
c) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z);
d) T : P2 → P2 tal que T (ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b;
e) T : R4 → R4 tal que T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w).
4