Equações dinâmicas do movimento plano

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DINÂMICA 
Ivan Rodrigo Kaufman
Equações dinâmicas do 
movimento plano
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Utilizar as equações do movimento plano para casos gerais.
  Obter os termos das equações via diagramas de corpo livre e dia-
grama cinético.
  Aplicar as equações para obter o momento de inércia de um corpo.
Introdução
As equações dinâmicas do movimento plano servem para descrever como 
acontecem os movimentos de translação e rotação de corpos rígidos, 
influenciados por forças externas aplicadas no corpo. O conhecimento 
acerca dessa dinâmica possibilita a construção e o melhor entendimento 
de como objetos rígidos no ramo das engenharias auxiliam a nossa vida, 
desde aplicações rotineiras até situações mais complexas, como, por 
exemplo, as engrenagens que compõem um motor.
Neste capítulo, você vai aprender como forças externas aplicadas 
sobre objetos rígidos causam um movimento, seja ele de translação, 
rotação ou os dois juntos.
Equações dinâmicas do movimento 
plano para casos gerais
Quando tratamos da dinâmica de movimento plano de corpos rígido, estamos 
interessados em saber como as diferentes forças que atuam em diferentes 
partes do corpo rígido produzem um movimento. Esse conhecimento da 
dinâmica dos corpos rígidos tem grande aplicação nas engenharias quando o 
foco é o movimento combinado de um ou mais objetos rígidos. As aplicações 
são inúmeras, na qual podemos citar como exemplos a dinâmica interna do 
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movimento das engrenagens de um motor, movimento de um satélite no espaço 
ou até mesmo a incrível precisão robótica quando trabalhamos no mundo 
micrométrico. Você também acaba interagindo com vários objetos rígidos no 
seu dia a dia, de modo a aplicar forças para deslocar os mais diversos objetos, 
ou até mesmo para realizar um movimento com o seu corpo.
A grande diferença do movimento de corpos rígidos para o conhecimento 
que se obtém a partir da escola e das disciplinas de física básicas no início 
de uma graduação nas ciências exatas é que aqui não estamos tratando de 
partículas ou de objetos em que podemos observar a dinâmica envolvida 
considerando todas as forças atuando sobre um ponto. Quando tratamos do 
movimento dinâmico de corpos rígidos, a forma física, a sua densidade, e 
como e onde as forças externas são aplicadas são extremamente importantes 
para se entender completamente os detalhes do movimento.
A Figura 1 representa um corpo rígido qualquer, submetido a quatro forças 
externas (F1, F2, F3 e F4). Essas forças externas podem ser induzidas por 
meio da interação gravitacional, elétrica, magnética ou por contato, por meio 
de uma força externa qualquer aplicada (por exemplo, você aplica uma força 
por meio de um “empurrão” no objeto). O objeto rígido está desenhado sobre 
um plano XY, com origem situada no ponto P. Esse corpo rígido tem uma 
massa total m, com um centro de massa localizado simetricamente no ponto 
G. Aqui, estamos interessados em analisar objetos rígidos que são conside-
rados simétricos com respeito ao plano de referência adotado, facilitando o 
entendimento do movimento plano para esses casos. 
Figura 1. Diagrama de corpo livre de um 
objeto rígido submetido a forças externas 
em um referencial plano (xy).
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2016, p. 425).
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No exemplo da Figura 1, as forças externas que atuam sobre o corpo podem 
transladá-lo, produzir um movimento de rotação em torno de um eixo fixo 
ou, ainda, resultar na combinação desses dois movimentos.
Vamos considerar primeiramente o efeito de translação do objeto rígido. 
Uma vez que o objeto rígido é submetido a forças externas, transladando o 
objeto no plano, podemos decompor o somatório das forças atuando sobre ele 
em x e em y, de modo que:
sendo que e são as decomposições da aceleração do centro 
de massa G em x e y. Ainda, a força resultante atuando sobre o corpo rígido 
pode ser representada vetorialmente por:
Essa última equação determina que, para um corpo rígido em movimento 
de translação, o somatório de todas as forças externas atuando sobre o corpo é 
igual a massa do corpo multiplicada pela aceleração do seu centro de massa G.
É importante lembrar aqui que as forças internas de um corpo rígido existem e não 
são desprezíveis; porém, elas se cancelam aos pares, uma vez que as distâncias rela-
tivas entre os pontos que compõem o objeto rígido não mudam com o movimento, 
proporcionando uma força resultante interna nula.
Agora consideraremos a situação em que a resultante das forças atuando 
sobre o corpo rígido produz um movimento de rotação em torno do centro de 
massa G. Nesse caso, cada uma das forças que atua no corpo rígido produz um 
torque, também conhecido como momento de força M. O momento de força M 
é dado pela multiplicação da força aplicada perpendicular à distância ao eixo 
de rotação, localizado no centro de massa G. De modo vetorial, temos que:
sendo que o índice i indica um ponto qualquer no objeto rígido. O somatório 
total dos momentos de força em torno do centro de massa G é igual ao produto 
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do momento de inércia do corpo com rotação em torno do eixo passando em 
G (IG) multiplicado pela aceleração angular (α) do corpo:
Essa equação pode ser utilizada também para o caso em que existe somente 
o movimento de translação, de modo que o somatório dos momentos de forças 
em torno de G é igual a zero.
Quando o eixo de rotação não está sobre o centro de massa do corpo e 
se localiza em P, no exemplo da Figura 1, os momentos de força devem ser 
calculados em relação ao eixo de rotação. Observando as distâncias relativas 
em x e y das posições do centro de massa e do eixo de rotação (Figura 2), temos 
que o momento de força total é dado pela seguinte equação:
Como o sentido do movimento de rotação no exemplo da Figura 2 é anti-
-horário, o momento de força da força resultante atuando em G é negativo para 
a componente da força atuando no eixo x (Fx) (pois se opõe ao movimento 
de rotação) e positivo para a força atuando em y (Fy) (favorece o movimento 
de rotação). 
Figura 2. Distâncias relativas entre o ponto de 
rotação P para o centro de massa, bem como a 
representação das forças decomposta em x e y.
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2016, p. 425).
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Diagrama de corpo livre e diagrama cinético
Quando tratamos de problemas da dinâmica do movimento plano de corpos 
rígidos, desenhar os vetores que representam as forças atuando no corpo 
ajuda a entender o problema. Para tanto, primeiramente devemos identifi car 
todas as forças que atuam no sistema e onde elas estão aplicadas. O desenho 
esquemático para esse tipo de situação se chama diagrama de corpo livre. 
Para você entender melhor como deve ser feita a representação no papel, 
vamos a um exemplo.
Imagine que você está empurrando uma mesa, conforme mostrado na 
Figura 3A. 
Figura 3. a) Ilustração do problema de uma pessoa empurrando uma mesa. b) Diagrama 
de corpo livre do problema, identificando todas as forças e distâncias relativas. c) Diagrama 
cinético para cálculo dos momentos de força em torno do ponto B.
Fonte: Hibbeler (2016, p. 437).
Digamos que você aplique força suficiente para iniciar um movimento e, 
assim, vencer a força de atrito estático que se opõe ao início do movimento. 
Quais são as forças envolvidas nesse exemplo? A primeira que você facilmente 
identifica é a força com que a pessoa empurra a mesa, representada por F na 
Figura. Essa força F faz um ângulo de 30° com o eixo x. Ainda temos a força 
peso da mesa (mg) e mais duas forças de atrito cinético dos pés da mesa, A 
e B, opondo-se ao movimento da mesa. Por fim temos as forças normais de 
contato dos pés da mesa em A e B. Identificadas
todas as forças, novamente 
desenhamos o sistema e representamos todos os vetores de forças envolvi-
dos, como mostrado na Figura 3b. Esta representação é o diagrama de corpo 
livre. A partir dessa representação, podemos somar todas as forças atuando 
no eixo x e todas as forças atuando em y. Para tanto, precisamos adotar um 
referencial, como mostrado na Figura. A partir do eixo x, todas as forças para 
a direita devem ser consideradas positivas, todas para a esquerda são forças 
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negativas. Já para o eixo y, todas as forças apontando para cima são positivas 
e para baixo negativas. Logo:
O somatório das forças em y é nulo, uma vez que o movimento acontece 
somente no eixo x (translação em x). 
As forças de atrito cinético em A e B são iguais ao coeficiente de atrito cinético 
multiplicado pela força normal naquele ponto. Ou seja, em A: FcinA = μcin . NA, 
em B: FcinB = μcin. NB. Logo, observamos 3 incógnitas a serem calculadas no 
exemplo: NA, NB e , uma vez que por não existir movimento no 
eixo y. Precisamos de mais uma equação, que é referente ao momento de força 
em torno de um eixo predefinido. Para facilitar, podemos escolher um eixo de 
rotação em torno de G, sendo que:
Vamos analisar o momento de força produzido por cada uma das forças. 
Fx é a componente de F no eixo x e produz um momento de força em G 
de MG_Fx = − Fcos30°.(0,5 m). A distância de 0,5 m é devido ao fato do 
vetor Fx poder ser transladado em x até o local onde produz o seu maior 
momento de força, que é exatamente na linha reta que passa em G e é 
paralela ao eixo y. O momento de força de Fy é dado por MG_Fy = + Fsen30°.
(1 m), onde 1 m corresponde a distância no eixo x do vetor Fy até G. Para a 
força normal NA e NB, temos MG_NA = − NA.(1m) e MG_NB = + NB.(1 m). Para 
as forças de atrito cinético em A e B: MG_FcinA = − μcin.NA.(1 m) e MG_FcinB 
= − μcin.NB.(1 m). Ainda temos o momento de força produzido pelo peso; 
porém, a distância de ação do vetor mg em relação ao centro de massa G é 
zero, então o momento de força MG_mg = 0. Observe que os sinais adotados 
são positivos quando a força produz um momento de força no sentido 
anti-horário e negativos quando a força produz um momento de força no 
sentido horário. 
Por fim, temos a terceira equação necessária, dada por:
Assim podemos isolar NA de NB e resolver a equação referente ao somatório 
das forças em y e encontrar a aceleração linear da mesa .
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O diagrama cinético, representado na Figura 3C, é utilizado quando que-
remos um sistema de referências que considere o momento de força em torno 
de um eixo que não seja o centro de massa do sistema. Nesse caso, aplicando 
as equações de momento de força em torno desse ponto, podemos eliminar 
algumas variáveis mais facilmente quando comparadas ao diagrama de corpo 
livre. A Figura 3C considera um ponto em B. Quando acontece essa mudança 
no ponto de aplicação das equações, temos que:
Para o exemplo da Figura 3C, Fresultante = e o módulo do vetor r é a 
distância em y do vetor r até o ponto B (no exemplo da Figura 3C, módulo de 
r é igual à altura de G em relação ao chão, eixo onde o ponto B se encontra). 
Aplicando as equações de momento de força em torno de B:
Os momentos de forças produzidos pelas forças de atrito cinético e por NB 
são nulos porque essas forças atuam sobre o eixo de rotação adotado em B; 
logo, a distância de B em relação a cada um desses vetores é 0.
Aplicação geral das equações de movimento para um corpo rígido simétrico:
, para translação em torno do centro de massa G.
, para translação em torno de um ponto P (r distância do ponto 
P ao centro de massa G).
, para rotação em torno de G.
Para facilitar a resolução de problemas envolvendo a dinâmica de corpos rígidos, é 
muito importante primeiro desenhar o diagrama de corpo livre, identificando todas as 
forças envolvidas. O desenho do diagrama cinético facilita a resolução de problemas 
quando adotado um momento de força em torno de um outro eixo que não coincida 
com o centro de massa do corpo. Em todos os casos, devemos cuidar os sinais adotados 
pelo sistema de referência. No caso do momento de força em torno de um ponto, os 
momentos produzidos por cada uma das forças é positivo se contribui para o sentido 
positivo adotado e negativo se o contrário.
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Como obter o momento de inércia 
de um corpo rígido
O momento de inércia de um corpo rígido é um parâmetro importante quando 
esse corpo tem um movimento de rotação em torno de um eixo predefi nido. 
A inércia de um corpo quer dizer que ele se opõe ao movimento, oferecendo 
certa “resistência” à rotação. 
A Figura 4A mostra um objeto rígido qualquer, com massa homogeneamente 
distribuída e com um eixo de rotação no ponto O. O ponto G indica o centro 
de massa do objeto. São aplicadas quatro forças externas sobre o objeto. Para 
facilitar o entendimento de como essas forças atuam produzindo momentos 
de força, é útil representarmos o objeto rígido com um diagrama de corpo 
livre, como mostrado na Figura 4B. Notamos que, além das quatro forças 
externas aplicadas nesse exemplo, ainda temos a representação do vetor peso 
W (mg) e de uma força FO, que é a força normal do ponto de contato do eixo de 
rotação com o corpo rígido. Também é conveniente fazer a representação dos 
momentos de força com o diagrama cinético, como mostrado na Figura 4C, 
que é equivalente ao diagrama de corpo livre (por isso do sinal de igualdade 
entre os dois diagramas).
Figura 4. a) Ilustração de um corpo rígido girando em torno do eixo O. b) Diagrama de 
corpo livre do objeto, identificando todas as forças externas aplicadas no corpo. c) Diagrama 
cinético para cálculo dos momentos de força em torno do ponto O.
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2016, p. 442).
Para o cálculo do somatório das forças e dos momentos de força, quando 
o movimento é de translação curvilínea ou de rotação em torno de um 
eixo fixo, é conveniente utilizarmos os vetores de aceleração tangencial 
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e normal ao centro de massa, conforme ilustrado no diagrama cinético. 
Desse modo, decompomos o vetor aceleração do centro de massa nos 
vetores aceleração tangencial e aceleração normal (aceleração cen-
trípeta) . O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade linear 
, de modo que:
Desse modo, podemos escrever o somatório das forças adotando um refe-
rencial normal e tangencial ao centro de massa G.
onde é a distância do eixo de rotação para com o centro de massa do 
objeto.
Para encontrar o momento de inércia de um corpo que tem um movimento 
de rotação, devemos tomar cuidado em qual ponto estamos analisando o 
movimento. Se considerarmos os cálculos de momentos de força em torno 
do centro de massa G do objeto rígido, o somatório de todos os momentos 
produzidos pelas forças externas nada mais é do que o momento de inércia 
multiplicado pela aceleração angular (conhecida como segunda lei de Newton 
para rotação):
Se preferirmos utilizar um eixo de rotação que não coincida com o centro 
de massa do objeto e, assim, eliminar algumas variáveis do cálculo, o momento 
de força total deve levar em conta o momento de inércia naquele ponto. Ou 
seja, no exemplo acima, se considerado o ponto O (e assim eliminamos a 
incógnita referente à força normal FO):
Para o cálculo do momento de inércia para um ponto que não seja do centro 
de massa, devemos levar em conta o teorema dos eixos paralelos:
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HIBBELER, R. C. Statics and dynamics. 14. ed. New Jersey: Pearson, 2016.
Leituras recomendadas
BEER, P. F. et al. Vector mechanics for engineers: statics and dynamics. 9. ed. New York: 
McGraw-Hill, 2010.
WALKER, J.; HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentals of physics. 10. ed. New Jersey: 
John Wiley & Sons, Inc., 2014.
Referência
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