Campo Elétrico e Potencial Elétrico

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20 - Cálculo de campos elétricos causados por distribuições 
esféricas de carga. 
Nesta secção, estamos interessados em resolver a seguinte 
questão: 
Exemplo Resolvido 09: 
Seja uma cavidade esférica metálica de raio interno r e raio externo 
R eletrizada com uma carga +Q. Coloca-se em seu centro uma 
pequena esfera metálica eletrizada com carga +q. 
Pede-se calcular a intensidade do campo elétrico nos pontos A,B e 
C, localizados a distâncias Ra, Rb e Rc do centro das esferas, 
respectivamente, conforme a figura. 
Solução: Antes de partirmos para a solução do problema, 
precisamos aprender o seguinte lema: 
 
“Nenhuma distribuição esférica de cargas elétricas consegue 
criar campo elétrico no seu interior. O campo elétrico causado 
por tal distribuição só atua fora da superfície esférica”.
A figura anterior mostra que o campo elétrico de uma distribuição 
esférica de cargas só atua fora da superfície esférica. Tal 
distribuição é incapaz de causar campo no interior da região 
esférica. Observe na figura que não há linhas de forças no interior 
da esfera. 
Visto esse lema, precisamos, ainda, determinar como as cargas da 
esfera oca e da esfera menor se arranjarão no equilíbrio 
eletrostático 
Como assim, prôfi ?
Perceba que a questão especifica apenas a carga total da esfera 
oca (+Q), mas não diz como tal carga está distribuída ao longo das 
superfícies interna e externa dessa esfera. Isso fica por conta do 
aluno. Assim, nesse caso ocorrerá uma indução total e a 
distribuição de cargas no equilíbrio será : 
A carga +q da pequena esfera induz uma carga −q na superfície 
interna da cavidade. Pelo princípio da conservação das cargas, 
uma carga (Q+q) deve aparecer na superfície externa da cavidade 
Agora estamos aptos a calcular os campos pedidos. 
Cálculo de Ea: A figura anterior nos mostra as três distribuições 
esféricas de carga formadas após atingido o equilíbrio, quais sejam 
(+q) , (−q) e (Q+q). Quais destas distribuições de carga causam 
campo elétrico em A ? 
Ora, segundo o lema visto anteriormente, o ponto A encontra-se no 
interior das distribuições esféricas (Q+q) e (−q) que são, portanto, 
incapazes de criar campo em A . Assim, o campo em A é causado 
apenas pela distribuição de cargas (+q). 
Apenas para efeito de cálculo, consideramos essa carga 
concentrada no centro das esferas e calculamos esse campo: 
Ea = K q
Ra
.
( )2
Cálculo de Eb: Pela figura, vemos que o ponto B encontra-se no 
interior apenas da distribuição de cargas (Q+q) que, segundo o 
lema, não causará campo em B. Apenas as outras duas 
distribuições causarão campo nesse ponto. 
 
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Assim, para efeito de cálculo, consideramos a carga total dessas 
duas distribuições concentrada no centro das esferas e calculamos 
o campo em B: 
Eb = 2)Rb(
] (-q) + (+q) [ . K = 0 
 
Esse resultado já era esperado, pois B é um ponto de uma região 
metálica de um condutor em equilíbrio eletrostático, onde o campo 
elétrico sempre é nulo . 
 
Cálculo de Ec: Pela figura, percebemos que o ponto C é externo 
às três distribuições esféricas de carga, portanto todas elas 
causarão campo em C. 
Assim, para efeito de cálculo, consideramos a carga total das três 
distribuições concentrada no centro das esferas e calculamos o 
campo nesse ponto: 
 
Ec = K. [ (+q) + (-q) + (Q +q) ]
(Rc)2
 ⇒ Ec = K ( Q
Rc
+ q)
( )2
 
 
 
 
Linhas de força do campo elétrico : Perceba que só há campo elétrico nas 
regiões onde as linhas de força estão presentes. Nas regiões acinzentadas o 
campo elétrico é nulo. 
 
 Comentários finais: 
Note que, antes de se fazer o cálculo do campo elétrico causado 
por condutores esféricos eletrizados, é indispensável determinar 
como as cargas desses condutores se distribuíram no equilíbrio 
eletrostático. 
 
Ei, prôfi, e o que aconteceria aos
campos Ea, Eb e Ec se a esfera
fosse ligada à Terra ?
 
 
Embora seja uma excelente pergunta, é facilmente respondida 
seguindo-se o procedimento anterior: determina-se como as cargas 
estarão distribuídas no equilíbrio eletrostático e, a partir daí, 
calcula-se os campos Ea, Eb e Ec. Veja: 
 
Conforme aprendemos no apêndice do capítulo 1, após a ligação 
à terra, a esfera atingirá o equilíbrio eletrostático com sua 
superfície externa neutralizada pela subida de elétrons 
provenientes da terra, como na figura anterior. 
 
Assim, é fácil concluir que os campos Ea e Eb permanecem 
inalterados, pois independem da distribuição de cargas que foi 
neutralizada. 
 
O cálculo de Ec será: 
Ec = K. [ (+q) + (-q) + (0) ]
(Rc)
 02 = 
Assim como Eb, Ec também passa a ser nulo, por ser nula a carga 
total capaz de causar campo nesses pontos. Apenas o campo Ea 
será diferente de zero, nesse caso. 
 
Linhas de força do campo elétrico após a ligação à terra. Perceba 
a existência de linhas de força apenas no interior da cavidade. O 
campo elétrico é nulo tanto nas regiões sombreadas, como fora da 
esfera maior. 
 
Ei, prôfi, e o que aconteceria a estes
campos se, ao invés de termos ligado a
esfera maior á terra, ligássemos as
esferas entre si ?
 
Uma boa pergunta, também de fácil resolução. Para respondê-la, 
façamos outra pergunta: ligando-se as esferas entre si, no 
equilíbrio eletrostático, onde estarão as cargas desse novo 
 
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sistema ? Ora, as duas esferas, ligadas entre si, atuarão como um 
único condutor eletrizado. Assim, toda a carga desse condutor só 
poderá estar em sua superfície mais externa, que coincide com a 
superfície externa da cavidade. 
 
 
Assim, a carga total (+q) + (–q) + (Q+q) = (Q+q) estará toda na 
superfície mais externa. É fácil ver que teremos: 
Ea = Eb = zero, Ec = K ( Q
Rc
+ q)
( )2
 
 
Linhas de força do campo elétrico, após as esferas terem sido ligadas entre si. 
Perceba que só teremos campo elétrico fora da esfera maior. 
 
Ea e Eb serão nulos pelo fato de que a distribuição esférica de 
cargas (Q+q) não é capaz de criar campo elétrico no seu interior, 
onde estão os pontos A e B, de acordo com o lema visto 
anteriormente. 
Nesse momento, o aluno deve sentir-se capaz de calcular o campo 
elétrico de qualquer distribuição esférica de cargas, em qualquer 
situação. 
 
Um aspecto curioso da indução total em esferas é mostrado a 
seguir. A figura anterior mostra uma carga puntiforme +q no 
centro de uma esfera condutora oca neutra. 
Devido à indução total, a carga puntiforme +q induz uma carga 
superficial –q na face interna. Uma carga de sinal oposto +q é 
induzida na face externa, visto que o condutor está neutro. As 
linhas do campo elétrico da carga puntiforme central principiam no 
centro da esfera e terminam na face interna. As linhas de um novo 
campo, agora devido às cargas induzidas na superfície externa +q, 
recomeçam na face externa e vão para o infinito. 
Se a carga puntiforme for deslocada do centro da esfera, a 
distribuição das cargas induzidas na superfície interna do condutor 
se altera, de forma a manter nulo o campo elétrico no interior da 
parede metálica (E = 0 através da parede). Assim, a parede 
metálica blinda e impede qualquer comunicação entre os campos 
internos e externos à esfera. 
 
Por esse motivo, as cargas da superfície externa “não tomam 
conhecimento” do que houve no interior da esfera, e a sua 
distribuição na superfície externa permanece homogênea e 
uniforme. O campo elétrico externo, portanto, não sofre nenhuma 
alteração. Isso não é incrível ☺ ? 
 
 
Após este breve apêndice, é fundamental o aluno ter em mente, 
pelo menos, o fato de que em um condutor eletrizado em equilíbrio 
eletrostático , jamais haverá cargas em suas partes metálicas. 
Apenas em sua superfície mais externa e, eventualmente, em sua 
superfície interna, caso esteja ocorrendo indução total.21 – Campo Elétrico no Interior de uma esfera Isolante 
Na seção anterior, fizemos uso do seguinte lema para determinar o 
campo elétrico causado por distribuições esféricas de cargas: 
 
 
“Nenhuma distribuição esférica de cargas elétricas consegue 
criar campo elétrico no seu interior. O campo elétrico causado 
por tal distribuição só atua fora da superfície esférica”.
 
 
A seguir, faremos mais uma vez o uso desse lema para calcular a 
intensidade do campo elétrico uniforme E gerado por uma esfera 
maciça isolante neutra uniformemente eletrizado em todo o seu 
volume com uma carga total Q. 
 
Para isso, considere o problema a seguir: 
 
 
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Exemplo Resolvido 10: Uma esfera isolante, de raio R, encontra-
se uniformemente carregada em todo o seu volume com uma 
carga total Q. Isso significa que temos cargas elétricas 
uniformemente espalhadas desde o centro da esfera isolante até a 
sua superfície. 
Determine a intensidade do campo elétrico E gerado por essa 
esfera eletrizada em pontos internos à mesma, localizados a uma 
distância genérica x do seu centro, com x ≤ R. 
Q
R
 
 
Se fosse uma esfera condutora, toda a sua carga elétrica se 
distribuiria sobre sua superfície mais externa. Como se trata de 
uma esfera isolante, sua carga elétrica não tem como se 
deslocar, permanecendo uniformemente eletrizada. 
 
Solução: 
Seja o ponto A localizado no interior da esfera a uma distância 
genérica x do seu centro. Conforme o lema estudado 
anteriormente, sabemos que apenas a carga elétrica q contida na 
esfera sombreada de raio x gera campo elétrico no ponto A. 
Q
R
A
x
q
 
 
Entretanto, a carga q da região sombreada é uma fração da carga 
total Q da esfera isolante. Como determinar essa carga q ? Ora, 
como a carga elétrica total Q encontra-se uniformemente 
distribuída em todo o volume da esfera isolante de raio R, podemos 
dizer, por exemplo, que se o volume da esfera cinza de raio x 
fosse a metade do volume total, a sua carga q seria a metade da 
carga elétrica total Q da esfera. Assim, a carga q da região cinza é 
diretamente proporcional ao seu volume, valendo, portanto, a 
seguinte proporção: 
interna aargC
interno Volume 
total aargC
total Volume
= ⇒ 
q
x.
3
4
 
Q
R.
3
4 33 π
=
π
 
Assim, determinarmos a carga q contida na região esférica de raio 
genérico x: 
q = 33 .x R
Q
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ , válido para 0 ≤ x ≤ R 
Finalmente, estamos aptos a determinar o campo elétrico que 
essa carga q gera no ponto A, localizado a uma distância x do 
centro da esfera: 
E = 2
3
3
22 x
.x 
R
Q.K
x
q.K
D
q.K ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== = .x 
R
Q.K
3 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 
E = .x 
R
Q.K
3 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ , válido para 0 ≤ x ≤ R 
 
Assim, sendo K, Q e R constantes, vemos que o campo elétrico E 
gerado no interior dessa esfera (ou seja, para 0 ≤ x ≤ R) aumenta 
lineamente com a distância x ao centro da mesma conforme a 
expressão determinada acima. 
Para x = 0 (centro da esfera), temos E = .0 
R
Q.K
3 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⇒ E = 0 
Para x = R, temos E = .x 
R
Q.K
3 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ = .R 
R
Q.K
3 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⇒ E = 2R
Q.K 
2R
Q.K
 
Para pontos externos à esfera (x ≥ R), o campo elétrico E 
decresce com o aumento da distância x ao centro da esfera, de 
acordo com a expressão convencional : 
E = 2X
Q.K , para x ≥ R 
O gráfico acima mostra o comportamento do campo elétrico E em 
função da distância x ao seu centro tanto para pontos internos à 
esfera quanto para pontos externos à mesma. Note que no interior 
da esfera, a intensidade do campo elétrico uniforme E aumenta 
linearmente com o aumento da distância x, ao passo que fora da 
esfera sua intensidade diminui proporcionalmente a 1/x². 
 
22 - Potencial Criado Por Um Condutor Eletrizado 
 
É importante lembrar que: 
Partículas eletrizadas, abandonadas sob a influência exclusiva de 
um campo elétrico, movimentam-se entre dois pontos quaisquer 
somente se entre eles houver uma diferença de potencial (ddp) 
não-nula. 
 
Quando fornecemos elétrons a um condutor, eletrizamos, 
inicialmente, apenas uma região do mesmo. Nessa região, as 
cargas negativas produzem uma diminuição no potencial, que é 
mais acentuada do que no potencial de regiões mais distantes. A 
diferença de potencial estabelecida é responsável pela 
movimentação dos elétrons para regiões mais distantes, o que 
provoca um aumento no potencial do local onde se encontravam e 
uma diminuição no potencial do local para onde foram. 
 
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- --
 
No início No final 
 
Por outro lado, na eletrização positiva são tirados elétrons de uma 
região, provocando um aumento no potencial desse local. Como 
conseqüência, elétrons livres das partículas neutras das regiões 
mais distantes movimentam-se para o local inicialmente eletrizado. 
Tal fato faz surgir cargas positivas nas regiões neutras, diminuindo 
a quantidade de cargas positivas na região eletrizada inicialmente. 
Tudo acontece como se as cargas positivas se movimentassem ao 
longo do condutor. 
-
-
-
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+ + + +
+
+
+
+
++
+
+ ++
+ +
+
 
 No início No final 
 
É fácil notar que a movimentação das cargas, no condutor, ocorre 
durante um breve intervalo de tempo, após o que as partículas 
elementares atingem posições tais que a diferença de potencial 
entre dois pontos quaisquer do corpo torna-se nula. Dizemos, 
então, que o condutor atingiu o equilíbrio eletrostático. 
A diferença de potencial (ddp) entre dois pontos quaisquer de um 
condutor em equilíbrio eletrostático é sempre nula. 
Do exposto, conclui-se que, nos pontos internos e na superfície de 
um condutor eletrizado em equilíbrio, o potencial elétrico assume o 
mesmo valor. O potencial assume valores diferentes apenas nos 
pontos externos ao condutor. 
V = Vinterno superfície 
 
Assim, um condutor em equilíbrio eletrostático é uma superfície 
eqüipotencial. 
 
23 - Potencial criado por um condutor esférico isolado 
Suponhamos uma esfera condutora eletrizada em equilíbrio 
eletrostático. O potencial elétrico assume o mesmo valor em todos 
os pontos desse condutor, sejam eles internos ou localizados na 
superfície. 
Para pontos externos à esfera condutora, o potencial varia com a 
distância do ponto considerado ao centro O da esfera. 
Para efeito de cálculo desse potencial, considera-se toda a carga 
elétrica da esfera concentrada em seu centro. Isso, entretanto, só é 
possível devido à simetria da mesma. Assim, tem-se: 
d+
+ +
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
r
O P
 
 
V = V = K Q
rinterno superfície
 V = K Q
dexterno
 
 
 
O gráfico da variação do potencial em função da distância ao 
centro da esfera eletrizada é dado pelo gráfico a seguir: 
d
+
+ +
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
r
O
V = K. Q
r
V
-
- -
--
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
r
O
V = K. Q
r
V
 
 
24 - Condutores Esféricos Ligados Entre Si 
Na página 4, exercício resolvido No 1, o prof Renato Brito mostrou 
como se determinar as cargas finais de dois condutores que foram 
encostados entre si, dados os seus raios e as suas cargas elétricas 
iniciais. A seguir, retomamos o mesmo problema no contexto do 
Potencial Elétrico: 
 
Exemplo Resolvido 11 
Sejam duas esferas metálicas A e B, de raios Ra e Rb, 
eletrizadas com cargas, respectivamente, iguais a Qa e Qb. 
 
Pede-se determinar : 
a) Os potenciais iniciais de cada esfera. 
b) Os potencial final das esferas, após ligarmos uma à outra. 
c) As cargas finais Qa’ e Qb’ de cada uma. 
 
 
Solução: Seus potenciais iniciais podem ser facilmente calculados 
pelas expressão vista na secção anterior: 
 
Va = K Qa
Ra
. Vb = 
K Qb
Rb
.
 
 
Mas o que acontece se ligarmos entre si esferas metálicas 
eletrizadas de raios diferentes? 
 
Figura 29 –Cilindros contendo líquidos em níveis diferentes. Sabemos que o líquido 
fluirá para o cilindro da direita até que seus níveis fiquem à mesma altura, isto é, 
ao mesmo potencial gravitacional Vg = g.h 
 
Para uma perfeita compreensão, façamos uma breve analogia: 
Observe os dois cilindros acima. O potencial gravitacional 
(Vg = g.h) do líquido A está, inicialmente, superior ao do líquido B. 
Assim, ao ligarmos os cilindros através de um cano, o líquido A 
fluirá em direção ao cilindro B, até que seus potenciais 
gravitacionais se tornem iguais (Vga =Vgb), o que, obviamente, 
ocorrerá quando seus níveis estiverem iguais (ha = hb). 
 
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Analogamente, quando conectarmos as esferas através de um fio 
condutor, elétrons fluirão de uma esfera a outra até que seus 
potenciais elétricos se tornem iguais (Va=Vb). 
 Qa’, Ra Qb’, Rb 
 
Elétrons fluirão de uma esfera a outra até que seus potenciais elétricos se tornem 
iguais (Va = Vb). Quando a diferença de potencial (ddp) entre tais esferas se anular 
(Va − Vb = 0), cessará a corrente elétrica entre as mesmas e o sistema atingirá o 
equilíbrio eletrostático. 
 
A partir daí, quando a diferença de potencial (U=Va−Vb) entre as 
tais esferas se anular, cessará a corrente elétrica de uma a outra, e 
o sistema terá atingido o equilíbrio eletrostático. 
 
Sendo Qa’ e Qb’ as cargas finais das esferas A e B após atingido 
o equilíbrio eletrostático, pelo princípio da conservação das cargas, 
podemos escrever: 
 
 Qa + Qb = Qa’ + Qb’ (1) 
Queremos calcular o potencial final VF das esferas. Sobre VF, 
podemos escrever: 
VF = K
Ra
. Qa ' = K
Rb
. Qb ' (2) 
 
Pela propriedade das proporções, podemos reescrever: 
 
VF = K
Ra 
. Qa ' + K.Qb '
+ Rb
= K Qa
Ra Rb
( ' + Qb ' )
+
 = K Qa
Ra Rb
( + Qb)
+
= 
 
VF = KQa + KQb
Ra +Rb
, mas como temos Va = K Qa
Ra
. e Vb =
K Qb
Rb
.
, 
podemos reescrever: 
 
VF = Va
Ra Rb
.Ra + Vb.Rb
+
 (3) 
 
A equação (3) é extremamente útil pois expressa o potencial de 
equilíbrio VF das esferas apenas em função de seus potenciais 
iniciais Va e Vb e de seus raios. Pode, facilmente ser memorizada. 
 
Assim, de posse da equação (3), determinamos VF. Substituindo-se 
VF na equação (2), facilmente determinamos Qa’ e Qb’. Confira: 
 VF = 
K
Ra
. Qa ' = K
Rb
. Qb ' (2) 
 
25 - O Potencial Elétrico Da Terra. 
No estudo da eletrostática, o planeta Terra é considerado uma 
enorme esfera condutora eletrizada negativamente com carga 
elétrica estimada em −600.000 C. 
Sendo o seu de raio de aproximadamente 6.400 km, o potencial 
elétrico da Terra em relação ao infinito, suposta isolada no 
universo, vale: 
VTerra = −8 x 108 V (em relação ao infinito) 
Embora, a rigor, o potencial resultante na Terra sofra influência das 
cargas elétricas dos corpos celestes vizinhos, as cargas elétricas 
separadas pela atividade humana praticamente não produzem 
efeitos sensíveis no seu potencial elétrico. 
Assim, para todos os efeitos, a Terra atua como um padrão 
invariável de potencial elétrico e, portanto, pode ser tomada como 
nível de referência para potenciais elétricos, isto é, podemos 
arbitrar um potencial fixo para a Terra. Qual seria um valor 
interessante de potencial para se adotar para a Terra ? Por 
simplicidade, adotamos VTerra = 0 V. 
Ei, prôfi, e o que aconteceria se 
um condutor isolado de outros 
condutores fosse conectado à 
Terra ? Ela ficaria eletricamente 
neutro ? Por que ?
 
Calminha, Claudete. Se o condutor estiver isolado (ou seja, não 
estiver sofrendo indução eletrostática devido a presença de outras 
cargas ao seu redor), ele realmente se tornará neutro após ser 
conectado à Terra. Para entendermos por que isso ocorre, 
consideraremos três casos possíveis: 
Caso 1 – Condutor Com Potencial Elétrico Positivo 
Estando o corpo isolado eletrizado positivamente com carga +Q, 
ele terá um potencial elétrico positivo +K.Q/R em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo > VTerra = 0 ), ou seja, haverá uma ddp entre ele e a 
Terra, o que motivará o aparecimento de uma corrente elétrica 
entre os mesmos. 
Conectando-se o condutor à Terra, elétrons (que têm carga elétrica 
negativa) passarão espontaneamente da Terra para o condutor (do 
potencial menor para o potencial maior). Durante essa passagem, 
o potencial +K.Q/R do corpo vai gradativamente diminuindo 
(+200V, +100V, +50V, +10V) com a chegada de elétrons (visto que 
a carga +Q do condutor vai diminuindo) até que seu potencial se 
iguale ao da Terra, cujo potencial é admitido constante VTerra = 0. 
 
VA > VTerra 
Quando finalmente tivermos Vcorpo = VTerra = 0, não haverá mais 
ddp entre eles e, portanto, não haverá mais corrente elétrica (cessa 
o movimento de elétrons). Dizemos que o sistema “Terra+corpo” 
atingiu o equilíbrio eletrostático. Nesse caso, o anulamento do 
potencial elétrico do condutor obriga o anulamento da sua carga 
elétrica, ou seja, +K.Q/R = 0 ⇒ Q = 0) 
Note que, quando dois corpos estão em equilíbrio eletrostático 
entre si, eles não precisam ter necessariamente cargas elétricas 
iguais, mas sim, potenciais elétricos iguais. 
Caso 2 – Condutor Com Potencial Elétrico Negativo 
Estando o corpo isolado eletrizado negativamente com carga −Q, 
ele terá um potencial elétrico negativo −K.Q/R em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo < VTerra = 0 ), ou seja, haverá uma ddp entre ele e a 
 
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Terra, o que motivará o aparecimento de uma corrente elétrica 
entre os mesmos. 
Conectando-se o condutor à Terra, elétrons (que têm carga elétrica 
negativa) passarão espontaneamente do condutor para a Terra (do 
potencial menor para o potencial maior). Durante essa passagem, 
o potencial −K.Q/R do corpo vai gradativamente aumentando 
(−100V, −80V, −40V, −20V, −10V) com a saída de elétrons (visto 
que o módulo da carga do condutor vai diminuindo) até que seu 
potencial se iguale ao potencial da Terra, potencial este admitido 
constante (VTerra = 0 = constante) durante todo o processo. 
 
VB < VTerra 
Quando finalmente tivermos Vcorpo = VTerra = 0, não haverá mais 
ddp entre eles e, portanto, não haverá mais corrente elétrica (cessa 
o movimento de elétrons). Dizemos que o sistema “Terra+corpo” 
atingiu o equilíbrio eletrostático. Nesse caso, o anulamento do 
potencial elétrico do condutor obriga o anulamento da sua carga 
elétrica, ou seja, K.Q/R = 0 ⇒ Q = 0) 
Caso 3 – Condutor Com Potencial Elétrico Nulo 
Tendo o condutor um potencial elétrico nulo em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo = VTerra = 0 ), não há diferença de potencial elétrico 
(ddp) entre eles, portanto, não haverá corrente elétrica. Os elétrons 
não têm motivação para fluir espontaneamente de um corpo ao 
outro. Dizemos que os corpos já estão em equilíbrio eletrostático 
entre si. Em suma, se não houver ddp, não haverá corrente 
elétrica. 
As ligações à Terra são muito usadas para proteger o homem 
contra o perigo de um choque elétrico ou mesmo uma descarga 
elétrica. 
Por exemplo: um pára-raios é sempre aterrado, assim como um 
chuveiro elétrico, uma torneira elétrica, uma máquina de lavar 
roupas. Toda vez que ligamos à Terra uma armadura metálica 
garantimos que o seu potencial elétrico se anula. Assim, se uma 
pessoa que está com os pés no chão (potencial elétrico nulo) tocar 
numa geladeira (cuja superfície metálica também está a um 
potencial nulo, visto que está aterrada), a pessoa jamais tomará 
choque, visto que não haverá ddp para provocar descarga elétrica 
através da pessoa em direção à Terra. Afinal, todos estão no 
mesmo potencial elétrico. 
 
26 - O Pára−Raios. 
O objetivo principal de um pára-raios é proteger uma certa região 
ou edifício ou residência, ou semelhante, da ação danosa de um 
raio. Estabelece com ele um percurso seguro, da descargaprincipal, entre a Terra e a nuvem. 
 
Um pára raios consta essencialmente de uma haste metálica 
disposta verticalmente na parte mais alta do edifício a proteger. A 
extremidade superior da haste termina em várias pontas e a inferior 
é ligada à Terra através de um cabo metálico que é introduzido 
profundamente no terreno. 
Quando uma nuvem eletrizada passa nas proximidades do pára-
raios, ela induz neste cargas de sinal contrário. O campo elétrico 
nas vizinhança das pontas torna-se tão intenso que ioniza o ar e 
força a descarga elétrica através do pára-raios, que proporciona ao 
raio um caminho seguro até a Terra. 
 
27 – Cálculo do Potencial Elétrico de uma Esfera Não-Isolada. 
Seja uma esfera metálica neutra de raio R, com cargas induzidas 
+q e −q, na presença de um indutor puntiforme de carga +Q a 
uma distância D do seu centro. 
Para determinar o potencial elétrico da esfera induzida, é suficiente 
determinar o potencial elétrico do seu centro A. Tanto a carga 
indutora +Q, quanto as cargas induzidas −q e +q produzem 
potencial no ponto A. Note que estamos admitindo, por 
simplicidade, a esfera induzida como estando neutra (−q + q = 0). 
 
Segundo o prof Renato Brito, o potencial da esfera induzida A é a 
soma dos potenciais elétricos que todas as cargas geram no seu 
centro A. Assim, matematicamente, vem: 
R
)q.(K 
R
)q.(K 
D
Q.K VA
+
+
−
+
+
=
 
A expressão acima nos mostra que, estando o condutor neutro, as 
cargas que aparecem por indução (+q e −q) não influenciam o seu 
potencial elétrico resultante. 
Segundo o prof Renato Brito, para determinar o potencial elétrico 
de um condutor esférico neutro na presença de vários indutores ao 
seu redor (logicamente, o condutor esférico estaria sofrendo 
indução), basta determinar somar dos potenciais que cada um 
deles individualmente gera no centro da esfera induzida, conforme 
a expressão a seguir: 
R
)q.(K 
R
)q.(K .... 
D
Q.K 
D
Q.K 
D
Q.K V
3
3
2
2
1
1
A
+
+
−
+++=
 
onde D1, D2, D3 ... são as distância do centro de cada um dos 
indutores ao centro da esfera induzida. 
 
Caex – Colégio Militar de Fortaleza – Prof Renato Brito - Página 22 
22 
 
Como as cargas indutoras puntiformes Q1, Q2, Q3 poder sem 
positivas ou negativas, o potencial elétrico resultante da esfera 
induzida terá um sinal algébrico que dependerá tanto dos valores 
das cargas indutoras, quanto da maior ou menor proximidade delas 
ao centro da esfera. Lembre-se que os cálculos acima não são 
feitos em módulos, mas sim, com os respectivos sinais algébricos 
das cargas elétricas. 
Caso a esfera metálica não estivesse neutra, a determinação do 
potencial elétrico da esfera condutora seguiria um raciocínio 
semelhante, como o prof. Renato Brito mostrará a seguir: 
Seja uma esfera condutora com várias cargas q1, q2, q3 ..... qn 
distribuídas sobre sua superfície esférica. Tais cargas podem ter 
sido induzidas ou não, esse fato é irrelevante. Seja qTotal o 
somatório dessas cargas: 
q1 + q2 + q3 + ..... + qn = qTotal 
Note na figura a seguir que a distância de todas as cargas q1, q2, 
q3, q4 ..... qn ao centro da esfera indutora sempre vale R. 
 
Sejam D1, D2, D3 as respectivas distâncias dos centro das cargas 
indutoras ao centro da esfera. Segundo o prof Renato Brito, o 
potencial elétrico resultante dessa esfera condutora, nesse caso 
geral, é dado por: 
 
R
)q.(K .....
R
)q.(K
R
)q.(K ... 
D
Q.K
 
D
Q.K 
D
Q.K V n21
3
3
2
2
1
1
A +++++= 
R
)q ... qqq.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K 
D
Q.K V n321
3
3
2
2
1
1
A
++++
+++= 
Sendo q1 + q2 + q3 + ..... + qn = qTotal, vem: 
R
)q.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K 
D
Q.K V Total
3
3
2
2
1
1
A +++= 
 A expressão geral acima mostra que o sinal algébrico do potencial 
elétrico de um condutor sofrendo indução não depende apenas do 
sinal da sua carga total qTotal, mas também dos sinais algébricos 
dos indutores ao seu redor, bem como das distâncias entre eles. 
Assim, o sinal algébrico do potencial elétrico de um condutor 
sofrendo indução (condutor não-isolado) não precisa coincidir com 
o sinal algébrico da carga elétrica total qTotal desse corpo. 
É possível, por exemplo, que um corpo eletrizado negativamente 
esteja a um potencial elétrico positivo, bastando, para isso, que 
haja vários indutores positivos ao seu redor que compensem o 
potencial negativo produzido pela sua carga total qtotal negativa. 
 
O processo é semelhante ao explicado nos casos 1, 2 e 3 da 
seção 25 (O Potencial Elétrico da Terra), Claudete. Entretanto, 
conforme veremos a seguir, no equilíbrio eletrostático entre o 
condutor não-isolado (isto é, condutor sofrendo indução) e a Terra, 
ele não ficará mais eletricamente neutro. 
Para entender melhor, considere uma esfera condutora (suposta 
eletricamente neutra por simplicidade) sofrendo indução devido à 
presença de uma carga +Q nas proximidades. 
Sendo 
+Q uma carga positiva, e estando condutor com carga total nula 
(+q − q = 0), seu potencial elétrico VA nesse caso é positivo e 
dado por: 
0 
R
)q.(K 
R
)q.(K 
D
Q.K VA >
+
+
−
+
+
=
 
Como o potencial VA do condutor esférico é maior que o da Terra 
(Vesfera > VTerra = 0 V), existe uma ddp entre eles, ddp essa que 
motiva o aparecimento de uma corrente elétrica entre os mesmos. 
Elétrons gradativamente subirão da Terra para o condutor (do 
potencial menor para o potencial maior), reduzindo pouco a pouco 
o potencial elétrico do condutor (+100V, +80V, +40V, +20V) até 
que ele se iguale ao potencial elétrico da Terra (suposto constante 
Vterra = 0). 
+
+Q
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
D
-q +qindutor
e-
R
 
Logicamente, durante esse processo, o condutor (inicialmente 
neutro) se tornará mais e mais eletronegativo, durante a subida dos 
elétrons. 
Quando o equilíbrio eletrostático for finalmente atingido, não 
haverá mais ddp (Vesfera = VTerra = 0) nem corrente elétrica entre a 
Terra e o condutor (que agora estará eletrizado negativamente e 
com potencial elétrico nulo), como mostra a figura a seguir: 
 
Caex – Colégio Militar de Fortaleza – Prof Renato Brito - Página 23 
23 
 
Podemos, agora, calcular o potencial elétrico do condutor esférico 
da figura acima (calculando o potencial elétrico do seu centro A) e 
igualá-lo a zero. 
Efeito do 
indutor
esfera A Terra
K.( Q) K.( q)V V V 0
D R
+ −
= = + = =
Efeito da 
carga induzida
 
Fazendo isso, determinamos o módulo da carga indutora q que 
haverá na superfície da esfera condutora em função de Q, do 
raio R da esfera e da distância D do indutor ao centro da esfera. 
Isso não é o máximo !!?? ☺ Veja: 
esfera A Terra
K.( Q) K.( q)V V V 0
D R
+ −
= = + = = 
R
)q.(K 
D
)Q.(K =+ ⇒ q =
D
R.Q !!!!!!!! 
O interessante resultado acima mostra que a carga induzida que 
haverá na esfera, conforme esperado, é tão maior quanto maior for 
a carga indutora Q e quanto menor for a distância D da indutora à 
esfera, ou seja, quanto mais próximo eles estiverem, maior será o 
módulo da carga induzida. Assim, mantendo a esfera ligada à 
Terra e variando-se a distância D entre o indutor e a mesma, a 
carga induzida q variará de tal forma a manter nulo o potencial da 
esfera, enquanto a mesma estiver conectada à Terra, sendo 
sempre dada por: 
q =
D
R.Q 
Ainda assim, como a distância D será sempre maior que o raio R 
da esfera (D > R), vemos que o módulo da carga induzida será 
sempre menor que o módulo da carga indutora (|q| < |Q|) nesses 
casos em que o indutor está do lado de fora do induzido. Essa 
relação (|q| < |Q|) caracteriza o que chamamos de Indução 
Parcial. 
 
28 - Blindagem eletrostática. 
Consideremos um condutor oco (A), eletrizado ou não. Ele 
apresenta as mesmas propriedades que um condutor maciço: é 
nulo o campo elétrico em seu interior e as cargas elétricas em 
excesso, se existirem, distribuem-sepela sua superfície. 
 
Se considerarmos um corpo B, neutro, no interior de A, o campo 
elétrico no seu interior será nulo; mesmo que A esteja eletrizado, B 
não será induzido. Se, agora, aproximarmos de A um corpo E, 
eletrizado, haverá indução eletrostática em A, mas não em B. 
Observamos que o condutor oco A protege eletrostaticamente os 
corpos no seu interior. Dizemos que o condutor oco A constitui 
uma blindagem eletrostática. 
A carcaça metálica de um amplificador eletrônico é uma blindagem 
eletrostática. A carcaça metálica de um carro ou de um ônibus é 
uma blindagem eletrostática. 
 
29 - Entendendo Matematicamente o Poder das Pontas 
No começo do nosso curso de Eletrostática, ficamos intrigados 
com o poder das pontas: Por que a densidade de cargas 
elétricas (Coulombs / m2 ) é maior nas regiões mais pontudas 
de um condutor ? 
Agora sim, após ter adquirido uma base sólida no conceito de 
Equilíbrio Eletrostático, o prof. Renato Brito te explicará, com 
detalhes, passo-a-passo: 
• Passo 1: Como se calcula o potencial elétrico de um condutor 
(suposto inicialmente esférico, por simplicidade) ? 
 K.Q 1 QV .
R 4 R
= =
πε
 (eq 1) 
• Passo 2: Como se calcula a densidade superficial de cargas 
elétricas espalhadas sobre a superfície esférica do condutor de 
raio R e área A = 4πR2 (geometria espacial) ? 
 2 2
coulombs Q Q = 
Am 4 R
σ = =
π
 (eq2) 
• Passo 3: Isolando a carga Q em eq1 e substituindo em eq2, 
temos: 
 2 2
Q 4 .R.V .V = 
R4 R 4 R
πε ε
σ = =
π π
 ⇒ .V = 
R
ε
σ (eq3) 
Sabemos, adicionalmente que, independente de o condutor ser 
esférico ou não, o potencial elétrico V em todos os pontos de sua 
superfície metálica e do seu interior tem o mesmo valor 
(V.=.constante). Afinal de contas, se ele está em equilíbrio 
eletrostático, não haverá corrente i, portanto não poderá haver ddp 
U, o que obriga que todos os pontos tenham “o mesmo tanto de 
volts”. 
Sendo constantes a permissividade elétrica ε do meio e o potencial 
elétrico V em toda superfície do condutor metálico, de acordo com 
a relação eq3, onde haverá maior densidade superficial de cargas 
σ (Coulombs/ m2) ? Ora, onde o condutor tiver menor raio R de 
curvatura, isto é, no lado mais pontiagudo (lado A na figura abaixo). 
 
No condutor acima, supondo que sua extremidade esquerda tenha 
raio 3 vezes menor que sua extremidade direita (RA.=.RB./.3), a 
 
Caex – Colégio Militar de Fortaleza – Prof Renato Brito - Página 24 
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densidade de cargas (Coulombs./.m2) σA será 3 vezes maior que 
σB conforme a relação eq3 acima !! É o poder das pontas ! 
Entretanto, não confunda densidade superficial de cargas 
(Coulombs./.m2) com cargas elétricas (Coulombs): sendo VA = VB, 
ou seja, K.QA / RA = K.QB / RB, com RB = 3.RA, teremos QB = 3.QA !! 
A extremidade A tem mais C/m² que a extremidade B, porém, a 
extremidade B tem mais coulombs que a extremidade A ☺. 
Sentiu a pegadinha ? ☺ 
 
 
3 - Cálculo de potenciais elétricos criados por distribuições 
esféricas de carga. 
 
Nesta seção, o prof Renato Brito está interessado em discutir com 
você leitor a seguinte questão: 
 
Seja uma cavidade esférica metálica de raio interno r e raio externo 
R eletrizada com uma carga +Q. Coloca-se em seu centro uma 
pequena esfera metálica de raio Rp eletrizada com carga +q. 
 
O prof Renato Brito, a seguir, determinará o Potencial Elétrico nos 
pontos A ,B e C, localizados a distâncias Ra, Rb e Rc do centro 
das esferas, respectivamente, conforme a figura. 
 
Solução: Antes de partirmos para a solução imediata do problema, 
precisamos atentar para dois aspectos relevantes: 
 
1º aspecto relevante: Seja a distribuição esférica de carga +Q e 
raio R da figura abaixo: 
 
Seja o ponto A no seu interior. Conforme o prof Renato Brito lhe 
disse em sala de aula, para calcular o potencial elétrico que essa 
distribuição esférica de cargas causa em A, basta lembrar que: 
VA int = Vsup = ± K Q
R
. 
...ou seja, o potencial elétrico em qualquer ponto no interior de um 
condutor maciço ou oco, coincide com o potencial da sua 
superfície, conforme expresso matematicamente acima. Tal 
potencial terá o mesmo sinal da carga Q. 
Por outro lado, o potencial elétrico que tal distribuição esférica de 
carga causa no ponto B externo é calculado considerando-se, 
apenas para efeito de cálculo, que toda a carga Q está 
concentrada no seu centro da esfera, ou seja: 
VB ext = ± 
K Q
Db
.
 
...basta aplicarmos a fórmula do potencial elétrico a uma distância 
D de uma carga puntiforme Q. O sinal do potencial coincide com o 
sinal da carga Q. 
 
2º aspecto relevante - como as cargas estarão distribuídas no 
equilíbrio eletrostático ? A essa altura, facilmente lembramos que 
tais cargas estarão distribuídas assim: 
 
Cálculo de VA: o potencial elétrico resultante em A é dado pela 
soma algébrica (levando-se em conta os sinais) dos potenciais que 
cada uma das três distribuições de carga causa em A 
Sendo A interno às distribuições (Q+q) e (−q) e externo à 
distribuição de carga (+q), podemos escrever: 
 
VA = + K q
Ra
. − K q
r
. + K Q q
R
.( )+ 
 
onde o primeiro termo corresponde ao potencial causado por (+q) 
em A, o segundo termo, o potencial causado por (−q) em A e o 
terceiro termo, o potencial causado por (Q+q) em A . 
 
Cálculo de VB: Percebendo que B é externo às distribuições (+q) e 
(−q) e interno à distribuição (Q+q), podemos escrever: 
VB = +
K q
Rb
.
−
K q
Rb
.
 + K Q q
R
.( )+ ⇒ VB = K Q q
R
.( )+ 
 
Cálculo de Vc: Da mesma forma, sendo C externo às três 
distribuições, podemos escrever: 
Vc = +
K q
Rc
.
−
K q
Rc
.
 + K Q q
Rc
.( )+ ⇒ Vc = +
K Q q
Rc
.( )+
 
 
 
 
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25 
E como calcularíamos a diferença de potencial 
entre as esferas ? ? 
 
Ora, calculamos o potencial de cada uma das esferas e, em 
seguida, subtraímos um do outro. 
 
Assim parece fácil, mas como calculamos o 
potencial de cada esfera ? ? 
 
Solução: Chamemos de Vg o potencial da esfera grande e Vp o 
potencial da esfera pequena. 
 
Cálculo de Vg: Para calcularmos Vg , podemos calcular tanto o 
potencial de um ponto de sua superfície interna (Vgi) , como o 
potencial de sua superfície externa (Vge), ou até mesmo o 
potencial (VgB) de um ponto interno contido na região metálica da 
casca esférica (ponto B). Em qualquer caso o resultado será o 
mesmo. Veja: 
 
Vgi= + K q
r
.
−
K q
r
. + K Q q
R
.( )+ ⇒ Vgi = + K Q q
R
.( )+ 
 
Vge = + K q
r
.
−
K q
r
. + K Q q
R
.( )+ ⇒ Vge = + K Q q
R
.( )+ 
 
VgB= + K q
Rb
. − K q
Rb
. + K Q q
R
.( )+ ⇒ Vgb = + K Q q
R
.( )+ 
 
ou seja, Vgi = Vge = VgB = Vg . Isto está de acordo com o fato de 
que o potencial elétrico é constante ao longo de qualquer metal em 
equilíbrio eletrostático. 
 
 
Cálculo de Vp: Para calcularmos Vp, basta calcularmos o 
potencial de um ponto de sua superfície: 
Vp =+ 
K q
Rp
.
 − 
K q
r
.
 + K Q q
R
.( )+ 
 
Cálculo de Vgp: Ora, feito o cálculo de Vg e Vp, Ugp é dado por: 
Ugp = Vg − Vp 
 
Comentários Finais do prof Renato Brito 
O aluno precisa entender a origem de cada um dos três termos que 
entram no cálculo de cada um dos potenciais computados nessa 
secção. Basicamente, usamos apenas dois argumentos: 
• O fato de que o potencial causado por uma distribuição esférica 
de carga de raio R em um dado ponto é dado por 
Vint = Vsup = ± K Q
R
. para pontos não externos a essa superfície 
e Vext =± K Q
D
. para pontos externos a essa superfície a uma 
distância D de seu centro. 
• E que o potencial resultante em um ponto qualquer do sistema é 
dado pela soma algébrica dos potenciais causados por todas as 
cargas do sistema naquele ponto.