Elementos_de_Sistemas_de_Vibracao

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03 – Elementos de um Sistema de 
Vibração
ENG 314 – Vibrações Mecânicas
Prof. Antônio Carlos Peixoto Bitencourt
30/05/2015
Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt -
ENG 314 - 2015.1
Trocas de energia por ciclo na Vibração
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Energia Potencial 
Energia Cinética
Não Mecânica
Amortecedor
Elementos de um Sistema Vibratório
30/05/2015
Massa
Armazena Energia Cinética e
Energia Potencial Gravitacional
Mola
Armazena Energia Potencial Elástica
Amortecedor Dissipa Energia Mecânica sob forma de 
Calor e/ou Som
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MASSAS E INÉRCIAS
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Massas e/ou Inércias
 armazenam energia cinética e 
potencial de posição
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Amortecimento 
desprezível
amortecimento Amortecedor
Rigidez infinita 
(corpo rígido)
rigidez Mola
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Elemento de Inércia
Translação
 Inércia  armazena 
energia cinética de 
translação
Rotação
 Momento de Inércia 
armazena energia 
cinética de rotação
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( )
d d
M t J
dt dt
 
 
 
 
Momento de Inércia
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Teorema de Eixos Paralelos
2J m  
2
pênduloJ m l 
Energias Armazenadas
 Energia Potencial Gravitacional (de posição):
 Energia Cinética:
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mghUpos 
2.
rot
2.
transl J
2
1
T ou xm
2
1
T 
2 2
eq eq
1 1
 ou 
2 2
eq eq eq eqT m x T J   sistemaeq TT 
Associações de Massas
 É muito comum, na prática, encontrarmos duas ou mais 
massas e/ou inércias associadas em um sistema
 O sistema mecânico padrão com 1 GDL possui apenas 
uma massa e/ou inércia
 Logo, há necessidade de encontrarmos uma massa e/ou 
inércia fictícias equivalentes às dadas
 Para isso, usamos o Princípio da Conservação da Energia 
Cinética:
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Determine a inércia equivalente para a 
coordenada x
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Sem 
escorregamento
2 2
32
1 2 3
1 1
eq
ll
m m m m
l l
   
     
   
Caso 1: Massas conectadas por barra rígida
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(1) Transformação em sistema translacional:
2
0
eq
R
J
mm 
Caso 2: Acoplamento de Massas 
Translacionais e Rotacionais
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(2) Transformação em sistema rotacional:
2
0eq mRJJ 
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Ex. 1.6 Massa Equivalente de um Sistema
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Achar meq na coordenada x(t)
2
1 2 1
2 2
1 3
3 2
CP
eq
P P
mJ m m l
m m
r r
 
     
 
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Achar:
(i) meq no ponto A
(ii) meq no ponto C
2
1
2
3
r2
1
r
2
1
2
2
VPeq
l
l
m
l
J
l
l
mmm 
2
2
2
3
r2
2
r
V2
2
2
1
Peq
l
l
m
l
J
m
l
l
mm 
Exemplo 1.7 Mecanismo de Comando de 
Válvulas
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Molas  elemento de 
restaurador de energia
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Mola
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 Peça com flexibilidade elástica significativa
(Fácil deformação).
 Armazena energia potencial elástica e gravitacional
Amortecimento 
desprezível
ou amortecimento
Concentrado no
Amortecedor do sistema
Massa desprezível ou massa
Concentrada na Massa do 
sistema
Em sistemas com parâmetros concentrados, tem-se:
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Exemplo 1: Viga engastada
Desprezados: massa da viga
amortecimento estrutural
amortecimento aerodinâmico
Formulação do Modelo
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?
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Exemplo 1: Viga engastada
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Exemplo 1: Viga engastada
Desprezados: massa da viga
amortecimento estrutural
amortecimento aerodinâmico
Formulação do Modelo
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Molas: tipo de deformação
 Translacionais
 Torcionais
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Mola Linear
 Opõe-se ao deslocamento relativo:
 Armazena energia potencial elástica
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2kx
2
1
U 
kxF 
Mola não-Linear
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const
dx
dF
k 
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Linearização
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Usa-se a Série de Taylor:
xkF )x(
dx
dF
F
*x

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Rigidez de Molas
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Rigidez de Molas
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Rígidez Normal
Rígidez Torcional
t
G I
k
l


E A
k
l


Associações de Molas
 É muito comum, na prática, encontrarmos duas ou 
mais molas associadas em um mecanismo
 O sistema mecânico padrão com 1 GDL possui 
apenas uma mola
 Logo, há necessidade de encontrarmos uma mola 
fictícia cuja rigidez seja equivalente à da 
associação dada
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Associações de Molas
Paralela
Série
Concorrente
Com Alavancas
Com Polias
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Associação Paralela
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21eq kkk 
Generalizando: n21eq k...kkk 
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Associação Série
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21eq k
1
k
1
k
1

Generalizando:
n21eq k
1
...
k
1
k
1
k
1

Analogia Mola/Capacitor
 Semelhante às associações série e paralelo de 
capacitâncias elétricas
 Logo, existe uma analogia eletromecânica entre 
capacitor e mola  ambos são armazenadores de 
energia
 Tal analogia é muito útil, sendo amplamente 
empregada na análise de sistemas dinâmicos
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Associação Concorrente
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keq = k1 cos
2 



n
1i
i
2
ieq coskkGeneralizando:
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Associação com Alavancas
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Exemplo: 
suspensão independente de um 
automóvel
i
n
1i
2
i
eq k
L
a
k 








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Associação com polias
 É muito comum, na prática, encontrarmos cabos (os 
quais possuem uma certa rigidez à tração) 
associados com polias
 Exemplo: sistemas de elevação de cargas
 Vamos tratar aqui duas situações bem simples:
 (1) mola associada com polia fixa
 (2) mola associada com polia móvel 
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Cinemática de Polias
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(1) Mola associada com polia fixa
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Aplicando uma força estática F sobre a 
massa m, a mola k1 ficará submetida a uma 
força 2F
Se a massa m deslocar-se de x, o eixo da 
polia (e, portanto, a extremidade da mola k1) 
deslocar-se-á x/2
x
4
k
F 
2
x
kF2 11 
Se F for aplicada no sistema fictício equivalente: F kx
Comparando as duas equações acima: 1
4
k
k 
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(2) Mola associada com polia móvel
30/05/2015
Se aplicarmos uma força estática F sobre a massa 
m, a mola k1 ficará submetida a uma força F/2. Se a 
massa m deslocar-se de x, a extremidade da mola k1
deslocar-se-á 2x 
xk4F x 2k
2
F
11 
Se F for aplicada no sistema fictício equivalente: kxF 
Comparando as duas equações acima:
1k4k 
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Determine a rigidez equivalente das 
associações abaixo no ponto de aplicação da 
força
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Determine o sistema equivalente em um 
grau de liberdade na coordenada x
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Uma massa de 30 kg é suspensa por uma mola, a qual é fixa a uma viga de 
alumínio (E=71x10-9 N/m2). A viga é suportada por um cabo de alumínio. 
Determine a inércia e a rigidez equivalente da 
barra delgada uniforme pivotada para a 
coordenada indicada.
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Determine o sistema de um grau de 
liberdade que representa o sistema abaixo
 Em relação a x1 e a x2
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Determinar a equação de movimento do sistema 
para a variável x. O disco gira sem escorregamento, 
a polia não tem atrito, considere a inércia de cada 
mola que tem massa (ms)
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AMORTECEDORES
Elemento de Amortecimento e Modelagem de Sistema com 
Amortecimento Viscoso
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Fenômeno através do qual se dá a 
dissipação de energia mecânica sob 
forma de calor e/ou som
AMORTECIMENTO
Definição
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Amortecedor
Formas de dissipação de energia:
 atrito entre as peças móveis do sistema (inclusive óleo 
lubrificante) e/ou
 atrito interno entre as moléculas das peças do sistema
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componente do sistema elástico que opõe resistência 
ao movimento vibratório, dissipando energia
Tipos de amortecimento
 Amortecimento Viscoso
 Atrito entre um sólido (uma peça) e um fluido (ar, gás, água e óleo 
lubrificante) interposto entre as peças móveis do sistema
 Amortecimento Seco ou de Coulomb
 Atrito entre dois sólidos sem lubrificação ou com muito pouca 
lubrificação
 Amortecimento Estrutural ou Material ou Histerético
 Atrito intermolecular quando o sólido é deformado
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Amortecimento Viscoso
 Fluido apresenta alta viscosidade
 A força de atrito viscoso (ou resistência viscosa) é 
proporcional à velocidade relativa entre sólido e 
fluido:
F = c v ou M = ct 
 c, ct = coeficiente de amortecimento viscoso
 Unidade SI: [N.s/m] ou [N.m.s/rad]
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Influência da temperatura
 c e ct estão relacionados com a viscosidade do 
fluido
 Sofrem a influência da temperatura
 Exemplo: suspensão do automóvel no inverno e no 
verão
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Amortecimento Constante
(ou de Coulomb)
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F = N
 é o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies em 
contato 
N é a força normal entre as superfícies 
Unidade SI: adimensional
Força de atrito = constante  amortecimento constante
Força de amortecimento = Força de atrito:
Amortecimento Estrutural 
(Histerético)
 Atrito interno entre moléculas quando o sólido é deformado, fazendo 
com que a energia seja dissipada pelo material
 A medida do amortecimento estrutural é dada pela amplitude da tensão 
durante a deformação
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  du
Observação Geral
 Amortecimento mais importante em Engenharia: 
amortecimento viscoso
 Coeficiente de amortecimento viscoso fictício, 
equivalente a um amortecimento não-viscoso 
conhecido
 Isso é de suma importância, já que as equações que 
serão deduzidas levarão em conta apenas os casos mais 
comuns de amortecimento: o viscoso e o constante
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Cálculo do Coeficiente de Amortecimento 
Viscoso
 Feito através da aplicação de conhecimentos de 
Estática, Resistência dos Materiais e Mecânica dos 
Fluidos
 Coeficiente de amortecimento viscoso Placas 
Paralelas
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Cálculo do Coeficiente de Amortecimento 
Viscoso
 Determinar a tensão de cisalhamento na superfície 
sólida (Res Mat)
 Determinar a tensão de cisalhamento na superfície 
fluida (Mec Flu)
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A
cv
A
F
dA
dF

dy
dv

v
h
 
Cálculo do Coeficiente de Amortecimento 
Viscoso
 Igualar as duas tensões de cisalhamento
 Isolar o coeficiente de amortecimento viscoso
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h
v
A
cv

h
A
c


Determinação da espessura do filme de 
óleo em mancal de deslisamento
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Exemplos de amortecedores viscoso
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Determinação de Amortecimento 
equivalente
 Segunda Lei de Newton
 Energia dissipada
 Associação de Amortecedores
F cx 
tM c 
i iEM Fdx  
Ns
m
 
 
 
Nms
rad
 
 
 
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Determinação de Amortecimento 
equivalente
 Segunda Lei de Newton
 Energia dissipada
 Associação de Amortecedores
F cx 
tM c 
i iEM Fdx  
( )i i eqc xdx c xdx
2   
        ( ) ( ) ( ) ... ( )t n n n eqc x d x c x d x c x d x c x d x c xdx       1 1 1 2 2 2 3 3 3          
i i eqEM Fdx c xdx     
Ns
m
 
 
 
Nms
rad
 
 
 
( )i i eqc c
2 
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Associações de Amortecedores
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associação série:



n
1i ic
1
1
c
associação paralelo: 


n
1i
icc
associação alavancada: c
L
a
c i
n
1i
2









associação concorrente: 


n
1i
i
2
icoscc
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Rigidez e amortecimento equivalente para a 
variável x. O disco gira sem escorregamento, a 
polia não tem atrito.
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Representação esquemática sistema 
massa-mola-amortecedor
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Determine o modelo de um grau de 
liberdade segundo à coordenada x e 
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Determine o modelo de um grau de liberdade 
segundo à coordenada  (ângulo de rotação 
da barra). Considere a barra com massa m
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