Trabalho Vibrações

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ASSIS GURGACZ 
 
MARTIN PIETRO CLEVESTON ROJAS 
PEDRO HENRIQUE FAVARO 
PEDRO MATHEUS GIORDANI 
RAFAEL RENAN VARGAS 
RAFAEL RODRIGO DE SOUZA 
RODRIGO RICCI CORCHI 
SERGIO MANOEL ROSA DE SOUZA 
VINICIUS MILANI CALSAVARA 
VITOR HUGO MOURO 
WALLACE CASTELO LOPES 
WESLEN JONATHAN DE SOUZA 
WILIAN DUTRA 
 
 
 
 
VIBRAÇÕES LIVRES COM AMORTECIMENTO SUPER-CRÍTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASCAVEL 
2019 
 
 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO ASSIS GURGACZ 
 
MARTIN PIETRO CLEVESTON ROJAS 
PEDRO HENRIQUE FAVARO 
PEDRO MATHEUS GIORDANI 
RAFAEL RENAN VARGAS 
RAFAEL RODRIGO DE SOUZA 
RODRIGO RICCI CORCHI 
SERGIO MANOEL ROSA DE SOUZA 
VINICIUS MILANI CALSAVARA 
VITOR HUGO MOURO 
WALLACE CASTELO LOPES 
WESLEN JONATHAN DE SOUZA 
WILIAN DUTRA 
 
 
 
 
VIBRAÇÕES LIVRES COM AMORTECIMENTO SUPER-CRÍTICO 
 
Trabalho apresentado como requisito parcial de 
conclusão da disciplina de Vibrações Mecânicas, do 
Curso de Engenharia Mecânica, do Centro Universitário 
Assis Gurgacz – FAG. 
 
Professor Orientador: Sérgio Henrique Rodrigues Mota 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASCAVEL 
2019 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1: Sistema Massa-mola ................................................................................................... 9 
Figura 2: Gráfico esforço x tempo durante uma caminhada. ................................................... 10 
Figura 3: Sistema massa-mola amortecido ............................................................................... 12 
Figura 4 : Gráfico de oscilações amortecidas ........................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EQUAÇÕES 
 
Equação 1: Solução geral ........................................................................................................ 11 
Equação 2: Velocidade Angular .............................................................................................. 11 
Equação 3: Taxa de amortecimento.......................................................................................... 11 
Equação 4: Equação característica superamrortecida............................................................... 11 
Equação 5: Força resultante ..................................................................................................... 12 
Equação 6: PVI ........................................................................................................................ 12 
Equação 7: Equação característica do sistema.......................................................................... 13 
Equação 8: Constante elástica .................................................................................................. 14 
Equação 9: Massa da mola............................... ........................................................................ 14 
Equação 10: Frequência natuaral.............................................................................................. 14 
Equação 11: Transformada de Laplace .................................................................................... 14 
Equação 12: Transformada de Laplace reescrita ..................................................................... 14 
Equação 13: Transformada inversa de Laplace........................................................................ 15 
Equação 14: Equação do sistema em função do tempo............................................................ 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE GRÁFICOS 
 
Gráfico 1 : Deslocamento por tempo ........................................................................................ 15 
Gráfico 2: Movimento criticamente amortecido e superamortecido ........................................ 16 
Gráfico 3: Velocidades do movimento ..................................................................................... 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. METODOLOGIA ............................................................................................................. 6 
2. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 6 
2.1. IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DA VIBRAÇÃO ............................................................. 6 
2.2. OSCILAÇÕES .................................................................................................................... 7 
2.3. CLASSIFICAÇÃO DE VIBRAÇÕES ............................................................................... 7 
2.4. OSCILADOR HARMÔNICO SUPERAMORTECIDO .................................................... 8 
3. APLICAÇÃO EM PROJETOS MECÂNICOS EM GERAL....................................... 9 
3.1. EXPERIMENTO PRÁTICO .............................................................................................. 9 
3.2. APROXIMAÇÃO DE MODELO PERFEITO ................................................................. 10 
4. VARIÁVEIS E SUAS CONSEQUÊNCIAS .................................................................. 11 
5. MODELAMENTO MATEMÁTICO E EQUACIONAMENTO ............................... 12 
6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ....................................................................................... 14 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
1. METODOLOGIA 
 
Considerando o conteúdo mínimo requerido para a realização deste trabalho, estruturamos 
a pesquisa em tópicos e a dividimos da seguinte maneira: 
• Apresentação (Tema geral e sua relevância); 
• Aplicação em projetos mecânicos em geral; 
• Apresentação das variáveis presentes no sistema e suas consequências; 
• Modelamento matemático e equacionamento; 
• Exemplificação. 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
2.1. IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DA VIBRAÇÃO 
 
A maioria das atividades do nosso cotidiano envolve vibrações, e possível ouvir pois nossos 
tímpanos vibram, e vemos por que a luz sofre ondas de vibração. Mas o estudo das vibrações 
levou a aplicações a engenharia, como projetos de máquinas, fundações para construções civis, 
estruturas, motores, turbinas e sistemas de controle. 
Em todas as situações sujeitas a vibrações as estruturas de apoio podem sofrer falhas devido 
a vibração, a vibração causa desgaste precoce em componentes de máquinas como rolamentos 
e engrenagens além de causar ruídos excessivos. 
Sempre que a frequência natural de uma máquina ou estrutura coincidir com a frequência 
de agitação externa, ocorre um fenômeno chamado ressonância que provoca deslocamentos 
excessivos e falhas no material. 
Além do estudo para evitar transtornos referente a vibração há aplicações no cotidiano das 
pessoas como peneiras vibratórias para separação de produtos em cerealistas, compactadores, 
máquinas de lavar, brocas odontológicas, são estes todos equipamentos vibratórios entre outros 
tantos presentes. Constatou-se que a vibração auxilia em certos processos de usinagem, 
fundição, forjamento e soldagem, aplicada também em simulações de terremotos em pesquisas 
geológicas como por exemplo na construção de prédios onde há incidências com terremotos, e 
necessário que a construção seja capaz de inibir grande quantidade de vibrações evitando queda 
das construções, e também aplicada para realizar estudos no projeto de reatores nucleares. 
7 
 
 
 
 
2.2. OSCILAÇÕES 
 
De um modo mais abrangente, chamamos de oscilações a classe de movimentos que se 
repete no tempo, sendo as mesmas de uma forma ordenada ou não. Um movimento que se 
repete igualmente com o decorrer do tempo é nomeado de periódico e o intervalo que é 
consequência entre duas situações equivalentes é o período do movimento. 
O estudo de oscilaçõesé uma parte relevante para a mecânica por conta da frequência com 
que esse tipo de acontecimento ocorre. Como o simples balançar das folhas de uma arvore, 
ondas de rádio, o som e a luz são os exemplos mais característicos onde acontece a oscilação. 
Entre esses movimentos, o considerado o mais simples é o movimento harmônico simples 
(MHS), mais também é considerado um dos mais importantes devido a sua ampla aplicação. 
 
2.3. CLASSIFICAÇÃO DE VIBRAÇÕES 
 
Se um sistema continuar a vibrar por conta própria após sofrer um deslocamento ou força, 
a vibração e chamada de livre, pois nenhuma força externa interfere no sistema como um 
pêndulo simples, após deslocá-lo e soltá-lo ele irá oscilar até parar. 
Se o sistema sofrer alguma ação externa a vibração e conhecida como vibração forçada, que 
está presente em máquinas como motores a diesel, causadas pelo desbalanceamento. 
Se a frequência da força externa coincidir com uma destas frequências do sistema ocorrera 
a ressonância e causara oscilações perigosamente grandes, que pode causar falha de estruturas 
como edifícios, pontes, turbinas e asas de aviões foram associadas a ocorrência deste fenômeno. 
Em um sistema se não há dissipação de energia por atrito ou outra resistência durante a 
oscilação, a vibração e chamada de vibração não amortecida, caso o sistema sofrer qualquer 
perda de energia desta maneira, ela e chamada de vibração amortecida. Caso a quantidade de 
amortecimento for muito pequena pode-se ser desconsiderada para a maioria dos casos na 
engenharia, mas considerando a condição de amortecimento tem-se um caso muito importante 
para sistemas vibratórios próximos a ressonância. 
 
 
 
8 
 
 
 
2.4. OSCILADOR HARMÔNICO SUPERAMORTECIDO 
 
O Sistema de amortecimento supercrítico após sofrer alguma perturbação em condição 
inicial tem por característica de voltar em posição de equilíbrio sem oscilar, exemplo deste 
sistema seriam algumas portas de bancos, que ao fechar a porta com uma determinada força ela 
amortece e fecha suavemente, então este sistema funciona como um princípio de ação e reação, 
ao aplicar uma determinada forca na porta que e a ação, o sistema se comporta com a reação 
desta energia amortecendo-a completamente, outro caso seria sistema de recuo de um 
armamento como um revolver, o disparo e uma ação que desloca o ferrolho para trás, e a mola 
reage como a reação que dissipa essa energia deixando o ferrolho em repouso, sem sofrer 
vibrações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
3. APLICAÇÃO EM PROJETOS MECÂNICOS EM GERAL 
 
O caso do superamortecimento é bem restrito no quesito de aplicação prática em projetos 
mecânicos. Há poucos exemplos de casos que cumpram todas as condições para um 
amortecimento supercrítico perfeito. Porém existem casos que se aproximem de um modelo 
perfeito ou casos sem aplicação prática definida. 
 
3.1. EXPERIMENTO PRÁTICO 
 
De acordo com Furukawa, (2017), um exemplo genérico de vibrações mecânicas 
superamortecidas pode se fazer simples e prático, pegando um tubo de vidro com uma base 
madeira ou metal, mais três tipos de fluidos (água, detergente e shampoo) sendo cada um mais 
viscoso que o outro para podermos comparar os tipos de amortecimento, e por fim um pedestal 
com um sistema, massa mola, composto por: peso de metal onde será a massa, suporte pedestal 
e mola (Figura 1). 
 
Figura 1: Sistema Massa-mola 
(Fonte: FURUKAWA, 2019) 
 
O sistema irá se comportar como um oscilador harmónico simples cujo período irá depender 
da massa e da constante elástica da mola. Ao passo que formos fazendo a experiência vamos ir 
notando os tipos de amortecimento subcrítico, crítico e supercrítico. 
Primeiro caso se adicionarmos água no tubo do sistema à massa seguirá oscilando, porém, 
com uma amplitude menor a cada segundo que passa esse caso e chamado de amortecimento 
10 
 
 
 
subcrítico, pois a diminuição da oscilação é de forma gradual resultando num amortecimento 
fraco. 
Segundo caso adicionarmos detergente líquido no tubo podemos observar que o sistema 
perde rapidamente a sua oscilação nesse caso chamamos de amortecimento crítico e a sua 
característica principal é que o sistema chegue rapidamente no seu ponto de equilíbrio quando 
posto para oscilar, nesse sistema e ideal para amortecimento de veículos. 
Terceiro caso se adicionarmos shampoo onde o líquido é mais viscoso que a água e o 
sabonete líquido poderão verificar que o sistema demora muito mais para chegar ao seu ponto 
de equilíbrio neste caso chamamos de amortecimento supercrítico. 
 
3.2. APROXIMAÇÃO DE MODELO PERFEITO 
 
Existem casos práticos que não são perfeitamente superamortecidos, porém são bem 
próximo, casos este como: Amortecimento em palmilhas feitas em gel ou silicone para tênis 
de corrida, gel balístico, amortecedor para porta. 
 
Figura 2: Gráfico esforço x tempo durante uma caminhada. 
(Fonte: FAVARO, 2019) 
 
 
 
11 
 
 
 
4. VARIÁVEIS E SUAS CONSEQUÊNCIAS 
 
Conforme a equação geral, a oscilação α deve ser maior que a velocidade angular ω. Sendo 
assim a equação demonstra que o sistema decai, em função do tempo, exponencialmente, até 
chegar a um ponto de equilíbrio, quase sem nenhuma oscilação. Levando em consideração t≠0, 
surge a equação do amortecimento supercrítico. 
A matemática neste formato demonstra a inexistência de oscilação durante o percurso do 
sistema, assim, definindo o amortecimento. 
Os conceitos utilizados nesta formulação foram as equações ordinárias, transformadas de 
Fourier e equações e Laplace. 
 
 𝑥(𝑡) = 𝑐1 ∗ 𝑒
(
−𝑐
2∗𝑚
+√(
𝑐
2∗𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
)∗𝑡
+ 𝑐2 ∗ 𝑒
(
−𝑐
2∗𝑚
+√(
𝑐
2∗𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
)∗𝑡
 (1) 
 𝜔0 = √
𝑘
𝑚
 (2) 
 𝛼 =
𝑐
2∗𝑚
 (3) 
 𝑥(𝑡) = 𝑐1 ∗ 𝑒
(−𝛼+√(𝛼)2−𝜔0²)∗𝑡 + 𝑐2 ∗ 𝑒
(−𝛼+√(𝛼)2−𝜔0²)∗𝑡 
 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛼∗𝑡 ∗ (𝑐1 ∗ 𝑒
√𝛼2−𝜔0² + 𝑐2 ∗ 𝑒
−√𝛼2−𝜔0² 
𝑡 ≠ 0 
𝛼 > 𝜔0 
 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛼∗𝑡 ∗ (𝑐 ∗ 𝑒√𝛼
2−𝜔0²) (4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
5. MODELAMENTO MATEMÁTICO E EQUACIONAMENTO 
 
O sistema massa-mola abaixo é composto por uma massa de m = 1 Kg e por uma mola com 
constante de rigidez à translação de k = 100 N/m imersos em um fluído com constante de 
amortecimento viscoso de c = 25 Ns/m. A mola é solta com velocidade inicial nula em um 
ponto 0,1 m a cima de sua posição de equilíbrio. 
 
Figura 3: Sistema massa-mola amortecido 
(Fonte: KELLY, 2017) 
 
As forças atuantes no sistema podem ser resumidas como: 
Mola: Fmola = K * y(t) 
Amortecimento: Famort = c *v(t) = 𝑐 ∗
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
 
Massa: Fresult = m*a (t) = 𝑚 ∗
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
 
 Fresult = -Fmola – Famort (5) 
Onde y (t) é a posição da massa. 
 Fresult. + Famort. + Fmola = 0 
 𝑚 ∗
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
 + 𝑐 ∗
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
 + k*y(t) = 0 * 
1
𝑚
 
𝑚
𝑚
∗
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
 + 
𝑐
𝑚 
∗ 
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
 +
𝑘
𝑚 
 * y(t) = 0 
 
d²y(t)
dt²
+ 25 ∗ 
dy(t)
dt
+ 100 ∗ y(t) = 0 
 
d²y
dt²
+ 2 α 
dy
dt
+ Wo2 ∗ y = 0 (6) 
 
 
, 
 
 
 
 
 
2 α = 25 Wo²= 100 
13 
 
 
 
α = 12,5 Wo=10 
 
 S² + 25 S + 100 = 0 (7) 
 
S1;2 = - 25 
+
−
 
√252−4∗100
2
 = 
−25±√225
2
 = 
−25±15
2
 = s’= -5 s’’= -20 
S1 ≠S2 
S1;2 ∈ℝ Amortecimento super critico 
S1;2<0 
Com esses parâmetros definimos que o sistema tem um amortecimento supercrítico que 
pode ser representado genericamente pela figura 4. 
 
Figura 4 : Gráfico de oscilações amortecidas 
(Fonte: KELLY, 2017) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
Considere uma rede hidráulica com uma válvula de alívio de pressão do tipo mola de 
diâmetro de entrada Dₑ = 25 mm, diâmetro de saída Dₛ = 50 mm e pressão de trabalho P = 10 
kgf/m². Considerando devido a um problema na rede e a pressão aumentou e para que se 
aliviasse a pressão e equilibrasse novamenteo sistema a mola teria que se deslocar o mesmo 
valor do diâmetro de saída (x₀ = 50 mm). Considerando ζ = 1,3, podemos determinar a função 
deslocamento de retorno da mola a sua posição zero em função do tempo. (SILVA, 2014). 
Determinando a constante elástica k da mola, com 0,05 N para o valor de força obtidos 
através da equação de “pressão igual força sobre área”, e considerando o deslocamento de x₀ = 
0, 050 m, então. 
 F = kx =⇒ 0, 05 = k · 0, 05 =⇒ k = 1 N/m (8) 
 
 Como a mola está na vertical está sujeita a ação da gravidade, então a massa do 
dispositivo pode ser expressa: 
 
 F = mg =⇒ 0, 05 = m · 9, 81 =⇒ m = 0, 0051 kg (9) 
 
 Assim, 
 𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
 =⇒ 𝜔𝑛 = 1 0, 0051 =⇒ 𝜔𝑛 = 14 rad/s (10) 
 
Sabe-se que o movimento é superamortecido, quando ζ > 1, temos duas raízes reais 
distintas λ₁ = 𝜔𝑛(−ζ + √ζ² – 1 ) e λ₂ = 𝜔𝑛(−ζ − √ζ² – 1 ) , sabendo que ω𝑓 = 𝜔𝑛(− √ζ² – 1 ). 
Assim: 
 
 L{x} = 
sx₀ + 2ζωnx₀ + V₀ 
s² + 2ζ𝜔𝑛s + ω² n
 = 
sx₀ + 2ζωnx₀ + V₀ 
(s − λ₁)(s − λ₂)
 (11) 
 
Podemos reescrever L {x} como: 
 
 L {x} = A
s − λ₁
 + 
B
s − λ₂
 (12) 
 
 Silva (2014), sugere que o retorno da mola é mais lento comparado ao sistema crítico. 
Porém um retorno mais lento faria com a pressão na linha ficasse abaixo da pressão de operação. 
Considerando isso: 
 
15 
 
 
 
x”(t) + 36,4x’(t)+196x(t) = 0 
x(0) = 0,050m 
x’(0) = V(0) = 0 m/s 
 
Aplicando a Transformada inversa de Laplace as condições iniciais temos: 
 
 x(t) = 
𝑥0𝜆
1+2𝑥0𝜁𝜔𝑛+𝑉₀
2𝜔𝑓
 𝑒𝜆₁𝑡 − 
𝑥0𝜆₂+2𝑥0𝜁𝜔𝑛+𝑉₀
2𝜔𝑓
 𝑒𝜆₂𝑡 (13) 
 
encontra-se λ₁ = −6, 5707, λ₂ = −29, 8293 e 𝜔𝑓 = 11, 6293 rad/s, e substituindo os dados, 
temos: 
 
 x(t)=0, 06413e−6,5707 t − 0, 01413e−29,8293 t (14) 
 
Para este exemplo o gráfico do movimento superamortecido é dado por (Gráfico 1): 
 
Gráfico 1 : Deslocamento por tempo 
 (Fonte: Adaptado, Silva 2014) 
 
 Percebe-se que a mola retorna a posição zero em um tempo maior, de um modo mais 
lento, o Gráfico 2 mostra a comparação com um movimento criticamente amortecido (SILVA, 
2014). 
O movimento criticamente amortecido é representado pela curva azul, e o 
superamortecido pela vermelha. 
 
16 
 
 
 
 
Gráfico 2: Movimento criticamente amortecido e superamortecido 
 (Fonte: Adaptado, Silva 2014) 
 
A velocidade pode ser determinada por: 
 
 v = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡 
 (15) 
 
Assim temos: 
 v = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡 
. = −0, 4214 𝑒−6,5707 𝑡 + 0, 4214 𝑒−29,8293 𝑡 
 v(t) = −0, 4214 (𝑒−6,5707 𝑡 − 𝑒−29,8293 𝑡 ) 
 
 
Gráfico 3: Velocidades do movimento 
 (Fonte: Adaptado, Silva 2014) 
 
Para Silva (2014), de início a velocidade no movimento superamortecido é maior e, para 
condições de reais de projeto, outros fatores são relevantes. 
17 
 
 
 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
FURUKAWA, Claudio. Oscilações e Ondas. Disponível em:< https://bit.ly/2rLwMfV>. 
Acesso em: 9 de nov. 2019. 
 
SILVA, Marcos Afonso. Modelagem Matemática: Equações diferenciais ordinárias em 
cursos de graduação. 2014, Dissertação (Licenciatura em Matemática) Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia. São Paulo. 
 
KELLY, S. Graham. Vibrações mecânicas: Teorias e aplicações. 1.ed. São Paulo, 
Cengage do Brasil, 2017. 
 
RAO, Singiresu. Vibrações mecânicas. 4.ed.. São Paulo: Pearson education do Brasil, 
2009. 
 
FAVARO, Suzana. Et al. Análise da força de reação do solo da marcha de idosos sobre 
a influência da simulação de sobrepeso em diferentes velocidades: Estudo piloto. 
Universidade Federal do Paraná – UFPR. Disponível em:< https://bit.ly/2CK1nwD>. Acesso 
em: 11 de nov. de 2019.