Resumo de vetores, matrizes e sistemas lineares

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CÁLCULO
matemática básica
VETORES, MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
INTRODUÇÃO AOS VETORES E AS MATRIZES
● vetores
o vetor é representado por uma reta e
mostra o módulo (comprimento), a direção
(posição) e o sentido (de para ).𝑂 𝑃
esse vetor começa no ponto , que é a𝑂
origem, e termina no ponto que é a extremidade.𝑃
ou𝑣 𝑂𝑃
quando quisermos saber o valor da
coordenada que representa o vetor fazemos o
ponto da extremidade menos o ponto da origem,
ou seja, .𝑣 = 𝑂𝑃 = 𝑃 − 𝑂
○ tipos de vetores
■ vetores iguais
■ vetores opostos
■ vetor unitário
■ vetores colineares
■ vetores coplanares
● matrizes
uma matriz pode ser vista como uma
tabela, com linhas e colunas, cada um dos𝑚 𝑛
elementos desta tabela é chamado de termos da
matriz.
cada um dos termos de uma matriz tem
uma localização própria, por isso, usamos a
notação ( é a linha e é a coluna). assim, uma𝑎
𝑖𝑗
𝑖 𝑗
matriz, de forma mais geral é:
uma matriz tem a notação ( é a𝑀
𝑚×𝑛
𝑀
matriz, com linhas e colunas), lê-se: matriz por .𝑚 𝑛 𝑚 𝑛
○ tipos de matrizes
■ matriz nula
todos os elementos
da matriz nula são iguais a
zero.
■ matriz coluna
é uma matriz
@raysantori 1
CÁLCULO
formada por apenas uma
coluna.
■ matriz linha
é formada por
apenas uma linhas.
■ matriz quadrada
possui o número de
linhas igual ao número de
colunas.
nota: dizemos que essa
matriz é de ordem .𝑛
■ matriz identidade
é a matriz
quadrada de ordem , que𝑛
todos os elementos da
diagonal principal valem
um, e o resto valem zero.
ela é representada pela
letra .𝐼
■ matriz transposta
sua transposta é a
troca de linha com colunas.
OPERAÇÕES COM VETORES
● soma entre vetores
○ regra do paralelogramo
■ coloque os vetores saindo
de uma mesma origem
■ faça as linhas tracejadas
feito isso, fazemos
uma linha tracejada
paralela ao vetor que𝑢
começa na extremidade do
vetor .𝑣
agora fazemos
uma linha tracejada
paralelo ao vetor e que𝑣
começa na extremidade do
vetor .𝑢
@raysantori 2
CÁLCULO
■ encontre o vetor
correspondente a soma
a soma desses
vetores começa na origem
e termina no encontro das
linhas tracejadas.
● o módulo da soma,
ou o vetor de𝑢 + 𝑣
:𝑅
𝑅2 = 𝑢2 + 𝑣2 + 2𝑢𝑣𝑐𝑜𝑠θ
( é o módulo da soma,𝑅
e são os módulo de𝑢 𝑣
cada um dos vetores, éθ
o ângulo entre os
vetores e , quando𝑢 𝑣
estão na mesma
origem).
● se não mudarmos
o módulo, nem a
direção e o sentido,
ele continua sendo
igual.
○ fechamento do triângulo
■ coloque ambos saindo da
extremidade um do outro.
■ a soma é o vetor que
começa na origem do
primeiro e termina na
extremidade do último.
● o módulo da soma:
𝑅2 = 𝑢2 + 𝑣2 − 2𝑢𝑣𝑐𝑜𝑠θ
( é o módulo da soma,𝑅
e são os módulos de𝑢 𝑣
cada um dos vetores, éθ
o ângulo entre os
vetores e .𝑢 𝑣
● subtração entre vetores
𝑢 − 𝑣 → 𝑢 + (− 𝑣)
é o oposto de , ou seja, eles tem os− 𝑣 𝑣
mesmo módulos e direção, mas sentidos
contrários e inverter a direção da seta do vetor ,𝑣
depois resolver a soma.
● multiplicação por um escalar
quando multiplicamos um vetor por um
escalar, ele muda de tamanho e o resultado do
módulo vai ser o escalar multiplicada pelo módulo
do próprio vetor.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
● soma e subtração
some ou subtraia uma matriz, usando o
primeiro termo com o primeiro termo, o segundo
com o segundo e assim por diante.
● multiplicação por escalar
multiplique todos os termos dessa matriz
por um escalar.
● multiplicação entre matrizes
para resolver a multiplicação entre duas
matrizes, você precisa que , ou𝐴
𝑚×𝑛
* 𝐵
𝑛×𝑝
= 𝐶
𝑚×𝑝
seja, o número de colunas da matriz A tem que ser
igual ao número de linhas da matriz B. o resultado
sempre vai ser a quantidade de linhas da primeira
e a quantidade de colunas da segunda.
𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
@raysantori 3
CÁLCULO
resolva a multiplicação fazendo linha com
coluna, ou seja, multiplique a primeira linha da
matriz A pela primeira coluna da matriz B, e assim
por diante, desse jeito você vai estar calculando
cada um dos termos da matriz.
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS LINEARES
● equação linear
○ as incógnitas só podem ter
expoente igual a um, nada de ao
quadrado ou ao cubo.
○ não pode ter duas ou mais
incógnitas se multiplicando.
● sistemas lineares
um sistema linear é um conjunto de
equações com mais de uma incógnita e, a solução
do sistema satisfaz simultaneamente todas as
equações.
para representar um sistema colocamos
as equações dentro de uma chave “{“.
os termos que não possuem nenhuma
incógnita são chamados de independentes,
quando todos os termos independentes são iguais
quer dizer que o sistema linear é homogêneo.
● representação matricial de um sistema
podemos reescrever esse sistema:
como:
a primeira matriz é feita dos valores
(coeficientes) que multiplicam cada uma das
incógnitas.
incógnitas diferentes usam colunas
diferentes.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES COM 2 E 3
INCÓGNITAS
● método da adição
a ideia é somar as equações do sistema e
quando fizermos a soma uma das incógnitas
suma.
○ escolher qual incógnita você vai
zerar.
4𝑥 − 4𝑥 = 0
○ pensar em um número para
multiplicar uma das equações
com o intuito de na hora que
somar zerar uma das incógnitas.
○ multiplicar pelo número escolhido e
somar as equações.
○ resolver a equação e depois
substituir o valor encontrado em
uma das equações do sistema.
4𝑦 = 28 → 𝑦 = 284 → 𝑦 = 7
− 4𝑥 + 2𝑦 =− 6 → − 4𝑥 + 2 * 7 =− 6
− 4𝑥 + 14 =− 6 → 𝑥 = 204 → 𝑥 = 5
● método da substituição
escolha uma das equações e isole uma
incógnita, depois substitua o valor que você
encontrou na equação.
○ isole uma incógnita de uma das
equações
2𝑥 − 𝑦 = 3 → 𝑦 =− 3 + 2𝑥
○ substitua a expressão encontrada
na outra equação
4𝑥 + 2𝑦 = 34
4𝑥 + 2(− 3 + 2𝑥) = 34
@raysantori 4
CÁLCULO
○ resolva as equações.
4𝑥 − 6 + 4𝑥 = 34
8𝑥 − 6 = 34 → 8𝑥 = 40 → 𝑥 = 408
𝑥 = 5
𝑦 =− 3 + 2𝑥 → 𝑦 =− 3 + 2 * 5
𝑦 =− 3 + 10 → 𝑦 = 7
● escalonamento: três incógnitas
○ para manter o sistema
equivalente
■ soma ou subtrai uma
equação pela outra.
■ multiplique uma das
equações inteira por um
número real diferente de
zero.
■ troque duas equações de
posições entre si.
■ multiplique uma das
equações por um número e
soma ou subtraia a outra.
○ formato de escada
■ escolha uma das equações
e deixe ela como a primeira
equação do seu sistema.
■ zere a primeira incógnita.
■ retire a segunda variável
da última equação.
resolvendo as equações temos como
solução .(− 3, 2, 1)
@raysantori 5