Análise Dinâmica de Vigas Sandwich Comprimidas

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ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS SANDWICH COMPRIMIDAS 
SERGIO FERNANDES VILLAÇA 
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRA 
MAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDE-
RAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁ-
RIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIA (M.Sc.) 
Aprovada por: 
e 
RIO DE JA.i'IEIRO 
ESTADO DA GUANABARA - BRASIL 
JULHO 1970 
Para Maria Lucia 
i. 
A G R A D E C I M E N T O S 
Ao Professor Paulo Alcantara Gomes, pela valiosa e dedicada ori-
entaçao. 
Ao Conselho Nacional de Pesquisas e ao Banco Nacional do Desen-
volvimento Econômico, pelo apoio financeiro prestado. 
A Vera, pela confecção gráfica dêste trabalho. 
ii. 
S U M Á R I O 
O problema abordado neste trabalho é o da determinação e análise 
das equaçoes que regem o fenômeno de vibraçÔes transversais de vigas sand-
wich submetidas a cargas axiais de compressao, bem como a análise das car-
gas criticas de instabilidade pelo processo dinâmico. 
Foram estudados os casos correspondentes a diversas condições de 
contorno, e obtidas as respectivas equações de freqUência. 
são apresentados, também, gráficos e tabelas, atraves do quais 
se pode verificar o comportamento das freqUências naturais de viBração e 
da carga de instabilidade, em função da variação da rigidez ao cisalhamen-
to das vigas sandwich. 
iii. 
S U M M A R Y 
The problem undertaken in this work is to determine and analyze 
the equations of lateral vibrations of sandwich beams with an axial 
compressive load, as well as the analysis of the instability loads by a 
dynamic method. 
Some cases, corresponding to several boundary conditions, were 
studied and the respective frequency equations were established. 
The behaviour of the natural fr,equencies with the variation of 
the compressive load is plotted for several values of the shear stiffness 
of the sandwich beams. Numerical tables give the results for each case of 
boundary conditions. 
iv. 
ÍNDICE 
SUMÁRIO ............................................................. ii 
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO • • • • . . • • • . • . • . • . . • . • • • • • . • . • • • • • • • • • • . • • • • • 1 
A) DEFINIÇÕES E HIPÓTESES BÁSICAS ..•...••.••.•••••••• 1 
B) EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS •.••••.••••••••••••••.•••• , • • 2 
CAPÍTULO II - INSTITUIÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VIBRAÇÕES 
TRANSVERSAIS DE VIGAS SANDWICH COMPRIMIDAS ..•••••• ,.. 10 
A) ENERGIA CINÉTICA .•.•••• , ••••••.••••.•••••••••• , • • • 10 
B) ENERGIA POTENCIAL .•• , •••••••...• , .••.•.••••• , • , •• , 11 
C) PRIMEIRA VARIAÇÃO DE UMA INTEGRAL DUPLA........... 13 
D) DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL, A PARTIR DO 
PRINCÍPIO DE HAMILTON . • • • • . • • • . . . • • • . • • • • • • . • • . • • • 19 
CAPÍTULO III - INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E APLICAÇÃO 
A DIVERSOS CASOS DE CONDIÇÕES DE CONTÔRNO .••••••••.•• 23 
A) SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL •..•...•..••.•.••... 23 
B) CONDIÇÕES DE CONTÔRNO . • • . • . • . • • • • • . . • • • • • • • • • • • • . • 28 
C) OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE FREQUÊNCIA PARA 
DIVERSAS CONDIÇÕES DE CONTÔRNO ••••••..••.•••.••••• 31 
CAPÍTULO IV - RESULTADOS E CONCLUSÕES . • . • • • • • • • • • . • • • . . . • • . • . • • • • • • 40 
TABELAS • • • • . • • . • • . • • • • . . • . • • • • • • • • • • • • • • . • . • . • • • • • . • • . • • . • • • • • • • • • • • 44 
GRÁFICOS ...............•.•••••.•.•• , •..••....•...•.•.............•.. 61 
SIMBOLOGIA • • • • • • • • . • • . . • • • • • • • • • . . • • . • . • • • . . • • • • . • . • . • • • • • • • . • • . • . . • 65 
BIBLIOGRAFIA .•••.•.•. , .•••••.••••.••.•.• , ••.•••••...•.•..•...••.•• , . • 68 
1. 
C A P Í T U L O I 
I N T R O D U Ç Ã O 
A) DEFINIÇÕES E HIPÓTESES BÁSICAS 
Entender-se-á, neste trabalho, por vigas sandwich os elementos es 
truturais lineares constituidos por um núcleo leve e duas lâminas delgadas 
(faces), solidarizadas a duas superficies laterais opostas do núcleo (fig.1). 
e 
Fig. 1 
Serão consideradas, além das hipóteses básicas da Resistência dos 
Materiais, as seguintes hipóteses fundamentais: 
~ 
a) Para as faces, sera admitido que as tensoes normais se distribuem linea!_ 
mente ao longo da seção transversal, e que as tensões cisalhantes nao pr;Q_ 
<luzem deformações (a rigidez ao cisalhamento das faces é infinita). 
2. 
b) Com relação ao núcleo, será considerado que nao ocorrem tensoes normais, 
e que existem deformações por efeito do cisalhamento. 
B) EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS 
Por um procedimento geral, serao deduzidas equaçoes fundamentais, 
da flexão para uma viga com faces de mesma espessura (Plantema1). 
Para uma. solicitação,i constituída: por um momento fletor l1 e um es 
fÔrço cortante Q, agindo na seção transversal, o elemento de viga sofrerá 
uma deformação que pode ser 
z 
e 
X 
e 
e 
(a) (b) (c) 
Fig, 2 
decomposta em duas outras: a primeira, que ocorreria se o núcleo tivesse in 
finita rigidez ao cisalhamento (fig. 2-b), e a segunda, que e devida adis-
torçao do núcleo (fig. 2-c). Da mesma forma, a deflexão w da viga pode ser 
decomposta nas deflexÕes parciais·wb e ""s' devidas respectivamente as duas 
3. 
deformações citadas, tendo-se entao 
.w = wb + w s (I.l) 
Para a primeira, sao válidas as equaçoes usuais da Resistência 
' 
dos Materiais, e a tensão normal numa fibra à distância z.da origem, sendo 
esta situada no eixo da viga, e dada por 
a Z,l - E .z. w" b 
(I.2) 
onde E é o módulo de elasticidade do material das faces, e wb representa a 
derivada segunda de wb em relação a x. 
Para a segunda deflexão parcial (w ), se o esfôrço cortante fÔr 
s • 
função de x, haverá uma curvatura w" que não contribui para a curvatura do 
s 
elemento como um todo, pois a tensão normal é 
0 z 2 
' 
= - E ~f w" ·s (I.3) 
onde zf e a distância ao plano médio da face. Desta forma, as faces estao 
sujeitas, para este caso, apenas a momento fletor, não havendo fÔrça normal 
resultante nas mesmas. 
' 
' ' 
Z, 
' ' 
z 
' 
Fig. 3 
O"'z 2-, 
4. 
r 
Os diagramas de tensoes para as deformações parciais estao repr~ 
sentados na fig. 3. 
A tensão normal global nas faces é, portanto 
o o + o ;:- z=,1· ~.,2 (I.4) 
Integrando atraves da espessui;.a das faces, ter-se-á o esfôrço nor 
mal resultante em cada face. Na face inferior,· por exemplo, sendo b a es-
pessura da viga, 
N = 
N = 
c/2+e 
- ~/2 
o b dz, z ,· 
1 
2 
E b e (c + e) w" 
b 
c/2+e 
= -1/2 - E b z ·-
e, na face superior, o esfôrço normal resultante será -N. 
w" 
b 
dz 
A convenção de sinais adotada é apresentada na fig. 4. 
Fig. 4 
(I.5) 
5. 
A parcela Mô do momento fletor, devida as fÔrças resultantes de 
traçao e compressao nas faces será: 
-tua e 
M
0 
= N (c + e) = ½ E b e (c + e/ i,,~ (I.6) 
Considerando as faces em separado, o momento fletor que nelas a-
3 
= E be 
12 ~-" 
3 
= E be "(w" + ,/") 
12 · · b ·s 
-O momento total que age na seçao transversal da viga e 
M = M + 2 Mf o 
A rigidez ' flexão das faces - dada por a e 
3 
Bf = E~ 12 
(I. 7) 
(I.8) 
(I. 9) 
e a r~gidez à flexão da viga, quando as faces sao consideradas como membra-
-nas, e 
B = 1 
2 
2 
E b e (c + e) 
O momento fletor pode, entao, ser dado pela expressao 
H = B w" + 2 B ·~t" . b f .. 
(1.10) 
(1.11) 
A distorção Y do elemento de viga 
1 
1 
1 Fig. 5 
6. 
sandwich esta relacionada a distorção do núcleo Y (fig. 5) pela equaçao 
c 
c.y = (c + e) Y., e, portanto c . 
y 
c • y 
c 
c + e 
A distorção do núcleo Y é dada por 
c 
y 
c 
(1.12) 
(1.13) 
onde b é a tensao cisalhante do núcleo 
c 
-(a qual e independente dez, uma 
vez que, por hipótese, não há tensões normais no núcleo), e G é o módulo de 
cisalhamento do material do núcleo. 
Para a obtenção do diagrama de tensoes cisalhantes ao longo da se 
çao transversal da viga, tem-se que 
c/2+e 
~ i,= J ªº d.z ax 
,z 
Em qualquer ponto do núcleo, a tensao de cisalhamento é 
( - E z· w··u' 
b 
Considerando a face superior, 
z -
c + e 
2 
e, portanto,a equaçao (1.15) se torna 
[
z2
2 
]c/Z+e 
i:\=-E,;b, 
c/2 
z; = 
c 
; E w'b' e (c + e) 
- E w"' 
s [ 
~
2 
c + e 
2- 2 
z] c/2+e 
c/2 
7. 
(I.14) 
(I.15) 
(I.16) 
(1.17) 
O diagrama de tensoes cisalhantes e mostrado na figura 6, e, le-
vando em conta que a espessura das faces é pequena em relação à do núcleo, 
pode-se escrever que, aproximadamente, 
Fig. 6 
Q = G b (c + e) 
c 
ou, substituindo G por seu valor, 
c 
Q G b Y 
c 
(c + e) 
2 
= G Y b (c + e) 
c 
-
8. 
(1.18) 
(1.19) 
Tal aproximaçao acarreta um erro muito pequeno, que diminui quando a rela-
çao c/e aumenta. 
Definindo a rigidez ao cisalhamento S como a relação entre o es-
fôrço cortante e a distorção conseqllente, ter-se-á 
s = -º- = y 
G b (c + e)2 
c = 2 
GB 
Ece 
(1.20) 
Das equaçoes (1.17), (I.18) e (I.19) se deduz, da forma seguinte, 
a relação que liga a deflexão w à distorção Y: 
2 
G y b (e + e) 
e 
e, portanto, 
w11, 
b = -
Mas w"' = w11' 
b 
w''' Y" 
= 
1 
2 
2 G y = 
Ece 
+ w11' 
s 
s y -
b 
' 
2 
E b e (e + e) w'" 
b 
e 
s 
B 
y 
assim 
9. 
(I. 21) 
(I.22) 
(I.23) 
10. 
C A P Í T U L O I I 
INSTITUIÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS SANDWICH COMPRil!IDAS 
A) ENERGIA CINÉTICA 
t 
1 
l _____ _ 
Fig. 7 
Considere-se o elemento de viga representado na figura 7. A ener 
gia cinética de translação do elemento de comprimento dx será dada por 
dT = 
1 
2 
p dx (II. l) 
aw 
onde p e a massa da viga por unidade de comprimento e - a velocidade de at 
translação do elemento·~ na direção w (despreza-se a energia cinética de 
translação na direção x). 
11. 
A energia cinética de translação da viga de comprimento l sera da 
da por: 
1 
T = 2 
l/2 
J p ( :; ) 
2 
dx 
-l/2 
(II.2) 
Será desprezada a influência da inércia de rotaçao das seçoes 
-transversais, que so conduzem a resultados significativos, quando as fre-
· - 2 
qUências de vibração sao altas (Rayleigh ). 
B) ENERGIA POTENCIAL 
A energia potencial de deformação pode ser decomposta em 4 parce-
las: a 1~, obtida considerando a flexão do elemento de viga como um todo; 
a?.~, que leva em conta a rigidez à flexão das faces, consideradas isolada-
mente; a 3~ parcela será aquela devida à deformabilidade da viga ao cisalh!!_ 
menta, que, como visto, tem considerável influência na análise de estrutu-
a - -ras sandwich; e a 4. parcela levara em conta a deformaçao por compressao. 
-Assim, a primeira parcela sera da forma: 
( 
:x2w2b ) 2 dUl = ½ B 
0 
[
a2w _ ~J 2 
ax2 ax 
dx (II.3) 
enquanto que a segunda sera: 
= 2 X l 
2 
e a terceira parcela 
B ( a
2
w )
2 
f ax2 
dU3 = ½ S Y
2 
dx 
dx = B ( a
2
w )
2 
f ax2 
dx, 
A quarta parcela corresponde à energia de deformação por compressão. 
1 dU4 = 2 F 
au 
ax dx 
- - -
12. 
(II.4) 
(II.5) 
(II. 6) 
onde F e a carga axial de compressao eu e a componente do deslocamento se-
gundo o eixo dos x. Esta parcela não será levada em conta na energia pote_!l 
cial de deformação porque nao varia com o tempo. 
A energia potencial de deformação do elemento será, portanto, 
+ B ( a
2
w) 
2 
f ax2 
+ls 
2 
dx (II.7) 
A energia total de deformação da viga pode ser obtida mediante 
integração ao longo do comprimento. Então, 
13. 
J"' \ [a2w _ ay] 
2 
+ B ( a
2
w ) 
2 
+ ui = ls 2 ax2 ax f ax2 
-l/2 
+ 1 s y2 }~ (II.8) 2 
Alem disso, deve ser considerado o trabalho efetuado pelas fôr-
ças de compressao externas, que é a variação da energia potencial dessas 
fÔrças: 
ue = - F J l/2 
-l/2 
dx (II.9) 
~ 
A energia potencial total do sistema sera dada finalmente por: 
I l/2 [ª2" - ayj 2 + B ( a2w) 2 + u 1 B = 2 ax2 ax f ax2 
-l/2 
1 s y2 1 F ( ;; ) 2 f '" (II.10) + 2 2 
C) PRIMEIRA VARIAÇÃO DE UMA INTEGRAL DUPLA 
Com a finalidade de uniformizar as notaçoes e permitir a melhor 
compreensão das equações que serão deduzidas nos próximos itens, será apre-
14. 
sentada a seguir a d.edução da expressao da primeira variaçao de uma inte-
gral dupla, considerando que no funcional dado por 
A e J JH (x, t, W, w' , w, 
R 
w e Y sao funções de x e t. 
" w , Y, Y') dx dt (II.11) 
Seja, ·então, uma regiã6 R definida no plano (x, t), fechada e tal 
que nela pode ser definido um conjunto W de funções w(x,t) e um outro con-
junto r de funções Y(x,t), sendo as derivadas parciais de w e Y continuas 
ate a quarta ordem em R. 
Além disso, considere-~e que qualquer função de W satisfaz a condi 
çÕes forçadas de contÔrno do tipo 
= (II.12) 
- aw -onde a 1 , b1 e c1 sao funçoes definidas no contorno de R, e an e a derivada 
normal ao contorno. 
Considere-se também que qualquer função der satisfaz a condição 
similar 
aY 
an = 
onde a 2 , b2 e c 2 sao funções definidas no contorno 
(II.13) 
aY -, e - e derivada nor-an 
15. 
mal ao contorno. 
Admitindo que as funções w e Y sofrem variações dadas por tn(x,t) 
e tw(x,t),onde E é- um infinitésimo arbitrario,e n e w pertencem respectiv~ 
mente às classes W e r, entao_, a integral A tem um incremento M dado por 
M = J f [H (x, t, w + tn, w' + tn' , 
R 
w + tn , w" + tn" , Y + EW , Y'+ tw') -
H (x , t , w , w' , w w" 
' 
, Y, Y')] dx dt (II.14) 
Aplicando o teorema de Taylor e expandindo a função Hem série de 
potências de E, obter-se-á, desprezando os têrmos de ordem superior (Lang-
3 haar ) : 
ter-se-a: 
+ n" aH aw" + 
aH + 
aw 
aH 
n' aw' + n 
aH 
a;, 
w' ;~. j dx dt 
+ 
(II.15) 
Aplicando o teorema de Green a cada um dos elementos do integrando, 
16. 
dx dt ( ::, ) dx dt + 
R R 
+ aH n aw' dt (II.16) 
- -(Nesta equaçao e nas subsequentes C e a curva que define o contorno de R). 
aH aw: dx dt 
R 
[ aH 
JJ n" dx dt = 
R 
+ n' 
R 
dx 
dt -
a n-ax 
(II.17) 
dx dt + 
dt (II.18) 
17. 
ãH 
ay' dx dt = ( :~' ) dxtdt -
R R 
t ãH ljl ay• dt (II.19) 
-Substituindo os resultados assim obtidos na equaçao (11.15), che-
gar-se-á:a: 
2 
+ _a_. 
ax2 
+ E 
,- E 
( :: .. ) ] + ljl [ aH _ a ay ax 
[
. ãH 
n .aw' - ax 
a 
( :: .. ) ] dt 
n aH dx + E n' 
a 
at 
âH 
aw" dt -
18. 
f dt (11.20) 
e 
A condição de extremo conduz a que a integral dupla na expressao 
acima deva se anular, quaisquer que sejam as funções n(x,t) e i/J(x,t). Em 
- - 4 -particular, isto e valido (Weinstock ) se i/J(x,t) for idênticamente nulo e 
n(x,t) fÔr ainda arbitrário. Com isto, ter-se-á: 
aH a 
aw ax ( !!, ) a at ( :! .. ) = o (II.21) 
Além disto, considerando-se que i/J(x,t) é idênticamente nulo, as 
integrais ao longo de C, cujos integrandos constituem as condições naturais 
de contÔrno, deverão também ser nulas, isto é: 
[ aH a ( :! .. ) 1 o (II.22) n aw' = ax 
n [ :1 ] = o (II.23) 
n' [ :! .. ] o (11.24) 
Procedendo do mesmo modo com relação a Y, virá: 
a 
ax ( :~' ) = o 
com a condição natural de contÔrno 
19. 
(II.25) 
(II.26) 
Se as condições forçadas de contÔrno nao fixam os valores de n e 
w, entao, nas condições naturais descritas acima, os têrmos entre colchetes 
deverão ser nulos. Por outro lado, se n e w forem obrigatÕriamente nulos 
em C, então as condições naturais se transformam em identidades (o que oco_E. 
recomas condições forçadas usuais que se impÕem nos problemas de vibra-
ções de vigas). 
D) DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL, A PARTIR DO PRINCÍPIO DE HAMILTON 
Uma vez obtidas as expressoes das energias cinética e potencial 
da viga, pode ser determinada sem qualquer dificuldade a expressão da ação: 
A 
ou ainda 
f (' -U) a, 
t 
o 
(II.27) 
A= f I"' 
t -.f../2 
o 
( ::; ) 2 1 2 
1 
2 
s l + 1 2 
1 
2 
dx dt 
20. 
2 
aY ] ax 
(II. 28) 
A partir da expressao da açao pode ser obtida, com aplicação do 
principio de Hamilton, a equação do movimento vibratório de vigas sandwich 
comprimidas. Para isto, é suficiente que, ao se construir a expressão da 
primeira variação da ação (o principio de Hamilton é traduzido matemàtica-
mente pelo fato de a primeira variação da açao ser nula), se tenha em mente 
que esta e dada por uma int~gral dupla. Conseqüentemente,é apenas necessi_ 
rio que sejam aplicadas as expressões deduzidas no capitulo anterior, as 
quais fornecem, ·em têrmos de uma equação a derivadas parciais e de condições 
naturais de contôrno, a primeira variação de uma integral dupla. 
H = 1 2 
1 
2 
Considerando-se, então, que H é dado por 
·2 
p w 
+ 
1 
2 
B (w" -_ Y')
2 
1 F (w')2 
2 
B (w") 2 -
f 
(II.29) 
a substituição do seu valor nas equaçoes (11.21) e (II.25) conduz a: 
- p 
- 2 B 
f 
- s y 
F = o 
21. 
] -
(II.30) 
o (II.31) 
que sao as equaçoes diferenciais que regem as vibrações de vigas sandwich 
submetidas a compressão axial. 
Substituindo também o valor de H nas equaçoes (II.22), (II.23), 
(II.24) e (II.26), ter-se-á: 
n 
aw 
ax 
aw 
at 
+ 
1 = 
, a w 
[ ( 
2 
n - B ax2 -
o 
ay) 
ax 
B [ a
3
w _ a
2
Y ) ] = 
ax3 ax
2 o (II.32) 
(II.33) 
a
2
w ] 2 Bf -2 
ax 
o (IL34) 
que sao as condições naturais de contorno associadas à equaçao diferencial 
(II.30), e 
22. 
o (II.35) 
que é a condição natural de contorno associada a equaçao diferencial (II.31). 
Eliminando respectivamente Y e w nas equações (II.30) e (II.31), 
ter-se-a finalmente: 
- 2 B 
f 
+F 
+ F 
s 
B 
p 
+ p 
s 
B 
p = 
= 
o (II.36) 
o (II.37) 
que sao as equaçoes cuja integração será feita para a obtenção das equações 
de freqllência. 
23. 
CAPÍTULO I I I 
INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E APLICAÇÃO 
A DIVERSOS CASOS DE CONDIÇÕES DE CONTÔRNO 
A) SOLUÇÃO DA EQUAÇÀO DIFERENCIAL 
Para a integração das equações diferenciais (II.36) e (II.37), 
instituidas no capitulo precedente, será desprezada a rigidez à flexão das 
faces Bf' sendo estas, portanto, consideradas como membranas. Tal simplif_!. 
cação é válida, uma vez que o valor de Bf é bastante pequeno em relação a B, 
e a sua consideração introduz apreciável dificuldade na análise. 
guintes: 
Desta forma, as equ_açÕes (II.36) e (II.37) reduzir-se-ão às se-
(S - F) 
p 
(S - F) F 
s 
B 
= 
p 
o 
s a2r + p 
B ax2 
(III.l) 
24. 
p = o (III.2) 
Considerando que as vibrações sao periódicas, pode-se admitir, p~ 
ra w e Y, soluções que sao funções senoidais do tempo: 
w(x, t) sen ft. X (x) 
Y(x,t) = sen ft. X (x) 
y 
onde X e Xy sao funções apenas de x. 
(III.3) 
(III.4) 
Substituindo (III.3) e (III.4) em (III.l) e (III.2), estas duas 
Últimas equações passam a ser da forma: 
(S - F) 
4 
d X + 
.dx
4 
f2 s X - p 
B 
{ (S - ') 
éx 
[ F 
y 
+ 
dx4 
p f2 s X 
B y 
s 
B 
s 
B 
+ 
sen 
+ 
} ,., 
p 
ft 
p 
ft 
= o (III.5) 
f2 ] 
d2x __ y 
dx2 
= o (III.6) 
o que implica na validade das equaçoes ordinárias 
(S - F) 
(S - F) 
d
4
X 
. 4 + 
dx 
- p 
- p 
s 
B 
s 
B 
cujas soluções serao da forma: 
X 
X 
y 
s + 
B 
= o 
s + 
B 
= o 
X= cl sena x + c2 cosa x + 
+ C3 senh $ X ·,+ C4 COSh $ X 
p 
Xy = ClQ sena X + c 2O COS a X + 
+ c
3O 
senh $ X + c4O COSh $ X 
onde a e S sao definidos pelas igualdades: 
25. 
(III. 7) 
(III.8) 
(III. 9) 
(III.10) 
F .ª- + p f 2 
2 B 
a = -----
2 (S - F) 
2 ' F ¾+ P f2 
S i= - -2----=---(-S---F~) 
+ [
F .ª- + P f2 ] 
2 
/cs - F) 
+ [
---"-F ¾~+ p~f2 ] 2 
2 (S - F) 
26. 
p f 2 S 
+ B(S - F) (III.11) 
p f
2 
S 
+ B(S - F) (III. 12) 
Substituindo na equaçao (1.20) - que exprime a relação existente 
entre w e Y - as soluções encontradas, virá: 
3 - e a cos a X + 1 
+ e s3 senh S X = 4 
2 
- c20 a COS CL X + 
2 + c40 S cosh S x 
3 3 
c2 a sena. x + c3 S cosh S x 
- elo 
2 
a sena. x 
2 c30 S senh S x + 
s 
B [ ClQ sen CI X + 
+ c20 COS a X + c30 senh S X + 
+ 
+ c40 cosh S x ] (III.13) 
igualdade esta válida para quaisquer valores de x e t. Obter-se-á dai por-
tanto um coI!iunto de equações algébricas que exprimem relações entre as cons 
tantes arbitrárias envolvidas nas eq~açÕes (111.9) e (111.10): 
= 
c20 = 
c30 = 
= 
3 
cl (l 
(l2 + §. 
B 
83 
82 
c4 
s 
B 
s 
B 
27. 
(III.14) 
Êste conjunto de equaçoes permite eliminar quatro das oito cons-
tantes arbitrárias envolvidas no proble~a. Com isto, a solução X(x) fica-
rá perfeitamente determinada se a ela fÔrem aplicadas as condições de con-
- - - 5 -torno geometricas e físicas (Biezeno - Grammel) que traduzem os vínculos 
do sistema. 
Fazendo agora 
s , :S· (l 
B 8 ii" 
-'= J K (III.15) 2 + §. 82 s (l 
B -ii" 
28. 
e tendo em conta (III.3) e (III.4), obtém-se para w(x,t) a expressão: 
w(x, t) = {c1 sen a x + c2 cos a x + 
+ C3 senh 6 X + c4 cosh a x} sen ft (III.16) 
e para Y(x,t) a expressao 
Y (x, t) [ ª2 J 
B 
C1 COS a X s 
2 
J 
B 
c2 + ª2 K 
B 
C3 COSh 6 X + a s sena. x s 
+ ª2 K B s c4 senh 6 X ] sen ft (III .17) 
B) CONDIÇÕES DE CONTÔRNO 
Para os tipos usuais de vincules, as expressões que representam 
as condições de contÕrno são similares àquelas da Resistência dos Materiais, 
com exceção de uma das condições para a extremidade engastada. Assim, se 
tem: 
19) Extremidade engastada 
A primeira condição, neste caso, é a deflexão • . .nula, representada 
pela equaçao 
29. 
w = o (III.18) 
Uma vez fixado que, no engaste, a seçao transversal da viga nao 
sofre rotação, a inclinação w' do eixo da viga neste ponto será igual à 
distorção Y (fig. 8), e, portanto, ter-se-á que 
w' - y o (III.19) 
w" 
Fig. 8 
Esta condição só é válida quando se despreza a rigidez à flexão Bf das fa-
ces, pois admite-se que a declividade das mesmas apresenta uma descontinu.!_ 
dade na extremidade engastada. Como isto é um efeito local, usualmente não 
~ ~ 1 
e levado em conta na analise (Plantema ). 
29) Extremidade simplesmente.apoiada 
Tem-se, para esta situação·, a deflexão nula 
w = o (III. 20) 
30. 
e.a condição de momento fletor nulo, a qual, levando em conta a expressão 
(1.11) e fazendo Bf = O, pode ser escrita 
w" - Y' = O (III. 21) 
3Q) Extremidade livre 
Neste caso, as condições serao: momento fletor nulo, que, como 
visto acima, é dada por: 
w11 - Y' o (III.22) 
e esfôrço cortante igual à componente da fôrça de compressao F na direção 
normal ao eixo da viga, ou seja, 
Q = - M' = F w' (III.23) 
Como se tem - pela equaçao (1.11) e fazendo Bf = o -
M = B (w" - Y') , (III. 24) 
a 2~ condição de contorno pode ser expressa por 
w11 ' - Y" + I_ w' = O 
B 
(III.25) 
31. 
C) OBTENÇÀO DAS EQUAÇÕES DE FREQUÊNCIA PARA DIVERSAS CONDIÇÕES DE CONTÔRNO 
19) Viga engastada nas duas extremidades 
A aplicação das condições de contÔrno 
w = o 
w' - Y O 
para x = ± ½ leva ao sistema de 4 equações homogêneas: 
+ c4 cosh ~ o (III.26) 
al al al 
Jc1 cos 2 - JC2 sen 2 - KC3 cosh 2 -
- KC 4 senh ~ = O (III.27) 
al al al - c1 sen 2 + c 2 cos 2 - c3 senh 2 + 
+ c4 cosh ~ o (III.28) 
32. 
c,.l + JC al Sl + JC
1 
cos 2 2 sen 2 - KC 3 cosh 2 
a.e. + KC4 senh 2 = o (III.29) 
Para que este sistema seja possivel e determinado, é necessário 
e suficiente que seu determinante principal seja nulo, isto é: 
c,.l al 
senh a.e. cosh a.e. sen 2 cos 2 2 2 
J cos 
c,.l 
-J sen 
c,.l 
-K cosh a.e. -K senh a.e. 2 2 2 2 
= o (III.30) 
c,.l al 
- senh a.e. cosh a.e. - sen 2 cos 2 2 2 
J cos 
c,.l 
J al -K cosh Sl K senh a.e. 2 sen 2 2 2 
A condição de nulidade dêste determinante traduz a equaçao de fre 
qUência do sistema e pode ser escrita na forma: 
2 - 2 cos 
J2 _ K2 
al cosh Sl + JK sen al sh Sl o (III.31) 
A equação de freqüência poderá ser descrita em termos de parame-
tros adimensionais. Para tanto, basta fazer: 
V = f 
p 
D = 
« 
Flz. 
B 
B 
s.e,2 
33. 
(III.32) 
(III.33) 
(III.34) 
Os parametros definidos por (III.32), (III.33) e (III.34) sao res 
pectivamente proporcionais à freqUência f, à carga axial de compressão F, e 
ao efeito sandwich, traduzido pelo fato de S (rigidez ao cisalhamento da se 
çao transversal da viga) não ser infinito,; 
Então virá: 
a.2.e.2 1 [ P + V2D + -J (V2D - P) 2 + 4V2 ] = 2 (1 - PD) (III.35) 
] 82.f.2 1 [ - p - V2D + -J (V 2D 2 + 4V2 = 2 (1 - PD) - P) (III.36) 
J 
a (III.37) = 
a
2l 2 D+ 1 
K = 
8 (III.38) 
82.f.2 D - 1 
A equação de freqUência para o casoengaste-engaste será, portan-
to: 
34. 
2 - 2 cos al cosh Sl + 
o (III. 39) 
29) Viga simplesmente apoiada nas duas extremidades 
A utilização das condições de contorno 
w = o 
w" - Y' = O 
para x =±.½conduz ao sistema de 4 equaçoes homogêneas: 
(III.40) 
(111.41) 
al al Sl Sl - c 1 sen 2 + c 2 cos 2 - c3 senh 2 + c4 cosh 2 = O (III.42) 
-aJc1 sen ~l + àJC2 cos ~l - SKC3 senh ~ + SKC4 cosh ~ = O (III.43) 
Como no caso anterior, para que tal sistema seja possível e de-
terminado, deve o seu determinante principal ser nulo, ou seja: 
35. 
al al Bl cosh Bl sen - cos senh 2 2 2 2 
aJ al aJ cos al BK senh 1 BK cosh 1 sen 2 2 
= o (III.44) 
al al 
- senh Bl Bl - sen 2 cos 2 2 cosh 2 
-aJ al aJ cos al -BK Bl BK cosh 1 sen 2 2 senh 2 
o que também pode ser traduzido,·apÓs as simplificações, pela equaçao de 
freqilência 
sen al = O (III.45) 
Neste caso, a freqilência pode ser obtida fàcilmente, tendo-se em conta que, 
para que a equação acima seja satisfeita, é necessário que 
a 
n:rr 
= r (III.46) 
e, portanto, 
f = nll -J > rr2 B (S - F) - FS l 2 
l n2 ll2 o2 pB+pS-e. 
(III.47) 
Também a carga critica pode,neste caso, ser determinada sem maio 
res dificuldades, desde que se faça na equação acima f = O. Obter-se-á, 
entao: 
F cr 
36. 
n
2 n2 B 
n 2 rr2 B S t 2 = --------= ---''---
n2 rr2 B + S l 2 n 2 rr2 B 
1 + 
S l 2 
(III.48) 
Em têrmos dos parâmetros adimensionais definidos no caso ante-
rior, a equação (III.48) pode ser escrita: 
outra. 
l para x = 2 
n2 Il2 
p = ----"'~=-~-
o 1 + n 2 rr2 D 
(III.49) 
3Q) Viga engastada em uma extremidade e simplesmente apoiada na 
As condiçÕes de contÔrno serão, neste caso, dadas por: 
w = o 
w" - Y 1= O 
l 
para x = - 2 
w = o 
w' - Y = O 
A partir da aplicação destas condições de contÔrno, e levando-se 
em conta o raciocinio efetuado nos dois casos precedentes, a equação de fre 
qUência será obtida por meio do determinante 
37. 
o.l o.l 
senh f cosh f sen - cos 2 2 
o.J 
o.l 
o.J cos 
o.l 
aK a.e. aK cosh f sen 2 2 senh 2 
= o (III.50) 
o.l o.l a.e. 
cosh f - sen 2 cos 2 senh 2 
J cos o.l J o.l -K cosh al K senh f 
2 
sen 2 2 
de onde provém a equaçao de freqUência: 
K sen o.l cosh al + J cos o.l senh a.e. = O (III. 51) 
que pode ser descrita, em têrmos dos parametros adimensionais definidos P!'!. 
ra o lQ caso, como 
--~a_l ___ sen o.l cosh al + o. l cos o.l senh al = O 
a2 ,e_2 D - 1 o.2 ,e_2 D + 1 
(III.52) 
49) Viga engastada em uma extremidade e livre na outra. 
Para êste caso, as condições de contÔrno são definidas pelas e-
quaçoes: 
w = o 
w' - Y = O 
l 
para x = - 2 , e 
w" - Y' = O 
w11' - y" + F ' -w 
B 
38. 
= o 
l - ~ -para x = 2 , e a equaçao de freqUencia sera obtida a partir da condiçao 
J cos a.l: .· J 
a.l -K Bl 
2 
sen 2 cosh 2 
a.l a.l Bl 
- sen - cos - senh 2 2 2 
aJ 
a.l aJ a.l flK senh ~ sen 2 cos 2 
2 Fa · a.l (a J - -)cos-B 2 
= o 
"'!-que se reduz. a 
[ 
2 F 2 + aJK (B K - B 8) + BJK (a.J F - - a) B ] . 
K Bl senh 2 
cosh ~ 
Bl BK cosh 2 
2 FB fll (B K - -)senh-B 2 
(III.53) 
39; 
sen a.l senh Sl + 
- SK
2 
(,/ J - f a) ] cos al cosh Sl = O (III.54) 
ou ainda, em têrmos de parâmetros adimensionais, a: 
+ 
. sen al senh sl + 
(III.55) 
40. 
C A P Í T U L O I V 
RESULTADOS E CONCLUSÕES 
As tabelas e gráficos apresentados a.seguir, fornecem valores n_l!. 
méricos para os parametros P, V. e D, que, como visto, relacionam-se respe.!e, 
tivamente à carga de compressão F, à frequência de vibração f e ao inverso 
da rigidez ao cisalhamento S. 
Em situações particulares, definem-se ainda os parametros 
p 
o 
F cr = ----
B 
onde F e a carga critica de instabilidade, e cr 
V 
o 
f_g 
o-V B 
sendo f a freqUência natural de vibração da viga sem carga axial. 
o 
(IV.l) 
(IV.2) 
As tabelas 1 a 4 apresentam, para os quatro casos estudados, os 
parâmetros P e V para diversos valores de D e para os quatro primeiros mo 
o o 
dos de vibração. Estão tabelados ainda os valores para os quais tende P, o 
quando o n~mero que representa o modo de vibração cresce indefinidamente. 
Tais valores correspondem à chamada."carga de instabilidade por cisalhame!!_ 
to", que é igual à rigidez ao cisalhamento, sendo, conseqllentemente, os va 
41. 
lores tabelados os inversos dos respectivos parametros D. Deve-se notar, 
alem disso, que êstes valores de P, pela sua própria natureza, indepen-o 
dera das condições de contÔrno da viga. 
-Verifica-se pelas tabelas 1 a 4 que, a medida que diminui a rig,!_ 
dez ao cisalhamento, tanto a carga de instabilidade como a freqüência de 
vibração decrescem. Êste efeito se acentua para modos de vibração mais e-
levados. 
Nas tabelas.S a 8 encontra-se a variaçao da relação V/V com a o 
relação P/P, para diversos valores de D e para os dois primeiros modos de 
o 
vibração. No caso particular de viga bi-apoiada, V/V está relacionado a o 
P/P independentemente do parâmetro D e do modo de vibração, Isto pode ser 
o ~-
fàcilmente comprovado a partir da equaçao (111.47), a qual, em têrmos de pf 
râmetros adimensionais, transforma-se em: 
V = nll ·n
2rr2 - P (n2rr2 D+ 1) 
n
2rr2 D + 1 
(IV.3) 
-Fazendo na equaçao acima P 
ga axial), virá: 
O (o que corresponde a viga sem car 
V = nll 
o 
A relação V /V ficará, portanto: · 
o , 
(IV.4) 
V 
V 
o 
= 
ou. elevando-se ao quadrado e simplificando, 
42. 
(IV.5) 
(IV.6) 
Levando agora em conta a equaçao (III.49), que fornece. o valor 
de P, e substituindo êste valor na equação acima, chega-se a: 
o 
(~0)2 = 1 p p 
o 
Portanto, a tabela 5, que fornece os 
(IV.7) 
p 
valores de P relacionados 
o 
a~ para o caso da viga bi-apoiada, é válida para qualquer valor de D e 
o 
para qualquer modo de vibração. 
Das tabelas 5 a 8 pode-se concluir que a freqüência de vibração 
-diminui quando a carga de compressao cresce, anulando-se quando se atinge 
a carga critica de instabilidade. 
Nos gráficos 1 a 4 estão traçadas as curvas que representam a V!!_ 
riação de V com o parâmetro P, para diversos valores de D e para os quatro 
primeiros modos de vibração. Na interseção das curvas com o eixo vertical 
(V), têm-se os valores de V (que correspondem às freqüências naturais de 
o 
43. 
vibração sem carga axial); na interseção das curvas com o eixo horizontal 
-(P), encontram-se os valores de P, que correspondem as cargas de instabi-
o 
lidade elástica. 
O presente trabalho pode ser estendido a outros casos de carreg.!!_ 
mento e a outros tipos de condições de contÔrno. Como passos seguintes, 
poderiam ser considerados que a carga de compressão se comporta como uma 
6 "follower force" (Ziegler ). Neste caso, o sistema torna-se nao conserva-
tivo, e o processo dinâmico empregado para a análise da carga critica so-
fre modificações; é preciso analisar o comportamento da primeira e da se-
gunda freqUências, e verificar quando as duas se tornam iguais. 
Além disso, o presente trabalho poderá ser continuado, fazendo-
se a determinação das regiões de instabilidade dinâmica e da influência do 
efeito sandwich nos limites de instabilidade. É suficiente, para isto, 
considerar que a carga de compressão é uma função do tempo. 
c~sc APU]O-APOIO (!)' 
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FRFCUE~CIAS COM :ARGA AXIAL ~ULA 
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G.C20 I g.019 J 29.511 1 53.30~ 77. 1,40 
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---------------------·---- ·-----------------------
44. 
' 
CASJ ENGASTE-ENGASTE -(III 
************************* 
T1,BtL4 2-A CARGAS CRITICAS DE FLAMBAGEM 
1 I MOOOS I 
D !---. ------------------ - --- .--------------------( 
I l I 2 I 3 l 4 I 00 1 
J-------!---------1---------J----- ---1---------1---------I 
1 l I l I I 
ú. OúO -1 39.478 I 80.763 I 157.913 l 238.716 I oO I 
1 I I l l I 
o. (jl)'.) 1 32.970 l 55.956 l 88.241 I 1U6.9[;9 .l 200.000 l 
I I 1 I I 
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l I I I 1 I 
I 0.015 24.795 [ 34.724 I 46.P,77 [ ':>0.887 I 66.667 I . 
I J I I I I I 
o.o;,o 1 22.060 I 29.2l', l 37.976 I (JQ.355 I 50.000 I 
1 1 I [ 1 [ 
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Q.(JJO I ll}.073 I 22.209 1 27.524 I 2/l.574 l 33.333 I 
I I [ I [ I 
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TAH~LÀ 2-G FREOUENC!AS COM CARGA AXIAL NULA 
l I MODOS l 
ü l .--------------------------------------] 
! ! . l I 2 l 3 l 4 l 
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1 1 r 1 1 
0.000 1 22.373 1 61.673 I 120.903 199.859 I 
l · l 1 l 1 
l 0.005 l 20.023 l 49.563 l 86.991 l 123.914 1 
1 1 l l I 
u.010 1 1a.21t 1 42.592 1 71.734 1 103.162 1 
1 I I I I 
I n.r,15 ! 16.914 1 37.950 l 62.611 l ss: 740 I 
! l l 1 1 ( 
I O~C~~O [ 15.814 I 34.582 I 56.357 I 79.156 I 
l l I I I I 
ü.025 I 14.9G4 I 31.996 I 51.717 .l 72.175 I 
l I I I . J 
0~030 I 14.133 I 29.~30 1 48.091 l 66.788 I 
1 l 1 1 I 
-----------------------------------------· -------
45. 
CASO ENGASTE-APUJO (III) 
************************· 
TAíli::L/, 3-i\ CARGAS CRITICAS UE FLAMôAGEM 
-----------------------r----------- ------------------------, 
I. MODOS I 
Q !----------------------------- -------------------1 
1 .1. 1 I 2 l 3 I 4 l oo I 
1-------1---------I---------!---------I---- ----I---------1 
1 l I I l I I 
1 C.000 20.191 I 59.680 I 118.900 I 197.858 l 00 l 
J l I l I I 
.I (1.005 i · l~.175 1 45.614 I 74.106 I 134.523 l 200.noo I 
1 I I ! · I I 
. 1 Cl.UlO J 16.525 I 36.915 I 53,829 I 65.939 l 100.000 I 
l I :1 I 1 I 
0:015 l 15.151 l 31.005 I 42.268 J ~9.499 I 66.667 I 
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46. 
CASO E~~ASli-LIVRE (IV) 
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TAf;i:LA 4-A· CARG4S CRITl~AS DE FLAMaAGEM 
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47. 
CASO APOIO S!~PLES-APOib SIMPLES Ili 
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48. 
49. 
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52. 
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56. 
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57. 
CASO ENOASTF-LIV~E IIV) 
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58. 
CASO E~~ASTE-LIVRE {IV) 
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61. 
G R Á F I C O 1 
CASO APOIO-APOIO 
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V V 
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\ \ C} o \ 
o 5 10 o 2D . 4Dp p 
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V V 
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{no o 50 o mo 1.60 
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62. 
G R Á F I C O 2 
CASO ENG!,STE -ENGASTE 
MCJCO 1 D MJOO 2 
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V V 
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o 100 150 o 100 200 250 
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V 
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63 .• 
GRÁFICO 3 
CASO ENGASTt.-APOIO 
MODO 2 M'JDO i 
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V 
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64. 
G R Á F I C O 4 
CASO ENGASTE-LIVRE 
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V V 
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p p 
65. 
S I M B O L O G I A 
A -a~o 
B rigidez a flexão da viga sandwich 
Bf - rigidez à flexão das faces da viga sandwich 
b largura da viga sandwich 
c - espessura do núcleo da viga 
-D - parametro adimensional inversamente proporcional a rigidez ao ci 
E 
e 
F 
F cr 
f 
G 
H 
J, K 
salhamento 
- m~dulo de elasticidade do material das faces 
- espessura das faces da viga sandwich 
- fÔrça de compressao axial 
- carga critica de instabilidade 
- freqllência natural de vibração 
- módulo de cisalhamento do material do núcleo da viga sandwich 
- Lagrangeana do sistema 
- parametros homogêneos ao inverso de um comprimento, definidos p~ 
las equações (III.15) 
comprimento da viga 
M - momento fletor que age na seçao transversal 
66. 
M - parcela de momento fletor devida as resultantes de traçao e com-
o 
pressao nas faces 
Mf - parcela de momento correspondente a flexão das faces 
N - fôrça resultante das tensoes normais nas faces 
n - numero inteiro e positivo que corresponde ao modo de vibração 
p - parâmetro adimensional proporcional a fÔrça axial F 
p 
o 
- valor que assume o parametro P quando f = O 
Q - esfôrço cortante na seçao transversal 
s - rigidez ao cisalhamento 
T - energia cinética 
t - variável tempo 
u - energia potencial total do sistema 
u. 
1 
- energia de deformação da viga 
u 
e 
·- trabalho das fôrças externas 
V - parametro adimensional proporcional à freqUência de vibração 
V 
o 
- valor assumido pela parametro V quando F O 
w deflexão da viga 
wb' ws deflexÕes parciais definidas no texto 
X, X 
y 
- funções de x definidas no texto 
X - abscissa de um ponto do eixo da viga 
67. 
z distância de um ponto da seçao transversal ao eixo da viga 
zf - distância de um ponto da seçao transversal situado na face, ao 
eixo desta 
(l' 8 - parametros homogêneos ao inverso de um comprimento, definidos no 
texto 
Y distorção do elemento da viga 
Y distorção do núcleo da viga 
c 
p massa por unidade de comprimento da viga 
o - tensao normal em um ponto da face a distância z do eixo da viga 
z 
o 1 , o 2 - parcelas de o z' z' z 
Gz - tensao cisalhante em um ponto a distância z do eixo da viga 
G - tensao cisalhante no núcleo da viga 
c 
68. 
B I B L I O G R A F I ~ 
1 - Plantema, Frederick J., "Sandwich Construction"; John Wiley and Sons, 
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2 - Rayleigh, Lord J.W.S., "Theory of Sound"; Dover, London, 1945 
3 - Langhaar, Henry L., "Energy Methods in Applied l-!echanics"; John Wiley 
and Sons, New York, 1962 
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7 - Nowacki, W., "Dynamics of Elastic Systems"; Chapman and Hall Ltd., 
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Pergamon Press, Hungary, 1969 
10 - Girkmann, Karl, "Flilchentragwerke"; Springer-Verlag, Wien, 1963 
69. 
11 - Gelfand, I.M. - Fomin, S.V., "Calculus of Variations"; Prentice-Hall, 
Englewood Cliffs, New Jersey, 1963 
12 - Timoshenko, Stephen P. - Gere, James M., "Theory of Elastic Stability"; 
McGraw-Hill, 1961 
13 - Raville, M.E. - Ueng, E.S. - Lei, M.M., "Natural Frequencies of 
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16 - Kimel, W.R. et al., "Natural Frequencies of Vibration of Simply 
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