LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS_EXERCÍCIOS

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Considere: 
𝑠𝑒𝑛 49° ≅ 0,79. 
𝑠𝑒𝑛 55° ≅ 0,82. 
𝑠𝑒𝑛 76° ≅ 0,97. 
 
 
Seno e Cosseno – Ângulos Suplementares 
▪ O seno do ângulo de medida 90° é igual a 1, ou 
seja: 
 
 
▪ O cosseno do ângulo de medida 90° é igual a 0, 
ou seja: 
 
Para calcular o seno e o cosseno de alguns ângulos 
obtusos, considere a figura a seguir, em que 𝜶 é um 
ângulo obtuso. 
 
 
 
 
▪ O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do 
suplemento desse ângulo, ou seja: 
 
 
▪ O cosseno de um ângulo obtuso é oposto ao 
cosseno do suplemento desse ângulo, ou seja: 
 
 
Lei dos Senos 
Dado um triângulo ABC qualquer, a medida dos 
lados é proporcional aos senos dos ângulos internos 
opostos correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Situação 01 
Um topógrafo precisava determinar a distância entre 
os pontos A e B situados nas margens opostas de 
um rio. Para isso, a partir de A, ele andou 30 m em 
linha reta até um ponto C. Após isso, mediu com um 
teodolito os ângulos 𝐵�̂�𝐶 e 𝐴�̂�𝐵 obtendo 49° e 55°, 
respectivamente. 
 
Qual é a distância entre os pontos A e B? 
(a) 29,4 m. (d) 26 m. 
(b) 28 m. (e) 25,4 m. 
(c) 27,4 m. 
 
Situação 02 
Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol 
e obtém a leitura de 30° para o ângulo formado entre 
a sua trajetória e a linha de visada do farol. Após 
navegar 20 milhas, através de uma nova visada ao 
farol, obtém a leitura de 75°. 
Qual a distância entre o farol e o navio no instante 
em que se fez a 2ª leitura? (Considere: √2 ≅ 1,4) 
(a) 14 milhas. 
(b) 15 milhas. 
(c) 16 milhas. 
(d) 17 milhas. 
(e) 18 milhas. 
 
Situação 03 
Para participar de uma prova em uma competição de 
robótica, os integrantes de uma equipe devem 
programar seu robô para realizar as etapas descritas 
a seguir. 
 
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS 
𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎° = 𝟏 
𝒂
𝒔𝒆𝒏 �̂�
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏 �̂�
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏 �̂�
 
𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° = 𝟎 
𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟖𝟎° − 𝜶) 
𝒄𝒐𝒔 𝜶 = −𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟖𝟎° − 𝜶) 
 
 
Analise o esquema. 
 
Considere: 
(𝑠𝑒𝑛 50° ≅ 0,77 e 𝑠𝑒𝑛 80° ≅ 0,99) 
De acordo com as informações apresentadas, 
podemos afirmar que a distância do ponto B até o 
ponto C é de aproximadamente: 
(a) 32 m. 
(b) 31 m. 
(c) 29 m. 
(d) 27 m. 
(e) 25 m. 
 
Lei dos Cossenos 
Dado um triângulo ABC qualquer, temos que o 
quadrado da medida de um lado é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados, 
menos o dobro do produto da medida desses dois 
lados pelo cosseno do ângulo formado por eles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Situação 04 
(UEPA) A figura a seguir mostra o corte lateral de um 
terreno onde será construída uma rampa reta 𝐴𝐶̅̅̅̅ , 
que servirá para o acesso de veículos à casa, que se 
encontra na parte mais alta do terreno. A distância 
de A a B é de 6 m, de B a C é de 10 m e o menor 
ângulo formado entre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ é de 120°. 
 
Então, o valor do comprimento da rampa deve ser 
de: 
(a) 12 m. 
(b) 12,5 m. 
(c) 13 m. 
(d) 13,5 m. 
(e) 14 m. 
 
Situação 05 
Observe o visor de um relógio de ponteiros que 
marca 2 horas. Sabendo que os ponteiros menor 
(das horas) e maior (dos minutos) medem, 
respectivamente, 50 cm e 80 cm, a distância entre 
suas extremidades nesse horário é de: 
(a) 55 cm. 
(b) 60 cm. 
(c) 65 cm. 
(d) 70 cm. 
(e) 75 cm. 
 
 
 
Situação 06 
Em uma propriedade rural, são criados peixes em 
três tanques: A, B e C. Há tubulações lineares que 
conectam os tanques A e B e os tanques A e C, 
conforme ilustra a figura a seguir. 
 
Quantos metros de tubulação linear são necessários 
para conectar os tanques B e C ? 
(a) 3 km. 
(b) 3,36 km. 
(c) 4 km. 
(d) 4,36 km. 
(e) 5 km. 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔�̂� 
 
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔�̂� 
 
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔�̂� 
 
 
QUESTÕES DE ENEM 
 
Questão 01 (Enem 2019) 
(Enem/MEC) Uma desenhista projetista deverá 
desenhar uma tampa em forma circular. Para 
realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de 
apenas um compasso, cujo comprimento das hastes 
é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel 
com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho 
dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de 
forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. 
A ponta seca está representada pelo ponto C, a 
ponta do grafite está representada pelo ponto B e a 
cabeça do compasso está representada pelo ponto 
A conforme a figura. 
 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o 
setor de produção. Ao receber o desenho com a 
indicação do raio da tampa, verificará em qual 
intervalo este se encontra e decidirá o tipo de 
material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo 
com os dados. 
 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de 
produção será: 
(a) I. (d) IV. 
(b) II. (e) V. 
(c) III. 
Questão 02 (Enem 2007) 
Para se calcular a distancia entre duas arvores, 
representadas pelos pontos A e B, situados em 
margens opostas de um rio, foi escolhido um ponto 
C arbitrario, na margem onde se localiza a arvore A. 
As medidas necessarias foram tomadas, e os 
resultados obtidos foram os seguintes: 𝐴𝐶 = 70 𝑚, 
𝐵�̂�𝐶 = 62° e 𝐴�̂�𝐵 = 74°. 
 
Sendo 𝑐𝑜𝑠 28° = 0,88 , 𝑠𝑒𝑛 74° = 0,96 e 
𝑠𝑒𝑛 44° = 0,70 , podemos afirmar que a distância 
entre as árvores é : 
(a) 48 metros. 
(b) 78 metros. 
(c) 85 metros. 
(d) 96 metros. 
(e) 102 metros. 
 
 
Tabela Trigonométrica