Aula 04 - Conjunto dos Números Irracionais

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17/09/2022
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Matemática – Prof: Fábio Black
Conjunto dos Números 
Irracionais
Números Irracionais
ℚ´ = 𝐼 = 𝐷í𝑧𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎𝑠
Dízimas não exatas
• 𝜋
• 3,15398746592133136467.....
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Números Racionais
Raízes não exatas
3
 
= 1,7320508075688...
128
 
=
Passo – a – passo 
1- Decomponha o número em 
fatores primos
2- Circule os números primos 
iguais de acordo com a 
quantidade do índice da raiz 
3- Escreva os números que 
você circulou
4- Multiplique esses números, 
o resultado ficará fora da raiz
128
64
32
16
8
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
2
2
2
=8
8 2 
5- Multiplique os números que 
não foram circulados, o resultado 
deles ficará dentro da raiz
Números Irracionais
0,9
 
 =
9
10
 
Transforme em fração
9
10
 
=
9
 
10
  =
3
10
  ?
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Números Irracionais
Propriedades dos Radicais
aaaa 1n
nn n  222 13 3 
nnn baba  23 63 baba 
n
n
n
b
a
b
a

5
3
5
6
5
6
 b
a
ou
b
a
b
a

Números Irracionais
Operações com radicais
Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único 
radical somando-se os fatores externos desses radicais.
  331324132343 
  55
externos
fatores
555 333232323332 

    
reduzidamaisserpodenão
532256322456532224 
Adição e Subtração
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Números Irracionais
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e multiplicar ou dividir os radicandos, simplificando sempre que 
possível o resultado obtido.
 155353 
 10 65 2 65 2 3 25 3 2 2 
 33
3
3
33 2
10
20
10
20
10:20 
Como os índices das raízes 
são iguais, podemos 
substituir as duas raízes por 
uma só!
Números Irracionais
Radicais têm índices diferentes.
O caminho mais fácil é reduzir os radicais ao mesmo índice e efetuar as operações.
m.m.c.(2,4) = 4
m.m.c.(2,3) = 6
3
 
. 2 = 3². 2 = 3 . 2 = 9.2 = 18
2
 
÷ 2 = 2³ ÷ 2² = 2³ ÷ 2² = 8 ÷ 4 = 2
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Números Irracionais
0,9
 
 =
9
10
 
9
10
 
=
9
 
10
  =
3
10
  ?
Racionalização de denominadores
3
10
 
Raiz em baixo, só de árvore
=
3
10¹
.
10¹
10¹
.1 =
3 10¹
10²
=
3 10¹
10
1º Caso: Raiz quadrada
2º Caso: Não é raiz quadrada
3
10
=
3
10¹
.
10³
10³
.1 =
3 10³
104
=
3 10³
10
Números Irracionais
3º Caso: Soma ou Subtração de radicais
2
2 − 3
  .
2 + 3
 
2 + 3
  =
2. (2 + 3
 
)
(2 − 3
 
)(2 + 3) 
=
2. (2 + 3
 
)
(2 − 3
 
)(2 + 3) 
(a+b)(a-b) = a²-b² (a+b)(a-b) =ou a² -ab +ab -b² = a²-b²
=
4 + 2 3
 
(2 ) − ( 3
 
)²
=
4 + 2 3
 
4 − 3
=
4 + 2 3
 
1
2
2 − 3
 
= 4 + 2 3
 
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Números Irracionais
Potência com expoente fracionário
Obs.:É importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou seja 
(o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).
n
p
n p aa 
3
1
3 22  2
33 44  525 2 66 
5 35
3
22 