Prova Fundamentos de Cálculo Aplicado 2

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Questão 1
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.
Fonte:Disponível em:
 
Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem.
I-   A integração é operação inversa da derivação.
II-  Se f é uma função contínua no intervalo left square bracket a comma b right square bracket, então , onde G é uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G apostrophe equals f.
III - A integral definida e a integral indefinida diferem-se na função a ser integrada.
É correto apenas o que se afirma em:
Resposta Correta
Resposta correta: Apenas as afirmações I e II estão corretas. 
Questão 2
Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O difícil é construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x equals c spacee a função f space open parentheses x close parenthesesé derivável neste ponto, então x equals c é um ponto crítico, isto é, f space apostrophe left parenthesis c right parenthesis equals 0.
Fonte:Disponível em:
 
Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem.
I- Todo ponto crítico é máximo ou mínimo relativo.
II - Se  f " left parenthesis x right parenthesis greater than 0 spaceem algum ponto x de seu dominío, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para baixo nas vizinhanças de x.
III -  O ponto x equals 0 é um ponto de inflexão de .
É correto o que se afirma em:
Resposta Correta
III.
Resposta correta.  Apenas as afirmação III está  correta. I- Todo ponto crítico é máximo ou mínimo relativo.(Falso, pois o ponto crítico pode ser um ponto de inflexão) II - Se  f " left parenthesis x right parenthesis greater than 0 spaceem algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para baixo nas vizinhanças de x.(Incorreto, pois para este caso a concavidade é voltada para cima) III -  O ponto x=0 é um ponto de inflexão de .
Questão 3
Para resolver integrais usamos técnicas de integração. Existem técnicas básicas e técnicas mais avançadas. Assim uma das técnicas de integração  avançada é a integração de fração parcial. Assim, se  qualquer função racional pode ser escrita como a soma de frações básicas. Usando o método das frações parciais, podemos então integrar a função racional integrando a soma das frações parciais.
 Podemos afirmar que a integral da função integral space fraction numerator 7 t minus 3 space space over denominator t squared minus 2 t minus 3 end fraction d t é:
Resposta Corrigida
  A resposta correta é 5 over 2. ln open parentheses t plus 1 close parentheses plus 9 over 2. ln open parentheses t minus 3 close parentheses plus C
Questão 4
Suponha que uma bola partindo do repouso caia  de um suporte de 20 m de altura. Considerando a equação do espaço  onde t é o tempo, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas
I. A bola leva dois segundos para atingir o solo.
PORQUE
II. A velocidade da bola ao atingir o solo é de 20m/s
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Resposta Corrida
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
Resposta correta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.   Primeiro vamos analisar quantos segundos a bola demora durante a queda. . Logo II é verdadeira. Depois vamos ver a que velocidade a bola atinge o chão.   Considerando a derivada da função espaço ,tem-se: v open parentheses t close parentheses equals s apostrophe left parenthesis t right parenthesis space equals 10 times t Como ela leva o tempo de dois segundos para  atingir o solo , tem-se:   v left parenthesis 2 right parenthesis equals 10 times 2 equals 20 space open parentheses m divided by s close parentheses
Questão 5
A regra da cadeia é uma técnica  utilizada para resolver derivadas funções compostas, formalmente ela é definida como:   sejam  y equals h left parenthesis u right parenthesis e  u equals g left parenthesis x right parenthesis duas funções deriváveis, com I m left parenthesis g right parenthesis subset of D o m open parentheses h close parentheses, e consideremos a função compostay equals f left parenthesis x right parenthesis equals h left square bracket g left parenthesis x right parenthesis right square bracket. Então f é derivável e f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals h apostrophe left parenthesis g left parenthesis x right parenthesis right parenthesis. g apostrophe left parenthesis x right parenthesis, para todo  Neste contexto, sobre da regra da cadeia, julgue as afirmações que se seguem:
I- A derivada função f left parenthesis x right parenthesis equals open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses cubed é  f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 3 open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses squared. open parentheses 2 x minus 1 close parentheses.
II- A função f left parenthesis x right parenthesis equals open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses cubed tem  f apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 6 open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses. open parentheses 2 close parentheses.
III- A função f left parenthesis x right parenthesis equals open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses cubed tem f apostrophe apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 12 open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses
 IV- A função f left parenthesis x right parenthesis equals open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses cubed é  f apostrophe open parentheses 0 close parentheses equals 0.
É correto apenas o que se afirma em:
Resposta Corrigida
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Questão 6
A derivada de uma função é um dos conceitos central do cálculo. Pois as derivadas trabalham com as taxas de variação. Por isso as derivadas têm aplicações em diversas áreas. No cálculo de um processo que ocorra variação podemos usar as derivas.
Neste contexto, determine a derivada de primeira ordem da função f left parenthesis t right parenthesis equals left parenthesis t cubed plus 4 t right parenthesis to the power of 4  em seguida avalie seu valor em t equals 1.
Resposta Corrigida
A resposta correta é 3500
Questão 7
A operação de integração também é conhecida com antiderivação, pois ela é a operação inversa da derivada.  Uma função  F é chamada  de antiderivada de uma função f no intervalo I se F apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals space f left parenthesis x right parenthesis para todo x em I.  avalie a seguintes asserções e a relações entre elas.
 
I- A função F open parentheses x close parentheses equals negative 4 cos s e c open parentheses x close parentheses plus 2 space t g open parentheses x close parentheses plus c é a primitiva da função4 space cos s e c open parentheses x close parentheses space c o t g open parentheses x close parentheses plus 2 s e c squared open parentheses x close parentheses.
                          PORQUE 
II- F apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals space f left parenthesis x right parenthesis
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Sua resposta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
Solução: I- A função F open parentheses x close parentheses equals negative 4 cos s e c open parentheses x close parentheses plus 2 space t g open parentheses x close parentheses plus c é a primitiva da função  4 space cos s e c open parentheses x close parentheses space c o t g openparentheses x close parentheses plus 2 s e c squared open parentheses x close parentheses.                           PORQUE  II- F apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals space f left parenthesis x right parenthesis     Resolvendo F apostrophe open parentheses x close parentheses equals f open parentheses x close parenthesesF open parentheses x close parentheses equals negative 4 cos s e c open parentheses x close parentheses plus 2 space t g open parentheses x close parentheses plus cR e s o l v e n d o space a space d e r i v a d a space d a space f u n ç ã o space F apostrophe open parentheses x close parenthesesF apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 4 cos s e c open parentheses x close parentheses plus 2 space t g open parentheses x close parentheses plus cF apostrophe open parentheses x close parentheses equals 4 space cos s e c open parentheses x close parentheses c o t g open parentheses x close parentheses plus 2 space s e c squared open parentheses x close parentheses
Questão 8
 A função logarítmica que tem seu domínio  no conjunto dos números reais positivos e sua imagem no conjuntos dos reais, ou seja, f colon straight real numbers asterisk times subscript plus rightwards arrow straight real numbers space t a l space q u e space f open parentheses x close parentheses equals log subscript b open parentheses x close parentheses comma space c o m space b element of straight real numbers asterisk times subscript plus space end subscript e space greater than b not equal to 1. A função pode ser uma função crescente ou uma função decrescente.
Neste contexto, complete as lacunas da sentença a seguir.
A função logarítmica f open parentheses x close parentheses equals log subscript b open parentheses x close parentheses é crescente em todo seu domínio se, e somente se,________________. E decrescente se, e somente se _____________________.A função logarítmica é inversa da função_______________________. Assim com são funções inversas entre si seus gráficos são simétricos em relação à reta suporte da bissetriz do 1º e 3 º quadrantes.
Assinale a alternativa que completa as lacunas corretamente:
Resposta Corrigida
  A resposta correta é b>0, 0exponencial.
Questão 9
A Álgebra tem como objetivo principal a resolução de problemas que envolvem números desconhecidos, representados por letras do alfabeto. A relação entre o número desconhecido e conhecido é chamada de equação. As inúmeras aplicações das equações do 1º, 2º, 3º, 4º grau e nas maiores ou iguais ao grau 5, estão presentes em estudos, como Engenharia, Contabilidade, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Urbanismo, Transportes, Economia, Administração, Informática entre outros. Uma equação de 1º Grau é uma relação de igualdade que pode ser reduzida, através de princípios matemáticos, a uma expressão na forma a x plus b equals 0, sendo a e b os coeficientes conhecidos e x o valor desconhecido a ser determinado.
Fonte: GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática. Vol. 7. São Paulo: FTD, 2002, pgs. 114-118.
 
Neste contexto, consider que as terras herdadas por Paulo é um exemplo de problema que envolve a resolução de uma equação de 1º grau. O terreno de Paulo, conforme mostra a figura seguir, é um retângulo com comprimento de  left parenthesis x plus 8 right parenthesis unidades e largura que mede 4 unidades.
figura geométrica
Fonte: Próprio autor, 2018.
Sabendo-se que a área do retângulo tem 160 unidades de superfície, quanto mede o comprimento desse retângulo?
Sua resposta
40 unidades.
A área (A) de um retângulo é dada pela equação: A=comprimento x largura. O comprimento do retângulo mede x+8 unidades. A largura do retângulo mede 4 unidades. Substituindo o valor do comprimento e da largura na equação da área: A=(x+8).4 Foi dado no exercício o valor da área (A), portanto substitui-se esse valor na equação: (x+8).4=160 4x+32=160 Efetua-se operações inversas sobre os valores numéricos até deixar apenas a incógnita (x) de um dos lados do sinal de igualdade. 4x=160-32 4x=128 x equals bevelled 128 over 4 x=32 unidades. Substitui-se o valor de x para obter o comprimento: Comprimento do retângulo = x+8 = 32+8= 40 unidades.
Questão 10
 As potências surgiram no intuito de representar multiplicações onde os fatores eram iguais. Ou seja, a potência n de um número real  aequivale a multiplicar a, por ele mesmo,n vezes. E representamos assim: a to the power of n equals stack stack a cross times a cross times a... a with underbrace below with space n space v e z e s below<br />space space space space space space space space space space space space<br />. As potências possuem inúmeras aplicações no cotidiano, como: os cálculos envolvendo juros compostos são desenvolvidos baseados na potenciação das taxas de juros, a função exponencial, a notação científica utiliza potências no intuito de representar números muito grandes ou pequenos, são exemplos de aplicações de potência.  Usando a simplificação e as propriedades de potência , julgue as afirmações que se seguem.
 
 
I. space fraction numerator 10 to the power of negative 3 end exponent cross times 10 to the power of negative 5 end exponent over denominator 10 to the power of negative 4 end exponent cross times 10 to the power of negative 2 end exponent end fraction equals 1 over 100<br />I I. fraction numerator 3 to the power of begin display style 5 over 3 end style end exponent cross times 10 to the power of begin display style 7 over 2 end style end exponent over denominator 10 to the power of begin display style 1 over 6 end style end exponent end fraction equals 243<br />I I I. space fraction numerator 10 to the power of 4 cross times 10 to the power of negative 6 end exponent over denominator 10 cubed cross times 10 to the power of 8 end fraction equals 10 to the power of negative 3 end exponent<br />IV. space fraction numerator 5 to the power of negative 7 end exponent cross times 5 to the power of 5 over denominator 5 to the power of negative 8 end exponent cross times 5 to the power of negative 3 end exponent end fraction equals 25
É correto  apenas o  que se afirma em:
Resposta Corrigida
  A afirmativa III é  falsa.