2022 Matemática - Ex 2

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Thomas (2008) menciona que uma das interpretações do conceito de derivada é como coeficiente angular da reta tangente. Vale ressaltar que a tangente da curva existe em qualquer ponto, e a inclinação da tangente representa a taxa de variação naquele ponto.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2008. v. 1.
Com base nisso, suponha que você precisa resolver um problema que envolve encontrar a reta tangente à dada curva em determinado ponto, sendo a função . Qual seria a reta tangente à essa curva no ponto (2, 10)?
a.
.
b.
.
c.
.
 
d.
.
e.
.
Resposta incorreta: para encontrarmos a equação da reta tangente à curva, podemos utilizar a fórmula , em que  é o ponto dado e  é o coeficiente angular calculado no ponto. Assim, para encontrarmos o coeficiente angular, temos . Logo:
Agora, podemos encontrar a reta tangente no ponto (2,10):
.
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A resposta correta é: . 
Questão 2
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Imagine a seguinte situação: em um reservatório de água, irá começar um escoamento para a limpeza. O volume () de água em litros,  horas após o escoamento ter iniciados, é dado pela função . Assim, considerando que a variação instantânea desse reservatório pode ser analisada a partir da derivada de tal função, podemos, a partir de , conhecer o escoamento em l/h em vários intervalos de tempo.
Dessa maneira, assinale a alternativa a seguir que representa a vazão da água desse reservatório após duas horas do início do escoamento.
a.
1000 l/h.
Resposta incorreta:  é composto pelo produto entre duas funções deriváveis. Uma destas está elevada ao quadrado. Nesse contexto, para determinar a derivada, é necessário fazer uso da chamada regra da cadeia. Após determinar , basta substituir  por 2, conforme solicitado no enunciado. Dessa forma, temos o seguinte cálculo:
Portanto, chegamos ao resultado de 800 l/h.
b.
800 l/h.
c.
1200 l/h.
d.
1400 l/h.
e.
600 l/h.
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A resposta correta é: 800 l/h.
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
A linguagem matemática é um campo de investigação bastante amplo. No que diz respeito à derivada de uma função, por exemplo, ao consultarmos diferentes autores, encontraremos formas distintas de representá-la, como , ,  e . Além das notações, também são diversas as regras utilizadas para se calcular ou, ainda, determinar uma função derivada, como a derivada da função constante, a derivada da função potência, a regra da cadeia, a regra da multiplicação por constante, a regra da multiplicação, a regra do quociente etc.
Sendo assim, com base em nossos estudos e considerando a função , assinale a alternativa que indica a derivada de  no ponto .
a.
4,0.
b.
3,0.
c.
3,5.
Resposta correta: no caso dessa , será necessário utilizar a regra do quociente. Assim, teremos que:
Com isso em mente, para , temos .
d.
5,0.
e.
4,5.
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A resposta correta é: 3,5.
Questão 4
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Brandão, Campos e Gonçalves (2019) mencionam que, na administração de uma empresa, é fundamental fazer a análise dos custos que envolvem todas as operações. Financeiramente, o custo marginal é um desses fatores. Em resumo, ele representa o que a empresa precisará gastar a mais para, por exemplo, aumentar a produção de determinado bem ou produto.
BRANDÃO, C. O.; CAMPOS, S. P. O.; GONÇALVES, A. M. M. A importância de utilizar a análise de custo como ferramenta de gestão. Revista FAIPE, Cuiabá, v. 9, n. 1, p. 12-17, jan./jun. 2019. Disponível em: http://www.revistafaipe.com.br/index.php/RFAIPE/article/view/127/103. Acesso em: 3 dez. 2020.
Sendo assim, suponha que o custo (em reais) de produção de  unidades de um produto em determinada empresa é dado por . Sobre o custo marginal da organização, considere as afirmativas a seguir.
I. Pode ser representado por uma função polinomial de segundo grau.
II. Para a produção de 100 produtos, está entre R$ 30,00 e R$ 45,00 por unidade.
III. Pode ser descrito pela expressão .
IV. Para a produção de 500 produtos, está entre R$ 100,00 e R$ 115,00 por unidade.
Está correto o que se afirma em:
a.
I e II.
b.
III e IV.
c.
I, II e IV.
d.
II e III.
e.
II e IV.
Resposta incorreta: para determinarmos o custo marginal da empresa em questão, encontramos a função , que será uma função de primeiro grau. Assim, temos que . Para , temos que  reais a unidade. Já para , temos que  reais a unidade.
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A resposta correta é: II e III.
Questão 5
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
De acordo com Stewart (2016), em matemática, principalmente quando estamos tratando de análise real, os pontos extremos de uma função — ou seja, os pontos de máximo e mínimo — são pontos do domínio em que a função atinge seus valores máximo e mínimo. Dessa forma, a Teoria dos Máximos e Mínimos nos permite fazer uma série de análises no que diz respeito aos comportamentos dos fenômenos descritos matematicamente.
STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Nesse sentido, a respeito da teoria e dos valores máximo e mínimo de uma função, seguindo os pressupostos do Teorema do Valor __________, caso a função  seja __________ em determinado intervalo __________ , então  a referida função assume um valor máximo absoluto  e um valor __________ absoluto  em certos números  e  em .
Agora, assinale a alternativa que completa as lacunas anteriores corretamente.
a.
Extremo - contínua - fechado - mínimo.
b.
Extremo - fechado - contínua - mínimo.
Resposta incorreta: de acordo com o Teorema do Valor Extremo, a função , se contínua em determina intervalo fechado, assumirá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em certos números de tal intervalo.
c.
Mínimo - contínua - fechado - extremo.
d.
Fechado - extremo - contínua - mínimo.
e.
Extremo - mínimo - contínua - fechado.
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A resposta correta é: Extremo - contínua - fechado - mínimo.
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
De acordo com Thomas (2008), a função derivada está intimamente relacionada às variações instantâneas em funções que representam uma série de situações. Podemos aplicá-la, por exemplo, para determinar a taxa de crescimento econômico de um país ou de determinada população, contabilizar a taxa de diminuição da mortalidade infantil, investigar as alterações climáticas ao redor do mundo, entre inúmeros outros casos. No entanto, o conceito de derivada de uma função está diretamente vinculado a outros conceitos matemáticos, como a taxa de variação e a reta tangente.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2008. v. 1.
Nesse sentido, a respeito de algumas definições relacionadas à derivada de uma função, relacione as colunas a seguir corretamente.
I. Derivada de uma função.
II. Equação da reta tangente.
III. Taxa de variação.
IV. Taxa instantânea de variação.
V. Tangente da curva.
(   ) É o limite da taxa média de variação, interpretado como a inclinação da tangente à curva.
(   ) Além de ser uma função que fornece valores relativos úteis, também mede a inclinação da tangente a cada ponto que originou a função.
(   ) É a razão de correlação à uma reta em comparação a variações horizontais e verticais no plano cartesiano.
(   ) Se derivável, existe em qualquer ponto da reta. Sua inclinação representa a taxa de variação naquele ponto específico.
(   ) É dada por .
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
a.
2, 3, 5, 4, 1.
b.
5, 1, 3, 2, 4.
c.
3, 4, 5, 1, 2.
d.
1, 2, 3, 4, 5.
e.
4, 1, 3, 5, 2.
Resposta correta: os conceitos de tangente e taxa de variação, de certo modo, constituem o entendimento de derivada de uma função, pois, para compreender como a derivada de uma função descreve o comportamento de um fenômeno, é necessário lançar mão de tais conceitos.
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A resposta correta é: 4, 1, 3, 5, 2.
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
De acordo com Silva (2018), no Movimento Harmônico Simples (MHS), a função de movimento é dada por  ou . No caso, A é a amplitude doMHS, que seria o deslocamento máximo realizado pelo bloco em relação à posição de equilíbrio. Por sua vez,  é a frequência angular do movimento periódico em radianos por segundo — , sendo  o número de vezes que o ciclo se repete a cada unidade de tempo —,  é a grandeza de tempo e  é uma fase ou um deslocamento angular acrescido ao MHS.
SILVA, E. S. Estudo da relação entre o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples utilizando a videoanálise de uma roda de bicicleta. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, v. 40, n. 2, 2018. Disponível em: https://www.scielo.br/pdf/rbef/v40n2/1806-1117-rbef-40-02-e2301.pdf. Acesso em: 3 dez. 2020.
Assim, sabendo que um móvel possui seu movimento descrito pela equação , assinale a alternativa a seguir que representa a função velocidade de tal item.
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
Resposta correta: a função velocidade é derivada do movimento. Nesse caso, para determinar , basta calcular . Observe, ainda, que a função  é composta e trigonométrica. Assim, devemos utilizar a regra da cadeia e a regra para derivação de função trigonométrica. Sendo , teremos . Sendo , teremos .
e.
.
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A resposta correta é: .
Questão 8
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Para o gerenciamento adequado de um negócio, é preciso que o gestor conheça, com detalhes, como se comporta a questão de custo e lucro de sua empresa. Para tanto, recorrer a recursos matemáticos é uma boa opção para saber com precisão o comportamento desses fenômenos dentro da empresa.
Imaginemos, então, que o custo (em reais) para que a empresa ABC produza  unidades de certa mercadoria é dada por . Conhecendo a , assinale a alternativa a seguir que representa a taxa instantânea da variação de C (Custo Marginal) em relação a  quando .
a.
R$ 10,00 por unidade.
b.
R$ 30,00 por unidade.
Resposta incorreta: lembre-se de que essa  se trata de uma função polinomial simples. Dessa forma, para determinar sua derivada, basta fazer a aplicação de regras básicas, como a derivada de uma constante, a derivada da multiplicação por uma constante e a derivação de uma função potência. Após determinar a , basta substituir  por . Nesse sentido, temos que:
Por isso, chegamos ao resultado de R$ 20,00 por unidade.
c.
R$ 20,00 por unidade.
d.
R$ 25,00 por unidade.
e.
R$ 5,00 por unidade.
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A resposta correta é: R$ 20,00 por unidade.
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Silva (2018) menciona que o Movimento Harmônico Simples (MHS) é um movimento periódico que ocorre apenas em sistemas conservativos, ou seja, aqueles sistemas que não têm força dissipativa. No MHS, a força restauradora atua no corpo para restaurá-lo à uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é baseada na frequência e no período da quantidade, utilizando uma função de movimento de hora em hora.
SILVA, E. S. Estudo da relação entre o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples utilizando a videoanálise de uma roda de bicicleta. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, v. 40, n. 2, 2018. Disponível em: https://www.scielo.br/pdf/rbef/v40n2/1806-1117-rbef-40-02-e2301.pdf. Acesso em: 3 dez. 2020.
Nesse contexto, sabendo que um móvel possui sua velocidade descrita pela equação , assinale a alternativa a seguir que representa a função aceleração do item.
a.
.
Resposta correta: a função aceleração é derivada da velocidade. Nesse caso, para determinar , basta calcular a . Além disso, a função  é uma função composta e trigonométrica. Assim, devemos utilizar a regra da cadeia e a regra para derivação de função trigonométrica. Sendo , teremos . Sendo , teremos .
b.
.
c.
.
d.
.
e.
.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Imagine o seguinte caso: para analisar o comportamento de uma mola associada a um peso, colocou-se um peso pendurado à mola. Esse peso puxa a mola para baixo seis unidades da sua posição de repouso, e é liberado no instante  para que a posição da mola oscile verticalmente. Sabe-se que a posição dessa mola é descrita por .
Com base nisso e em nossos estudos, assinale a alternativa a seguir que descreve a velocidade (m/s) do peso no instante .
a.
-16 m/s.
b.
-6 m/s.
Resposta correta: a velocidade em qualquer instante  é dada a partir da derivada da altura do projétil. Além disso, a função altura é trigonométrica, e sua derivada poderá ser obtida com as regras da derivada desse tipo de função. Realizando os cálculos, chegamos a -6 m/s.
c.
6 m/s.
d.
-10 m/s.
e.
10 m/s.
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A resposta correta é: -6 m/s.