Frações e Dizimas periódicas (Fração Geratriz)

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A CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES DISTINGUE-AS EM
TRÊS TIPOS: PRÓPRIA, IMPRÓPRIA E APARENTE.
 
QUANDO PRECISAMOS REPRESENTAR NUMERICAMENTE
UMA PARTE DE UM TODO, UTILIZAMOS AS FRAÇÕES.
A ESTRUTURA DA FRAÇÃO É DADA POR:
A → NUMERADOR
B DENOMINADOR
O TRAÇO ENTRE O A E O B SIGNIFICA DIVISÃO. O
NUMERADOR SEMPRE ESTARÁ ACIMA DO DENOMINADOR.
Frações
Matemática
CONCEITO
FRAÇÃO É A REPRESENTAÇÃO DA PARTE DE UM TODO
(DE UM OU MAIS INTEIROS), ASSIM, PODEMOS
CONSIDERÁ-LA COMO SENDO MAIS UMA
REPRESENTAÇÃO DE QUANTIDADE, OU SEJA, UMA
REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA, COM ELA PODEMOS
EFETUAR TODAS AS OPERAÇÕES COMO: ADIÇÃO,
SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO,
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO.
DESSA FORMA, TODA FRAÇÃO PODE SER
REPRESENTADA EM UMA RETA NUMERADA, POR
EXEMPLO, 1/2 (UM MEIO) SIGNIFICA QUE DE UM
INTEIRO FOI CONSIDERADA APENAS A SUA METADE,
PORTANTO, PODEMOS DIZER QUE EM UMA RETA
NUMERADA A FRAÇÃO 1/2 ESTARÁ ENTRE OS NÚMEROS
INTEIROS 0 E 1.
POR SER UMA FORMA DIFERENTE DE REPRESENTAÇÃO
NUMÉRICA, A FRAÇÃO IRÁ POSSUI UMA
NOMENCLATURA ESPECÍFICA E PODERÁ SER ESCRITA
EM FORMA DE PORCENTAGEM, NÚMEROS DECIMAIS
(NÚMEROS COM VÍRGULA) E NÚMEROS MISTOS.
CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES
NESSE CASO AS 1/4 E 2/8 SÃO EQUIVALENTES
AS FRAÇÕES EQUIVALENTES SÃO DIFERENTES
POSSIBILIDADES DE FRAÇÕES QUE REPRESENTAM UMA
MESMA QUANTIDADE. POR EXEMPLO, SE EU COMPRAR
UMA PIZZA, DIVIDI-LA EM 4 PARTES IGUAIS E
PEGAR APENAS UM PEDAÇO, ESTAREI COM 1/4 DA 
 PIZZA. NO ENTANTO, SE EU PEGAR A MESMA PIZZA
E DIVIDI-LA EM 8 PARTES IGUAIS E PEGAR DOIS
PEDAÇOS, ESTAREI COM 2/8 DA PIZZA.
FRAÇÕES EQUIVALENTES
COMO ENCONTRAR FRAÇÕES EQUIVALENTES?
PARA ENCONTRAR UMA FRAÇÃO EQUIVALENTE, BASTA
MULTIPLICAR OS NUMERADORES E DENOMINADORES POR
ALGUM NÚMERO NATURAL QUE SEJA DIFERENTE DE
ZERO. MAS, LEMBRE-SE, TUDO QUE FOR FEITO NO
NUMERADOR DEVE SER IGUALMENTE FEITO NO
DENOMINADOR.
FRAÇÕES EQUIVALENTES DE 1/5
FRAÇÕES IMPRÓPRIAS E MISTAS
FRAÇÃO PRÓPRIA É TODA FRAÇÃO CUJO NUMERADOR
POSSUI MENOR VALOR ABSOLUTO QUE O DO SEU
DENOMINADOR. A FRAÇÃO 3/7 É UM EXEMPLO DE
FRAÇÃO PRÓPRIA. FRAÇÕES PRÓPRIAS REPRESENTAM
APENAS PARTE DE UM INTEIRO.
AS FRAÇÕES IMPRÓPRIAS, NO ENTANTO POSSUEM
NUMERADOR COM VALOR ABSOLUTO MAIOR QUE O DO SEU
DENOMINADOR. A FRAÇÃO 7/3 É UM EXEMPLO DE
FRAÇÃO IMPRÓPRIA.
A FRAÇÃO 7/3 REPRESENTA MAIS QUE UMA FRAÇÃO DE
UM INTEIRO. NA VERDADE ELA REPRESENTA 2
INTEIROS E 1/3.
PODEMOS DIZER QUE 7/3 É EQUIVALENTE A 2⅓
CONVERSÃO DE FRAÇÕES IMPÓPRIAS EM FRAÇÕES
MISTAS
O MÉTODO PARA A REALIZAÇÃO DE TAL CONVERSÃO É
BASTANTE SIMPLES. DIVIDIMOS O NUMERADOR PELO
DENOMINADOR. O RESTO DA DIVISÃO SERÁ
UTILIZADO COMO O NUMERADOR DA PARTE
FRACIONÁRIA. O QUOCIENTE SERÁ A PARTE INTEIRA
E O DENOMINADOR SERÁ O MESMO DA FRAÇÃO
ORIGINAL.
VAMOS CONVERTER A FRAÇÃO 7/3 PARA UM EXEMPLO
PRÁTICO:
SABEMOS QUE O NUMERADOR DA FRAÇÃO É O NÚMERO
7 E QUE O SEU DENOMINADOR É O NÚMERO 3.
AO DIVIDIRMOS 7 POR 3 IREMOS OBTER O
QUOCIENTE 2 QUE SERÁ A PARTE INTEIRA DA
FRAÇÃO MISTA.
O RESTO DESTA DIVISÃO É IGUAL A 1, VALOR ESTE
QUE SERÁ O NUMERADOR DA PARTE FRACIONÁRIA.
O DENOMINADOR DA PARTE FRACIONÁRIA CONTINUARÁ
A SER O NÚMERO 3.
TEMOS ENTÃO QUE: 7/3 É IGUAL A 2⅓
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
DENOMINADORES IGUAIS, MANTÊM A MESMA BASE
DENOMINADORES DIFERENTES É PRECISO IGUALÁ-
LOS. ISTO É FEITO A PARTIR DO MÍNIMO MÚLTIPLO
COMUM (MMC), QUE NADA MAIS É DO QUE O MENOR
NÚMERO CAPAZ DE DIVIDIR OUTRO NÚMERO.
EXEMPLO: 
PRECISAMOS TIRAR O MMC DE 9 E 2 
O 18 É O MÚLTIPLO COMUM, ENTÃO SUBSTITUIRÁ O
DENOMINADOR TAMBÉM TEMOS DE O DIVIDIR PELO
DENOMINADOR E MULTIPLICAR PELO NUMERADOR.
ASSIM: 18÷9 = 2 E 2×25 = 50. POR SUA VEZ,
18÷2 = 9 E 9×20 = 180, BEM COMO 18÷2 =9 E
9×42 = 378
NESTE EXEMPLO, SIMPLIFICAMOS A FRAÇÃO, O QUE
SIGNIFICA QUE A REDUZIMOS PELO SEU DIVISOR
COMUM. ASSIM, TORNAMOS A FRAÇÃO MAIS SIMPLES
DIVIDINDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR PELO
MESMO NÚMERO: 248÷2 = 124 E 18÷2 = 9.
MULTIPLICAÇÃO
A MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES É BEM MAIS SIMPLES
QUE A ADIÇÃO. BASTA MULTIPLICAR NUMERADOR POR
NUMERADOR E DENOMINADOR POR DENOMINADOR.
DIVISÃO
PARA DIVIDIR DUAS FRAÇÕES, BASTA MULTIPLICAR
A PRIMEIRA PELO INVERSO DA SEGUNDA. OBSERVE O
EXEMPLO:
Dízimas periódicas
DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO NÚMEROS DECIMAIS EM
QUE, A PARTIR DE ALGUMA CASA DECIMAL, UM
ALGARISMO OU GRUPO DE ALGARISMOS PASSA A SE
REPETIR INFINITAMENTE. POR EXEMPLO: 0,33333…
OS NÚMEROS QUE PODEM SER ESCRITOS NA FORMA DE
FRAÇÃO SÃO: OS PRÓPRIOS NÚMEROS INTEIROS, OS
DECIMAIS FINITOS E AS DÍZIMAS PERIÓDICAS.
AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO DECIMAIS INFINITOS
QUE, A PARTIR DE ALGUMA CASA APÓS A VÍRGULA,
PASSAM A REPETIR DETERMINADA SEQUÊNCIA DE
ALGARISMOS DE FORMA INFINITA. ESSA REPETIÇÃO
É INDICADA POR RETICÊNCIAS, COMO MOSTRAM OS
EXEMPLOS A SEGUIR:
2,666666…
13,454545…
12,3210652652652…
O PERÍODO DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA É FORMADO
PELOS ALGARISMOS QUE SE REPETEM NELA.
PORTANTO, NA DÍZIMA 23,5656565…, O PERÍODO É
56. QUANDO A DÍZIMA POSSUI ALGUNS ALGARISMOS
ANTES DO PERÍODO, ESSES ALGARISMOS SÃO
CHAMADOS DE ANTIPERÍODO. POR EXEMPLO, NA
DÍZIMA 12,321559559…, O PERÍODO É 559, E O
ANTIPERÍODO É 321.
TODA DÍZIMA PERIÓDICA É UM NÚMERO RACIONAL E,
POR ISSO, PODE SER ESCRITA NA FORMA DE
FRAÇÃO. A FRAÇÃO QUE REPRESENTA UMA DÍZIMA
PERIÓDICA É CHAMADA DE FRAÇÃO GERATRIZ,
DEFINIÇÃO
É QUALQUER DÍZIMA PERIÓDICA QUE NÃO POSSUI
ANTIPERÍODO.
DIZIMA PERIÓDICA SIMPLES
É AQUELA QUE POSSUI UM ANTIPERÍODO.
JÁ NO NUMERADOR, REPETIMOS O ANTIPERIODO E O
ALGARISMO DO PERÍODO E REALIZAMOS A SUBTRAÇÃO
PELO ÚNICO ALGARISMO DO ANTIPERIODO.
PARA CADA ALGARISMO NO PERÍODO ADCIONA-SE UM
9 NO DENOMINADOR, CASO A DIZIMA PERIÓDICA SE
INICIE COM '0,' O NUMERADOR SERÁ O/OS
ALGARISMO/OS PRESENTES NA REPETIÇÃO
CASO A DIZIMA COMEÇAR COM UM NÚMERO
INTEIRO
PARA CADA ALGARISMO NO PERÍODO ADCIONA-SE UM
9 NO DENOMINADOR, E PARA O NÚMERO, PEGA-SE O
NÚMERO INTEIRO ATÉ O FIM DO PERÍODO E SUBTRAI
PELO NÚMERO INTEIRO
DIZIMA PERIÓDICA COMPOSTA
PARA CADA ALGARISMO NO PERÍODO ADCIONA-SE UM
9 NO DENOMINADOR, MAS NESSE CASO ADICIONA-SE
UM 0 PARA CADA ANTIPERIODO (NÚMERO INTRUSO)
CASO A DIZIMA COMEÇAR COM UM NÚMERO
INTEIRO
PARA CADA ALGARISMO NO PERÍODO ADCIONA-SE UM
9 NO DENOMINADOR, MAS NESSE CASO ADICIONA-SE
UM 0 PARA CADA ANTIPERIODO (NÚMERO INTRUSO)
JÁ NO NUMERADOR, REPETIMOS O NUMERO INTEIRO,
O ANTIPERIODO E O ALGARISMO DO PERÍODO E
REALIZAMOS A SUBTRAÇÃO PELO NÚMERO INTEIRO E
O/OS ALGARISMO DO ANTIPERIODO.