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Amostragem de um sinal contínuo: 
 
Amostragem 
Qual é a relação entre a Transformada de Fourier (CTFT) de xC(t) e a DTFT de x[n] ? 
 
Modelo simples: amostragem impulsiva: 
 
Amostragem 
D(t) pode ser expresso pela série de Fourier 
cujos coeficientes são: 
Amostragem 
Portanto: 
Podemos então escrever: 
Amostragem 
cuja Transformada de Fourier (CTFT) é: 
WT = 2p/T é a frequência de amostragem. 
Amostragem 
WT < 2WM 
 aliasing 
WT > 2WM 
Amostragem 
Taxa de Nyquist: WT = 2WM (amostragem crítica) 
Oversampling: WT > 2WM 
Undersampling: WT < 2WM 
Algumas definições: 
Amostragem 
Relação entre : 
Aplicando a CTFT: 
Amostragem 
CTFT de xS(t): 
DTFT de x[n]: 
Portanto: 
 
Como 
então, finalmente: 
Amostragem 
Amostragem 
xC(t) = cos ((3WT/8)t) 
x[n] = cos ((3p/4)n) 
Amostragem 
xC(t) = cos ((5WT/8)t) 
x[n] = cos ((3p/4)n) 
No domínio do tempo: 
xC(t) = cos ((5WT/8)t) 
xC(t) = cos ((3WT/8)t) 
Amostragem 
Teorema da Amostragem: 
 Um sinal contínuo 𝑥𝐶(𝑡) limitado em frequência, com 𝑋𝐶 𝑗Ω = 0 
para Ω > Ω𝑀, é unicamente determinado por suas amostras 
𝑥𝐶 𝑛𝑇 se 
Ω𝑇 ≥ 2Ω𝑀 
 onde Ω𝑇 = 2𝜋 𝑇 . 
 
 
Geralmente o sinal de interesse possui energia espúria (ruído) em 
frequências elevadas  é necessário um filtro analógico para evitar 
aliasing. 
Filtragem Anti-aliasing 
Recuperação do Sinal Analógico 
 Se a condição de Nyquist for satisfeita, o sinal contínuo 𝑥𝐶(𝑡) 
pode ser recuperado, passando-se o trem de impulsos 𝑥𝑆(𝑡) por 
um filtro passa-baixas analógico 𝐻𝑟(𝑗Ω) com frequência de corte 
Ω𝐶 tal que 
 
Ω𝑀 < Ω𝐶 < (Ω𝑇 − Ω𝑀) 
 ou seja: 
𝐻𝑟 𝑗Ω = 
𝑇, Ω ≤ Ω𝐶
0, Ω > Ω𝐶
 
 
 A resposta ao impulso de 𝐻𝑟(𝑗Ω) é: 
ℎ𝑟 𝑡 =
𝑇
2𝜋
 𝑒𝑗Ω𝑡𝑑Ω =
𝑠𝑒𝑛(Ω𝐶𝑡)
Ω𝑇𝑡/2
Ω𝐶
−Ω𝐶
 
Recuperação do Sinal Analógico 
 O trem de impulsos 𝑥𝑆(𝑡) é dado por 
𝑥𝑆 𝑡 = 𝑥(𝑛)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
∞
𝑛=−∞
 
 
 Portanto, a saída do filtro 𝐻𝑟(𝑗𝛺) com entrada 𝑥𝑆(𝑡), assumindo 
Ω𝐶 = Ω𝑇 2 = 𝜋/𝑇 , é: 
 
𝑥 𝐶 𝑡 = 𝑥(𝑛)ℎ𝑟 𝑡 − 𝑛𝑇
∞
𝑛=−∞
 
 = 𝑥(𝑛)
𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 − 𝑛𝑇 /𝑇
𝜋 𝑡 − 𝑛𝑇 /𝑇
 
∞
𝑛=−∞
 
Recuperação do Sinal Analógico 
Amostragem de um Sinal Passa-Faixa 
 Quando o sinal a ser amostrado é limitado em uma faixa de 
frequências mais altas Ω𝐿 ≤ Ω ≤ Ω𝐻, em geral não será 
necessário utilizar uma frequência de amostragem Ω𝑇 ≥ 2Ω𝐻 
 para prevenir aliasing. 
 
 Definindo a largura da banda ΔΩ = Ω𝐻 − Ω𝐿, e considerando 
Ω𝐻 = MΔΩ com M inteiro, podemos escolher 
Ω𝑇 = 2ΔΩ 
 Neste caso: 
𝑋𝑆 𝑗Ω =
1
𝑇
 𝑋𝐶(𝑗(Ω − 2𝑛
∞
𝑛=−∞
ΔΩ)) 
 
 𝑋𝐶(𝑗Ω) 𝑋𝑆(𝑗Ω) 
 
Amostragem de um Sinal Passa-Faixa 
 Se Ω𝐻 ≠ MΔΩ, podemos estender artificialmente a banda, 
considerando ΔΩ′ = Ω𝐻 − Ω0, com Ω0 ≤ Ω𝐿 e Ω𝐻 = MΔΩ
′, 
 e escolher 
Ω𝑇 = 2ΔΩ′ 
 
 
 A reconstrução do sinal analógico pode ser feita por um filtro 
passa-faixa com resposta em frequência: 
 
𝐻𝑟 𝑗Ω = 
𝑇, Ω𝐿≤ Ω ≤ Ω𝐻
0, 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 Ω