1-Digitalizacao

Prévia do material em texto

Processamento Digital de Sinais
Conversão A/D e D/A
Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti
Objetivos
Entender a diferença entre um sinal analógico e um sinal digital
Entender o processo de digitalização de um sinal analógico.
Entender os processos de amostragem e quantização
Ser capaz decalcular a frequência de amostragem e o número de bits de quantização necessários para atender a uma dada especificação.
Entender o processo de conversão de um sinal digital de volta para a forma analógica.
Introdução
A maioria dos sinais encontrados na natureza é contínua
Para processá-los digitalmente, devemos:
Converter o sinal analógico para a forma digital (conversão A/D)
Processar o sinal digitalmente
Converter o sinal digital processado de volta à forma analógica (conversão D/A)
Digitalização de um sinal analógico
Diferenças entre o sinal digital e o sinal analógico: amostragem e quantização.
Ambos os processos restringem a quantidade de informação presente no sinal digital
Questão fundamental: qual informação é necessária, e qual pode ser descartada, para uma dada aplicação?
Digitalização de um sinal analógico
Amostragem
Quantização
Sinal
analógico
Sinal
digital
Perda de informação devido a:
Intervalo entre os instantes de amostragem (amostragem).
Passo de quantização (quantização).
Vamos agora ver cada um destes efeitos com mais detalhes.
Amostragem
É o processo no qual são armazenados os valores de um sinal contínuo apenas em instantes discretos de tempo.
Este processo é similar ao que acontece nos filmes de cinema:
tiram-se fotos das cenas a intervalos regulares de tempo. 
Estas fotos, quando apresentadas em progressão, nos dão a sensação de movimento.
Produto de dois sinais
o produto de um 
sinal ...
... com outro, 
é realizado...
... ponto a ponto
Amostragem ideal
A multiplicação do
sinal contínuo ...
... com um trem de
impulsos ...
... gera um sinal
amostrado.
Amostragem na prática
sinal original
sinal amostrado
O Sample&Hold “segura” a tensão por um tempo para 
que o quantizador tenha tempo para medir a tensão 
da amostra.
Amostragem adequada
Se for possível reconstruir exatamente o sinal analógico a partir das amostras, então a amostragem foi realizada de forma adequada.
socrative.com
sala: ynoguti
Checando sua compreensão
Teorema da Amostragem
Harry Nyquist (1889-1976)
Claude E. Shannon (1916-2001)
Um sinal contínuo pode ser apropriadamente amostrado somente se ele não contiver componentes em frequência acima de metade da frequência de amostragem. 
socrative.com
sala: ynoguti
Checando sua compreensão
Problemas devido à amostragem
Um evento ...
... que ocorre entre os instantes de amostragem ...
... não aparece no sinal reconstituído.
Mais problemas
Um sinal de alta frequência ...
... amostrado a uma taxa muito baixa ...
... é reconstituído como
... um sinal de baixa frequência.
Em forma gráfica
um sinal
amostrado duas 
vezes por período
tem informação suficiente
para ser reconstruído
Aliasing
Alias: adv também chamado // n outro nome, pseudônimo.
Ocorre quando amostramos um sinal a uma taxa inferior à de Nyquist.
sinal original
sinal amostrado
sinal reconstruído
(com aliasing)
Efeitos na frequência devido ao aliasing
Ponto chave: um sinal digital não pode conter frequências acima da frequência de Nyquist (metade da frequência de amostragem).
Quando o sinal analógico tem somente componentes no intervalo (0,fs/2), não ocorre aliasing. 
Caso contrário, toda frequência acima de fs/2 será mapeada para alguma frequência no intervalo (0,fs/2).
Efeitos na frequência devido ao aliasing
Quando o sinal analógico tem somente componentes no intervalo (0,fs/2), não ocorre aliasing. 
Caso contrário, toda frequência acima de fs/2 será mapeada para alguma frequência no intervalo (0,fs/2).
0,5
fs
|X(f)|
0,5
fs
|X(f)|
Frequência analógica vs digital
Em DSP, trabalhamos com a frequência digital ao invés da analógica. 
Para converter uma frequência analógica para a forma digital, usamos uma regra de 3 simples.
Exemplo: se fs = 8 kHz, um sinal de frequência 500 Hz vale:
socrative.com
sala: ynoguti
Checando sua compreensão
Correspondência de frequências no aliasing
Cada frequência contínua acima da taxa de Nyquist tem uma frequência digital correspondente no intervalo (0, fs/2).
Se já houver uma senóide nesta frequência, este sinal irá se somar a ela, corrompendo o sinal reconstruído.
frequência contínua
frequência digital
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,5
0
fs
fs
Efeitos na fase devido ao aliasing
O aliasing provoca também uma mudança de fase.
Somente dois deslocamentos de fase são observados: 0 e 180.
frequência contínua
fase digital (graus)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
180o
0
fs
0o
Octave: aliasing.m & voz.wav
Checando sua compreensão
Seja um sinal de voz, limitado em banda a 3400 Hz, e contaminado com um ruído de 60 Hz. Esboce o espectro deste sinal, supondo uma frequência de amostragem de 8 kHz.
Seja um sinal composto de 3 tons senoidais de frequências f1 = 3 kHz, f2 = 4 kHz e f3 = 8 kHz, todos de fase nula. Esboce o espectro deste sinal (magnitude e fase) supondo:
 fs = 20 kHz
 fs = 10 kHz
 fs = 5 kHz
Checando sua compreensão
Seja um sinal de voz, limitado em banda a 3400 Hz, e contaminado com um ruído de 60 Hz. Esboce o espectro deste sinal, supondo uma frequência de amostragem de 8 kHz.
Checando sua compreensão
2) Seja um sinal composto de 3 tons senoidais de frequências f1 = 3 kHz, f2 = 4 kHz e f3 = 8 kHz, todos de fase nula. Esboce o espectro deste sinal (magnitude e fase) supondo:
 fs = 20 kHz
 fs = 10 kHz
 fs = 5 kHz
Checando sua compreensão
2) Seja um sinal composto de 3 tons senoidais de frequências f1 = 3 kHz, f2 = 4 kHz e f3 = 8 kHz, todos de fase nula. Esboce o espectro deste sinal (magnitude e fase) supondo:
 fs = 20 kHz
 fs = 10 kHz
 fs = 5 kHz
Checando sua compreensão
2) Seja um sinal composto de 3 tons senoidais de frequências f1 = 3 kHz, f2 = 4 kHz e f3 = 8 kHz, todos de fase nula. Esboce o espectro deste sinal (magnitude e fase) supondo:
 fs = 20 kHz
 fs = 10 kHz
 fs = 5 kHz
Análise no domínio da frequência
No tempo (multiplicação)
Na frequência (convolução)
t
t
t
x
=
f
0
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
*
=
IMPORTANTE
No domínio do tempo, o sinal é discreto, mas o seu espectro é contínuo (analógico).
O efeito da amostragem no domínio da frequência é apenas o de replicar o espectro do sinal original.
Lembrem-se deste fato, pois será muito importante para entender alguns conceitos mais pra frente.
f
0
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
Aliasing no domínio da frequência
Quando um sinal possui componentes acima de fs/2, estas irão interferir em outras componentes do sinal. 
f
0
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
*
=
Checando sua compreensão
Seja um sinal limitado em banda conforme a figura abaixo:
Mostre graficamente o que acontece com este sinal quando o amostramos a:
 50 kHz
 10 kHz
f (kHz)
0
12
-12
Checando sua compreensão
Seja um sinal limitado em banda conforme a figura abaixo:
Mostre graficamente o que acontece com este sinal quando o amostramos a:
 50 kHz
 10 kHz
f (kHz)
0
12
-12
Para evitar o aliasing devemos:
Remover todas as componentes do sinal acima de fs/2 antes da amostragem, através de um filtro analógico passa-baixas.
Amostrar o sinal a uma taxa ligeiramente superior à taxa de Nyquist.
Assim, tanto o filtro anti-aliasing no transmissor como o filtro de reconstrução no receptor podem ter uma banda de transição que vai de fmax a fs-fmax.
Exemplo: em telefonia, os sinais de voz são passados por um filtro passa-baixas com freqüência de corte igual a 3400 Hz, e a seguir amostrados à taxa de 8 kHz.
Reconstrução analógica
Objetivo: recuperar o sinal analógico digital a partir das amostras.
Amostragem: gera uma replicação do espectro original do sinal a intevalos de fs.
Para recuperar o sinal original, basta eliminar as réplicas. Isto pode ser feito através de um filtro passa baixas com frequência de corte fs/2.
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
fs/2
-fs/2
Checando sua compreensão
Qual a frequênciade corte que o filtro analógico de reconstrução deve ter para recuperar o sinal abaixo, sabendo-se que fs = 100 kHz?
f
0
fs
2fs
-fs
-2fs
fs/2
-fs/2
Quantização
Depois de amostrados, os sinais mudam de valor apenas em instantes discretos de tempo, mas assumem valores em uma faixa contínua.
De modo a poder representá-los em um computador digital, é necessário também discretizar o sinal em amplitude.
Este processo é realizado pelo quantizador.
Exemplo
Imagine que um sinal contínuo assuma valores na faixa de 0 a 4095 volts. 
Se quantizarmos este sinal com 12 bits, teremos 4096 valores possíveis para as tensões. 
Desta forma, os valores 2.2 e 2.1 serão quantizados como 2 volts.
O processo de quantização leva a uma perda de informação. A questão passa a ser: quanto da informação pode ser descartada?
Conceitos básicos
LSB (Least Significant Bit): distância entre dois níveis de quantização adjacentes.
Todos os pontos do sinal que estiverem no intervalo do segmento em vermelho serão quantizados pelo nível representado pela bola verde.
Podemos ver que o erro de quantização máximo neste cenário será LSB/2.
Níveis de quantização
Limiares de deteção
sinal
Checando sua compreensão
Se tenho um sinal que excursiona de 0 a 1 V, quantizado com 8 bits, qual o valor de LSB?
Solução:
Um quantizador de 8 bits divide o intervalo de excusão do sinal em 256 pedaços.
Desta forma, LSB = 1 V /256 = 1/256 V
Erro de quantização
sinal original
sinal quantizado
erro de quantização
Análise do erro de quantização
O erro de quantização se parece muito com um ruído aleatório.
De fato, ele pode ser modelado como um ruído aleatório com distribuição uniforme entre -1/2LSB e +1/2LSB.
Desta forma, podemos ver o efeito da quantização sobre o sinal original como a adição de uma certa quantidade de ruído aleatório ao mesmo.
Este modelo é extremamente poderoso pois o ruído aleatório gerado pela quantização pode simplesmente ser adicionado ao ruído já presente no sinal analógico.
Distribuição Uniforme
Soma de Variáveis Aleatórias Independentes
Se X e Y são variáveis aleatórias estatisticamente independentes então para a v.a. Z = X+Y temos:
Análise do ruído de quantização
Vimos que o efeito do quantizador é adicionar ruído ao sinal. Matematicamente, isto pode ser escrito como:
Var[T] = Var[X] + Var[Q]
ou seja, a variância total do ruído do sinal (Var[T]) é dada pela soma da variância do ruído que já existia no sinal analógico (Var[X]) com a variância do ruído gerado pelo quantizador (Var[Q]).
Análise do ruído de quantização
2) O ruído de quantização é modelado por uma distribuição uniforme. Assim, podemos calcular Var[Q] a partir de: 
3) Finalmente, o valor RMS do ruído de quantização é:
Checando sua compreensão
Tenho um sinal que excursiona de 0 a 1 V. 
Determine o valor RMS do ruído de quantização adicionado a este sinal por um quantizador de 8 bits.
Exercício 1
Seja um sinal analógico com amplitude máxima de 1 V, e um ruído aleatório de 1mV rms. Analise o que acontece a este sinal quando o quantizamos com 8 bits.
Exercício 2
Seja um sinal analógico com amplitude máxima de 1 V, e um ruído aleatório de 1mV rms. Analise o que acontece a este sinal quando o quantizamos com 10 bits.
Em resumo:
Amostragem: 
O sinal analógico deve ser filtrado de modo a não conter componentes acima de fmax = fs/2.
devemos amostrar o sinal a uma frequência fs maior ou igual a 2fmax.
Quantização: 
Modelada como um ruído com distribuição uniforme entre -1/2 LSB e 1/2 LSB.
Número de bits para a quantização sinal depende da:
 a) quantidade de ruído já presente no sinal analógico.
 b) quantidade de ruído que pode ser tolerada no sinal digital.
Sample & 
Hold
Sinal
analógico
Sinal
amostrado