Cap8-slides

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Classificação de Sistemas LTI 
 Segundo o comprimento da resposta ao impulso ℎ 𝑛 : 
 FIR (Finite Impulse Response): 
 
ℎ 𝑛 = 0, 𝑛 < 𝑛1, 𝑛 > 𝑛2 
 
 IIR (Infinite Impulse Response): ℎ(𝑛) possui comprimento infinito 
 
 
 Segundo o procedimento do cálculo da saída: 
 Não-recursivo: utiliza apenas amostras do sinal de entrada 
para gerar cada amostra da saída 
 
 Recursivo: o cálculo da resposta envolve amostras passadas 
da própria resposta além de amostras do sinal de entrada 
 
 
Classificação de Sistemas LTI 
 Os filtros FIR são, em geral, implementados por estruturas não-
recursivas, através do somatório (com número finito de termos): 
𝑦 𝑛 = ℎ 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑛2
𝑘=𝑛1
 
 
 Os filtros IIR são sempre implementados por estruturas recursivas. 
 
 Exemplo de implementação recursiva de um filtro FIR: 
 Seja ℎ 𝑛 =
1
𝑀
𝛿 𝑛 + 𝛿 𝑛 − 1 +⋯+ 𝛿 𝑛 −𝑀 + 1 . 
 Podemos calcular a saída y(𝑛) para uma entrada 𝑥(𝑛) de 
 forma não-recursiva: 
𝑦 𝑛 =
1
𝑀
 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀−1
𝑘=0
 
 ou, de forma recursiva: 
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 +
1
𝑀
x n − x(n − M) 
 
Filtros FIR com Fase Linear 
 Fase linear: 
 ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑛0𝜔 → 𝜏 𝜔 = −
𝑑∠𝐻 𝑒𝑗𝜔
𝑑𝜔
= 𝑛0 
 
 Podemos facilmente obter filtros FIR com fase linear, impondo simetria na 
sua resposta ao impulso. 
 
 Esses filtros são classificados em 4 tipos, de acordo com o comprimento 
da sua resposta ao impulso (par /ímpar) e ao tipo de simetria (par/ímpar): 
 Tipo I: ℎ(𝑛) simétrica com comprimento ímpar 
ℎ 𝑛 = h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 𝑝𝑎𝑟 
 Por exemplo, para 𝑁 = 4: 
Filtros FIR com Fase Linear 
 A função de transferência deste filtro é: 
𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛
4
𝑛=0
= h 0 1 + 𝑧−4 + h 1 𝑧−1 + 𝑧−3 + h(2)𝑧−2 
 
 A resposta em frequência, fazendo 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔 na expressão acima, é: 
𝐻(𝑒𝑗𝜔) = h 0 1 + 𝑒−𝑗4𝜔 + h 1 𝑒−𝑗𝜔 + 𝑒−𝑗3𝜔 + h(2)𝑒−𝑗2𝜔 
= 𝑒−𝑗2𝜔 h 0 𝑒𝑗2𝜔 + 𝑒−𝑗2𝜔 + h 1 𝑒𝑗𝜔 + 𝑒−𝑗𝜔 + h(2) 
= 𝑒−𝑗2𝜔 2h 0 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 + 2h 1 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + h(2) 
 
 A expressão geral, para um filtro de ordem 𝑁, é: 
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗
𝑁
2
𝜔 𝑎(𝑛)𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔
𝑁/2
𝑛=0
 
 onde 
𝑎 0 = ℎ 𝑁/2 e 𝑎 𝑛 = 2ℎ 𝑁/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁/2 
Filtros FIR com Fase Linear 
 Tipo II: ℎ(𝑛) simétrica com comprimento par 
ℎ 𝑛 = h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 ímpar 
 Para 𝑁 = 5: 
 
 
 
 A expressão geral, para um filtro de ordem 𝑁, é: 
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗
𝑁
2𝜔 𝑏(𝑛)𝑐𝑜𝑠 𝜔(𝑛 −
1
2
)
(𝑁+1)/2
𝑛=0
 
 onde 
𝑏 𝑛 = 2ℎ (𝑁 + 1)/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)/2 
 
 
Filtros FIR com Fase Linear 
 Tipo III: ℎ(𝑛) anti-simétrica com comprimento ímpar 
ℎ 𝑛 = −h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 par 
 Em particular, para 𝑛 = 𝑁/2, ℎ 𝑁/2 = −h N/2 = 0 
 Para 𝑁 = 4: 
 
 
 
 A expressão geral, para um filtro de comprimento N, é: 
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗(
𝑁
2𝜔−
𝜋
2) 𝑐 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛
𝑁/2
𝑛=1
 
 onde 
c 𝑛 = 2ℎ 𝑁/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁/2 
 
 
Filtros FIR com Fase Linear 
 Tipo VI: ℎ(𝑛) anti-simétrica com comprimento par 
ℎ 𝑛 = −h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 ímpar 
 Para 𝑁 = 5: 
 
 
 
 A expressão geral, para um filtro de comprimento N, é: 
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗(
𝑁
2𝜔−
𝜋
2) 𝑑 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔(𝑛 −
1
2
)
(𝑁+1)/2
𝑛=1
 
 onde 
d 𝑛 = 2ℎ (𝑁 + 1)/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)/2 
 
 
Atraso de Grupo dos Filtros FIR com Fase Linear 
 As respostas de fase dos filtros dos Tipos I e II podem ser escritas como: 
∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −
𝑁
2
𝜔 + 𝜑 
 e as dos filtros dos Tipos III e IV: 
∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −
𝑁
2
𝜔 +
𝜋
2
+ 𝜑 
 onde 𝜑 = 0 ou 𝜑 = 𝜋, dependendo de 𝜔 
 
 Portanto, para os 4 tipos de filtros FIR de fase linear, o atraso de grupo é: 
𝜏 𝜔 =
𝑁
2
 
Localização dos Zeros dos Filtros FIR com Fase Linear 
 Para os filtros dos Tipos I e II: 
𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛 = ℎ 𝑁 − 𝑛 𝑧−𝑛 = 𝑧−𝑁𝐻 𝑧−1
𝑁
𝑛=0
𝑁
𝑛=0
 
 
 
 Para os filtros dos Tipos III e IV: 
𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛 = −ℎ 𝑁 − 𝑛 𝑧−𝑛 = −𝑧−𝑁𝐻 𝑧−1
𝑁
𝑛=0
𝑁
𝑛=0
 
 
Localização dos Zeros dos Filtros FIR com Fase Linear 
 Podemos então enumerar as seguintes propriedades dos zeros de um 
filtro FIR de fase linear: 
i. Se 𝑧0 é um zero de 𝐻(𝑧), 𝑧0
−1 também é. Além disso, se ℎ 𝑛 é 
real, zeros complexos ocorrerão em pares complexos conjugados e, 
portanto, 𝑧0
∗ e 𝑧0
∗ −1 também serão zeros de 𝐻 𝑧 . 
ii. Filtros do Tipo II possuem um zero em 𝑧 = −1, pois 𝐻 −1 =
−1 −𝑁𝐻 −1 = −𝐻 −1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam 
funções passa-altas. 
iii. Filtros do Tipo III e IV possuem um zero em 𝑧 = 1, pois 𝐻 1 =
−1 −𝑁𝐻 1 = −𝐻 1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam 
funções passa-baixas. 
iv. Filtros do Tipo III possuem um zero em 𝑧 = −1, pois 𝐻 −1 =
− −1 −𝑁𝐻 −1 = −𝐻 −1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam 
funções passa-altas. 
 
 
Filtros IIR Passa-Tudo 
 Não é possível projetar filtros IIR causais e estáveis com fase exatamente 
linear. 
 
 Em geral, um filtro 𝐺 𝑧 é projetado para satisfazer uma determinada 
resposta em frequência de módulo e a fase não-linear é corrigida por um 
filtro equalizador de fase 𝐴(𝑧), colocado em cascata (𝐺 𝑧 A(z)) . 
 
 Este filtro deve ter resposta em frequência de módulo constante 
( 𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝐾 ) e, por isso, é chamado de filtro passa-tudo. 
 
 A função de transferência de um filtro passa-tudo causal de ordem 𝑀 com 
coeficientes reais é da forma: 
𝐴 𝑧 =
𝑎𝑀+𝑎𝑀−1𝑧
−1+⋯+𝑎1𝑧
−(𝑀−1)+𝑧−𝑀
1+𝑎1𝑧−1+⋯+𝑎𝑀−1𝑧−(𝑀−1)+𝑎𝑀𝑧−𝑀
 
 
Filtros IIR Passa-Tudo 
 Podemos reescrever 𝐴(𝑧) como: 
 
𝐴 𝑧 =
𝑧−𝑀𝐷(𝑧−1)
𝐷(𝑧) 
= 𝑘 
𝑧 − 1/𝜆𝑖
𝑧 − 𝜆𝑖
𝑀
𝑖=1
 
 
 Portanto, se 𝐴 𝑧 tiver um polo em 𝜆𝑖 , terá necessariamente um zero em 
 𝜆𝑖
−1. 
 
 Exemplo: 𝐴 𝑧 =
0,81+0,9𝑧−1+𝑧−𝑀
1+0,9𝑧−1+0,81𝑧−2
 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Im
a
g
in
a
ry
 P
a
rt
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-400
-300
-200
-100
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
re
e
s
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Normalized Frequency ( rad/sample)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
Filtros IIR de Fase Mínima 
 Um sistema 𝐻(𝑧) é chamado de fase mínima se todos os zeros de sua 
função de transferência estiverem dentro do círculo unitário. 
 
 Se todos os zeros de 𝐻(𝑧) estiverem fora do círculo unitário, o sistema é 
chamado de fase máxima. 
 
 Se 𝐻(𝑧) tiver zeros fora e dentro do círculo unitário, o sistema é chamado 
de fase mista. 
 
 Os sistemas de fase mínima são os que respondem mais rapidamente à 
uma dada entrada. 
 
Filtros IIR de Fase Mínima 
 Exemplos: 
𝐻 𝑧 =
2(1 + 0,3𝑧−1)(1 − 0,4𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
 
𝐻 𝑧 =
2(1 + 0,3𝑧−1)(0,4 − 1𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
Normalized Frequency ( rad/sample)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
re
e
s
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
50
100
150
200
Normalized Frequency ( rad/sample)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
re
e
s
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
0 2 4 6 8 10 12
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
n (samples)
 A
m
p
lit
u
d
e
Impulse Response
0 2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
n (samples)
 A
m
p
lit
u
d
e
Impulse Response
Filtros IIR de Fase Mínima 
𝐻 𝑧 =
2(0,3 + 𝑧−1)(1 − 0,4𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
 
𝐻 𝑧 =
2(0,3 + 𝑧−1)(0,4 − 𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-150
-100
-50
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
re
e
s
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200
-100
0
100
200
Normalized Frequency ( rad/sample)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
re
e
s
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
0 2 4 6 8 10 12
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
n (samples)
 A
m
p
lit
u
d
e
Impulse Response
0 2 4 6 8 10 12
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
n (samples)
 A
m
p
lit
u
d
e
Impulse Response
Sistemas Inversos 
 Dois sistemas LTI, com respostas ao impulso ℎ1(𝑛) e ℎ2(𝑛), são inversos 
um do outro se 
 
 ℎ1 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛 = 𝛿 𝑛 
 
 ou, no domínio Z, 
𝐻1 𝑧 𝐻2 𝑧 = 1 
 
 Para um sistema causal com função de transferência racional 
 
𝐻1 𝑧 =
𝑃(𝑧)
𝐷(𝑧)
 
 
 o sistema inverso tem função de transferência 
 
𝐻2 𝑧 =
𝐷(𝑧)
𝑃(𝑧)
 
 
Sistemas Inversos 
 Se 𝐻1 𝑧 for um sistema de fase mínima, o sistema inverso causal será 
estável, pois os polos de 𝐻2 𝑧 estarão dentro do círculo unitário. 
 
 Se 𝐻1 𝑧 for um sistema de fase não mínima, o sistema inverso será 
instável se causalidade for imposta. 
 
 
 Equalização de canais de fase não-mínima: 
 
 Para 𝐻1 𝑧 de fase não mínima, podemos escrever 
 
𝐻1 𝑧 =
𝑃𝑖(𝑧)𝑃𝑜(𝑧)
𝐷(𝑧)
 
 
 Multiplicando 𝐻1 𝑧 por 
𝐴 𝑧 =
𝑧𝑀𝑃0(𝑧
−1)
𝑃0(𝑧)
 
 
Sistemas Inversos 
 Obtém-se o sistema de fase mínima 𝐻1 𝑧 
 
 𝐻1 𝑧 =
𝑧−𝑀𝑃𝑖(𝑧)𝑃0(𝑧
−1)
𝐷(𝑧)
 
 
 para o qual o sistema inverso causal 
 
𝐻2 𝑧 =
1
 𝐻1 𝑧
 
 é estável. 
 
 É fácil verificar que 
 
𝐻1 𝑧 𝐻2 𝑧 = 1/𝐴 𝑧 
 
 Portanto, utilizando-se 𝐻2 𝑧 como equalizador para um canal 𝐻1 𝑧 , 
 cancela-se a distorção de amplitude. A distorção de fase pode 
 ser reduzida com um equalizador de fase (filtro passa-tudo).