APOSTILA - FILTROS 2

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Resumo
• Especificação de Filtros
• Filtro de Butterworth
• Filtro de Chebyshev
• Filtros de Primeira Ordem
• Filtros de Segunda Ordem
– p. 1/27
Introdução
Os primeiros filtros construídos eram circuitos LC passivos. Estes filtros
funcionam bem em altas frequências mas em baixas frequências (de DC a
100KHz) as bobines são grandes, tem características não ideais e são
impossíveis de fabricar em circuito integrado e pouco compatíveis a
montagem de circuitos impressos modernos.
Neste capítulo são estudados filtros sem bobinas como o filtroactivo RC e
filtros de condensadores comutados.
Os filtros RC activos utilizam amplificadores operacionais juntamente com
resistências e condensadores e são fabricados na forma discreta com
tecnologiahybrid thick-filmehybrid thin film.
Mas estas tecnologias, na produção em larga escala, não atingem os baixos
preços de soluções totalmente integradas. Actualmente a solução mais viável
para a realização dum filtro totalmente integrado é a técnicade condensadores
comutados.
– p. 2/27
Função de Transferência do Filtro
A
função de transferênciaT(s) é dada por
T(s) = Vo(s)Vi(s)
Sendos= jw
T( jw) = |T( jw)|ejφ(w)
A função de ganho
G(w) = 20log|T( jw)| ,dB
A função de atenuação
A(w) = −20log|T( jw)| ,dB
A fase do sinal de entrada é alterada segundo a funçãoφ(w).
– p. 3/27
Tipos de Filtro
– p. 4/27
Especificação de filtros passa-baixo
A característica
de transmissão de um
filtro passa baixo é especificada
por quatro parâmetros:
• Uma frequência superior
da banda passantewp
• A máxima variação
permitida da banda passante
Amax (tipicamente de 0.05dB
a 3dB).
• A frequência inferior da banda de rejeiçãows
• Atenuação mínima na banda de rejeiçãoAmin (tipicamente de 20dB a
100dB).
– p. 5/27
Especificação de filtros passa-baixo
A razãows/wp é
usualmente usada como a medida
da transição rápida entre a banda
passante e a banda de rejeição e
é chamada factor de selectividade.
Além da especificação da resposta
em amplitude há aplicações
em que a resposta em fase do filtro
é especificada para o projecto.
Torna-se no entanto mais complexo quando é preciso obedecera uma
especificação em amplitude e fase.
Geralmente é feita uma aproximação duma função de transferência às
especificações através de programas de computador ou tabelas de projecto de
filtros. Em casos simples a aproximação pode-se fazer através de expressões
em forma fechada (não recorrentes).
– p. 6/27
Especificação de filtros passa-banda
A
figura mostra as especificações de
transferência do filtro passa-banda
e a resposta do filtro que
obedece a essas especificações.
Note-se que neste caso
existem duas bandas de transição.
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Função de Transferência do Filtro
A função de transferência genéricaT(s) de um filtro pode ser escrita na forma:
T (s) = aMs
M+aM−1sM−1+...+a0
sN+bN−1sN−1+...+b0
= aM(s−z1)(s−z2)...(s−zM)(s−p1)(s−p2)...(s−pN)
O grau do denominador, N, é a ordem do filtro. Para um filtro ser estável o
grau do numerador deve ser igual ou inferior ao denominador.
As raízes do numeradorz1,z2, . . . ,zM são os zeros e as raízes do denominador
p1, p2, . . . , pN são os pólos da função de transferência ou modos naturais.
Pólos ou zeros complexos aparecem em pares conjugados.
– p. 8/27
Função de Transferência do Filtro
A banda de rejeição do filtro para ter valor de zero ou pequeno precisa de ter
os zeros nessa banda. O filtro acima tem valor de ganho de zero (−∞ em dB)
emwl1 e wl2. Isto corresponde a dois pares de zeros conjugadoss= ± jwl1 e
s= ± jwl2. Quandow→ ∞ então o ganho tende para zero (−∞ em dB). Então
o filtro tem pelo menos um zero em infinito. A diferença de grau entre o
denominador e o numerador é o número de zeros no infinito.
– p. 9/27
Função de Transferência do Filtro
Para o filtro ser estável todos os pólos devem estar no semi-plano esquerdo ou
seja os pólosp1, p2, . . . , pN devem ter as partes reais negativas. Todos os pólos
estão perto da banda passante o que dá ao filtro o ganho na bandapassante.
– p. 10/27
Função de Transferência do Filtro
O filtro acima tem valor de ganho de zero (−∞ em dB) emwl1 e wl2. Isto
corresponde a dois pares de zeros conjugadoss= ± jwl1 es= ± jwl2.
Quandow→ ∞∧w→ 0 então o ganho tende para zero (−∞ em dB). Então o
filtro tem pelo menos um zero em infinito e zero. A diferença de grau entre o
denominador e o numerador é o número de zeros no infinito.
– p. 11/27
Função de Transferência do Filtro
Observamos aqui
que não há valores
finitos dew na
qual a atenuação
é−∞ (valor de
ganho zero). Então
os zeros estão
todos em infinito.
A função de
transferência deste filtro é do tipo
T (s) = a0
sN+bN−1sN−1+...+b0
Quase todos os filtros que vão ser estudados têm os zeros no eixo imaginário
na banda de rejeição,w = 0 ouw = ∞. Para obter grande selectividade os
pólos serão complexos conjugados excepto quando as ordens são ímpares.
Quanto mais selectivo é um filtro maior a ordem e mais próximosestão os
pólos do eixo imaginário.
– p. 12/27
Filtro de Butterworth
Os
zeros da função transferência estão todos
em infinito. A amplitude da função de
transferência para um filtro de Butterworth
de ordem N com uma frequência
superior da banda passantewp é dado por:
|T ( jw)| = 1�
1+ε2
(
w
wp
)2N
Paraw = wp
|T ( jwp)| = 1√
1+ε2
O parâmetroε determina o valor deAmax.
A máxima variação na banda passante
é: Amax= 20log
√
1+ ε2. A partir deAmax,
o valor deε é dado porε =
√
10Amax/10−1.
– p. 13/27
Filtro de Butterworth
Pode ser mostrado que as primeiras
2N−1 derivadas de|T| relativamente
w é zero emw = 0. Esta propriedade
faz da resposta do filtro de Butterworth
bastante plana emw = 0, isso justifica o
nome em inglês demaximally flat response
Na frequência inferior
da banda de rejeiçãow = ws a atenuação
do filtro de Butterworth é dada por
A(ws) =
−20log
[
1/
√
1+ ε2 (ws/wp)2N
]
=
10log
[
1+ ε2 (ws/wp)2N
]
Esta equação pode ser usada para calcular a ordem do filtro queé o menor
inteiro N que dáA(ws) > Amin.
– p. 14/27
Filtro de Butterworth
Os pólos ou modos naturais do filtro
Butterworth de ordem N estão num circulo
de raiow0 = wp (1/ε)1/N e estão espaçados
por ângulos deπ/N com o primeiro pólo
a um ângulo deπ/2N do eixo imaginário.
A função de transferência é dada por
T (s) =
KwN0
(s+p1)(s+p1)...(s+pN)
(1)
Podemos encontrar a função
transferência através do procedimento
• Determineε deε =
√
10Amax/10−1
• Determine a ordem do filtro deA(ws) = 10log
[
1+ ε2 (ws/wp)2N
]
com
A(ws) > Amin.
• Usar a figura para determinar os pólos.
• Usar a equação (1) para determinar a função transferência.
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Filtro de Chebyshev
As figuras
mostram filtros
de Chebyshev
de ordem
par e ímpar.
Os filtros
de Chebyshev
exibem uma
resposta de
igual-ripple na banda passante e decresce continuamente na banda de rejeição.
O número de máximos na banda passante é o número de pólos do filtro. Todos
os zeros do filtro de Chebyshev estão no infinito. A amplitude da função
transferência dum filtro de Chebyshev com limite da banda passantewp é
|T (s)| = 1�
1+ε2cos2[Ncos−1(w/wp)]
w 6 wp
|T (s)| = 1�
1+ε2cosh2[Ncosh−1(w/wp)]
w > wp
– p. 16/27
Filtro de Chebyshev
Para a frequência superior da banda passantew = wp
|T ( jwp)| = 1√
1+ε2
O parâmetroε determina oripple na banda passante
Amax= 10log
(
1+ ε2
)
A partir deAmax o valor deε é determinado por:
ε =
√
10Amax/10−1
– p. 17/27
Filtro de Chebyshev
A atenuação atingida pelo filtro de Chebyshev no principio dabanda de
rejeição (w = ws) é dada por
A(ws) = 10log
[
1+ ε2cosh2
(
Ncosh−1 (ws/wp)
)]
(1)
Com esta expressão pode obter-se a ordem do filtro N de forma a obter um
Amin (encontrar o menor N para o qualA(ws) > Amin).
Os pólos do filtro de Chebyshev são dados por
pk = −wpsen
(
2k−1
N
π
2
)
senh
(
1
N senh
−1 1
ε
)
+ jwpcos
(
2k−1
N
π
2
)
cosh
(
1
N senh
−1 1
ε
)
k = 1,2, . . . ,N (2)
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Filtro de Chebyshev
A função transferência do filtrode Chebyshev pode ser escrita como
T (s) =
KwNp
ε2N−1(s−p1)(s−p2)...(s−pN)
(3)
aonde K é o ganho do filtro.
O filtro de Chebyshev com as especificações pretendidas pode ser encontrado
através dos seguintes passos:
• Determineε deε =
√
10Amax/10−1
• Determine a ordem do filtro de (1) do acetato anterior.
• Determinar os pólos de (2) do acetato anterior.
• Usar a equação (3) para determinar a função transferência.
O filtro de Chebyshev para obter as mesmas especificações que ofiltro de
Butterworth requer uma ordem menor.
– p. 19/27
Filtro de primeira e segunda ordem
Filtros de primeira e segunda ordem podem ser combinados em série para
obter um filtro de ordem mais elevada. Com filtros activos RC a resistência de
saída dum andar é aproximadamente nula não sendo preciso tomar em conta a
carga do andar seguinte.
Em realizações activas há mais versatilidade do que nas realizações passivas.
É possível configurar os ganhos e alterar alguns parâmetros sem afectar
outros. No entanto os amplificadores operacionais limitam aresposta em alta
frequência dos circuitos activos.
A função de transferência de primeira ordem é dada por
T(s) = a1s+a0s+w0
Esta função transferência caracteriza o filtro de primeira ordem com um modo
natural ems= −w0 e um zero ems= −a0/a1 e um ganho em alta frequência
que se aproxima dea1. Os coeficientes do numerador,a0 ea1, determinam o
tipo de filtro.
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Filtro de primeira ordem
– p. 21/27
Filtro Passa-Tudo de primeira ordem
O filtro passa-tudo é um caso particular interessante.
O zero e o pólo da função transferência estão localizados simétricamente em
relação ao eixojw. De notar que o ganho do filtro passa tudo é idealmente
constante em todas as frequências e a sua fase varia com a frequência.
Os filtros passa-tudo são usados em filtros deslocadores de fase e em sistemas
de equalizadores de atraso que causam que o atraso do sistemapara todas as
frequências sejam constantes.
– p. 22/27
Filtro de segunda ordem
A função de transferência geral de segunda
ordem (ou biquadrática) tem a forma
T (s) = a2s
2+a1s+a0
s2+(w0/Q)s+w20
Em que os pólos são dados por
p1, p2 = −w02Q ± jw0
√
1− (1/(4Q2))
São interessantes os
casos em que os pólos são tais queQ > 0.5.
Este parâmetro determina quanto próximos
os pólos estão do eixo imaginário.
Quanto maior o valor do factor de
qualidadeQ mais próximos estão os pólos
do eixo imaginário e mais selectivo se torna
o filtro. Um valor infinito do factor de qualidadeQ os pólos estão no eixo
imaginário o que implica que o filtro pode manter oscilações.Um valor
negativo deQ implica que os pólos estão no semi plano direito o que faz o
filtro produzir oscilações.
– p. 23/27
Filtro de segunda ordem
Os zeros da função são determinados pelos coeficientes do numeradora0, a1 e
a2. Os valores dos zeros determinam o tipo de filtro pretendido (Passa-Baixo,
Passa-Alto, Passa-Banda, Rejeita-Banda).
Nas figuras que se seguem todos os filtros de segunda ordem tem um par de
pólos complexos com parâmetrosw0 e factor de qualidadeQ.
No caso do filtro passa-banda quandoQ aumenta a largura de banda do filtro
diminui.
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Filtro de segunda ordem
– p. 25/27
Filtro de segunda ordem
– p. 26/27
Filtro de segunda ordem
– p. 27/27
	
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