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Sistemas Lineares
Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Sistemas Lineares
Luiz Lima de O. Junior
Álgebra Linear - CCHE
Universidade Estadual da Paráıba - UEPB
Março-2020
Luiz Lima de O. Junior Álgebra Linear
Sistemas Lineares
Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Consideremos o sistemas de equações lineares com m equações e n
incógnitas do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
sistema 1.1.
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Consideremos o sistemas de equações lineares com m equações e n
incógnitas do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
sistema 1.1.
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incógnitas do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
sistema 1.1.
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a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
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incógnitas do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
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a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
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reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
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a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
sistema 1.1.
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incógnitas do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
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′
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reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
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incógnitas do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
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′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
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a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
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′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
sistema 1.1.
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Consideremos o sistemas de equações lineares com m equações e n
incógnitas do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(1.1)
onde os a′ijs e os b
′
i s, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números
reais dados, ou,mais geralmente, elementos de um corpo K dado.
Seja
S = {(c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn : ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn = bi , 1 ≤ i ≤ n}.
Esse subconjunto do Rn é chamado de conjunto solução do
sistema 1.1.
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtidamultiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Matriz Inversa
Transformações Elementares:
1) Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
2) Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria
equação com um múltiplo de outra;
3) Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a
equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada
por um número real não nulo.)
Definição
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas
equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de
uma sequência finita de transformações elementares.
Exerćıcio
Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de
equivalência.
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Matriz Inversa
Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Matriz Inversa
Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Matriz Inversa
Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Matriz Inversa
Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Matriz Inversa
Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Operações com matrizes
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Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Sistemas Lineares
Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Matriz Inversa
Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) ev = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Sistema Homogêneo
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0,
(1.2)
Observação
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos
sistemas mais gerais.
(i) O vetor (0, . . . , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do
sistema.
(ii) Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) são soluções do sistema
(1.2)então u + v também é solução do sistema (1.2);
(iii) Se u = (u1, . . . , un) é uma solução do sistema (1.2) e λ ∈ R,
então λu também é uma solução do sistema (1.2).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
A partir da Observação acima Sh é um espaço vetorial sobre R.
Consideremos os vetores
(ai1, ai2, . . . , ain, bi ) ∈ Rn+1
que representam os coeficientes das equações do sistema
(1.2)acrescidos dos segundos membros e os organizemos como
linhas de uma tabela,chamada de matriz ampliada do sistema
(1.2), como segue:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
... . . . . . . . . .
...
an1 an2 . . . ann bn
 (2.3)
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Sistemas Lineares
Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz do sistema homogêneo
Quando o sistema de equações é homogêneo, a ele associamos a
matriz 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 (2.4)
eliminando a coluna de zeros da direita na matriz (2.3).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz do sistema homogêneo
Quando o sistema de equações é homogêneo, a ele associamos a
matriz 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 (2.4)
eliminando a coluna de zeros da direita na matriz (2.3).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz do sistema homogêneo
Quando o sistema de equações é homogêneo, a ele associamos a
matriz 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 (2.4)
eliminando a coluna de zeros da direita na matriz (2.3).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz do sistema homogêneo
Quando o sistema de equações é homogêneo, a ele associamos a
matriz 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 (2.4)
eliminando a coluna de zeros da direita na matriz (2.3).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz do sistema homogêneo
Quando o sistema de equações é homogêneo, a ele associamos a
matriz 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 (2.4)
eliminando a coluna de zeros da direita na matriz (2.3).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz do sistema homogêneo
Quando o sistema de equações é homogêneo, a ele associamos a
matriz 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 (2.4)
eliminando a coluna de zeros da direita na matriz (2.3).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Sistemas Lineares
Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizesMatriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Sistemas Lineares
Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Matriz
Dados m e n em N \ {0}, definimos uma matriz real de ordem m
por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n),
como uma tabela formada por elementos de R distribúıdos em m
linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas
da matriz.
Notação: A = (aij)m×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . . . . .
...
am1 am2 . . . amn

O conjunto das matrizes m× n com entradas em R é denotado por
Mm×n(R).
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii) Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii) Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii) Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii) Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Matriz Inversa
Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii) Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii) Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii)Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Exemplo
(i) A = [a], a ∈ R;
(ii) A =
(
2 3 4
2 3 4
)
Tipos especiais de matrizes
(i) Uma matriz 1× n é chamada de matriz linha;
(ii) Uma matriz n × 1 é chamada de matriz coluna;
(iii) Uma matriz n × n é chamada de matriz quadrada;
(iv) Uma matriz diagonal de ordem n é uma matriz quadrada de
ordem n em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero;
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Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
(v) Uma matriz diagonal de ordem n em que aii = 1 é chamada
matriz identidade;
(vi) Uma matriz triangular superior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da
diagonal principal são iguais. a zero;
(vii) Uma matriz triangular inferior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da
diagonal principal são iguais. a zero;
(viii) Uma matriz m × n cujas entradas são todas iguais a zero é
chamada de matriz nula.
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(v) Uma matriz diagonal de ordem n em que aii = 1 é chamada
matriz identidade;
(vi) Uma matriz triangular superior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da
diagonal principal são iguais. a zero;
(vii) Uma matriz triangular inferior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da
diagonal principal são iguais. a zero;
(viii) Uma matriz m × n cujas entradas são todas iguais a zero é
chamada de matriz nula.
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Matriz Inversa
(v) Uma matriz diagonal de ordem n em que aii = 1 é chamada
matriz identidade;
(vi) Uma matriz triangular superior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da
diagonal principal são iguais. a zero;
(vii) Uma matriz triangular inferior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da
diagonal principal são iguais. a zero;
(viii) Uma matriz m × n cujas entradas são todas iguais a zero é
chamada de matriz nula.
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Matriz Inversa
(v) Uma matriz diagonal de ordem n em que aii = 1 é chamada
matriz identidade;
(vi) Uma matriz triangular superior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da
diagonal principal são iguais. a zero;
(vii) Uma matriz triangular inferior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da
diagonal principal são iguais. a zero;
(viii) Uma matriz m × n cujas entradas são todas iguais a zero é
chamada de matriz nula.
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Matriz Inversa
(v) Uma matriz diagonal de ordem n em que aii = 1 é chamada
matriz identidade;
(vi) Uma matriz triangular superior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da
diagonal principal são iguais. a zero;
(vii) Uma matriz triangular inferior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da
diagonal principal são iguais. a zero;
(viii) Uma matriz m × n cujas entradas são todas iguais a zero é
chamada de matriz nula.
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(v) Uma matriz diagonal de ordem n em que aii = 1 é chamada
matriz identidade;
(vi) Uma matriz triangular superior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da
diagonal principal são iguais. a zero;
(vii) Uma matriz triangular inferior de ordem n é uma matriz
quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da
diagonal principal são iguais. a zero;
(viii) Uma matriz m × n cujas entradas são todas iguais a zero é
chamada de matriz nula.
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
MatrizInversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
(i) Dizemos que duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], de mesma
ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo
1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
(ii) Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem, a
soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem
m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo
1 ≤ j ≤ n.
Dada uma matriz A = [aij ], define-se a matriz oposta de A, como
a matriz −A = [−aij ].
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Matriz Inversa
Proposição
Se A,B e C são matrizes de mesma ordem, então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C )
(ii) A + B = B + A;
(iii) A + 0 = A;
(iv) A + (−A) = 0.
Multiplicação por escalar
Definição
(i) Dada a matriz A = [aij ] definimos o produto de A pelo número
real a, como aA = [aaij ]m×n.
(ii) Definimos a subtração por
A− B = A + (−B).
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Sistemas Lineares
Matriz ampliada do sistema
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Operações com matrizes
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Proposição
As seguintes propriedades se verificam para quaisquer A e
B ∈ Mm×n(R), e a, b ∈ R. Então
(i) a(A + B) = aA + aB
(ii) (a + b)A = aA + bA;
(iii) a(bA) = (ab)A;
(iv) 1A = A.
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + . . .+ ainbnj , ∀1 ≤ i ≤ m e ∀1 ≤ j ≤ p.
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Operações com matrizes
Matriz Inversa
Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Matriz Inversa
Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
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então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
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1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
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1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
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(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
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1 −1
)
=
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4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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Exemplo  2 40 0
−1 3
 ( −1 1
1 −1
)
=
 2 −20 0
4 −4

Observação
(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;
(ii) A =
(
1 1
1 1
)
e B =
(
1 1
−1 −1
)
então AB = 0.
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=
 2 −20 0
4 −4
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(i) A =
(
0 1
2 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
então AB 6= BA;