Matrizes

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Prof. Me. Adilson Simões
UNIDADE I
Tópicos de Matemática
 Matrizes são tabelas numéricas formadas por linhas e colunas.
 De maneira formal, uma matriz m × n é uma tabela formada por números reais dispostos em 
m linhas e n colunas (com m e n sendo números naturais maiores ou iguais a 1).
 Seja 𝑖 uma linha qualquer dessa matriz, logo, 1 < 𝑖 < 𝑚, e 𝑗 é uma coluna qualquer dessa 
matriz, logo, 1 < 𝑖 < 𝑚.
Matrizes
 As matrizes são representadas por uma letra maiúscula e podemos apresentá-las com seus 
elementos entre parênteses ou entre colchetes.
Exemplificando, uma matriz M pode ser da seguinte forma:
A ordem da matriz M é 3 × 2, isto é, possui três 
linhas e duas colunas.
Matrizes
A localização dos elementos ocorre indicando-se o número da linha e da coluna a qual esse 
elemento pertence:
Matrizes
1ª linha
2ª linha
3ª linha
1ª coluna
2ª coluna
3ª coluna
Os elementos de uma matriz são representados pela letra minúscula correspondente à letra da 
matriz seguida de dois índices que indicam a localização do elemento.
Assim, temos:
Elemento da matriz 𝐴, localizado na linha 𝑖 e na coluna 𝑗.
Por exemplo, na matriz 𝐴3𝑋3 dada, temos:
𝑎12 = 1, 𝑎23 = −3 e 𝑎31 = −1 
Matrizes
A representação genérica de uma matriz de ordem m × n é dada por:
Observação: duas matrizes 𝐴 e 𝐵 são consideradas iguais (𝐴 = 𝐵) 
quando possuem a mesma ordem e todos os seus elementos de 
mesma posição são iguais.
Matrizes
Exemplo: Determine a matriz 𝐴2𝑋3, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 5𝑖 − 𝑗.
Temos que , em que:
𝑎11 = 5.1 − 1 = 4 𝑎12 = 5.1 − 2 = 3 𝑎13 = 5.1 − 3 = 2
𝑎21 = 5.2 − 1 = 9 𝑎22 = 5.2 − 2 = 8 𝑎23 = 5.2 − 3 = 7
Logo:
Matrizes
Matriz linha
É a matriz que possui uma linha e 𝑗 colunas. Exemplo:
Matriz coluna
É a matriz que possui 𝑖 linhas e uma coluna. Exemplo:
Classificação das matrizes
Matriz quadrada
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
Exemplos:
 Observação: as matrizes quadradas possuem diagonais principais e diagonais secundárias.
Classificação das matrizes
Matriz nula
É a matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Exemplos:
Matriz identidade
É a matriz quadrada em que . Exemplos:
Classificação das matrizes
Adição de matrizes
 A soma de matrizes de mesma ordem tem como resultado uma matriz da mesma ordem em 
que seus elementos são obtidos pela soma de cada elemento correspondente.
Exemplo: Dadas as matrizes , temos
Operações com matrizes
Propriedades da adição de matrizes
 Comutativa: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
 Associativa: 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
 Elemento neutro: 𝐴 + 0 = 𝐴
 Elemento oposto: 𝐴 + (−𝐴) = 0
Operações com matrizes
Produto do Número Real X matriz
Dada uma matriz 𝐴𝑚𝑋𝑛 e um número Real 𝛼, o produto 𝛼∙𝐴𝑚𝑋𝑛 é uma matriz (𝛼𝐴)𝑚𝑋𝑛, tal que 
𝛼 ∙ 𝑎𝑖𝑗 ∀ 𝑖,𝑗. Exemplo:
Dada a matriz é correto afirmar que a matriz 4𝐴 é:
Operações com matrizes
Propriedades do produto do Número Real X matriz
 Associativa: α ∙ (𝛽 ∙ 𝐴) = (α ∙ 𝛽) ∙ 𝐴
 Distributiva do Número Real: α ∙ (𝐴 + 𝐵) = 𝛼 ∙ 𝐴 + 𝛼 ∙ 𝐵
 Distributiva da matriz: (α + 𝛽) ∙ 𝐴 = 𝛼 ∙ 𝐴 + 𝛽 ∙ 𝐴
 Elemento neutro: 1 ∙ 𝐴 = 𝐴
Operações com matrizes
Sejam as matrizes , é correto afirmar que a matriz 2𝐴−𝐵 é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Interatividade
Sejam as matrizes , é correto afirmar que a matriz 2𝐴−𝐵 é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Resposta
Matriz transposta
Seja 𝐴 uma matriz de ordem m × n, denominamos de matriz transposta de 𝐴 (indicada por 𝐴𝑡) 
de ordem n × m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas da matriz 𝐴. Por exemplo:
Dada matriz
Propriedades das matrizes transpostas: 
 (𝐴𝑡 )𝑡 = 𝐴
 (𝛼 ∙ 𝐴)𝑡 = 𝛼 ∙ 𝐴𝑡
 (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
Operações com matrizes
 Produto matriz X matriz
 A multiplicação de duas matrizes 𝐴 ∙ 𝐵 só será possível quando o número de colunas da 
primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. O resultado dessa multiplicação 
será uma matriz 𝐶 que terá o mesmo número de linhas da primeira, e o número de colunas 
igual à segunda.
𝐴𝑚𝑋𝑛 ∙ 𝐵𝑛𝑋𝑝 = 𝐶𝑚𝑋𝑝
Os elementos 𝑐𝑖𝑗 de 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 serão obtidos somando-se o 
produto ordenado dos elementos das linhas da matriz 𝐴 pelos 
elementos das colunas da matriz 𝐵.
Operações com matrizes
Exemplo: Dadas as matrizes , determinar o 
produto 𝐴 ∙ 𝐵.
Operações com matrizes
Propriedades do produto de matrizes: 
 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶) = (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶
 (𝐴 + 𝐵) ∙ 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐶
 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
 (𝐴 ∙ 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 ∙ 𝐴𝑡
 𝐴 ∙ 𝐼 = 𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴 (a matriz identidade 𝐼 é o elemento neutro do produto de matrizes)
Operações com matrizes
Exemplo: Dadas as matrizes , determinar o produto 𝐴 ∙ 𝐵. 
Operações com matrizes
Dada uma matriz quadrada 𝐴 de ordem n, ela é invertível se existir uma matriz, de mesma 
ordem, indicada por 𝐴−1, tal que satisfaça a seguinte condição:
𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 𝐼𝑛
Exemplo 1: Determine a inversa, se existir, da matriz
𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼2
Matriz inversa
Desenvolvendo o produto das matrizes, temos , sendo possível
identificar os sistemas:
Matriz inversa
Propriedades das matrizes inversas
Sendo A e B matrizes quadradas e invertíveis, temos:
 Dada a matriz 𝐴, se existir 𝐴−1, essa é única
 (𝐴−1 )−1 = 𝐴
 (𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ∙ 𝐴−1
 (𝐴−1 )𝑡 = (𝐴𝑡)−1
Matriz inversa
Exemplo 2: Determine a inversa, se existir, da matriz
𝐵 ∙ 𝐵−1 = 𝐼2
Desenvolvendo o produto é possível encontrar:
(sistemas impossíveis)
Logo, a matriz 𝐵2𝑋2 não possui inversa.
Matriz inversa
A matriz resultante do produto das matrizes é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Interatividade
A matriz resultante do produto das matrizes é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Resposta
Exemplo 3: Determine a inversa, se existir, da matriz
𝐶 ∙ 𝐶−1 = 𝐼2
Desenvolvendo o produto é possível encontrar:
Matriz inversa
Matriz inversa
 Determinante é um número associado a uma matriz quadrada obtido a partir de operações 
entre seus elementos.
 O determinante de uma matriz 𝐴 pode ser representado por 𝑑𝑒𝑡(𝐴), det𝐴 ou |𝐴|.
 Os determinantes aparecem em várias áreas da matemática como na solução de sistemas 
lineares ou no cálculo de áreas de figuras planas.
 Observação: o valor do determinante permite verificar se a matriz possui ou não inversa. 
Caso a matriz seja singular (determinante igual a zero), a matriz não possui inversa.
Determinantes
Cálculo do determinante
 O método para o cálculo do determinante difere de acordo com a ordem da matriz.
Matrizes de ordem 1
Para as matrizes de ordem 1, o valor do determinante é o próprio elemento, logo, para uma 
matriz 𝐴:
det 𝐴 = 𝑎11
Determinantes
Matrizes de ordem 2
Seja a matriz é correto afirmar que det 𝐴 = 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21.
Exemplo: Calcule
Determinantes
Matrizes de ordem 3 (Método de Sarrus)
O determinante é obtido pela expressão:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎33 + 𝑎12 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎31 + 𝑎13 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎32 − 𝑎13 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎31 − 𝑎11 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎32 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎33
Determinantes
Exemplo: Calcule o determinante de matriz
det 𝑀= 1 ∙ 4 ∙ 1 + 2 ∙ (−1) ∙ 3 + 0 ∙ 0 ∙ 1− 0 ∙ 4 ∙ 3 − 1 ∙ (−1)∙1 + 2 ∙ 0 ∙ 1
det 𝑀 = 4 − 6 + 0 − 0 + 1 − 0= −1
Determinantes
Propriedades dos determinantes
Determinantes
Exemplo de aplicação: Determine o(s) valor(es) de 𝑥 que confirma(m) o resultado do 
determinante.
𝑥′ = 1
𝑥′′ = 4
Determinantes
Dada a matriz , é correto afirmar que det 𝐴𝑡 é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Interatividade
Dada a matriz , é corretoafirmar que det 𝐴𝑡 é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resposta
Um sistema de equações lineares, ou simplesmente um sistema linear, é o conjunto de duas 
ou mais equações lineares com n incógnitas. De forma geral, um sistema linear é representado 
da seguinte forma:
Sistemas lineares
Exemplos:
Sistemas lineares
Classificação de um Sistema Linear
 Sistema Possível e Determinado (SPD)
 É o sistema linear que possui apenas uma solução.
 Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
 É o sistema linear que possui infinitas soluções.
 Sistema Impossível (SI)
 É o sistema linear que não possui solução, logo, 𝑆 = { }.
Sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares
 Existem diferentes processos para resolução de sistemas lineares, e para os sistemas mais 
simples com apenas duas incógnitas, pode ser aplicado o método de substituição ou de 
soma das equações.
 No caso de sistemas mais complexos, existem outros métodos práticos para resolução. 
Sistemas lineares
Método de Cramer
Trata-se de um método que determina as incógnitas a partir dos passos:
 É definido o determinante da matriz dos coeficientes 𝐷 (matriz incompleta).
 São calculados os determinantes, substituindo os termos independentes da coluna de cada 
incógnita 𝐷𝑥 , 𝐷𝑦 , 𝐷𝑧 . . .
 São calculados os valores das incógnitas:
Sistemas lineares
Exemplo: Determinar o conjunto-solução do sistema
Sistemas lineares
Sistemas lineares
Analisando esse método, temos:
Sistemas lineares
Método de Escalonamento
Um sistema escalonado possui uma “escada” de zeros, ou seja, na última equação do sistema 
tem somente uma variável, na penúltima equação tem duas variáveis e assim sucessivamente. 
O exemplo a seguir mostra um sistema que já foi escalonado. 
Exemplo:
Sistemas lineares
 Para se obter um sistema escalonado deve-se aplicar operações elementares entre as 
equações do sistema.
 Uma vez o sistema escalonado, pode ser calculado o valor da incógnita da última equação, e 
a partir desse valor promover uma retrossubstituição até obter o valor de todas as incógnitas.
Sistemas lineares
Exemplo: Resolva o sistema linear utilizando o método do escalonamento.
Sistemas lineares
𝑆 = {(4, 2, 2)}
Sistemas lineares
O conjunto-solução do sistema linear 
a) 𝑆 = {(3, 3, 1)}
b) 𝑆 = {(2, 1, 3)}
c) 𝑆 = {(1, 3, 1)}
d) 𝑆 = {(1, 3, 2)}
e) 𝑆 = {(2, 3, 3)}
Interatividade
O conjunto-solução do sistema linear 
a) 𝑆 = {(3, 3, 1)}
b) 𝑆 = {(2, 1, 3)}
c) 𝑆 = {(1, 3, 1)}
d) 𝑆 = {(1, 3, 2)}
e) 𝑆 = {(2, 3, 3)}
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!