Prova 1 - GAAL - Gabarito

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Gabarito da Primeira Prova de Geometria Analítica e Álgebra Linear
Questão 1 (6 pontos): Considere os pontos A = (5, 1, 2), B = (7, 4, 2) e C = (2, 1, 4) do
espaço trimensional.
(a) (2 pontos) Determine a área do triângulo ABC.
Área do triângulo ABC =
||
−→
AB ×
−→
AC||
2
.
�
−→
AB = (2, 3, 0).
�
−→
AC = (−3, 0, 2).
�
−→
AB ×
−→
AC =
(
det
[
3 0
0 2
]
,− det
[
2 0
−3 2
]
, det
[
2 3
−3 0
])
= (6,−4, 9).
� ||
−→
AB ×
−→
AC|| =
√
62 + (−4)2 + 92 =
√
36 + 16 + 81 =
√
133.
Logo, a área do triângulo ABC é de
√
133
2
unidades de área.
(b) (2 pontos) Determine o ângulo interno do triângulo ABC referente ao vértice A e determine
se ele é agudo, obtuso ou reto.
−→
AB •
−→
AC = (2, 3, 0) • (−3, 0, 2) = −6 + 0 + 0 = −6.
Como
−→
AB •
−→
AC < 0, então o ângulo θ interno do triângulo ABC referente ao vértice A é
obtuso. Como ||
−→
AB|| =
√
22 + 32 + 02 =
√
13 e ||
−→
AC|| =
√
(−3)2 + 02 + 22 =
√
13, então
cos θ =
−→
AB •
−→
AC
||
−→
AB|| · ||
−→
AC||
=
−6√
13
√
13
= − 6
13
⇒ θ = arccos
(
− 6
13
)
(c) (2 pontos) Determine a equação do plano Ω que contém os pontos A,B e C.
O vetor −→n =
−→
AB ×
−→
AC = (6,−4, 9) é um vetor normal ao plano Ω. Utilizando o ponto
A = (5, 1, 2) que pertence a Ω, obtemos que a equação desse plano é
6(x−5)−4(y−1)+9(z−2) = 0 ⇒ 6x−30−4y+4+9z−18 = 0 ⇒ Ω : 6x− 4y + 9z − 44 = 0
1
Questão 2 (4 pontos): Determine todos os valores de λ para os quais o paralelepípedo gerado
pelos vetores −→u = (3, λ, 1), −→v = (4, 1, 0) e −→w = (5, 0, −2) tem volume igual a 5 unidades
de volume.
Volume do paralelepípedo = |−→u • (−→v ×−→w )|. Temos que
−→u • (−→v ×−→w ) = 3 det
[
1 0
0 −2
]
− λ det
[
4 0
5 −2
]
+ det
[
4 1
5 0
]
= 3 · (−2)− λ · (−8) + (−5) = −6 + 8λ− 5
= 8λ− 11
Como queremos que o volume do paralelepípedo seja igual a 5 unidades de volume, devemos
ter |8λ− 11| = 5. Temos duas possibilidades:
� 8λ− 11 = 5 ⇒ 8λ = 16 ⇒ λ = 2 .
� 8λ− 11 = −5 ⇒ 8λ = 6 ⇒ λ = 6
8
=
3
4
= 0.75 .
Questão 3 (5 pontos): Considere os pontos A = (2, 0, 1) e B = (4, 3, 2) do espaço tridimen-
sional.
(a) (3 pontos) Determine a equação da reta r que contém os pontos A e B.
O vetor
−→
AB = (2, 3, 1) é um vetor não-nulo paralelo à reta r e, portanto, é um vetor
diretor para r. Utilizando o ponto A, obtemos que uma equação paramétrica para a reta r
é r :

x = 2 + 2t
y = 3t t ∈ R
z = 1 + t
.
(b) (1 ponto) O ponto C = (0,−3, 0) pertence à reta r?
O vetor
−→
AC = (−2,−3,−1) = −
−→
AB é paralelo ao vetor
−→
AB e, portanto, C ∈ r .
(c) (1 ponto) O ponto D = (5, 2, 0) pertence à reta r?
O vetor
−−→
AD = (3, 2,−1) não é um múltiplo escalar de
−→
AB, e, portanto, não é paralelo
ao vetor
−→
AB. Logo, D /∈ r .
2
Questão 4 (7 pontos): Considere a hipérbole de equação
x2
9
− y
2
16
= 1 .
(a) (3 pontos) Quais são as coordenadas dos focos dessa hipérbole?
Nessa hipérbole temos que a2 = 9 e b2 = 16. Logo, a = 3 e b = 4 .
Como b =
√
c2 − a2 na hipérbole, então c2 = b2 + a2 = 9 + 16 = 25 e, portanto c = 5 .
Como os focos F1 e F2 dessa hipérbole estão no eixo x, então F1 = (−5, 0) e F2 = (5, 0) .
(b) (2 pontos) Quais são as equações das assíntotas dessa hipérbole?
y = ± b
a
x = ±4
3
x. Ou seja, as assíntotas são as retas y =
4
3
x e y = −4
3
x .
(c) (2 pontos) Desenhe essa hipérbole no sistema cartesiano xy abaixo, explicitando suas in-
terseções com os eixos coordenados (se existirem), seus focos e suas retas assíntotas.
3
Questão 5 (8 pontos): Considere a cônica representada pela equação
25x2 + 9y2 − 50x+ 36y = 164
(a) (4 pontos) Determine as coordenadas do ponto O′ correspondente à origem do sistema de
coordenadas x′y′ obtido por uma translação do sistema cartesiano xy no qual a cônica dada
pela equação está na posição padrão e identi�que essa cônica.
� Se a cônica for uma elipse, determine seu semi-eixo maior a, seu semi-eixo menor b e
seus focos.
� Se a cônica for uma circunferência, determine seu raio e seu centro.
� Se a cônica for uma hipérbole, determine seus focos e suas assíntotas.
� Se a cônica for uma parábola, determine seu foco e sua reta diretriz.
Vamos completar quadrados para enxergar a translação da cônica.
25x2 + 9y2 − 50x+ 36y = 164 ⇒ 25x2 − 50x+ 9y2 + 36y = 164
⇒ 25(x2 − 2x) + 9(y2 + 4y) = 164
⇒ 25[(x− 1)2 − 1] + 9[(y + 2)2 − 4] = 164
⇒ 25(x− 1)2 − 25 + 9(y + 2)2 − 36 = 164
⇒ 25(x− 1)2 + 9(y + 2)2 − 61 = 164
⇒ 25(x− 1)2 + 9(y + 2)2 = 164 + 61
⇒ 25(x− 1)2 + 9(y + 2)2 = 225
⇒ 25(x− 1)
2
225
+
9(y + 2)2
225
=
225
225
⇒ (x− 1)
2
9
+
(y + 2)2
25
= 1
Logo, O′ = (1,−2) e no sistema de coordenadas x′y′ a cônica tem equação (x
′)2
9
+
(y′)2
25
= 1 .
Concluímos assim que essa cônica é um elipse com semi-eixo maior a = 5 , semi-eixo menor
b = 3 e focos no eixo y′.
Como b =
√
a2 − c2 no caso da elipse, então c2 = a2 − b2 = 25− 9 = 16 ⇒ c = 4 .
Logo, os focos dessa elipse são F ′1 = (0,−4) e F ′2 = (0, 4) .
4
(b) (2 pontos) Desenhe esta cônica no sistema cartesiano x′y′ abaixo.
(c) (2 pontos) Desenhe esta cônica no sistema cartesiano xy abaixo.
5