Apendice justificativo_carga concentrada_seçao cruciforme_David Bizarro FCT-UNL

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Apêndice 10 - Estudo da estabilidade do elemento cruciforme em consola
Método de Rayleigh-Ritz 
Um critério de estabilidade elástica adequado para estruturas elásticas sujeitas a cargas estáticas é o 
critério de estabilidade da energia (abordagem energética), com efeito é neste conceito que se baseia a 
formulação do método de Rayleigh-Ritz (actua ao nível da energia potencial de um sistema estrutural, 
e portanto, só é aplicável em problemas conservativos) (Reis & Camotim, 2012). 
No que se segue analisa-se a estabilidade de uma secção aberta de paredes finas (a espessura é 
pequena quando comparada com as outras dimensões da secção transversal), porque apesar estas 
secções serem uma boa escolha pelo elevado desempenho em termos de minimizar o peso próprio para 
uma dada resistência, no entanto, é a estabilidade que se torna fundamental no dimensionamento.
Tomando como objecto de estudo o comportamento de encurvadura de um elemento não prismático e 
inicialmente indeformado, com secção aberta de paredes finas (secção cruciforme), com condições de 
fronteira idênticas às de uma consola (uma extremidade encastrada – não restringe o empenamento – e 
outra livre), e sujeito a uma carga horizontal ou vertical na sua extremidade livre que é concentrada e 
centrada no centro de corte1,2 (conforme indicado na Figura 1), então, o termo quadrático da energia 
potencial total do elemento estrutural é definido pela soma das componentes seguintes (quando a 
segunda variação do potencial total é definida positiva, em relação a todas as perturbações 
cinematicamente admissíveis sobre a posição de equilíbrio, advém que a configuração de equilíbrio é 
estável) (Attard, 1986): 
 


∫     (


)

     (


)

     (


)

     (


)




 
 


∫     


     (


)

 
 
  
 


  



∫     


     (


)

 
  
  
 


  



∫   (


)

 (


)

   




    





    








  



        
Onde,  é a energia de deformação armazenada pelo elemento e  é a energia potencial ocasionada 
pela acção de forças externas no elemento, e nessas expressões as grandezas têm o significado 
seguinte: x-x representa o eixo centroidal do elemento; y-y e z-z representa os eixos principais da 
secção transversal;  e  são os módulos de elasticidade e distorção do material;  e  são os 
momentos de inércia da secção em relação aos eixos y-y e z-z;  e  são as constantes de torção 
e de empenamento;  é o momento polar de inércia em relação ao centro de corte;  e  são 
factores que traduzem a tendência de curvatura antes da ocorrência de instabilidade;  e  são 
constantes geométricas associadas à assimetria da secção transversal. As características geométricas 
adoptadas são determinadas pelas expressões seguintes: 
 
1 Em secções abertas de paredes finas constituídas por troços, se as linhas médias concorrem num ponto então 
esse ponto coincide necessariamente com o centro de corte (as linhas de acção das resultantes das tensões 
tangenciais nos diversos troços convergem para esse ponto) (Silva, 2004). 
2 Admite-se que a carga concentrada é aplicada no centro de gravidade pelo facto da ligação espacial ser 
"perfeita". 
326 
 
  


  

  
  


  

  
        

 
 
      

  
      

 
   { 


     }     { 


     } 
 

  
∫   

     

  
∫   

   
Onde,  é a área da secção transversal do elemento;  e  são a altura e a largura da secção 
transversal do elemento;  e  são as espessuras das abas maior e menor da secção cruciforme;  e 
 são as coordenadas do centro de corte em relação ao centro de gravidade da secção;  é o 
comprimento do vão da consola. 
É importante salientar que a formulação utilizada está limitada à resposta elástica (precedente aos 
fenómenos de instabilidade), nela se usaram as hipóteses da teoria clássica de Vlassov sobre peças de 
paredes finas – as secções transversais não se deformam no seu próprio plano e as deformações por 
corte sobre a superfície média são negligenciáveis –, e também se assumiu que a peça está a flectir 
inicialmente sobre o eixo de maior inércia – os efeitos iniciais de curvatura podem ser ignorados 
(Andrade, Camotim, & Providência e Costa, 2007; Attard, 1986). 
 
Figura 1 – Consola submetida a uma força concentrada horizontal ou vertical (compressão uniforme) aplicada no 
centro de corte da extremidade livre 
Considerando a distribuição de esforços no estado fundamental3 vem que: 
 Momento flector causado pela carga horizontal 
             
 Esforço axial causado pela carga vertical 
     
 
3 Os efeitos geometricamente não lineares são contabilizados ao usar-se o princípio da minimização da energia 
potencial, ou seja, trata-se de uma alternativa à consideração das equações de equilíbrio na posição deformada 
(as deformações permanecem lineares) (Reis & Camotim, 2012; Chajes, 1974). 
327 
Onde,  e  são as forças externas concentradas vertical e horizontal, e cujas linhas de acção passam 
pelo centro de corte da secção transversal do elemento estrutural (se existirem excentricidades nas 
forças externas os seus efeitos deverão estar incluídos);  é um parâmetro de carga associado a 
determinado modo de instabilidade. 
Para discretizar a configuração dos modos de instabilidade da consola de secção cruciforme 
assumiram-se as funções de aproximação seguintes (Reis & Camotim, 2012): 
 Encurvadura por flexão 
       
  
  
         
  
  
         
  
  
 
 Encurvadura lateral-torsional 
   


    


     (





) 
Em que, os parâmetros      são os graus de liberdade (variáveis não conhecidas);    e 
 são as funções de forma (caracterizam a forma da encurvadura) que satisfazem as condições de 
fronteira cinemáticas seguintes: 
 


    


      
É importante frisar que as funções de forma fornecem uma estimativa do deslocamento médio ao 
longo do comprimento do elemento, ou noutras palavras, o deslocamento do centroíde de todas as 
secções transversais. 
Prosseguindo, ao substituir-se as funções de forma na equação da energia potencial total do elemento é 
possível defini-la da seguinte forma (Reis & Camotim, 2012): 
        
Em que, a função  é a forma quadrática dos parâmetros    . Em alternativa pode-se 
representar a segunda variação do potencial total da seguinte maneira (Wang & Kitipornchai, 1986):
    
  []  
Onde,  é a rigidez tangente;  é o vector dos graus de liberdade (deslocamentos generalizados). 
Na escolha dos parâmetros     de modo a tornar estacionária a função da energia potencial com 
respeito às formas de encurvadura (critério do equilíbrio adjacente), é-se conduzido ao sistema de 
equações lineares homogéneas definido pelas derivadas parciais de  com respeito a     

 
  

 
  

 
  
A técnica de resolução consiste em colocar o conjunto de equações algébricas na forma de matriz 
como se segue: 
[    ]⏞  
[]
     
Onde,  é a matriz de rigidez do elemento;  é a matriz de estabilidade. 
Enfim, quando a respostade pré-encurvadura é assumida como linear e as deformações prévias à 
instabilidade são ignoradas, a carga crítica elástica de encurvadura é dada pelo determinante de 
[] que se anula para a solução não trivial, isto é, a forma quadrática completa das perturbações 
dos deslocamentos generalizados muda de positiva definida para semi-definida quando o determinante 
da rigidez tangente se anula: 
   
328 
Noutras palavras, a equação resultante conduz a uma série de potência  (no máximo), cuja menor raiz 
possível fornece a carga ou momento crítico de encurvadura (menor valor próprio da equação 
característica). Além disso, como a matriz de rigidez do elemento e a matriz de estabilidade são 
simétricas e reais, e a matriz de rigidez é positiva definida, segue-se que os valores próprios serão 
sempre reais (Wang & Kitipornchai, 1986). 
Método dos Elementos Finitos – Programas de cálculo automático 
Enquadramento geral 
Em seguida, com o auxílio dos softwares SAP2000 e ANSYS, vai-se determinar as cargas críticas 
associadas aos modos de encurvadura por flexão, torção ou flexão-torção que tornam a peça 
cruciforme instável, e para essa análise de estabilidade empregaram-se duas abordagens distintas: 
i) Método dos valores próprios: prevê a resistência teórica à encurvadura elástica 
considerando o elemento estrutural sem imperfeições, com carregamento e restrições 
conhecidas (análise clássica da encurvadura de Euler). Na prática, existem imperfeições 
geométricas e não linearidades que impedem que os elementos atinjam a resistência ideal 
à encurvadura, ou seja, o valor próprio previsto sobreleva a carga de encurvadura real 
(método não recomendado quando se pretende precisão). 
ii) Análise não linear geométrica e material: mais precisa que a análise de valores próprios da 
estrutura porque efectua uma análise estática conjugada com a presença de imperfeições e 
não linearidades (incluem-se as grandes deformações se necessário) para prever as cargas 
de encurvadura (devido à natureza não linear da análise é possível incluir as imperfeições 
geométricas, as mudanças de contacto entre elementos, as perturbações de carga, as não 
linearidades do material e as lacunas de execução). Além disso, esta análise processa-se 
com a carga iniciada em zero e incrementada gradualmente até que se encontre um nível 
de carga em que a estrutura se torne subitamente instável (ou seja, um pequeno aumento 
de carga provoca grandes deformações); para cada incremento a matriz de rigidez é 
ajustada antes de novo incremento de carga. 
As características mecânicas adoptadas para o aço foram as seguintes: material isotrópico com módulo 
de elasticidade de    , coeficiente de Poisson igual a   , tensão de cedência igual a 
      e tensão de rotura igual a      . 
No que refere às condições de apoio, o elemento de secção cruciforme variável possui encastramento 
perfeito na base (graus de liberdade fixos – deslocamentos e rotações) e está livre no topo (secção 
mais pequena). 
Admitiu-se ainda que a carga necessária para causar encurvadura está centrada no centro geométrico 
da secção (coincide com o centro de corte da secção) e aplicada na extremidade livre da viga, e o 
mesmo acontece com as cargas equivalentes às imperfeições (as imperfeições podem ser substituídas 
por pequenas cargas fora do eixo do elemento, as quais são necessárias para se iniciar o modo de 
encurvadura mais provável de ocorrer na realidade, ou seja, persuadem o elemento a encurvar sob uma 
carga crítica mínima). 
Pormenores do modelo computacional do software SAP2000 
Primeiramente, recorrendo ao software AutoCAD4, concebeu-se a geometria do elemento de secção 
cruciforme variável ao longo do comprimento, a partir da linha média de cada chapa que o constitui. 
Posteriormente recorreu-se ao gerador de malhas do mesmo programa para criar a malha de elementos 
finitos. 
 
4 Foram efectuadas tentativas com o programa SAP2000 e surgiram problemas na definição da geometria porque 
o programa não traça curvas, e ao aproximar-se a curva por sucessivas rectas o gerador de malhas cria elementos 
muito distorcidos (entre outros problemas). 
329 
Na modelação do elemento cruciforme adoptou-se o elemento básico do tipo casca espessa com 
dimensões não superiores a 10 mm (biblioteca de elementos finitos do SAP2000). Importa salientar 
que o elemento seleccionado possui uma formulação de três ou quatro nós (caso seja um triângulo ou 
um rectângulo, e não necessariamente planar), que combina o comportamento de membrana e de placa 
à flexão (inclui os efeitos de deformação por corte transversal, conforme a formulação de 
Mindlin/Reissner). 
Por último, quer na análise pelos valores próprios, quer na análise não linear de estabilidade, foram 
consideradas condições iniciais nulas (estado não pré-esforçado). 
Pormenores do modelo computacional do software ANSYS 
Relativamente à criação da geometria do elemento estrutural (secção com área variável), no software 
ANSYS – Mechanical APDL, basta definir os pontos-chave e criarem-se linhas entre esses pontos 
para se ter uma definição completa de todas as secções do elemento ao longo do comprimento.
No que diz respeito à modelação da peça cruciforme utilizaram-se elementos do tipo Shell181 com 
dimensões não superiores a 10 mm, que de acordo com é o elemento apropriado para analisar cascas 
finas a moderadamente espessas. Este elemento possui 4 nós com seis graus de liberdade em cada nó: 
translações nas direcções x, y e z, e rotações em torno dos eixos x, y e z. A opção triângulo 
degenerado só deve ser utilizada quando se pretende elementos de preenchimento na geração da 
malha. O elemento Shell181 inclui os efeitos lineares da deformação por corte transversal, e a 
formulação de deformação de corte proposta por Bathe-Dvorkin é usada para aliviar o fenómeno de 
sobrestimação da rigidez de corte, comummente designada por shear-locking (Pereira, 2003; Castro, 
2009). 
Para se efectuar uma análise de estabilidade pelo método dos valores próprios (análise do tipo “Eigen 
Buckling”) é necessária a inclusão dos efeitos de pré-esforço (correspondentes a um estado de tensão 
não variável) principalmente para se calcular a matriz de rigidez inicial (alguns elementos têm um 
comportamento dependente do seu estado de tensões; por exemplo, um elemento poderá vibrar em 
frequências mais elevadas à medida que a tensão aumenta ou devido ao pré-esforço instalado) 
(Kristensen, 2005). Deste modo, primeiro concretiza-se uma análise do tipo estática utilizando uma 
força unitária para calcular a matriz de rigidez (o factor de carga será reajustado se for aplicada uma 
carga superior à unidade), e em seguida, para extrair os valores próprios de encurvadura utiliza-se, ou 
o método de “Block Lanczos” para problemas de valores próprios em matrizes simétricas esparsas de 
grande dimensão, ou o método “subspace” para outros casos (converge mais lentamente mas é mais
robusto). Não obstante, no decorrer da análise utiliza-se o método da resposta harmônica reduzida 
(método de solução reduzida) que produz uma solução de deslocamentos complexos se necessário 
(espaço vectorial complexo com dimensão finita), mas apenas envolvendo os graus de liberdade 
relevantes; durante este passo as soluções completas para o elemento são obtidas através da expansão 
da solução (ambas as soluções real e imaginárias podem ser expandidas) de cada grau de liberdade 
fundamental (o método de solução utiliza matrizes reduzidas do elemento para resolver a equação de 
movimento, noutras palavras, a matriz reduzida representará um sistema com os graus de liberdade 
estritamente necessários para caracterizar o comportamento do sistema) (ANSYS, 2009). 
Para se efectuar uma análise não linear de estabilidade (considera a possibilidade de cedência plástica) 
as seguintes opções (específicas do programa) foram tomadas: i) os efeitos de pré-esforçoestão 
activos em análises não-lineares, e quando estão permitidas grandes deformações estas são 
automaticamente incluídas (opção padrão do software que não sofreu alterações); ii) por predefinição 
o programa irá automaticamente escolher o método de Newton-Raphson, contudo, para o processo de 
análise adoptou-se esse método conjugado com o método comprimento de arco. 
Erros associados aos métodos numéricos tidos em conta 
Na dimensão dos elementos da malha teve-se em atenção o erro de aproximação cometido nas tensões 
dos elementos, o qual foi estimado através da diferença dos valores das tensões para os diferentes 
330 
elementos que convergem num nó comum. Teve-se também em atenção que a formulação rectangular 
é mais precisa que a triangular, e por isso mesmo, o elemento triangular é apenas usado para locais 
onde as tensões não mudem rapidamente (a utilização de grandes elementos triangulares não é 
recomendada onde a flexão no plano é significativa). 
A formulação convencional de elementos finitos não considera (por si mesma) os efeitos dos 
deslocamentos prévios à encurvadura para o problema de bifurcação, e deste modo, os efeitos de 
curvatura inicial são considerados a partir da carga equivalente associada. É importante levar-se estes 
efeitos em consideração porque quanto maior for o vão menor será a percentagem carga crítica de 
encurvadura, quando a curvatura inicial é tida em conta (a consequência do efeito da curvatura inicial 
é também proporcional à esbelteza do elemento) (Attard, 1986). 
Apresentação dos resultados obtidos nas diferentes abordagens 
Em seguida, efectua-se uma comparação entre e os resultados obtidos pelo método de Rayleigh-Ritz e 
pela formulação de elementos finitos, os quais se apresentam na Tabela 1. 
Tabela 1 – Resultados dos diferentes métodos empregues para estudar a estabilidade da peça cruciforme 
 
Carga crítica axial 
associada ao 1º modo 
de instabilidade por 
flexão 
Carga crítica axial 
associada ao 2º modo 
de instabilidade por 
flexão 
Carga crítica axial 
associada ao modo de 
instabilidade por 
torção 
Momento crítico1 
associado ao modo de 
instabilidade por
flexão-torção2 
Método de 
Rayleigh-Ritz 
  – –  
Método dos valores 
próprios – SAP2000 
       
Método dos valores 
próprios – ANSYS 
       
Análise não linear 
geométrica e material 
– SAP2000 
  – –  
Análise não linear 
geométrica e material 
– ANSYS 
  – –  
1 Uma vez que a ocorrência de flexão uniforme em consolas é invulgar, frequentemente assume-se que o momento crítico de 
uma consola está relacionado com uma carga crítica concentrada na extremidade livre. 
2 As secções cruciformes são mais propensas à encurvadura torsional e não à encurvadura lateral-torsional porque o centroíde 
da secção coincide com o centro de corte. 
Efectivamente existem diferenças de precisão entre os softwares SAP2000 e ANSYS, e crê-se que 
estas estejam relacionadas com o facto de o SAP2000 ser menos preciso no tratamento do fenómeno 
“shear locking” (sobrestimação da rigidez de corte). 
Em relação à precisão do método de Rayleigh-Ritz esta é dependente das funções de forma utilizadas, 
e quanto menores as diferenças entre a configuração deformada aproximada e a deformada real melhor 
será a qualidade da solução, por conseguinte, como a estimativa da carga crítica está próxima da 
exacta pode-se afirmar que as funções de forma são adequadas. 
Em qualquer dos softwares utilizados é possível uma comparação entre a geometria deformada e a 
geometria não deformada, como se pode observar por exemplo pelas Figura 2 a Figura 5. 
Como seria de esperar, as soluções para as cargas críticas por meio de uma análise não linear 
geométrica e material são sempre menores pelo facto de estarem previstos erros de geometria, entre 
outros aspectos. Como forma de examinar o progresso dos deslocamentos à medida que a peça se 
torna instável, nas Figura 7 e Figura 9 são mostrados os deslocamentos em função dos incrementos de 
carga. 
331 
Apresentação dos resultados do programa de cálculo automático – ANSYS 
 
Figura 2 – Primeiro modo de instabilidade elástica por flexão 
 
Figura 3 – Segundo modo de instabilidade elástica por flexão 
332 
 
Figura 4 – Modo de instabilidade elástica por torção 
 
Figura 5 – Modo de instabilidade elástica por flexão-torção 
 
333 
 
Figura 6 – Distribuição de tensões – Instabilidade não linear elástica por flexão 
 
Figura 7 – Deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga axial para cada incremento de carga até que se 
atinja a instabilidade não linear elástica por flexão 
334 
 
Figura 8 – Distribuição de tensões – Instabilidade não linear elástica por flexão-torção 
 
Figura 9 – Deslocamento horizontal no ponto de aplicação da carga horizontal para cada um incremento de carga 
até que se atinja a instabilidade não linear elástica por flexão-torção