EEL420-Modulo8

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I – EEL420
Conteúdo
8 - Introdução aos Circuitos Lineares e Invariantes ...................................................................1
8.1 - Algumas definições e propriedades gerais.....................................................................1
8.2 - Relação entre excitação e resposta.................................................................................2
8.2.1 - Resposta a excitação zero.......................................................................................2
8.2.2 - Resposta ao estado zero..........................................................................................3
8.2.3 - Resposta ao impulso...............................................................................................3
8.3 - Resposta a uma excitação arbitrária...............................................................................5
8.3.1 - Integral de convolução............................................................................................5
8.3.2 - Circuitos lineares e variantes no tempo..................................................................7
8.3.3 - Resposta completa..................................................................................................7
8.3.4 - Exemplos:...............................................................................................................7
8 Introdução aos Circuitos Lineares e Invariantes 
8.1 Algumas definições e propriedades gerais
Revisando os conceitos anteriores podemos classificar os circuitos como: 1) Circuitos 
lineares – cada elemento do circuito é linear ou uma fonte independente; 2) Circuito 
invariante – cada elemento do circuito é invariante ou uma fonte independente; 3) Circuito 
linear e invariante – cada elemento do circuito é linear e invariante ou uma fonte 
independente; 4) Circuitos não lineares ou variantes – aqueles que não são lineares ou não são 
invariantes.
Nestas definições as fontes de tensão são tratadas separadamente pois a tensão e a 
corrente de uma fonte representam um papel diferente das demais variáveis de rede. Todas as 
fontes independentes são elementos não lineares (sua característica é uma linha reta que não 
passa sempre pela origem). Todas as fontes independentes são consideradas excitações do 
circuito.
Damos o nome de estado do circuito no instante t0 a qualquer conjunto de condições 
iniciais que, juntamente com a excitação, determine univocamente todas as variáveis do 
circuito para todo t≥t0. Chamamos de estado zero aquele estado onde todas condições iniciais 
são nulas. Resposta ao estado zero é resposta de um circuito a uma excitação qualquer desde 
que o circuito esteja no estado zero. Resposta a excitação nula é a resposta do circuito quando 
a excitação é identicamente nula. A resposta completa de um circuito é definida como a 
resposta de um circuito devida tanto a excitação como ao estado inicial. Para circuitos lineares 
a resposta completa é a soma da resposta a excitação zero com a resposta ao estado zero; a 
resposta ao estado zero é uma função linear da excitação, a resposta à excitação zero é 
uma função linear do estado inicial.
Neste capítulo, por conveniência e simplificação, também vamos considerar que os 
circuitos tenham uma única excitação e uma única variável (resposta ou saída). Também 
vamos considerar possível escrever uma equação diferencial ou sistema de equações que nos 
permita determinar todas as tensões de braço ou correntes de braço do circuito.
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8.2 Relação entre excitação e resposta
Para circuitos lineares invariantes genéricos, com uma excitação e uma resposta a 
relação entre entrada e saída pode ser expressa por uma equação diferencial linear de 
coeficientes constantes:
d n y
dt n
a1⋅
d n−1 y
dt n−1
...an⋅y=b0⋅
d m w
dtm
b1⋅
d m−1w
dtm−1
...bm⋅w
onde y representa a entrada e w a saída.
Se não existirem funções impulso ou suas derivadas, as condições iniciais são
y 0 , 
dy 0
dt ,...,
d n−1 y 0
dt n−1
A equação diferencial é obtida das leis de Kirchhoff e das caracterizações de braço 
com análise de nós e malhas como ilustrado anteriormente. As condições iniciais da equação 
diferencial são obtidas do estado inicial do circuito e das equações de rede.
8.2.1 Resposta a excitação zero
A resposta a excitação zero é a resposta do circuito quando a excitação é nula. Assim a 
equação diferencial que descreve o sistema é
d n y
dt n
a1⋅
d n−1 y
dtn−1
...an⋅y=0
O polinômio característico desta equação é
sna1⋅s
n−1...an−1⋅san=0
e as raízes deste polinômio são as chamadas freqüências naturais da variável de rede y. 
Se todas as raízes forem distintas então
y t =∑
i=1
n
k i⋅e
si⋅t
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onde as constantes ki são determinadas pelas condições iniciais. Se alguma das raízes 
coincidirem então a resposta deve ser reescrita levando-se em conta os termos com potência 
de t adequadas.
8.2.2 Resposta ao estado zero
A resposta ao estado zero é da forma
y t =∑
i=1
n
k i⋅e
si⋅t y p t 
onde yp é uma solução particular que depende da excitação w e, por conveniência, 
podem ser escolhidas de acordo com a tabela abaixo. As constantes ki são obtidas pelas 
condições iniciais.
Função forçada Solução assumida
K A
K⋅t A⋅tB
K⋅t2 A⋅t 2B⋅tC
K⋅sen⋅t  A⋅sen ⋅t B⋅cos ⋅t 
K⋅e−a⋅t A⋅e−a⋅t
8.2.3 Resposta ao impulso
O cálculo da resposta ao impulso é um problema delicado, pois o segundo membro da 
equação diferencial apresentará impulsos e suas derivadas. Apesar da dificuldade do cálculo 
este se justifica pela sua importância na determinação da resposta a uma excitação genérica.
Seja a equação
d n y
dt n
a1⋅
d n−1 y
dt n−1
...an⋅y=b0⋅
d m w
dtm
b1⋅
d m−1w
dtm−1
...bm⋅w
cujas condições iniciais são
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y 0–=0 , dy 0
–
dt
=0 , ..., d
n−1 y 0–
dt n−1
=0
Se a função w for um impulso o segundo termo da equação contém impulsos e suas 
derivadas (funções singulares). Assim a resposta ao impulso depende da relação entre n e m:
n>m a resposta ao impulso (h) não inclui funções singulares (caso próprio, a função 
possui mais pólos do que zeros);
n=m a resposta ao impulso vai incluir um impulso b0⋅ ;
n<m a resposta ao impulso (h) vai incluir mais de uma função singular (a função 
possui mais zeros do que pólos – função não causal).
Para o caso próprio a solução pode ser obtida da seguinte forma: Como para t>0 o 
segundo termo da equação é zero a resposta do circuito será igual a resposta a excitação zero. 
Assim as funções singulares do segundo termo especificam apenas as condições iniciais do 
problema em t=0+ .
Desta forma
h t =∑i=1
n
k i⋅e
si⋅t⋅u t 
Os diferentes valores de k podem ser encontrados substituindo-se h(t) na equação 
diferencial original. Atenção especial deve ser dada a derivada da função u(t) e das funções 
singulares.
Por exemplo
d 2 y
dt 2
4⋅dy
dt
3⋅y=dw
dt
2⋅w
As raízes da equação característica são s1=−1 e s2=−3
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h t =k1⋅e−tk2⋅e−3⋅t ⋅u t 
h˙ t =k1⋅e−tk2⋅e−3⋅t ⋅t −k 1⋅e−t−3⋅k 2⋅e−3⋅t ⋅ut 
h˙ t =k1k 2 ⋅t −k1⋅e−t – 3⋅k2⋅e−3⋅t ⋅u t 
h¨ t =k1k 2 ⋅˙t −k 1 – 3⋅k 2⋅tk1⋅e−t9⋅k 2⋅e−3⋅t ⋅u t 
substituindo w por δ e y por h na equação original temos
h¨ t 4⋅h˙t 3⋅h t=k 1k 2⋅˙t3⋅k1k 2⋅t =˙t 2⋅t 
assim
k 1k2=1
e
3⋅k1k 2=2
portanto
k 1=0,5 e k2=0,5
8.3 Resposta a uma excitação arbitrária
8.3.1 Integral de convolução
A resposta ao estado zero de um circuito linear e invariante devido a uma excitação 
arbitrária é função de sua resposta ao impulso e da excitação. Podemos chegar a esta 
conclusão facilmente se considerarmos que qualquer sinal iS pode ser aproximado por um 
somatório de pulsos ( p )deslocados no tempo e com amplitude igual a do sinal no instante 
de tempo em que o pulso inicia. Este é um processo semelhante ao da amostragem de sinais 
analógicos antes de se realizar a conversão analógico digital.
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p={ 0 t≤01 0t
0 ≤t
Sendo iSA a aproximação do sinal iS então
iSAt =iS t 0⋅p t−t 0⋅i S t1⋅pt−t 1⋅...i S t n−1⋅p t−t n−1⋅
iSAt =∑
k=0
n−1
iS t k ⋅p t−t k ⋅
Como o sistema é linear e invariante, então a resposta a um somatório de pulsos 
deslocados e multiplicados pela amplitude do sinal, é igual ao somatório das respostas 
individuais ( v SA ). 
Sendo a resposta ao pulso a função h então
v SAt =∑
k=0
n−1
iS t ⋅h t−t k ⋅
Se o intervalo de tempo entre dois pulsos tender a zero o pulso tende a um impulso. 
Neste caso a resposta final do sistema passa a ser um somatório de respostas ao impulso 
deslocados no tempo e o somatório dos infinitos termos passa a ser uma integral.
Sendo a resposta ao impulso a função h então
v St =∫
t0
t
iS t ' ⋅ht−t ' ⋅dt '
Observe que esta equação deve ser utilizada apenas para calcular a resposta no instante 
t. Isto ocorre porque o integrando desta equação também depende de t. Também vale a pena 
observar que a operação de convolução é linear e obedece as regras de comutação, associação, 
distribuição e pode ser encontrada expressa na sua forma simplificada iS t ∗h t  . Apesar da 
forma compacta e elegante da solução do problema, resolver esta integral nem sempre é uma 
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tarefa fácil. Normalmente usaremos esta equação transformada para o domínio da freqüência 
ou para obter uma solução numérica para o problema. 
8.3.2 Circuitos lineares e variantes no tempo
Circuitos lineares e variantes no tempo também podem ter sua resposta a excitação 
arbitrária descrita como uma integral de convolução, porém é necessário observar as 
características peculiares destes sistemas. A resposta ao impulso, agora, não depende apenas 
do tempo, como no caso anterior, mas também do momento em que a excitação é fornecida ao 
sistema. Assim a função resposta ao impulso é uma função de duas variáveis. Em geral a 
resposta ao impulso é definida como h t , que representa a resposta ao estado zero no 
instante de tempo t devido a um impulso unitário aplicado no instante  .
v t =∫
t0
t
h t , t ' ⋅iS t ' ⋅dt '
8.3.3 Resposta completa
Para circuitos lineares, invariantes ou não a resposta completa do sistema é da forma
y t = z t ∫
t0
t
ht , t ' ⋅wt ' ⋅dt '
onde y é a resposta completa, z a resposta a excitação zero e w a excitação.
É importante observar que a resposta do sistema é uma função linear da entrada apenas 
se as resposta a excitação zero for nula (na maioria das vezes isto significa que as condições 
iniciais do problema são nulas).
8.3.4 Exemplos:
Determina a resposta ao estado zero para o circuito cuja:
a) excitação é iS t =u t −u t−1 e a resposta ao impulso é h t =e−t⋅u t  .
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v St =∫
0
t
h t−t ' ⋅iS t ' ⋅dt '
para 0≤t
v St =∫
0
t
e− t−t '⋅dt '=e−t⋅et – e0 =1−e−t
para t≥1
v St =∫
0
1
e− t−t ' ⋅dt '=e−t⋅e1 – e0 =e−1⋅e−t
b) excitação é iS t =sen⋅t ⋅u t  e h t =u t −u t−1
v St =∫
0
t
h t−t ' ⋅iS t ' ⋅dt '
v St =∫
0
t
sen⋅t ⋅dt '
para 0≤t
v St =∫
0
t
sen⋅t ⋅dt '= 1

⋅[1−cos ⋅t ]
para t≥1
v St =∫
t−1
t
sen ⋅t ⋅dt '= 1

⋅[cos⋅t−−cos⋅t ]=− 2

⋅cos⋅t 
c) excitação é iS t =sen⋅t ⋅u t  e h t =u t −u t−2
v St =∫
0
t
h t−t ' ⋅iS t ' ⋅dt '
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ 8
v St =∫
0
t
sen⋅t ⋅dt '
para 0≤t
v St =∫
0
t
sen⋅t ⋅dt '= 1

⋅[1−cos ⋅t ]
para t≥2
v St =∫
t−2
t
sen⋅t ⋅dt '= 1

⋅[cos ⋅t – 2⋅ –cos ⋅t ]=0
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	8 Introdução aos Circuitos Lineares e Invariantes 
	8.1 Algumas definições e propriedades gerais
	8.2 Relação entre excitação e resposta
	8.2.1 Resposta a excitação zero
	8.2.2 Resposta ao estado zero
	8.2.3 Resposta ao impulso
	8.3 Resposta a uma excitação arbitrária
	8.3.1 Integral de convolução
	8.3.2 Circuitos lineares e variantes no tempo
	8.3.3 Resposta completa
	8.3.4 Exemplos: