gabarito-p3-calc3-2012-2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
3a Prova de Cálculo III - MAA- 2012/02
1a Questão: (valor 2,5 pontos) Seja C curva parametrizada por σ(t) =
(
cos (πt2 ),
1−et2
1−e4 ,
2Ln(1+2t2)
Ln(9)
)
,
com 0 ≤ t ≤ 2, e o campo vetorial F⃗ (x, y, z) = (2x ez , 3z2 , x2 ez + 6yz + 4z
1+z2
).
(a) (2,0) Mostre que F⃗ é conservativo em IR3, de duas maneiras distintas, sendo uma delas
determinando uma função potencial para o campo.
Supondo que F⃗ é conservativo, existe então uma função potencial U ∈ C1(IR3) tal que
∇U(P ) = F⃗ (P ), ∀P ∈ IR3. Montando o sistema de três equações obteremos ao resolvê-
lo U(x, y, z) = x2ez + 3z2y + 2Ln(1 + z2) + k. Resta mostrar que esta função satisfaz as
exigências acima, o que é verdade, pois é combinação de exponencial, polinômio e logaritmo,
que são funções C1 para (x, y, z) ∈ IR3. Derivando em relação a x, depois em relação a y
e por último em relação a z obteremos as componentes de F⃗ , provando assim, por teorema
visto em sala, que F⃗ é conservativo em IR3.
Outra maneira de verificar que F⃗ é conservativo em IR3 : IR3 é uma região simplesmente
conexa, F⃗ é de classe C1(IR3) e rot(F⃗ )(P ) = 0⃗, ∀P ∈ IR3, logo,por teorema visto em sala,
tem -se o resultado.
(b) (0,5) Calcule o trabalho realizado por F⃗ ao longo da curva C.
o ponto inicial de C é Pi = σ(0) = (1, 0, 0) e o ponto final é Pf = σ(2) = (−1, 1, 2), logo
C é aberta. Então, por teorema já visto e pelo item (a) tem-se que W =
∫ Pf
Pi
F⃗ .d⃗l =
U(Pf )− U(Pi) = e2 + 11 + 2Ln(5).
2a Questão: (valor 2,5 pontos) Seja Ω = {(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 + z2 ≥ 14 ; z ≥
√
x2 + y2 } região
ilimitada de IR3 e f(x, y, z) = 1
(x2+y2+z2)2
função cont́ınua em Ω.
(a) (0,4) Esboce Ω.
O esboço mostra uma região fora da esfera e acima do cone.
(b) (0,4) Defina algebricamente uma sequência de subconjuntos Ωn ⊂ Ω, tais que, ∀n ∈ IN, Ωn
sejam limitados , Ωn ⊂ Ωn+1 e lim
n→∞
Ωn = Ω.
Ωn = {(x, y, z) ∈ IR3 , x2 + y2 + z2 ≥ 14 , z ≥
√
x2 + y2 , x2 + y2 + z2 ≤ n2}, n ∈ IN.
(c) (1,1) Esboce Ωn para um valor de n fixo arbitrário e calcule
∫
Ωn
f(x, y, z) dV , usando mu-
dança esférica de variáveis.
O esboço mostra uma região fora da esfera menor, dentro da esfera maior e acima do cone.∫
Ωn
1
(x2+y2+z2)2
dV =
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ n
1/2
1
ρ2
senφdρ dφdθ = 2π(1−
√
2
2 )(2−
1
n).
(d) (0,6) Mostre que
∫
Ω f(x, y, z) dV converge e calcule seu valor.∫
Ωn
| 1
(x2+y2+z2)2
|dV =
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ n
1/2
1
ρ2
senφdρ dφdθ = 2π(1 −
√
2
2 )(2 −
1
n) ≤ 2π(1)(2) =
4π = α ∈ IR, ∀n ∈ IN, logo a integral converge, por teorema visto em sala, e seu valor é∫
Ω f(x, y, z)dV = limn→∞
∫
Ωn
f(x, y, z)dV = limn→∞
∫
Ωn
|f(x, y, z)|dV = limn→∞(2π)(1 −√
2
2 )(2−
1
n) = 2π(2−
√
2).
3a Questão: (valor 2,5 pontos) Seja F⃗ (x, y, z) = (−2y + e sen (1+x4) , 2z , 2yz ) e C = S1 ∩ S2 curva
interseção da esfera S1: x
2 + y2 + (z − 2)2 = 4 com o plano S2: y + z = 3. Calcule o trabalho
realizado por F⃗ ao longo de C. Especifique orientação escolhida para C (obrigatório esboçar S1,
S2 e C).
A curva C é uma curva eliptica situada sobre a esfera e delimitando uma parte do plano. Orien-
tando a parte do plano com a normal para cima, a curva C fica orientada no sentido decrescente
dos x, para os pontos do primeiro octante.
W =
∮
C F⃗ .d⃗l =
∫
S
⃗rot F .d⃗S =
∫
S
⃗rot F .n dS, utilizando o teorema de Stokes, onde n é a normal
unitária apontando para cima de S que é uma parte do plano y + z = 3.
Para calcular a integral de superf́ıcie escalar acima, observe que, em S tem-se z = g(x, y) = 3−y,
logo dS =
√
1 + g2x + g
2
ydA, e n =
(−gx,−gy,1)√
1+g2x+g
2
y
. Como gx = 0 e gy = −1, teremos, substituindo na
expressão da integral de superf́ıcie escalar, que W =
∫
D
⃗rot(F ).(0, 1, 1)dA, onde D é a projeção
de S no plano xy. ⃗rot(F ) = (2z − 2, 0, 2). Para achar D basta achar ∂D, que será a curva
projeção da curva C. Então, montando o sistema formado pelas equações de S1 e S2, obtemos
que a equação de ∂D é x
2
7/2 +
y2
7/4 = 1, que é uma elipse, com a =
√
7
2 e b =
√
7
2 . Então ficaremos
com W =
∫
D(2z − 2, 0, 2).(0, 1, 1)dA =
∫
d(2)dA = 2AD = 2πa b =
7π√
2
.
4a Questão: (valor 2,5 pontos) Seja S1 o parabolóide z = 2 + x
2 + y
2
2 , S2 o parabolóide
z = 5 − 2x2 − y2, S3 o plano z = 1 e Ω o sólido limitado por S1, S2 e S3. Considere o campo
vetorial F⃗ (x, y, z) = (ey
2
, 2zy, 3√
2
z − z2). Calcule o fluxo de F⃗ para fora de S = ∂Ω, orientada
com a normal exterior (obrigatório esboçar S e Ω).
O sólido Ω é limitado superiormente ora pelo parabolóide S1 e ora pelo parabolóide S2 e sempre
limitado inferiormente pelo plano S3.
Como S é a fronteira de Ω, então S é fechada. Não há problemas de continuidade em F⃗ , logo pode-
mos aplicar o teorema de Gauss, assim, o fluxo Φ será dado por : Φ =
∫
S F⃗ .d⃗S =
∫
Ω div(F ) dV =∫
Ω
3√
2
dV = 3√
2
V ol(Ω).
Para calcular o volume de Ω, recorremos à soma de duas integrais: V ol(Ω) =
∫
D1
∫ 2+x2+ y2
2
1 dz dA+∫
D2
∫ 5−2x2−y2
1 dz dA, onde D1 é a região do plano xy limitada pela curva projetada pela interseção
de S1 com S2, que será x
2 + y
2
2 = 1 e D2 é a região do plano xy externa à curva anterior e in-
terna à curva projetada pela interseção de S2 com S3, que será x
2 + y
2
2 = 2. Como as curvas
são elipses, primeiro usaremos uma mudança linear, para mudar para circunferências e depois
usaremos mudança polar. Assim, primeiro x = u e y =
√
2v, com |J | =
√
2 e depois u = r cos θ
e v = r sen θ, obtendo então V ol(Ω) =
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ 2+r2
1
√
2rdz dr dθ +
∫ 2π
0
∫ √2
1
∫ 5−2r2
1
√
2r dz dr dθ.
Integrando obteremos o valor 5π
√
2
2 . Substituindo na fórmula do teorema de Gauss obteremos
Φ = 15π2 .
Lembretes:
sen 2α = 1−cos (2α)2 cos
2 α = 1+cos (2α)2 sen
3α = cosα− cos2 α senα
cos3 α = cosα− sen 2α cosα sen 4α = 38 −
1
2 cos (2α) +
1
8 cos (4α) cos
4 α = 38 +
1
2 cos (2α) +
1
8 cos (4α)
sen (π6 ) = cos (
π
3 ) =
1
2 sen (
π
4 ) = cos (
π
4 ) =
√
2
2 sen (
π
3 ) = cos (
π
6 ) =
√
3
2
mudança polar mudança ciĺındrica mudança esférica
x = r cos θ, |J | = r x = r cos θ, |J | = r x = ρ senφ cos θ, |J | = ρ2 senφ
y = r sen θ y = r sen θ, z = z y = ρ senφ sen θ, z = ρ cosφ
área interna à elipse Ln(e) = 1, Ln(1) = 0, Ln(ab) = bLn(a) Ln(a) < 0, se 0 < a < 1
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 é: πab
Atenção: Redigir as soluções de modo claro e objetivo, justificando afirmativas com teoremas vistos em
sala, após verificação da validade das hipóteses. Esboçar sólidos hachureando a parte da figura de modo
claro, se pertence ao sólido. Orientar curvas e superf́ıces de modo claro, nos esboços, e consistente com
os resultados algébricos.