Algebra linear

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ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 01 
Prof.ª Luana Fonseca Duarte Fernandes 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá, seja bem-vindo. Nosso objetivo, neste encontro, é reconhecer, interpretar, 
classificar, elaborar, relacionar, calcular e aplicar conceitos de matrizes, 
operações com matrizes, determinantes e sistemas lineares. 
O tema central são, então, as matrizes, um assunto muito importante, pois faz 
parte de diversos outros temas que serão abordados ao longo da disciplina, 
como transformações lineares, autovalores e autovetores e quádricas. Também 
encontramos matrizes na física, engenharias, química, administração e 
computação. Nos circuitos elétricos, figuras em computadores são matrizes, 
quando resolvemos um sistema de equações lineares podemos utilizar de 
matrizes. 
Veremos, portanto, o que são matrizes e que elementos as constituem, para 
podermos definir, descrever, identificar, montar e classificar as matrizes. 
Aprenderemos as operações de soma de matrizes, multiplicação por um número 
e por matrizes, para que, assim, possamos calcular, interpretar e relacionar as 
operações entre elas, montar e solucionar problemas e interpretar as soluções. 
Estudaremos determinantes, aprenderemos a calcular o determinante de 
matrizes quadradas, e finalizaremos com o estudo de sistemas de equações 
lineares, utilizaremos matrizes e determinantes para resolver os sistemas, com 
o objetivo de elaborar, interpretar e resolver sistemas de equações lineares e 
aplicar os conhecimentos de determinantes e matrizes. 
CONTEXTUALIZANDO 
O conteúdo desta aula é um dos mais importantes, pois matrizes estão 
relacionadas com diversos problemas do cotidiano. Aparecem em forma de 
tabela, por exemplo, também auxiliam na resolução de sistemas lineares, que 
modelam várias situações em diversas áreas. E ainda estão presentes em outros 
conteúdos da disciplina, como dependência linear, base, transformação linear, 
autovalores e autovetores e quádricas. 
 
 
 
3 
TEMA 1 – MATRIZES: SEUS ELEMENTOS E MODELOS 
Matrizes são tabelas, com linhas e colunas formadas por elementos, que podem 
ser números, funções, polinômios etc. Em algum momento da vida, ou melhor, 
em vários momentos, você já se deparou com uma tabela, por exemplo, tabela 
de medalhas dos jogos olímpicos, da distância entre cidades, de calorias de 
alimentos, de quantas calorias se pode queimar com essa ou aquela atividade 
física, tabela dos valores do dólar em real do ano vigente, tabela de preços, 
tabela das suas contas do mês e há muitos outros exemplos. 
Os elementos distribuídos nas tabelas também têm uma representação, por 
exemplo, na tabela a seguir, o número 52 representa as calorias de um copo de 
suco de caju tem. 
 
 
Nas tabelas, as linhas e colunas representam uma determinada propriedade, por 
exemplo, na tabela a seguir, as linhas representam os estados brasileiros, e as 
colunas representam os anos de produção de soja. 
 
 
4 
 
Fonte: <http://ruralcentro.uol.com.br/analises/balanco-do-mercado-da-soja-
volume-e-receita-recordes-nas-exportacoes-do-1-trimestre-de-2012-2486>. 
Para localizarmos um elemento numa tabela, devemos dizer em que linha e 
coluna ele se encontra, como, por exemplo, no jogo de batalha naval. No jogo, 
para dar um tiro, é preciso informar as coordenadas desejadas, que são a linha 
e a coluna. 
Vejamos mais um exemplo, a tabela de contas a pagar do mês de janeiro de 
uma determinada pessoa: 
 
Para transformarmos a tabela 5 em uma matriz, vamos utilizar os valores 
somente, mas saberemos que cada linha representa uma conta a ser paga: 
 
 
5 
 
 
Agora que conhecemos matrizes e suas notações, vamos ver que podemos 
classificá-las de acordo com a sua ordem e a disposição de seus elementos. As 
matrizes quadradas, como o próprio nome sugere, têm um desenho quadrado, 
ou seja, elas têm o número de linhas igual ao número de colunas. Há as matrizes 
ditas retangulares, nas quais o número de linhas é diferente do número de 
colunas, com um formato de retângulo. As matrizes quadradas podem ser 
classificadas de acordo com a disposição de seus elementos: as matrizes 
triangulares são matrizes quadradas, mas elas podem ser triangulares 
superiores, quando os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos, 
e podem ser triangulares inferiores, quando os elementos acima da diagonal 
principal são todos nulos, como nos exemplos a seguir: 
𝐴 = [
1 2 3
0 5 6
0 0 9
] 
𝐵 = [
1 0 0 0
2
4
3
7
3
1
0
4
5
0
0
8
] 
 
Há ainda as matrizes quadradas diagonal, tal que os elementos que não estão 
na diagonal principal são todos nulos, a identidade, que é uma matriz diagonal 
com os elementos da diagonal todos iguais a 1, e simétrica, tal que o elemento 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖. Veja os exemplos: 
 
 
6 
𝐶 = [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
] Matriz diagonal 
𝐼 = [
1 0 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
] Matriz identidade 
𝐸 = [
2 1 4
1 3 6
4 6 5
] Matriz simétrica 
Ainda, temos a matriz nula, que pode ou não ser quadrada. Ela tem todos os 
seus elementos iguais a zero. E dada uma matriz M, podemos obter, a partir 
dela, uma matriz Mt chamada transposta de M, fazendo as linhas de M serem 
colunas de Mt. Veja os exemplos: 
𝐹 = [
0 0 0
0 0 0
] Matriz nula 
𝑀 = [
2 3
5 7
1 4
] Matriz M 
𝑀𝑡 = [
2 5 1
3 7 4
] Matriz transposta de M 
Note que a matriz transposta é obtida de uma matriz. 
Assim encerramos o nosso primeiro assunto da aula: conhecemos o que é uma 
matriz e classificamos alguns de seus tipos, já conseguimos elaborar, identificar, 
classificar e interpretar matrizes. 
Leitura obrigatória 
Capítulo 4 de: IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos da matemática 
elementar: sequências, matrizes, determinante e sistema. vol. 4. Editora atual. 
TEMA 2 – OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Vamos trabalhar as operações com matrizes: soma de matrizes, multiplicação 
de um escalar por uma matriz e multiplicação entre matrizes. Para darmos início, 
vamos pensar na seguinte situação: suponha que você é dono de uma loja que 
vende roupas, calçados e bolsas, suponha também que você obteve as 
 
 
7 
seguintes tabelas, com as quantidades de produtos vendidos no ano de 2014 e 
no ano de 2015. 
 
 
 
 
Como montamos uma tabela que represente as vendas nos dois anos, 
conjuntamente, em cada trimestre? 
Para montarmos esta tabela, precisamos somar as quantidades vendidas de 
cada produto em cada trimestre de 2014 com as quantidades vendidas em cada 
trimestre correspondente de 2015, veja: 
 
A soma de matrizes acontece de maneira semelhante, quando queremos somar 
duas matrizes A e B, somamos termo a termo e os correspondentes, o elemento 
da primeira linha e primeira coluna de A com o elemento da primeira linha e 
primeira coluna de B, e assim por diante. Dessa maneira, podemos observar que 
não é possível somarmos matrizes com ordens diferentes, pois se A e B não 
tivessem a mesma ordem, nem todos os elementos de A teriam seus 
correspondentes em B o mesmo acontece no contrário. 
 
 
8 
A igualdade entre duas matrizes A e B também só acontece se elas tiverem a 
mesma ordem e todos os elementos de A forem iguais aos correspondentes em 
B. 
Leitura obrigatória 
Capítulo 1, seção 1.2 de: IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos da 
matemática elementar: sequências, matrizes, determinante e sistema. vol. 4. 
Editora atual. 
 
Ainda no exemplo da sua loja, vamos supor que a projeção de vendas para 2016 
será o dobro das vendas de 2015: qual seria a tabela referente a esta projeção? 
Para montar esta tabela, basta multiplicarmos todos os valores de vendas de 
2015 por 2, assim obtemos o seguinte resultado: 
 
A operação que realizamos para obter esta tabela foi a de multiplicação de um 
escalar (número) por uma matriz. Multiplicar um número k por uma matriz A 
significa multiplicar todos os elementos de A pelo número k. 
Agora, imagine a seguinte situação: você fez uma pesquisa em três mercados 
da suaregião sobre os preços de uma barra de chocolate e uma caixa de 
bombons e obteve a seguinte tabela: 
 
 
 
9 
Você precisa comprar 25 barras de chocolate e 12 caixas de bombons. Em qual 
mercado sua compra fica mais barata? As contas que fazemos para responder 
esta pergunta são: 
4,94.25 + 12,99.12 = 123,5 + 155,88 = 279,38
5,99.25 + 8,99.12 = 149,75 + 107,88 = 257,63
5,49.25 + 10,99.12 = 137,25 + 131,88 = 269,12
 
A resposta é: no mercado B sua compra fica mais barata. Podemos olhar estas 
contas que fizemos como produto de matrizes da seguinte maneira: 
[
4,94 12,99
5,99 8,99
5,49 10,99
] [
25
12
] = [
4,94.25 + 12,99.12 = 279,38
5,99.25 + 8,99.12 = 257,63
5,49.25 + 10,99.12 = 269,12
] 
Devemos ter atenção à operação de multiplicação de matrizes, quando é 
possível realiza-la, e devemos ter atenção especial à propriedade de 
comutatividade, pois nem sempre será válida! 
Para saber mais, acesse os links a seguir: 
http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/475/1/PDF%20-
%20Luana%20Gon%C3%A7alves%20Lima.pdf. e também: 
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.
P%20DF?sequence=1. Acessos em: 20 ago. 2019. 
 
Neste tema, aprendemos a realizar, interpretar, desenvolver, relacionar e 
identificar operações entre matrizes. 
TEMA 3 – DETERMINANTES 
Os determinantes são números associados a matrizes que nos ajudam a saber 
se uma matriz tem inversa e se um sistema tem ou não solução, por isso sua 
importância. Os determinantes estão associados a matrizes quadradas, então 
devemos sempre estar atentos a este fato. Para uma matriz de ordem 1x1, o 
determinante é o único elemento que a matriz tem. Para uma matriz quadrada 
de ordem 2x2, o determinante é calculado através da multiplicação dos 
elementos da diagonal principal menos a multiplicação dos elementos da 
diagonal secundária. Veja os exemplos e observe a notação utilizada: 
det 𝐴 = |3| = 3, determinante da matriz A = [3], ordem 1x1. 
http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/475/1/PDF%20-%20Luana%20Gon%C3%A7alves%20Lima.pdf
 
 
10 
det 𝐵 = |
2 4
3 5
| = 2.5 − 4.3 = 10 − 12 = −2, determinante da matriz 𝐵 = [
2 4
3 5
], 
ordem 2x2. 
A maneira de se calcular o determinante de matrizes de ordem maiores que 3x3, 
que iremos ver agora, pode ser utilizada para calcular o determinante de matrizes 
de ordem 2x2 e 3x3, porém as maneiras apresentadas anteriormente são mais 
simples para estas ordens. Para chegarmos ao método geral, que na verdade é 
o Teorema Fundamental de Laplace, para determinantes, para calcular o 
determinante de uma matriz de ordem maior ou igual a 2x2, vamos aprender 
sobre o menor complementar e cofatores. 
O menor complementar 𝐷𝑖𝑗 de uma matriz A, é o determinante da matriz quando 
retiramos a linha i e a coluna j de A. Por exemplo, o 𝐷12 da matriz A a seguir, é 
o determinante da matriz quando eliminamos a primeira linha (1) e a segunda 
coluna (2), restando assim a matriz [
5 7
6 2
], temos: 
𝐴 = [
1 2 4
5 3 7
6 1 2
], 𝐷12 = |
5 7
6 2
| = 10 − 42 = −32 
Para calcularmos o cofator 𝐴𝑖𝑗 de uma matriz A, utilizamos a fórmula 𝐴𝑖𝑗 =
(−1)𝑖+𝑗 . 𝐷𝑖𝑗. Utilizando a matriz A do exemplo anterior, vamos determinar o 
cofator 𝐴23, pela fórmula temos 𝐴23 = (−1)
2+3. 𝐷23, o menor complementar 𝐷23 
é o determinante da matriz quando eliminamos a segunda linha (2) e a terceira 
coluna(3) da matriz A, ou seja, 𝐷23 = |
1 2
6 1
| = 1.1 − 2.6 = 1 − 12 = −11, 
substituinda na fórmula do cofator temos: 𝐴23 = (−1)
2+3. −11 = (−1)5. −11 =
−1.−11 = 11. 
Agora que sabemos determinar os cofatores de uma matriz, vamos para o 
cálculo do determinante de uma matriz A quadrada de ordem nxn (n maior ou 
igual a 2), det 𝐴 = 𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝐴1𝑛, por exemplo, mas poderíamos 
ter escolhido outra linha ou coluna, o determinante é a soma dos produtos dos 
elementos de uma linha (ou coluna) pelos cofatores correspondentes. 
Por exemplo, vamos calcular o determinante da matriz M a seguir: 
 
 
11 
𝑀 = [
1 2
4 3
5 0
1 6
5 0
6 2
4 2
3 1
] 
det 𝑀 = 𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12 + 𝑎13𝐴13 + 𝑎14𝐴14 =
= 1. (−1)1+1𝐷11 + 2. (−1)1+2. 𝐷12 + 5. (−1)1+3. 𝐷13 + 0. (−1)1+4. 𝐷14 =
= 1. (−1)2. |
3 1 6
0 4 2
2 3 1
| + 2. (−1)3. |
4 1 6
5 4 2
6 3 1
| + 5. (−1)4. |
4 3 6
5 0 2
6 2 1
| + 0 =
= 1.1. −50 + 2.−1. −55 + 5.1.65 = 385
 
Conhecendo determinantes e cofatores, podemos encontrar uma maneira de 
definir a matriz inversa de uma determinada matriz quadrada. A matriz inversa 
A-1 de uma matriz quadrada A é uma matriz tal que A.A-1= A-1.A = I, ou seja, que 
se multiplicarmos em ambos os lados a matriz A pela sua inversa obteremos 
como resposta a matriz identidade. Para obtermos a matriz inversa de A, vamos 
precisar da matriz dos cofatores de A e a matriz adjunta de A. A matriz dos 
cofatores de A, cada um de seus elementos são os cofatores correspondentes 
de A. Vejamos um exemplo, a seguir: 
𝐴 = [
2 1 0
1 0 1
0 2 1
] 
 
𝑐𝑜𝑓𝐴 = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] = [
−2 −1 2
−1 2 −4
1 −2 −1
] 
 
A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A, do exemplo 
anterior temos: 
𝐴𝑑𝑗 𝐴 = (𝑐𝑜𝑓𝐴)𝑡 = [
−2 −1 1
−1 2 −2
2 −4 −1
] 
 
 
 
 
 
12 
Nem toda matriz tem inversa! Para que uma matriz M seja invertível, é preciso 
que det M seja diferente de zero! Para determinar a inversa, temos que 𝑀−1 =
1
det𝑀
𝐴𝑑𝑗 𝑀. Voltando ao exemplo, vamos determinar a inversa de A. 
Observe que as matrizes inversa, transposta, dos cofatores e adjunta são 
matrizes obtidas a partir de uma matriz dada. 
TEMA 4 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Os sistemas de equações lineares são muito importantes, pois eles modelam 
vários problemas de diversas áreas, como equações químicas, circuitos 
elétricos, tráfego de carros em um cruzamento, projetos de vigas metálicas, entre 
outras tantas aplicações. Para dar início, vamos definir equação linear e sua 
solução. 
Uma equação linear é do tipo 𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝒃, tal que, 
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, são números reais chamados coeficientes e 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 são as 
variáveis e b é o termo independente. A equação é dita linear, pois se 
observarmos os expoentes das variáveis são 1, e não aparecem produto de 
variáveis. Por exemplo, 
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 9 é uma equação linear, 2𝑥² + 3𝑥 + 2 = 1 não é linear. 
A solução de uma equação linear 𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝒃 é a sequência de 
números 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛, tais que, 𝛼𝟏𝒙𝟏 + 𝛼𝟐𝒙𝟐 + ⋯+ 𝛼𝒏𝒙𝒏 = 𝒃. Na equação linear 
2x + 3y = 11, o par (4,1) é solução desta equação, pois 2.4 + 3.1 = 11. Porém, o 
par (6,5) não é solução, pois 2.6 + 3.5 ≠ 11. 
Um sistema linear (ou sistema de equações lineares) é um conjunto formado por 
m equações lineares com n incógnitas (ou variáveis) e mxn representa a ordem 
do sistema. Por exemplo, 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + 𝑎𝑛3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
As soluções de um sistema linear são classificadas como: 
 Impossível, quando não existe solução 
 
 
13 
 Possível e determinada, quando existe solução e é única 
 Possível e indeterminado, quando existe mais de uma solução 
Podemos escrever o sistema de equações como matrizes da seguinte maneira: 
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 
𝑎13 …
𝑎23 …
 
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
 
⋮ ⋱
𝑎𝑚3 …
 
⋮
𝑎𝑚𝑛
] .
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑚]
 
 
 
 
 
 
Sobre resolução de problemas modelados com sistemas de equações lineares, 
leia o texto a seguir: 
http://www.mtm.ufsc.br/~daniel/7105/Maria_Regina_Nunes_Lamin.PDF. 
Acesso em: 20 ago. 2019. 
O exemplo a seguir é adaptado do livro Álgebra Linear e suas aplicações (4. ed., 
de David Lay, e tradução de Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 
2013, p. 40.) 
Suponha que uma economiaconsista nos setores de Carvão, Energia Elétrica e 
Aço, e a produção de cada setor esteja distribuída entre os vários setores de 
acordo com a tabela a seguir, em que os elementos de cada coluna representam 
as partes fracionárias da produção total de determinado setor. Denote os preços 
(ou seja, os valores em dólares) das produções anuais totais dos setores de 
Carvão, Energia Elétrica e Aço por 𝑝𝑐, 𝑝𝐸 e 𝑝𝐴 , respectivamente. Se possível, 
determine os preços de equilíbrio que tornam a receita de cada setor igual à sua 
despesa. 
 
http://www.mtm.ufsc.br/~daniel/7105/Maria_Regina_Nunes_Lamin.PDF
 
 
14 
Resposta: a tabela mostra, por exemplo, que a produção total de aço é dividida 
da seguinte maneira: 60% = 0,6 para carvão, 20% = 0,2 para energia elétrica, e 
20% para aço. Cada setor examina uma coluna para ver onde vai a sua produção 
e examina uma linha para ver sua necessidade de insumos. Para o carvão, 
temos que deverá gastar 0,4𝑝𝐸 reais por sua cota da produção de energia 
elétrica, e 0,6𝑝𝐴 por sua cota da produção de aço. Temos, então, para que a 
receita do carvão, 𝑝𝐶, fique igual à sua despesa, queremos que: 
𝑝𝐶 = 0,4𝑝𝐸 + 0,6𝑝𝐴 
 
Analogamente, para a energia elétrica e para o aço, temos: 
𝑝𝐸 = 0,6𝑝𝐶 + 0,1𝑝𝐸 + 0,2𝑝𝐴 
𝑝𝐴 = 0,4𝑝𝐶 + 0,5𝑝𝐸 + 0,2𝑝𝐴 
 
Vamos montar um sistema com as três equações e com as três incógnitas. Para 
isso, iremos deixar todas as incógnitas de um lado da igualdade. Assim, temos: 
{
𝑝𝐶 − 0,4𝑝𝐸 − 0,6𝑝𝐴 = 0
−0,6𝑝𝐶 + 0,9𝑝𝐸 − 0,2𝑝𝐴 = 0
−0,4𝑝𝐶 − 0,5𝑝𝐸 + 0,8𝑝𝐴 = 0
 
 
Para resolver o sistema, vamos montar a matriz: 
[
1 −0,4
−0,6 0,9
−0,4 −0,5
−0,6 0
−0,2 0
0,8 0
] 
 
Devemos escalonar a matriz, mas, neste exemplo, vamos utilizar a calculadora 
on-line: https://matrixcalc.org/pt/ 
 
https://matrixcalc.org/pt/
 
 
15 
Vá em equações, digite os valores e clique em soluções utilizando método de 
Gauss (que é o escalonamento). Lá, você pode acompanhar o passo a passo, 
chegando à solução, com aproximação: 
𝑝𝐶 = 0,94𝑝𝐴 
𝑝𝐸 = 0,85𝑝𝐴 
 e 𝑝𝐴 é livre, ou seja, qualquer escolha(não negativa) de 𝑝𝐴 resulta em uma 
escolha de preços de equilíbrio. 
TROCANDO IDEIAS 
Para completarmos nossa aula, responda às perguntas: 
1. Qual é a importância e a relevância de matrizes e sistemas lineares no 
ensino de matemática? 
2. E para outras áreas estes assuntos são relevantes? 
3. Se sim, em que áreas e por quê? 
SÍNTESE 
Nesta aula, pudemos conhecer, identificar, elaborar e classificar matrizes. 
Realizamos as operações de soma, multiplicação por escalar e multiplicação 
entre matrizes, e também relacionamos e interpretamos os resultados obtidos. 
Aprendemos a calcular o determinante de matrizes e a encontrar a inversa de 
uma matriz. Também estudamos sistemas de equações lineares, aprendemos a 
reconhecer, classificar as soluções e resolver utilizando matrizes. Aprendemos 
que matrizes são tabelas que encontramos em diversos contextos e que as 
operações entre matrizes têm um sentido, uma interpretação.