FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA AULA 1

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FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias
Profª Denise Terezinha Marques Wolski
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Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
Profª Taniele Loss Nesi
CONVERSA INICIAL
Nesta aula, vamos estudar a trigonometria no triângulo retângulo. Iniciaremos conversando
sobre proporcionalidade e semelhança, relembrando o teorema de Tales. Estudaremos, também, o
teorema de Pitágoras, as relações trigonométricas no triângulo retângulo, a lei dos senos e dos
cossenos, e o teorema das áreas.
TEMA 1 – TEOREMA DE TALES
É possível fazer uma comparação entre dois segmentos através do quociente entre os números
referentes às medidas desses segmentos. Lembrando que é necessário que essas medidas estejam na
mesma unidade. O Teorema de Tales traz esta ideia de proporcionalidade:
Com base neste teorema, é possível afirmar o seguinte: sejam dados feixes de retas paralelas que
são intersectados ou cortados por segmentos transversais, temos que esses feixes formam
segmentos de retas que são proporcionais entre si.
Esse teorema pode ser utilizado para realizar o cálculo de medidas proporcionais, como para
determinar a altura de um determinado prédio a partir da altura de um poste que seja paralelo a ele.
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Vale lembrar que os prédios e demais construções são projetados por engenheiros e arquitetos que,
primeiramente, desenham e desenvolvem seus projetos a partir de plantas e maquetes, que têm as
medidas reduzidas do projeto idealizado.
TEMA 2 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Mesmo que duas figuras não tenham o mesmo tamanho, se elas apresentam a mesma forma,
dizemos que elas são semelhantes. Contudo, quanto tratamos de polígonos, para que eles sejam
efetivamente semelhantes, é preciso que os ângulos entre eles sejam congruentes e os lados
correspondentes sejam proporcionais. Como os triângulos são polígonos, podemos afirmar que se
eles respondem às duas condições citadas anteriormente, eles são semelhantes, contudo, essas
figuras geométricas são singulares, quando tratamos da ideia de semelhança.
Podemos considerar situações mínimas que garantam a semelhança de dois triângulos. Vejamos
três casos.
1° caso: ângulo-ângulo (aa)
Neste caso, podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes, se e somente se eles
apresentam dois ângulos congruentes. Ou seja:
2° caso: lado-ângulo-lado (LAL)
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Neste caso, podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes, se e somente se eles
apresentarem um ângulo congruente, e se os dois lados que formam esses ângulos forem
proporcionais. Ou seja:
3° caso: lado-lado-lado (LLL)
Neste caso, podemos afirmar que dois triângulos são congruentes, se os três lados forem
proporcionais. Ou seja:
TEMA 3 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Antes de iniciar este tema, vamos lembrar que a soma dos três ângulos internos de um triângulo
qualquer é igual a 180°.
O triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo que mede 90°, é chamado de
triângulo retângulo. Nele, o lado que é oposto ao ângulo de 90° é denominado de hipotenusa, e os
outros dois lados são chamados de catetos.
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Podemos relacionar as medidas dos lados de um triângulo retângulo com seus outros
segmentos através de equações; essas relações são chamadas de relações métricas. Além da
hipotenusa e dos catetos, já apresentados na figura anterior, os demais segmentos que compõem
um triângulo retângulo são apresentados na figura abaixo:
O segmento h é referente à altura relativa à hipotenusa;
O segmento m refere-se à projeção do cateto b sobre a hipotenusa;
O segmento n é referente à projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
            Uma importante relação métrica no triângulo retângulo é o Teorema de Pitágoras. Com
base em um triângulo retângulo, o enunciado desse teorema é: “a soma dos quadrados dos seus
catetos é igual ao quadrado da sua hipotenusa”. Com base na figura anterior, em que b e c são
catetos, e tomando a como sendo hipotenusa, temos a seguinte equação para o teorema:
Podemos representar o Teorema de Pitágoras da seguinte maneira:
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Além do Teorema de Pitágoras, veja abaixo outras relações métricas no triângulo retângulo.
Tomando a hipotenusa por a, os catetos por b e c, a altura por h, o segmento m pela projeção do
cateto b sobre a hipotenusa, e o segmento n pela projeção do cateto c sobre a hipotenusa, temos:
  (o quadrado da altura de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções
de seus catetos sobre a hipotenusa).
 (o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa pela projeção de c sobre a
hipotenusa).
 (o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa pela projeção de b sobre
a hipotenusa).
  (o produto da hipotenusa pela altura relativa a essa hipotenusa é igual ao produto
entre os catetos).
 (a hipotenusa é igual à soma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa).
TEMA 4 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
As relações entre as medidas dos lados de um triângulo, quando seus ângulos internos são
levados em consideração, são estudadas pela trigonometria. Como exemplo dessas relações,
podemos citar o seno, o cosseno e a tangente.
Em um triângulo retângulo, cada cateto será oposto a um determinado ângulo e adjacente a
outro. Por isso, para estudarmos as relações de seno, cosseno e tangente, é importante que
identificar o ângulo de referência.
Vejamos o seguinte exemplo:
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Na figura, o cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α. Já o cateto c é oposto ao
ângulo α e adjacente ao ângulo β. A razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e a
hipotenusa do triângulo retângulo é o seno do ângulo. Ou seja:
A razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e a hipotenusa do triângulo
retângulo é o cosseno do ângulo. Ou seja:
A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um determinado ângulo é a sua tangente.
Ou seja:
É possível ainda identificar as razões inversas em um triângulo retângulo. São elas: secante,
cossecante e cotangente. A razão de um sobre o cosseno de um ângulo é a secante. Ou seja:
A razão de um sobre o seno de um ângulo é a cossecante. Ou seja:
A razão entre o cosseno e o seno de um ângulo é a sua cotangente. Ou seja:
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                      Também é possível definir a tangente de um ângulo a partir da razão entre 1 e a sua
tangente:
TEMA 5 – LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS
Em um triângulo qualquer, a lei dos senos indica uma relação entre as medidas dos lados desse
triângulo com o seno dos ângulos opostos a esses lados. Considerando a triângulo abaixo, podemos
indicar uma equação relacionada à lei dos senos:
                                           
Considerando uma circunferência, de raio r, inscrita em um triângulo qualquer, pela lei dos senos
podemos escrever a seguinte relação:
Considerando agora um triângulo qualquer com lados a, b e c, e os ângulos α, β e φ, conforme a
figura a seguir:
Pela lei dos cossenos, temos que:
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TEMA 6 – TEOREMA DAS ÁREAS
A partir do teorema das áreas, é possível afirmar que a área de qualquer triângulo é igual ao
produto de dois de seus lados pelo seno formado por eles, dividido por 2. Considere o triângulo a
seguir:
Para o triângulo dado, a seguinte relação pode ser escrita a partir do teorema das áreas:
NA PRÁTICA
                      A partir da sua utilização da trigonometria,podemos determinar a altura do prédio a
seguir:
            Observando a figura, notamos que se trata de um triângulo retângulo. Conhecemos a
medida do cateto adjacente ao ângulo de 30º. Como desejamos determinar a medida da altura do
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prédio, devemos calcular a medida do cateto oposto ao ângulo de 30º. Assim, podemos utilizar a
tangente de 30º:
       Perceba a importância de conhecermos os valores do seno, cosseno e tangentes de alguns
ângulos – os chamados ângulos notáveis de 30, 45 e 60 graus. No exemplo acima, o conhecimento
sobre a tangente de 30º possibilitou o cálculo da altura do prédio. Problemas que contemplem
ângulos diferenciados normalmente apresentam os valores relativos de seno, cosseno e tangente.
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos os seguintes conteúdos: Teorema de Tales, semelhança de triângulos,
relações métricas no triângulo retângulo, relações trigonométricas no triângulo retângulo, Lei dos
Senos e dos Cossenos e Teorema das áreas.
REFERÊNCIAS
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Coleção fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual,
1993. v. 9. v. 10.
IEZZI, G. Coleção fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 1993. v. 3.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Coleção fundamentos de matemática elementar. São
Paulo: Atual, 1993. v. 2.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: InterSaberes, 2014.
_____. Logaritmos e funções. Curitiba: InterSaberes, 2015.
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MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba:
InterSaberes, 2013.
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016.