homeos-circulo

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INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS 15
2.4. Aplicações do círculo. .
X = T1 = R/Z
Factor space: x ⇠ y , x � y 2 Z,
T1 = R/Z = {[x] : x 2 R} = {x mod 1: x 2 R}
with distância
d([x], [y]) := min{|x � y|, 1 � |x � y|}.
In the following we simply write x = [x]. Other point of
view: unit circle
S1 = {z 2 C : |z| = 1}
with distance induced by shortest arc length.
There is a bijective identification of the two by
T1 ! S1, [x] 7! e2⇡xi.
There is a naturally induced order (on either T1 or S1) by
the order on R. Any homeomorphism f : T1 ! T1 either
preserves or reverts orientation.
Denote by ⇡ : R ! T1 the natural projection. Note that ⇡
is a local homeomorphism. By definition, for every k 2 Z
and x 2 T1 we have
⇡(x + k) = ⇡(x).
2.4.1. Rotation on T1. We study rotation by angle ↵ 2 R.
R↵ : T1 ! T1,
R↵(x) := x + ↵ mod 1.
Note that any rotation is an isometry, that is, preserves
distances
d(R↵(x1), R↵(x2)) = d(x1, x2).
Further, for every k 2 Z we have
Rk↵(x) = x + k↵ mod 1 = Rk↵(x).
Lemma 2.39. If ↵ 62 Q, then R↵ is minimal. If ↵ = pq ,
p, q 2 Z relatively prime, then every x is periodic with
period q.
Demonstração.
Afirmação 1. If ↵ 62 Q then for every x 2 T1, Rn↵(x) 6=
Rm↵ (x) if n, m 2 Z, n 6= m.
Demonstração. By contradiction, if n 6= m with Rn↵(x) =
Rm↵ (x). Then there is k 2 N so that
x + m↵ = x + n↵ + k
which implies m↵ = n↵ + k. As m 6= n, ↵ = k/(m � n) 2
Q, contradiction. ⇤
Afirmação 2. If ↵ 62 Q, then for every " > 0 for every x
there exist n, m 2 N so that d(Rn(x), Rm(x)) < ". More-
over, R↵ is minimal.
Demonstração. Given " > 0, let N 2 N com 1N < ". Given
x, consider x, R↵(x), · · · , RN↵ (x1) 2 OR↵(x). By Afirma-
ção 1 those N + 1 points are pairwise distinct. Hence,
dividing T1 into N arcs of arc-length ", by the pigeonhole
principle, at least one arc contains (at least) two points.
Hence exist n 6= m, so that
d(Rn↵(x), R
m
↵ (x)) < ".
With m = ` � k, since R↵ preserves distances,
d(x, Rm↵ (x)) = d(R
k
↵(x), R
`
↵(x)) < ".
Hence, R⇢ with ⇢ = m↵ is rotation by ⇢ < ". Hence for
every y 2 T1 there is n 2 N with
d(y, Rn⇢ (x) = R
nm
↵ (x)) < ".
In other words, OR⇢(x) is "-dense.
As " and x were arbitrary, every point has a dense orbit.
Hence R↵ is minimal. ⇤
Suppose ↵ = p/q, p, q 2 Z. As both are relatively prime,
q 2 N is the smallest k 2 N such that k pq = p. Then for
every x 2 R/Z,
Rq↵(x) = x + q
p
q
mod 1
= x + p mod 1
= x.
Hence every x is periodic with period q. ⇤
Observe that the translation x 7! x + ↵ on R is a “lift"of
the rotation R↵ in T1. We call ↵ the rotation number of
R↵. Given ↵ 2 [0, 1] and x 2 T1, we have
R↵(x) =
(
x + ↵ se x + ↵ < 1
x + ↵ � 1 se x + ↵ � 1.
The type of topological dynamics of R↵ only depends on
the nature of the rotation number ↵ being rational ↵ 2 Q
or not.
2.4.2. Lift of circle homeomorphisms.
Proposição 2.40 (Levantamento–lift). If f : T1 ! T1
is a homeomorphism, then there exists a homeomorphism
F : R ! R such that
⇡ � F = f � ⇡.
Demonstração. Tome a 2 T1 e escolha ā 2 R tal que
⇡(ā) = a. As ⇡ is local homeomorphism, existem um in-
tervalo aberto Iā ⇢ R e um arco aberto Ja ⇢ T1 com
ā 2 Iā e a 2 Ja tal que ⇡ : Iā ! Ja é um homeomorfismo.
Considere f(a) e tome f(a) 2 R tal que ⇡(f(a)) = f(a).
Repetindo o argumento, encontramos abertos Jf(a) ⇢ T1
e If(a) ⇢ R, f(a) 2 Jf(a) e f(a) 2 If(a) tais que
⇡ : Jf(a) ! If(a) é um homeomorfismo.
Como f : T1 ! T1 é um homeomorfismo, podemos supor
que f(Ja) = Jf(a).
Daí segue que F : Iā ! If(a) dada por
F (x) = ⇡�1 � f � ⇡(x)
está bem definida e é um homeomorfismo.
16 INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS 7
Daı́ segue que F : Iā ! If(a) dada por F (x) = �
�1
� f � �(x) está bem definida e é um
difeomorfismo.
F
f ( a )
J a
π
a f ( a )
a
π
− 1
f ( a )
f
J
Agora, tome uma sequência finita de pontos a1 = a, a2, · · · an de S1 e considere Jai e
Jf(ai) arcos de S1 tais que para cada i tem-se que f : Jai ! Jf(ai) é um difeomorfismo.
Para cada i, sejam āi 2 R e f(ai) 2 R e intervalos Iāi e If(ai) pontos e intervalos abertos
como acima tais que
� : Iāi ! Jai e � : If(ai)) ! Jf(ai)
são difeomorfismos.
Isto implica que podemos definir
F : Iā1 [ · · · [ Iān ! [If(ai) como F = �
�1
� f � �.
Verifica-se facilmente que F está bem definida em cada Iāi\Iai+1 o que prova a proposição.
⇤
Definição. A função F : R ! R definida na proposição acima é chamada um levanta-
mento de f : S1 ! S1.
Exercı́cio 2.4. Verifique que se F : R ! R e G : R ! R são dois levantamentos de
f : S1 ! S1 então existe k 2 N tal que F � G = k.
3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO E O TEOREMA DE POINCARÉ
Considere o cı́rculo unitário S1 = {(x, y);
p
x2 + y2 = 1} ⇢ R2. Identificando R2 com
o plano complexo C podemos escrever
S1 = {z 2 C; kzk = 1} = {e2�i�, 0  � < 1} ⇢ C.
Agora, tome uma sequência finita de pontos a1 =
a, a2, · · · , an de T1 e considere Jai e Jf(ai) arcos de T1
tais que para cada i tem-se que f : Jai ! Jf(ai) é um ho-
meomorfismo. Para cada i, sejam āi 2 R e f(ai) 2 R
pontos e Iāi e If(ai) intervalos abertos como acima tais
que
⇡ : Iāi ! Jai e ⇡ : If(ai)) ! Jf(ai)
são homeomorfismos.
Isto implica que podemos definir
F : Iā1 [ . . . [ Iān ! [If(ai) como F = ⇡
�1
� f � ⇡.
Verifica-se facilmente que F está bem definida em cada
Iāi \ Iai+1 o que prova a proposição. ⇤
Definição. A função F : R ! R é chamada um levanta-
mento de f : T1 ! T1.
Proposição 2.41. If F : R ! R is a lift of a homeo-
morphism f : T1 ! T1, then there exists k 2 Z such that
F (x + 1) = F (x) + k for every x 2 R.
Demonstração. By ⇡(x) = ⇡(x + 1) we have
(2.6) f(⇡(x)) = f(⇡(x + 1)).
Since ⇡ � F = f � ⇡, we obtain
(2.7) ⇡ � F (x) = f � ⇡(x) = f � ⇡(x + 1) = ⇡ � F (x + 1),
which implies
(2.8) F (x + 1) = F (x) + k(x)
for some integer k(x). Since F is continuous, k(·) must be
continuous and hence k(·) ⌘ k 2 Z. ⇤
In this section we will always assume that f preserves ori-
entation.
Proposição 2.42. If F : R ! R is a lift of a homeo-
morphism f : T1 ! T1, then there exists k 2 {�1, 1} such
that for every x 2 R we have F (x + 1) = F (x) + k.
Demonstração. By ⇡(x) = ⇡(x + 1) we have
(2.9) f(⇡(x)) = f(⇡(x + 1)).
Since ⇡ � F = f � ⇡, we obtain
(2.10) ⇡ � F (x) = f � ⇡(x) = f � ⇡(x + 1) = ⇡ � F (x + 1),
which implies
(2.11) F (x + 1) = F (x) + k(x)
for some integer k(x). Since F is continuous, k(·) must be
continuous and hence k(·) ⌘ k 2 Z.
Suppose k � 2. Then F (x) and F (x + 1) differ by
more than 2. Hence there are points x0 and x1 which
are between x and x + 1 for some x 2 R and such that
F (x0) = 1 and F (x1) = 2 differ by unity. As F (x0) = 1
and F (x1) = 2 differ by unity, they represent the same
point on T1. On the other hand ⇡ maps x0 and x1 to
distinct points on T1. This contradicts that f is a home-
omorphism. Hence k  1.
0 1x0 x1
1
2
Analogously: k � �1.
Suppose k = 0. Then F (0) = F (1) and F fails to be
injective on (0, 1).
Thus, only the cases k = ±1 remain. ⇤
Definição 2.43. We call
deg(f)
def
= F (x + 1) � F (x)
the degree of f . If deg(f) = 1, we say that f preserves
orientation, if deg(f) = �1 we say that f revertes orien-
tation.
If a homeomorphismo f : T1 ! T1 preserves orientation
then f(x)  f(y)  f(z) for x  y  z, where we consider
on T1 the order induced by the one on R.
Proposição 2.44. Seja F : R ! R um levantamento de
um orientation-preserving homeomorfismo f : T1 ! T1.
Tem-se
• para todo x 2 R e k, n 2 Z tem-se
Fn(x + k) = Fn(x),
• para qualquer n 2 Z, F +n é também levantamento
de f ,
• F (x) � x é periodica e portanto limitada.
• caso G : R ! R é um levantamentos de f : T1 ! T1
então existe k 2 N tal que F � G = k.
INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS 17
2.4.3. Número de Rotação.
Proposição 2.45 (Proposição & Definição). Given a ho-
meomorphismo f : T1 ! T1 which preserves orientation
and some lift F : R ! R of f , then the following limit
⇢(F ) = ⇢(F, x)
def
= lim
n!1
1
n
(Fn(x) � x)
exists and does not depend on x 2 R. It is called transla-
tion number of F and we call
⇢(f)
def
= ⇢(F ) mod 1
the rotationnumber of f .
O número de rotação é a “velocidade” com a qual o um
ponto é deslocado no círculo pela transformação.
Lemma 2.46. Se F, F̃ são levantamentos do mesmo ho-
meomorfismo, então
⇢(F ) � ⇢(F̃ ) = F � F̃ .
Demonstração. ⇤
Lemma 2.47. Let f be some homeomorphismo which pre-
serves orientation and F some lift of f , then for every
x, y 2 R we have
F (y) � y  F (x) � x + 1.
Demonstração. If k  y � x < k + 1, then
0  y � (x + k) < 1
and hence
F (y) � y
= F (y) + F (x + k) � F (x + k) + (x + k) � (x + k) � y
= (F (x + k) � (x + k)) + (F (y) � F (x + k))
� (y � (x + k))
= (F (x) � x) + (F (y) � F (x + k)) � (y � (x + k))
As 0  y � (x + k) < 1 implies F (y) � F (x + k)  1, the
right-hand side is at most
r.h.s.  (F (x) � x) + 1 � 0,
proving the claim. ⇤
Lemma 2.48 (Fekete). Seja (an)n uma sequência sub-
additiva no sentido que an+m  an + am. Então tem-se
lim
n!1
1
n
an = inf
n�1
1
n
an.
Caso existe M tal que M  an para todo n, então
limn an/n > �1.
Demonstração. Seja
L := inf
n
1
n
an 2 [�1, 1).
Dado R > L, existe k � 1 tal que
1
k
ak < R.
Seja
A := max{a1, . . . , ak}
Para n > k tem-se n = kp + q, q 2 {1, . . . , k � 1}. Tem-se
an = akp+q  pak + aq  pak + A
Portanto
1
n
an 
pk
n
1
k
ak +
1
n
A <
pk
n
R +
1
n
A
e assim, para n grande
L 
1
n
an < R.
Tomando R ! L segue a afirmação. ⇤
Show the following Lemma as an exercice.
Lemma 2.49. Consider a sequence (an)n which is almost
additive in the sense that there exists L such that an+m 
an + am+k + L, then the limit limn!1 an/n 2 R [ {�1}
exists. Caso existe M tal que M  an para todo n, então
limn an/n > �1.
Demonstração da Proposição 2.45. .
[Existência] Dado x 2 R e an
def
= Fn(x) � x, tem-se
an+m = F
n+m(x) � x
= Fm(Fn(x)) � Fn(x) + Fn(x) � x
= Fm(Fn(x)) � Fn(x) + an
(by Lemma 2.47)  Fm(x) � x + 1 + an
= am + 1 + an,
where we applied Lemma 2.47 for Fm and y = Fn(x). By
Lema 2.49 com L = 1 a sequência an/n é convergente.
[Independéncia de x]
Como 8k 2 Z8x 2 R
(2.12) F (x + k) = F (x) + k,
se |x � y| < 1 então |F (x) � F (y)| < 1 e
|
1
n
|Fn(x) � x| �
1
n
|Fn(y) � y||

1
n
|Fn(x) � Fn(y)| +
1
n
|x � y| 
2
n
e portanto o limite não depende de x uma vez que existe
para algum x. ⇤
Segue imediatamente
Lemma 2.50. Para qualquer x 2 R, n 2 N tem-se
|Fn(x) � x � n⇢(F )|  1.
Em particular a sequência (⇢n)n de funções
⇢n =
1
n
(Fn � Id)
converge uniformemente em R para ⇢(F ).
Lemma 2.51. Para qualquer n, k 2 Z tem-se
⇢(Fn + k) = n⇢(F ) + k.
Proposição 2.52. Dado homeomorfismo f : T1 ! T1 que
preserve a orientação com levantamento F : R ! R, então
⇢(F ) é racional se e somente se f tem um ponto periodico.
18 INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS
Demonstração. ): Supomos que ⇢(F ) = p/q com p 2
Z, q 2 N. Portanto para G = F q � p tem-se ⇢(G) = 0.
G é levantamento de g = fq.
Pelo Lema 2.50, |Gn(0)|  1 para todo n 2 Z
Como (Gn(0))n é monotona (crescente ou decrescente),
existe
x0
def
= lim
n!1
Gn(0).
Tem-se
G(x0) = G(lim
n
Gn(0)) = lim
n
Gn+1(0) = x0.
Portanto g(x0) = x0 e fq(x0) = x0.
(: Supomos que x0 é p-periodico, então existe p 2 Z tal
que
F q(x0) = x0 + p
e portanto
Fnq(x0) = x0 + np.
Pela definição do número de translação,
⇢(F ) = lim
n
1
nq
(Fnq(x0) � x0) = lim
n
np
nq
=
p
q
2 Q.
⇤
Proposição 2.53. Para um homeomorfismo no círculo
que preserve orientação, todos pontos periodicos tem o
mesmo periodo.
De fato, se ⇢(f) = p/q mod 1 com p, q 2 Z primos entre
si, então o levantamento F de f tal que ⇢(F ) = p/q para
todo x being um levantamento de um ponto periodico de f
satisfaz F q(x) = x + p, i.e. o levantamento do conjunto
de pontos periodicos de f é o conjunto dos pontos fixos de
F q � Id �p.
Demonstração. Se z 2 T1 é f -periodico, então x tal que
⇡(x) = z satisfaz F r(x) = x + s para algun r, s 2 Z e
p
q
= ⇢(F ) = lim
n
Fnr(x) � x
nr
= lim
n
x + ns � x
nr
=
s
r
.
Portanto s = mp e r = mq para algum m 2 Z e portanto
Fmq(x) = x + mp.
Se estivessemos F q(x) � p > x, monotonicidade de F im-
plicaria
F 2q(x) � 2p = F q(F q(x)) � 2p
= F q(F q(x) � p) � p
� F q(x) � p > x
e, por indução, Fmq(x) � mp > x, que é impossível.
Por argumentos análogos, F q(x) � p < x é impossível.
Portanto F q(x) = x + p. ⇤
Lemma 2.54. Sejam f : T1 ! T1 e g : T1 ! T1 homeo-
morfismos que preservam orientação conjugados (por um
homeomorfismo que preserve orientação). Então
⇢(f) = ⇢(g).
2.4.4. Homeomorfismos com pontos periodicos. Dizemos
que um ponto x é heteroclinic com a e b se limn f�n(x) = a
e limn fn(x) = b. No caso particular quando a = b, dize-
mos que x é homoclinic.
Exemplo 2.55. transformação polo norte–polo sul
Lemma 2.56. Se I ⇢ R é intervalo fechado limitado e
f : I ! I invertível, não-decrescente continua, então qual-
quer ponto x 2 I é ou fixo ou (positivamente ou negativa-
mente) assintótico com pontos fixos adjacentes.
Demonstração. ver figura.
Se x 2 I e f(x) 6= x, então ou f(x) > x ou f(x) < x.
Caso f(x) > x, então f2(x) = f(f(x)) > f(x). Por in-
dução, provamos que para todo n � 1, fn(x) > fn�1(x).
Assim (fn(x))n�1 é monóntona crescente e potanto con-
verge para y 2 I, pois I é fechado. Assim,
lim
n!1
fn(x) = y 2 I.
Como f é continua segue
f(y) = f(lim
n
fn(x)) = lim
n
fn+1(x) = y.
Assim y é ponto fixo e a órbita de x é asssintótica a y.
Caso f(x) < x, segue da mesma forma com fn(x) <
fn�1(x) e (fn(x))n é uma sequência decrescente e con-
vergente para um ponto fixo.
Como f�1 também é monótona crescente, usando o argu-
mento acima prova-se que o ↵-limite de x 2 I é também
um ponto fixo de f . ⇤
Proposição 2.57. Se f : T1 ! T1 é um homeomor-
fismo que preserve orientação com número de rotação
⇢(f) = p/q 2 Q. Então somente um dos dois seguintes
casos vale:
(1) se f tem exatamente uma órbita periodica, todo
ponto que não pertence a ela é heteroclinic (rela-
tivamente a fq) e esta órbita tem dois pontos. Os
pontos são
– distinctos se o periodo é > 1,
– iguais no outro caso.
(2) Se f tem mais do que uma órbita periodica, todo
ponto que não pertence à uma delas é heteroclinic
(relativamente a fq) com dois pontos em órbitas
periodicas diferentes.
Demonstração. Identificamos fq com um homeomorfismo
num intervalo considerando x um lift de um ponto fixo de
fq e considerando a restrição o levantamento F q � p de
f no intervalo [x, x + 1]. Assim, a afirmação (1) segue do
Lema 2.56.
Para ver (2), basta mostrar que as duas órbitas periodi-
cas são distinctas. Por contradição, supondo que existisse
INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS 19
um intervalo I = [a, b] tal que a e b são zeros adjacentes
de F q � Id �p e tal que a, b projectam no mesma órbita
periodica. Então com z = ⇡(a) 2 T1 e fk(z) = ⇡(b) 2 T1
tem-se que [q�1n=0fnk(⇡(a, b)) cobre o complemento da ór-
bita {fn(z)})n = 0q�1 e portanto não contém demais pon-
tos periodicos. Portanto, f somente tem uma tal órbita
periodica. Contradição. ⇤
Exemplo 2.58. Se há somente um ponto fixo, a sua na-
tureza é semi-estável, i.e. ele é repelente em um lado e
atraente no outro lado. Ver figura com o exemplo
f(x) = x +
1
4
sen2(⇡x) mod 1.
Exemplo 2.59 (Arnold). Dado ↵ 2 [0, 1/2⇡), ⌧ 2 R,
considere o levantamento
F↵,⌧ (x) = x + ⌧ + ↵ sen(2⇡x).
Corolário 2.60. Se f : T1 ! T1 é um homeomorfismo
que preserve orientação com número de rotação ⇢(f) 2 Q.
Então o conjunto !-limite de qualquer ponto é um ponto
periodico.
2.4.5. Homeomorfismos sem pontos periodicos.
Lemma 2.61. Seja f : T1 ! T1 é um homeomorfismo que
preserve orientação e sem ponto periodicos. Para qualquer
m, n 2 Z, m 6= n, x 2 T1, e I ⇢ T1 um intervalo fechado
com pontos extremos fm(x) e fn(x), qualquer semi-orbita
positiva e qualquer semi-orbita negativa intersecta I.
Demonstração. Mostramos para a semi-orbita positiva.
Supomos que I = [fn(x), fm(x)]. Outro similar.
I não é degenerado pois f não tem pontos periodicos.
Basta ver que
S
k�1 f
�k(I) cobre T1.
Seja
Ik
def
= f�k(n�m)(I).
Assim I0 = [fn(x), fm(x)] e
I1 = [f
m(x), f�(n�m)+m(x)]
etc., i.e. Ik e Ik�1 tem pontos extremos em comum. Por-
tanto, para cada k � 1, I0 [ I1[ . . . [ Ik is the closed
interval [fn(x), f�k(n�m)+m(x)].
Se T1 6=
S
k�0 Ik, então o ponto f
�k(n�m)+m(x) não está
contida em nenhum I` para qualquer ` = 0, . . . , k � 1.
Portanto a sequência (f�k(n�m)+m(x))k destes pontos é
monótona e converge para um z 2 T1. Isto implicaria que
z = lim
k!1
f�k(n�m)(fm(x)) = lim
k!1
f (�k+1)(n�m)(fm(x))
= lim
k
f (n�m)(f�k(n�m)(fm(x)))
= f (n�m)(lim
k
f�k(n�m)(fm(x))) = f (n�m)(z)
é ponto periodico, contradição. ⇤
Proposição 2.62. Seja f : T1 ! T1 um homeomorfismo
que preserve orientação e sem ponto periodicos. Então
!(x) não depende de x, é um conjunto não vazio, com-
pacto, perfeito e ou igual T1 ou em nenhum lugar denso.
Lembramos que um conjunto não vazio, compacto, per-
feito e em nenhum lugar denso é um conjunto de Cantor.
Demonstração. .
[Independência de x] Sejam x 6= y. Seja z 2 !(x). Consi-
dere (`n)n tal que limn f `n(x) = z. Pelo Lema 2.61 existe
km � 1 tal que
fkm(y) 2 Im
def
= [f `m(x), f `m+1(x)] ! z.
Portanto limm fkm(y) = z e z 2 !(y).
Portanto !(x) ⇢ !(y).
!(x) = !(y) por simetria.
Afirmação 3. E
def
= !(x) é o menor conjunto não vazio,
fechado, invariante.
Demonstração. Se A 6= ?, A ⇢ T1, f -invariante e fechado
e z 2 A, segue {fn(z)}n2Z ⇢ A por invariância e
E = !(x) ⇢ {fn(z)}n2Z ⇢ A
porque A está fechado.
Portanto, qualquer conjunto, fechado e f -invariante ou é
vazio ou contém E.
Como E é fechado, E contém a sua fronteira.
A fronteira de E também é fechada (exercício).
A fronteira de E também é invariante:
x 2 @E , 8U vizinhança de x: U \ E 6= ?, U \ E 6= ?;
e como f é homeomorfismo, isso vale igualmente para as
imagens
Portanto @E é fechado e f -invariante.
Portanto, ou @E = ? (que implicaria E = T1) ou @E = E
(que implicaria que E é em nenhum lugar denso). ⇤
Basta mostrar E perfeito. Seja x 2 E. Seja (kn)n tal
que limn fkn(x) = x. Como f não tem pontos periodicos,
fkn(x) 6= x para todo n. Portanto, x 2 E é accumulado
por pontos fkn(x) 6= x e como x 2 E e E invariante são
pontos em E. ⇤
20 INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS
2.4.6. A classificação de Poincaré. O objetivo desta seção
é caracterizar os homeomorfismos de S1, segundo a exis-
tência ou não de pontos periódicos. Esta caracterização é
devida a H. Poincaré.
A órdem dos pontos na órbita corresponde exactamente a
órdem dos pontos na rotação/translação “correspondente”:
Proposição 2.63. Se F : R ! R é levantamento de ho-
meomorfismo que preserve orientação com ⇢ = ⇢(F ) 62 Q,
então para n1, n2, m1, m2 2 Z e x 2 R tem-se
n1⇢+m1 < n2⇢+m2 iff Fn1(x)+m1 < Fn2(x)+m2.
Demonstração. Fn1(x) + m1 6= Fn2(x) + m2: se tivesse
=, teria Fn1(x) � Fn2(x) 2 Z e portanto ⇡(x) periódico.
contradição.
Portanto, fixando n1, n2, m1, m2 2 Z tem-se
x 7! Fn1(x) + m1 � F
n2(x) � m2
é contínua e sempre tem mesmo sinal.
Assuminos que Fn1(x) + m1 < Fn2(x) + m2 para todo x
que é equivalente com (toma y = Fn2(x))
Fn1�n2(y) < y + m2 � m1 para todo y.
Para y = 0 tem-se
Fn1�n2(0) < m2 � m1
e para y = Fn1�n2(0) tem-se
F 2(n1�n2)(0) < Fn1�n2(0) + m2 � m1 < 2(m2 � m1)
Por indução, Fn(n1�n2)(0) < n(n1 � n2) e portanto
⇢ = lim
n
Fn(n1�n2)(0)
n(n1 � n2)
 lim
n
n(m2 � m1)
n(n1 � n2)
=
(m2 � m1)
(n1 � n2)
como ⇢ 62 Q mas (m2 � m1)/(n1 � n2) 2 Q, segue
n1⇢ + m1 < n2⇢ + m2
todos as implicações podem ser lidos invertidas ⇤
Teorema 2.64. Se f : T1 ! T1 é um homeomorfismo
que preserve orientação tal que ⇢(F ) 62 Q, então existe
uma semi-conjugação continua que preserve a orientação
de f com a rotação R⇢(F ) : T1 ! T1,
R⇢(F )(x) = x + ⇢(F ) mod 1.
Observação 2.65. Observe que se f não tem pontos pe-
riódicos, então se x, y 2 Of (z) e y está entre x e z, então
para a semi-conjugação h tem-se que h(y) está entre h(x)
e h(z). Deste fato segue que h é uma transformação mo-
nótona h : T1 ! T1 satisfazendo a equação h � f = R↵ �h.
Em geral, h não é uma conjugação porque podem existir
pontos em T1 cuja pre-imagem por h é um intervalo.
Demonstração do Teorema 2.64. ): Seja F : R ! R le-
vantamento de f e x 2 R.
Seja B o levantamento da órbita de x
B
def
= {Fn(x) + m : n, m 2 Z}.
Seja H : B ! R
Fn(x) + m 7! n⇢ + m
Como ⇢ 62 Q, H(B) = {n⇢ + m}n,m é densa em R
Pela Proposição 2.63, H é monóntona.
Considerando a translação R̃⇢ : R ! R, R̃⇢(x) = x + ⇢,
então, usando F (Fn(x) + m) = Fn+1(x) + m, tem-se
(H � F )(Fn(x) + m) = H(Fn+1(x) + m)
= (n + 1)⇢ + m
= R̃⇢(H(x))
e
(R̃⇢ � H)(F
n(x) + m) = R̃⇢(n⇢ + m)
= (n + 1)⇢ + m
portanto H � F = R̃⇢ � H em B.
Mostramos que H estende continuamente para B = R.
Seja y 2 B. Seja (xn)n ⇢ B com xn ! y.
Como H é monótona,
H+(y)
def
= lim
xn&y
H(xn)
existe e é independente da sequência e
H�(y)
def
= lim
xn%y
H(xn)
existe e é independente da sequência
Se tivesse H�(y) 6= H+(y), então R\H(B) contenaria um
intervalo. Contradição com H(B) denso.
Portanto existe
H(y)
def
= lim
n
H(xn) = H
�(y) = H+(y).
Estendemos H : B ! R para R:
Como H é monótona e continua em B, B é fechado, e
H(B) é denso em R, segue que H : B ! R é monóntona e
sobre.
Definimos H sendo constante em cada intervalo comple-
mentar com B.
Se (u, v) ⇢ R \ B com u, v 62 B e u < z < v, se-
gue F (u), F (v) 62 B e H(u) = H(z) = H(v) e como
F (u)  F (z)  F (v) tem-se
R̃⇢ �H(z) = R̃⇢ �H(u) = H �F (u) = H �F (v) = H �F (z)
Assim a extensão H : R ! R
H � F = R̃⇢ � H.
Como u = Fn(x) + m 2 B se e somente u + 1 2 B e como
para cada u = Fn(x) + m 2 B tem-se
H(u + 1) = H(Fn(x) + m + 1) = n⇢ + m + 1 = H(u) + 1
segue que para todo z 2 R
H(z + 1) = H(z)
e portanto H é levantamento de h : T1 ! T1. ⇤
INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS 21
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS 15
⇤
Teorema 3.19. Seja � : S1 ! S1 um homeomorfismo que preserva orientação tal que
�(f) /2 Q. Então � é semi-conjugado a rotação R� : S1 ! S1.
Demonstração. Sejam A e B os conjuntos definidos em Lema 3.18.
Seja r : A ! A definida por r(y) = y + � e considere h0 : A ! B definida como
h0(n� + m) = f (0) + m.
Então h0(x + 1) = h0(x) + 1 para todo x 2 A e
h0(r(y)) = h0(y + �) = h0(n� + m + �) = h0((n + 1))� + m) =
fn+1(0) + m = f(fn(0)) + m = f(fn(0) + m) = f(h0(y)).
Como � 2 R \ Q, A é denso em R e portanto podemos definir h̃ : R ! R por
h̃(x0) = lim
x�A,x�x0
h0(x).
Como h0 é monotona, segue que h̃ está bem definida.
2 h
J
1
J
Além disso, como h̃ é periódica de perı́odo 1 em x, temos que h̃ é o levantamento de
h̄ : S1 ! S1.
Como r(y) = y + � é o levantamento de R2�� e vale que
h0 � r = f � h0 =) h̄ � R2�� = � � h̄.
Como h̃ é monótona, h̃ é descontı́nua no máximo em um número enumerável de pontos,
e as descontinuidades de h̃ são do tipo salto.
Isto significa que h̃�1 pode ser estendida para R, colocando
h̃�1(J) = k,
2.4.7. Teorema de Denjoy. We say that a continuous func-
tion g : [0, 1] ! R has bounded variation if its variation
var(g)
def
= sup
n n�1X
i=0
|g(xi+1) � g(xi)| :
0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1, n � 1
o
is finite.
If g is C1 then var(g)  maxx|g0(x)|.
Teorema 2.66 (Denjoy). Let f be a C1 circle difeo-
morphism with an irrational rotation number such that
w(x) = log f 0(x) has bounded variation. Then f is to-
pologically conjugate to a rotation.
Lemma 2.67. Let f be a C1 circle difeomorphism with an
irrational rotation number. There is an infinite sequence
(nk)k such that for any x 2 S the intervals (xi, xi+nk),
xi = f i(x) and 0  i < nk and (xi, xi+nk) is the shortest
arc with end points at xi and xi+nk are disjoint.
Sabemos que f é minimal se e somente se !(x) = T1.
Lemma 2.68. Seja f : T1 ! S um difeomorfismo C1 sem
pontos periódicos. Se existe uma seqência (nk)k and C > 0
such that for every x and k � 1 we have
C < |(fnk)0(x)||(f�nk)0(x)|
then f is minimal.
Demonstração. By contradiction, suppose that there is x
with no dense orbit. Let Y = O+f (x). As Y is closed, its
complement is open. By supposition, nonempty.
Consider I ⇢ S \Y an open interval with end points in Y .
Denote In = fn(I). Then In are pairwise disjoint.
Hence
P
n|In|  1 and thus |In| ! 0.
|In| + |I�n| =
Z
I
(fn)0(u) du +
Z
I
(f�n)0(u) du
=
Z
I
�
(fn)0(u) + (f�n)0(u)
�
du
�2
Z
I
p
(fn)0(u)(f�n)0(u) du
= 2
Z
I
p
exp(log(fn)0(u)(f�n)0(u)) du
= 2
Z
I
p
exp(�|log(fn)0(u)(f�n)0(u)|) du
and hence
|Ink | + |I�nk | > 2
p
exp(�C)|I|
contradicting |Ink | ! 0. Thus, f is minimal. ⇤
Proof of Denjoy’s Theorem. Take x and let xm = fm(x)
for x 2 Z.
Let (nk)k be the sequence of closest returns as provided
by Lemma 2.67.
|log(fnk)0(x0)(f
�nk)0(x0)|
=
����log
(fnk)0(x0)
(f�nk)0(x�nk)
����
=
��log (fnk)0(x0) � log (f�nk)0(x�nk)
��

�����
nk�1X
i=0
log f 0(xi) �
nk�1X
i=0
log f 0(xi�nk)
�����

nk�1X
i=0
|log f 0(xi) � log f
0(xi�nk)|  var(w),
where for the last inequality we recall that the inter-
vals (xi�nk , xi) = f�nk((xi, xi+nk)) are pairwise disjoint.
Hence
(fnk)0(x)(f�nk)0(x) � exp(� var(w)).
By Lemma 2.68, f is minimal. ⇤
Observação 2.69. Assuming f being C2, existe C > 0
tal que |f 00|/|f 0| < C. As
log f 0(u) � log f 0(v) =
Z v
u
(log f 0(x))0 dx
=
Z v
u
f 00(x)
f 0(x)
dx 
Z v
u
|f 00(x)|
|f 0(x)|
dx
segue
nk�1X
i=0
|log f 0(xi) � log f
0(xi�nk)| < C
nk�1X
i=0
|xi � xi�nk |
as the intervals were disjoint, we obtain a finite bound.
hence C2 difeomorphism is a sufficient condition for Den-
joy’s theorem.
Um intervalo não-trivial I ⇢ T1 é não-errante se fk(I) \
f `(U) = ? para todo k 6= `.
Proposição 2.70. Seja f : T1 ! S um difeomorfismo C2
com ⇢ = ⇢(f) 62 Q. Então são equivalentes:
1. f é conjugado com a rotação R⇢.
2. Toda órbita é densa, i.e. f é minimal.
3. Para todo x 2 T1 tem-se !(x) = T1.
4. Para um intervalo não-trivial qualquer I ⇢ T1
existe k 2 Z tal que I \ fk(I) 6= ?, i.e. f não
tem intervalos errantes.
Observação 2.71. ⇢(f) 62 Q é necessário.
C2 diffeo poderia ser C1 diffeo com variação limitada, mas
não apenas C1 diffeo.
No caso de C2 diffeo temos que a conjugação é contínua.
M. Herman mostrou uns 50 anos depois do resultado de
Denjoy que se pode, sob certas hipoteses, obter conjugação
C1.
22 INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS
2.4.8. Contraexemplo de Denjoy. An interval I ⇢ T1 is
wandering if I, f(I), . . . , fk(I), . . . are pairwise disjoint
and not attracted to a periodic orbit.
An irrational rotation does not have wondering intervals.
By Denjoy’s theorem, if f is a C2 diffeomorphism then it
is topologically conjugate to an irrational rotation, hence
it is minimal and thus does not have wandering intervals.
We now construct an example of a C1 diffeomorphism
which has a wandering interval. Hence it is not mini-
mal and, consequently, not topologically conjugate to an
irrational rotation.
Proposição 2.72. Para qualquer ⇢ 62 Q existe um difeo-
morfismo C1 f : T1 ! T1 com ⇢(f) = ⇢ mod 1 que tem
um intervalo errante.
Demonstração. Idea: we take the irrational rotation by ⇢
and at each point xn = n⇢ mod 1 we cut the circle and
glue an interval In of length `n, then we define a diffeo-
morphism such that f(In) = In+1 and on T1 \ [n2NIn we
leave the map unchanged.
1. CIRCLE MAPS 11
1.9. Wandering intervals. Definition. We say that an interval I ⇢
S is wandering, if its iterates I, f(I), f2(I), . . . are pairewise disjoint and I
is not attracted by a periodic point.
If f does not have any periodic point, the second part of the definition is
automatically satisfied. We only note that this requirement his introduced
to ensure that a circle homeomorphism with a rational rotation number does
not have wandering intervals: in that case every orbit is either periodic or
converges to a periodic one. On the other hand, in the case of an irrational
rotation number the second requirement of the definition does not add any
restriction (independently of its precise meaning) as there are no periodic
points.
We already proved that an irrational rotation does not have any wan-
dering interval (as every orbit is dense). Denjoy’s theorem states that a C2
di�eomorphism of S is topologically conjugate to an irrational rotation, so
it is minimal and does not have any wandering interval.
The following construction provides an example of a C1 di�eomorphism f
which has a wandering interval. Therefore, f is not minimal and, conse-
quently, is not topologically conjugate to an irrational rotation.
1.10. Denjoy’s example. For every irrational ↵ 2 (0, 1), there is a
di�eomorphism f : S ! S with rotation number ↵ (mod 1) which has wan-
dering intervals.
The idea of Denjoy’s example is illustrated on the figure below:
We start with an irrational rotation setting xn = n↵ (mod 1). At each
point xn, we cut the circle and glue in an interval In of length `n. Then we
construct a di�eomorphism, such that f(In) = In+1 and on S \ [n�ZIn the
map is left “unchanged”. (The illustration from Wikipedia)
Now let us provide an accurate description of the example.
(1) Take an irrational number ↵ 2 (0, 1).
(2) Take a sequence of positive numbers (`n)
+�
n=�� such that
L =
X
n�Z
`n < 1,
1
2
<
`n+1
`n
< 2, and
`n+1
`n
�!
n�±�
1 .
Considere a rotação x 7! x + ⇢.
Seja (`n)n2Z com `n > 0 e
L
def
=
X
n
`n < 1,
1
2
<
`n+1
`n
< 2, lim
|n|!1
`n
`n+1
= 1.
For example, `n = 1/(n2 + 25) with
L =
X
n2Z
1
n2 + c2
=
⇡ coth c⇡
c
< 1 if c � 4.
Dado n 2 Z, seja
xn
def
= n⇢ mod 1 = n⇢ � [n⇢].
Observe that x0 = 0, x1 = ⇢, xn 2 [0, 1), {xn}n2Z dense
in [0, 1).
Define a sequence (an)n2Z by
a0
def
= 0, an
def
= (1 � L)xn +
X
k : xk2[x0,xn)=[0,xn)
`k.
Afirmação 4. The above sums each are convergent, an 2
[0, 1), xn 7! an monotone increasing.
Demonstração. Since (xn)n is dense, any interval contains
infinitely many xk.
Thus, the sum contains infinitely many terms. All such
terms are positive and their sum less than L. Hence
0  an < 1.
Monotonicity is obvious. ⇤
Let
In
def
= (an, bn), bn
def
= an + `n.
Afirmação 5. In ⇢ (0, 1), {In} are pairwise disjoint.
Demonstração. As ⇢ 62 Q, xn 6= xm of n 6= m. If xn < xm
then
am � an = (1 � L)(xm � xn) +
X
k : xk2[xn,xm)
`k � `n.
Hence bn = an + `n < am and
In \ Im = [an, bn \ [am, bm] = ?
⇤
Let
Cn
def
= 2
✓
`n+1
`n
� 1
◆
.
Then Cn 2 (�1, 2) and it is immediate that
Z bn
an
Cn · T (
x � an
`n
) dx = `n+1 � `n,
where T (x) = 1 � |2x � 1|.
Define on [0, 1]
F 0(x)
def
=
(
1 + CnT (
x�an
`n
) if x 2 In
1 if x 2 [0, 1] \n2Z In
and let F 0(x) def= F 0(x mod 1) for all other x 2 R.
Afirmação 6. F 0 : R ! R is continuous, periodic, posi-
tive and Z 1
0
F 0(x) dx = 1
Let
F (x)
def
= a1 +
Z x
0
F 0(t) dt.
Afirmação 7. F is a C1 diffeomorphism, dFdx (x) = F
0(x),
F (x + 1) = F (x) + 1 for all x 2 R.
Thus, there is a diffeomorphism f : T1 ! T1 which has F
as a lift.
Afirmação 8. ⇡(I0) is a wandering interval for f and
⇢(f) = ⇢ mod 1.
Demonstração. We have
F (an) =
(
an+1 if xn 2 [0, 1 � ⇢)
an+1 + 1 if xn 2 [1 � ⇢, 1).
Indeed,
F (an) = a1 +
Z an
0
F 0(t) dt
= a1 + an +
X
k : Ik2[0,an)
Z
Ik
CkT (
t � ak
`k
) dt
= a1 + an +
X
k : ak2[0,an)
`k+1 �
X
k : ak2[0,an)
`k.
Using x1 = ⇢, we have
a1 = (1 � L)⇢ +
X
k : xk2[0,⇢)
`k
INTRODUÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS 23
and
an = (1 � L)xn +
X
k : xk2[0,xn)
`k.
Hence
F (an) = (1 � L)(⇢ � xn) +
X
k : xk2[0,xn)
`k+1 +
X
xk2[0,⇢)
`k.
Hence
xn+1 =
(
xn + ⇢ if xn + ⇢ < 1
x + n + ⇢ � 1 if xn + ⇢ � 1
Afirmação 9.
F (an) =
(
an+1 if xn + ⇢ < 1
an+1 + 1 if xn + ⇢ � 1
Since
F (bn)�F (an) =
Z
In
F 0(t) dt = `n+
Z an+`n
an
CnT (
t � an
`n
) dt = `n+1,
the interval In = (an, bn) is mapped to either (an+1, bn+1)
or to (an+1 + 1, bn+1) + 1. Taking Jn = ⇡(In) we have
f(Jn) = Jn+1. The intervals Jn are disjoint, hence wan-
dering.
Afirmação 10. We have ⇢(f) = ⇢.
Demonstração. Let kn = [n⇢], denoting by [·] its largest
integer part. For every n 2 Z we have
Fn(0) = kn + an.
Indeed, this is true for n = 1 as with ⇢ 2 (0, 1) we have
x1 = ⇢ 2 (0, 1) and hence k1 = 0 and x1 = F 1(0) = a1.
By induction, supposing Fn(0) = kn + an then
Fn+1(0) = F (Fn(0)) = F (kn+an) = F (an)+kn = an+1+kn+1.
Hence, using Fn(0) = kn + an and n⇢ = kn + xn,
����
Fn(0)
n
� ⇢
���� =
����
Fn(0) � n⇢
n
���� =
an � xn
n

1
n
.
This implies ⇢(f) = ⇢. ⇤
⇤
Observe that C def= [0, 1] \ [kIk is Cantor and that the
Lebesgue measureof C is equal to 1 � L > 0.
Seja In = [an, bn] tal que an = a(xn), bn = b(xn), onde
a(x) =
X
{`k : xk < x}, b(x) =
X
{`k : xk  x}.
Portanto
|b(x) � a(x)| =
(
`n se x = xn
0 se x 6= xn.
[an, bn] são 2 a 2 disjuntos,
S
n2Z[an, bn] = [0, 1).
Existe G : R ! R tal que
G(x + 1) = G(x), G([a(x), b(x)]) = {x}
para todo x 2 [0, 1).
Escolher homeomorfismo f tal que
f([an, bn]) = [an+1, bn+1],
poderia ser monótono.
Para fazer C1 tomar (`n)n tais que
,
X
n2Z
`n = 1.
e tais que
f([an, bn]) = [an+1, bn+1], f
0(an) = f
0(bn) = 1,
e.g.
an + x 7! an+1 +
Z x
0
exp(cnt(`n � t)) dt
tal que cn > 0 e
Z `n
0
exp(cnt(`n � t)) dt = `n+1
Notar que cn ! 0 e f 0 ! 1 quando `n/`n+1 ! 1. ⇤
devils staircase, Gelfreich p. 16