conjuntos numericos

FUNDAMENTOS DE MATEM Á TICA Mariana Sacrini Ayres Ferraz Rute Henrique da Silva Ferreira C onjuntos numéricos Objetivos de aprendizage m Ao final de ste texto, v ocê deve apr esenta r os seguint es apr endizados: \ue684 Definir o que são c onjun to s numéric os em mat emá tica. \ue684 Represen tar c onjun tos por meio dos d iagrama s de Ve nn. \ue684 Real izar operações com c onjun tos. Introduçã o Os con jun tos são bastant e importantes em m ate mática. T alvez os ma is famosos seja m os con junt os numé ricos, c omo os re ais, os i nte iros e os naturais. Emb or a eles tenham muitas aplic ações puram ente matemá ticas , muitas á rea s se beneficiam de sua s teorias, c omo quando t emos que d i- vidir grupos que t enha m carac terí sticas sim ilar es ou não, ou par cial ment e sim ilar es, e problemas de r econhecime nt o de padrões. Neste capítulo , você a prenderá a definição de c onju nt os, como repr esentá-los e sua s propriedades. 1 . Conjuntos numéricos Um conju nto pode ser de\ue6bf n ido como u ma coleção de entid ade s, as qu ais são seus element os. Ou seja , é u ma coleção de elemento s que est ão r elacionado s seg u ndo alg u ma reg ra . Por exempl o, o s eleme ntos pode r ia m ser nú meros , f r ut a s, pe ssoa s, ca r ros , etc. Já a regr a à qua l os element os obede cem deve ser be m- de\ue6bf n ida \u2014 por exempl o, p oder íamos te r um conju nto de palav ra s per te ncent es à lí ng u a p or t u g ues a. G e r a l m e n t e , s ã o u t i l i z a d a s l e t r a s m a i ú s c u l a s p a r a s e e s p e c i f i c a r o s c o n j u n - tos, como A , B , W , \u2026 , e letr as mi nú scu las par a os e lementos de um conjunto, como a, b, c ,z ,. .. P or exemp lo : g , h \u2208 A , que significa que os elementos g e h pe r tencem ao conj u nto A . O símbolo \u2208 pode ser interpretado como \u201cé um elemento de\u201d. Para a negativa dessa afirmação, usa-se \u2209 , o que significa \u201cnão é um elemento de\u201d . Notação Par a s e descreve r o s elemento s d e um conjunto , geralment e sã o utilizadas chaves {} e vírgulas para separar os elementos. Por exemplo: {\u20132, \u20131, 0, 1, 2, 3, 4, 5} . Para conjuntos com número de elementos muito grandes, a notação acima não seria a mais indicada, pois geraria imensas listas. Assim, uma maneira de se descrever os conjuntos é utilizar uma letra, como x . Por exemplo: B = { x \u2502 x é um inteiro e | x | , o qual lemos com o \u201c B é u m conju nto do s elementos x , t al que x é u m i nt eir o e tem mó dulo me nor que 6. Equ ivalente mente, p odemo s esc rever: B = { x \u2502 x \u2208 Z , | x | . Aqui, o sí mbolo | si g ni f ica \u201ct al que\u201d , Z r e p r e s e n t a o c o n j u n t o d o s i n t e i r o s , e a ví rg u la é i nte r pr et ad a c omo \u201ce\u201d . Vej a os três conjuntos a seguir: A \ue61f=\ue61f{ x | x 2 \ue61f\u2013\ue61f3 x \ue61f+\ue61f2\ue61f=\ue61f0}, B \ue61f=\ue61f{ 1 ,\ue61f2 }, C \ue61f=\ue61f{2,\ue61f1 ,\ue61f2 ,\ue61f2,\ue61f1 }. Eles são i guais ? A respost a é sim. Para conjuntos, não impor t a a ordem de seus el ementos, nem se eles sã o repeti dos. D essa man eira, no c aso dos t rês conjunt os mos tra dos aqui, el es são considera dos iguais, ou s eja, A = B = C . Conjunt os numéricos 2 1.1 S ubconjuntos Supon ha que te n ha mos dois c onjuntos , A e B . Se a \u2208 A , i mplica que a \u2208 B . Podemos dizer que A é um subconjunto de B e, alternativamente, que A está contido ou é igual a B , A \u2286 B , ou que B contém ou é igual a A , B \u2287 A . Por exemplo, se P = {2, 4, 6} e S = {"inteiros pares"} , então, temos que P \u2286 S . Se doi s conjunto s s ã o ig u ai s , ca d a conju nt o es t á cont id o n o out ro , Assim , A = B " se, e somente se \u201d A \u2286 B e B \u2286 A . Par a o s s ubc onjuntos , temo s o seg u i nt e te orem a : seja m A , B e C co nj u nt o s qua isque r, então: 1 . A \u2286 A ; 2. Se A \u2286 B e B \u2286 A , então A - B ; 3. Se A \u2286 B e B \u2286 C , então A \u2286 C . 3 Conjunt os numéricos Nota: para o símbolo \u2286 lê-se \u201csubconjunto contido ou igual à\u201d, ou ainda o símbolo \u2287 , com a leitura de \u201csubconjunto contém ou igual à\u201d. Outro símbolo muito utilizado, é o \u2282 que lê-se \u201csubconjunto contido em\u201d, ou ainda \u2283 , com a seguinte leitura \u201csubconjunto contém\u201d. Neste momento é importante deixar claro dois tipos de relações, a de pertinência e a de inclusão. Para a relação de pertinência utiliza-se os símbolos de \u2208 , \u2209 , onde lemos pertence e não pertence respectivamente, e com isso queremos dizer que aquele elemento faz parte ou não de um determinado conjunto. Esses símbolos só podem ser usados entre um elemento e um conjunto, ou seja, não pode ser usado entre dois conjuntos. Como exemplo, temos o conjunto A={2,6,1,8,4,9}, podemos escrever por exemplo que 2 \u2208 A, ou que 8 \u2208 A, ou ainda que -1 \u2209 A e assim por diante. Já para a relação de inclusão, utilizamos os símbolos de \u2282 , \u2283 , que lemos contido e contém respectivamente. Essa relação quer representar que um conjunto \u201cestá dentro de outro\u201d, ou ainda que um conjunto é subconjunto de outro. Esses símbolos só podem ser usados entre dois conjuntos ou subconjuntos, como por exemplo, conhecendo o conjunto A={-3,-1,0,6,9,11} e o conjunto B={-3,0,11}, podemos escrever que B \u2282 A ou ainda que A \u2283 B. Aqui é importante lembrar que para um conjunto estar contido em outro, todos os elementos devem estar. 4 Conjunt os numéricos 1 .2 Conjuntos numéricos e speciais Alg u n s conjunt o s sã o mu it o u sa d o s e, a ssi m , a caba r am rec ebend o t rat ame nto esp ecial. V eja a seg u ir. \ue684 N: c onjunto dos nú mer os nat u r ais , ou i ntei ro s positivos, c om o z ero \u2014 N = { 0, 1 , 2, 3, 4 , \u2026 } . \ue684 Z: c onjunto dos núme ros intei r os, ou seja, to dos o s nú me ros i nt eir os positivos, negat ivos e o zero \u2014 Z ={ \u2026, \u20133 , \u20132, \u20131 , 0, 1, 2 , 3, \u2026 } . \ue684 Q: c o n j u n t o d o s n ú m e r o s r a c i o n a i s , n ú m e r o s r e a i s c o m d í g i t o s d e c i m a i s f i n itos. Número s que p odem ser escr itos em for m a de f r açã o de nú me ros int ei ros, re sult a ndo assi m em de cim ais com d ígitos f in itos \u2013 \ud835\udc44 = , p , q \u03f5 Z e q \u2260 0 . \ue684 I: Conju nto dos nú mero s ir ra cionais , núme ros que n ão po dem se r esc r itos em for m a de f ra ção de nú mer os i ntei ros, re su lta ndo a ssi m em d eci ma is c om d ígitos in f in itos \u2014 p or exemplo, r aí zes nã o exat a s , o núme ro \ud835\udf0b e o nú mero d e Euler \ud835\udc52 . \ue684 R: conju nto do s nú mer os re ais , o qu al in clui os r ac ionai s e os i r ra cio - nais \u2014 R = Q \u222a I . \ue684 C: c on ju n t o do s nú m e r o s co m pl e xo s , pa r e s ( a , b ) de nú meros reai s, ou seja, núme ros da form a z = a + bi , onde a e b s ão núme ros reais e i 2 = \u20131. Em teoria de conjuntos, a notação * é u tiliza da quando des ejamos excluir o número zero do conjunt o. Por exemplo: \ue684 N* = { 1 , 2, 3, 4, ... }; \ue684 Z* = { ..., \u20133, \u2013 2, \u2013 1 , 1 , 2, 3 , ...}. A par t i r dess a descr içã o, podemos pen sa r N como u m a par te de Z, Z como u ma par te de Q e Q como um a par t e de R. Em Q, eq ua çõe s do tipo x 2 \u2013 3 = 0 ou o cá lculo da área do círc ulo, por e xemplo , não podem ser res olvidas. T emos ent ão u m novo conjunto, os i r ra cionais e e sse conju nto I po de se r ente ndido como u ma pa r te de R. N o e n t a n t o , a l g u n s p r o b l e m a s n ã o p o d e m s e r r e s o l v i d o s a p e n a s e m R , o q u e motivou o desenvo lvi mento dos nú meros comp lexos. Por ex emplo, a equaç ão x 2 + 1 = 0 não t em solução e m R, m as , em C, vere mos que ela te m solução. Na t eor ia de conjunt os u m núme ro complex o é u m pa r orden ad o d e nú- meros rea is ( a , b ) e m q ue e st ão def i n ida s ig u ald ade, ad ição e mu ltiplicaçã o (D A N TE , 20 02 ) : ( a , b ) = ( c , d ) \u2194 a = c e b = d ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ( a , b ) \u2219 ( c , d ) = ( ac \u2013 bd , ad + bc ) Os nú meros re ais pe r t ence m a C e são aqueles pa res em que t emos b = 0, ou seja, o nú me ro rea l 5 po de ser escr ito como o pa r ( 5 , 0) . T ambém é d a do um nome especial para o par (0, 1), unidade imaginária. Ele é indicado por i , e, usando a definição de multiplicação de complexos, temos: (a,b) \u2219 (c,d) = (ac - bd, ad + bc) i 2 = (0,1) \u2219 (0,1) = (0 \u2219 0 \u2012 1 \u2219 1, 0 \u2219 1 + 1 \u2219 0) = ( \u2012 1, 0) = \u2012 1 Essa definição nos permite calcular, em C, raízes quadradas de números negativos. Por exemplo: Conjunt os numéricos 5 Os núme ros complex os podem ser rep rese nt ados na for ma algébrica ou na for ma tr ig onomét r ica . V eja a seg ui r alg u ma s defi n içõe s e exemplos e nvo lv endo núme ros com plex os. Forma algébr ica de um número complex o: z \ue61f=\ue61f a \ue61f+\ue61f bi ( \u20122, 3 ) = \u20122 + 3 i ( 0, \u2012 1 ) = 0 \u2012 1i = \u2013i Con jugado de um número c omplexo : z \ue61f=\ue61f a \ue61f\u2013\ue61f bi z = 2 + 3 i \u2192 z = 2 \u2013 3 i z = 5 \u2013 2 i \u2192 z = 5 + 2 i Interpretação geométri ca de um número complex o Como cad a nú mer o complex o est á ass ocia do a um pa r ( \ud835\udc4e,\ud835\udc4f ), que por su a vez est á asso ciado a um ú n ico ponto no p lano, pode mos repre sent á-los como um pont o P no siste ma de coorde na d as ca r tesia na s. O âng u lo \u03b8 for m ado p elo seg me nt o Oz e o eixo x é cha ma do de a rg u me nto, e \u03c1 é o módu lo de z , que de\ue6bf ni mos n a Fi g u r a 1 . Figur a 1. Gráfico do mó dulo d e z . Fonte: Adaptada de Dante (2002 ). 6 Conjunt os numéricos Módulo de um número c omplexo O módulo de u m núme ro complex o é a d ist â ncia d a origem do siste ma de coorde na d as até o ponto z . Aplica ndo o te orem a de Pitágor as , . V ejamos u m exemplo : Forma t rigonométrica de um nú mero complexo A par t i r da rep rese nta ção geomét r ica de um núme ro complex o, con sidera ndo - -se s eu mód ulo, o â ng u lo for mad o pelo seg ment o Oz e o ei xo x e a s no çõe s de seno e co sseno, t emos: z = a = bi \u2192 | z | ( cos \u03b8 + i sen \u03b8) V ejamos u m exemplo : Resolução de equaç ões com raiz c omplexa x 2 \u2013 2 x + 1 0 = 0 \u2206 = b 2 \u2013 4 ac = 4 \u2013 4 \u2219 1 \u2219 1 0 = \u2013 36 \u2192 não poss ui r ai z rea l Usando nú mero s complex os, t emos: Assi m, a s r aí zes d a eq ua çã o são 1 + 3 i e 1 \u2013 3 i . Conjunt os numéricos 7 A equ açã o x 2 + 1 = 0, men cionad a ant er ior me nte no capítu lo, po de ser resolvid a da s eg ui nte for m a: Sua solução, ent ão, é: x = ± i 1. 3 Conjunto universo e conjunto vazio O conjunto un iverso nor m al mente é denot ado pela letr a U . Ele se r ia compost o por todos os element os e conjuntos em u m da do contexto. Já o conju nto vaz io não contém qualquer el eme nto e é repre sent ad o por chav es va zia s { } , ou pel o sí m b olo \u2205 . Por ex emplo : Se U = Z, então { x \u2502 x 2 = 10} = \u2205 . 1.4 Conjuntos disjuntos Conjunto s disju nto s sã o a q uele s qu e nã o tê m element o s e m comu m . Por exempl o, supon h a os t rê s conjunt os a seg u i r: A = { 1 , 4, 5 } , B = { 5 , 6, 8, 1 0 } e C = { 1 0, 1 4 } . O s conjunto s A e C sã o c on sider a d o s d isju nt os , m a s A e B nã o , poi s eles têm element os em c omum . Os conju nto s B e C t a mbém n ão sã o di sjunto s. 8 Conjunt os numéricos Podemos afirmar que N \u2282 Z \u2282 Q \u2282 Z Sim podemos, pois neste caso estamos afirmando que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros, que por sua vez está contido dentro do conjunto dos racionais e por fim, o conjunto dos racionais está contido no conjunto dos inteiros. A seguir quando aprendermos o conceito diagrama de Venn e observarmos a Figura 3, este conceito fica bem claro. 2. Diagramas de Venn Uma manei ra de repre sent a r conj u ntos é usa ndo os d iag r am as de V en n. Nesses diagramas, os conjuntos são representados por áreas delimitadas no espaço, geralmente círculos e elipses. Assim, o conjunto univers o U é representado por um retângulo, em que estão os outros conjuntos. A Figura 2 mostra três exemplos de diagramas de V enn. Em (a), há um exemplo em que o conjunto A está contido no conj u nto B ; em (b), os conjuntos A e B são disj u ntos; em (c), os conjuntos A e B sobrepõem-se parcialmente. Figur a 2. E xemp los de d iagramas d e Venn. Fonte: Adaptada de Lips chut z e Lipson (20 1 3 ). Os diag r am as de V en n ta mbé m ser vem par a ilust r a r os conju ntos numé r icos desc r itos n a seçã o ant er ior, como most ra a Figu r a 3 . Figur a 3. Representaçã o dos conjun tos numéricos. N Números Naturais Z Números Inteiros Q Números Racionais I R = Q \u222a I Número s Irr acionais C Números Comple xo s Conjunt os numéricos 9

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