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ANÁLISE-REAL

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ANÁLISE REAL 
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SUMÁRIO 
 
NOSSA HISTÓRIA ................................................................................................................................ 2 
1. NÚMEROS REAIS .................................................................................................................. 3 
1.1 Teoria dos Conjuntos.................................................................................................... 3 
1.1.2 Conjunto Vazio ......................................................................................................... 3 
1.1.2 Subconjunto .............................................................................................................. 4 
1.1.3 Operações entre conjuntos ..................................................................................... 4 
1.1.4 Conjuntos Complementares .................................................................................... 5 
1.1.5 Relações Binarias .................................................................................................... 6 
1.3 Supremo e Intimo........................................................................................................... 9 
2. NOÇÕES DE TOPOLOGIA ..................................................................................................13 
3. SEQUÊNCIA NUMÉRICA .....................................................................................................14 
3.1 Convergência de Sequência Numérica ....................................................................17 
3.2 Calculando o Limite da Sequência ............................................................................17 
3.3 Sequência Monótona ...................................................................................................21 
3.4 Sequência Limitada ......................................................................................................22 
3.5 Sequência Monótona e Limitada ...............................................................................23 
4. SÉRIE NUMÉRICA ................................................................................................................27 
4.1 Série de Convergência .................................................................................................27 
4.2 Série Telescópica..........................................................................................................28 
4.3 Série Harmônica ............................................................................................................29 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .................................................................................................30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em 
atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. Com 
isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais em nível 
superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no 
desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de 
promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem 
patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou outras 
normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e 
eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. 
Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de 
cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do 
serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. NÚMEROS REAIS 
1.1 Teoria dos Conjuntos 
 
Recebe o nome de conjunto toda e qualquer coleção de elementos. Estes 
elementos não se limitam a números, pode ser pessoas, figuras, animais, qualquer 
tipo de objeto e etc. 
Relação de Pertinência é como é chamado a relação básica entre um conjunto 
e o elemento. Se um elemento pertence a um conjunto A, dizemos então que x 
pertence a A. 
 
 
 
 
Quando x não eh um elemnto desse conjunto, dizemos então que x não 
pertence a A. 
 
 
 
 
Para estabelecer uma definição dos elementos com seus conjuntos, a forma 
mais fácil e utilizar as propriedades comuns para todos os elementos. 
 
 
 
 
 
 
1.1.2 Conjunto Vazio 
 
O conjunto vazio eh representado por uma propriedade onde não eh possível 
gerar elementos. 
 
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Qualquer elemento de A pertence aos naturais, porém não podemos dizer que 
nos naturais existem números entre 1 e 2. 
 
1.1.2 Subconjunto 
 
Os elementos de A no assunto anterior então nos números naturais, dizemos 
então que A eh um subconjunto dos Naturais, ou seja, A eh um subconjunto dos 
naturais, ou seja A está contido no conjunto N. 
 
 
 
1.1.3 Operações entre conjuntos 
 
União de Conjuntos: Dizemos que a união de conjuntos é quando juntamos dois 
elementos. 
 
 
 
Representação da união no Diagrama de Venn 
 
Figura 1: União de Conjuntos. 
 
 Fonte: (LESSA, SD). 
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Interseção de conjuntos: A interseção apresenta os elementos comuns entre 
os dois conjuntos. 
 
Figura 2: Interseção de conjuntos. 
 
 Fonte: (LESSA, SD). 
 
1.1.4 Conjuntos Complementares 
 
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 3: Diagrama de Venn. 
 
Fonte: (LESSA, SD). 
 
1.1.5 Relações Binarias 
 
Supondo que o conjunto A = {1,2} e B = {3,4,5}, co A, B ⊂ ℕ. Sendo o produto 
cartesiano de A x B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 4: Representação no plano cartesiano. 
 
 
 Fonte: (LESSA, SD). 
 
 Sugestão da Professora! 
Realize os exercícios no link abaixo. 
https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/exercicios/ 
 
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Corpos 
Seja K um conjunto munido de duas operações, denotadas por “+” e “.”. Diz-se 
(K,+,.) eh um corpo se satisfazer as condições seguintes: 
 
Figura 5: Corpos. 
 
 Fonte: (TERRA, SD). 
 
Figura 6: Corpos. 
 
 Fonte: (TERRA, SD). 
 
Figura 7: Corpos. 
 
 Fonte: (TERRA, SD). 
 
9 
 
 
 
 
 
 
1.2 Desigualdades 
 
1.3 Supremo e Intimo 
 
O objetivo agora é introduzir os conceitos de supremo e intimo em ℝ. Ambos 
são similares, então abaixo segue as noções de supremo. 
 
Figura 8: X é um subconjunto de ℝ. 
 
Fonte: (BUSS, 2012). 
 
Figura 9: Em ℝ são equivalentes. 
 
 Fonte: (BUSS, 2012). 
 
 
 
 
 
 DICA! 
Clique aqui para uma sula sobre corpos ordenados. 
https://www.youtube.com/watch?v=RNeTdxrOTMk 
10 
 
 
Figura 10: Em ℝ são equivalentes. 
 
Fonte: (BUSS, 2012). 
 
Figura 11: X ⊂ ℝ um conjunto limitado superiormente. Um elemento b ∈ ℝ eh dito supremo de X, se 
valem: 
 
 Fonte: (BUSS, 2012). 
 
Geometricamente temo a visualização da caracterização do supremo. 
 
 
 
 
11 
 
 
Figura 12: Caracterização do supremo. 
 
 Fonte: (BUSS, 2012). 
 
Na linguagem coloquial S.1’ – b é cota superior de X. S.2’ é qualquer numero 
menor que b não é cota superior de X. 
 
Figura 12: Seja Y ⊂ ℝ um conjunto limitado inferiormente. Um elemento a ∈ ℝ é dito infinito de Y. 
 
Fonte: (BUSS, 2012). 
 
Figura 13: Representação geométrica. 
 
 
 Fonte: (BUSS, 2012). 
 
 
 
 
 
 
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Figura 14: Não existe um número racional p tal que 𝑝2 = 2. 
 
 Fonte: (BUSS, 2012). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DICA! 
Vídeo aula sobre Supremo e Intimo. 
https://www.youtube.com/watch?v=NhNrwGe35G8 
13
2. NOÇÕES DE TOPOLOGIA 
 
Para Camargo, 
 
“O conceito de espaço topológico nasceu do estudo da reta real, espaço 
euclidiano e funções contínuas aplicadas sobre esses espaços. Definiremos 
espaço topológico e estudaremos algumas formas de se construir uma 
topologia sobre um conjunto” (CAMARGO, 2013, p. 1). 
 
Uma topologia sobre um conjunto X é uma coleção τ de subconjuntos de X 
tendo s propriedades abaixo. 
 
Figura 15: Propriedades. 
 
 Fonte: (CAMARGO, 2013). 
 
O conjunto X nessas condições, é chamado de espaço topológico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DICA! 
Uma sugestão de aula para ampliar os conhecimentos em topologia. 
https://www.youtube.com/watch?v=AzY7-B-O_zA 
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3. SEQUÊNCIA NUMÉRICA 
 
Uma sequência numérica é uma sucessão de números. Denicol, Schneider e 
Andrade expressam que, “Ela pode ser pensada como uma lista de números escritos 
em um ordem definida a1, a2, a3, . . . , an, . . . .” . 
Os valores atribuídos para a, são os termos da sequência. 
 
 
 
 
 
 
Uma sequência de números reais (𝑎𝑛) é uma função a : N → R que associa a 
cada número natural n um número real 𝑎𝑛. 
 
Figura 16: Exemplo. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Em algumas ocasiões e favorável que o 
primeiro termo seja dado por 𝑎0. Sendo a 
sequência será, 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 … 
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Figura 17: Solução Letra A. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 18: Solução Letra B. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 19: Solução Letra C. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 20: Solução Letra D. 
 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
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3.1 Convergência de Sequência Numérica 
 
São ditas como convergência as sequencias que os termos se aproximam de 
um valor limite, quando não possuem limite são ditas como divergência. 
 
Figura 21: Definição de sequência convergente. 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
3.2 Calculando o Limite da Sequência 
 
As sequências são funções reais cujo domínio está restrito ao inteiros positivos. 
Abaixo algumas propriedades. 
 
Figura 22: Regras da soma e diferença. 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
 
 
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Figura 22: Regra do produto e quociente. 
 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 23: Teorema para convergência de sequência numérica. 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 24: Aplicação da regra de L’Hospital. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
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Figura 25: Exemplos. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 26: Solução de a e b. 
 
 Fonte: (CAMARGO, 2013). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 27: Solução de c e d. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 28: Teorema do Confronto. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Sequência Monótona 
 
Uma sequência é denominada não decrescente se, para todo numero natural. 
 
Uma sequência é denominada crescente se, para todo número natural. 
 
Uma sequência é denominada não crescente se, para todo o número natural. 
 
Uma sequência é denominada decrescente se, para todo número natural. 
 
Uma sequência é denominada monótona se for não crescente ou não 
decrescente. 
 
Figura 29: Exemplo. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
 Dica! 
Um pouco mais sobre a sequência numérica. 
https://www.youtube.com/watch?v=FPkxy_6wQug 
22 
 
 
Figura 30: Solucao a e b. 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 31: Solução c. 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
3.4 Sequência Limitada 
 
Uma sequência é limitada se existe um número real positivo M tal que |𝑎𝑛| ≤
𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ. O numero M é chamado de cota superior da sequencia. 
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Figura 32: Sequência convergente limitada. 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
3.5 Sequência Monótona e Limitada 
 
Toda sequencia Monótona e limitada é convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 33: Sequência monótona limitada e convergente. 
 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 34: Exemplo. 
 
 Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 35: Solução a. 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
Figura 36: Solução b. 
 
 
Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obs: 
 Seja n um inteiro positive, então n fatorial é definido por 𝑛! =
1𝑥2𝑥3𝑥 … 𝑥(𝑛 − 1). 𝑛. 
 
 Zero fatorial é, por definição, igual a 1, isto é, 0! = 1 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dica! 
Um pouco sobre sequência monótona. 
https://www.youtube.com/watch?v=Pqag0n6lCgM 
27 
 
 
4. SÉRIE NUMÉRICA 
 
A operação da adição e soma é inicialmente definida como a aplicação que a 
cada par de números reais faz corresponder com um número real, de acordo com 
determinadas regras. 
A definição de soma de um numero finito de parcelas é feita por recorrência. 
 
Figura 37: Soma de número finito. 
 
 Fonte: (CERCOMP, 2004). 
 
4.1 Série de Convergência 
 
Seja dada uma sucessão numérica, que é chamada de serie gerada por 𝑎𝑛 a 
sucessão 𝑆𝑛 definida do modo seguinte: 
 
Figura 38: Série. 
 
 Fonte: (CERCOMP, 2004). 
 
A serie ∑ 𝑎𝑛 diz – se convergente se existir e for finito o limite. 
 
28 
 
 
lim
𝑛→ + ∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→+∞
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
 
Se este limite não existir ou não for finito a série é divergente. 
 
S = lim
𝑛→+∞
𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
 
Em caso de convergência chama-se soma da série ao valor, S, do limite, isto 
é: 
𝑆 = lim
𝑛→ + ∞
𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
 
 
Figura 39: Exemplo. 
 
Fonte: (CERCOMP, 2004). 
 
4.2 Série Telescópica 
 
A soma da série telescópica é sempre 1. Elas geralmente são resolvidas em 
frações parciais. 
 
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Figura 40: Telescopica. 
 
Fonte: (CERCOMP, 2004). 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 Série Harmônica 
 
A soma dos termos da sequência geométrica 1, 2, 4, 8,... é um bom exemplo 
de uma série divergente. Por outro lado, a seqüência geométrica dos inversos desses 
números, ou seja, 1, 1/2, 1/4, 1/8,... constitui uma seqüência cuja soma das parcelas 
converge para o número dois. Tal convergência pode ser verificada da seguinte forma: 
se chamarmos de S a soma de todos os termos da seqüência, poderemos dizer que 
2S = 2 (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...) ou ainda que 2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 +... Desse resultado, 
concluímos que 2S = 2 + S, ou seja, que S= 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DICA! 
Vídeo aula de serie telescópica. 
https://www.youtube.com/watch?v=42v_XmuZGJA 
 
 Dica! 
Aprenda um pouco mais sobre serie harmônica matemática. 
https://www.youtube.com/watch?v=jLRGg9V7pWM 
30 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
LESSA, Jose Roberto. Info Escola. Sem data. Teoria dos conjuntos. Disponível em: 
<https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-
conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C
5%2C%20por%20exemplo.>. Acesso em: 16/08/2020. 
 
BUSS, Mirian; Goncalvez, Daniel. Elementos da Analise. Universidade Federal de 
Santa Catarina. 2012. Disponível em: 
<http://mtm.ufsc.br/~daemi/Cursos%20Ministrados/Int_Analise/Livro/Elementos%20d
a%20An%E1lise%20-%20Versao%20Preliminar.pdf>. Acesso em: 16/08/2020. 
 
CAMARGO, Fabio Augusto. Introdução a Topologia. Universidade Federal de São 
Carlos. 2013. Disponível em: 
<https://www.dm.ufscar.br/dm/index.php/component/attachments/download/22>. 
Acesso
em: 16/08/2020. 
 
DENICOL, Barbara; SCHNEIDER, Cinthya Maria; ANDRADE, Cristina. Sequencias 
Numéricas. Editora da furg. 2017. Disponível em: 
<https://lemas.furg.br/images/seq2311.pdf>. Acesso em: 16/08/2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C5%2C%20por%20exemplo.
https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C5%2C%20por%20exemplo.
https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C5%2C%20por%20exemplo.

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