Aritmética - Lista II

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Maranhão
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Mestrado Profissional em Matemática -
PROFMAT
Disciplina: Aritmética Professor Dr. Anselmo Baganha Raposo Júnior
Aluno(a):
Lista II
1. Ache os posśıveis valores de n,m ∈ N ∪ {0} de modo que o número 9m10n tenha:
a) 27 divisores positivos.
b) 243 divisores positivos.
2. Qual é a forma geral dos números naturais que admitem:
a) um só divisor positivo além dele próprio?
b) um número primo de divisores positivos?
3. Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Mostre que, se ab é um quadrdado, então a e b são
quadrados.
4. Qual é o menor valor do número natural n que torna n! diviśıvel por 1000?
5. Com respeito ao número 1000! responda ao que se pede.
a) Com quantos zeros este número termina?
b) Qual a potência de 3 que aparece em sua decomposição em fatores primos?
6. Mostre que existem infinitos valores de n ∈ N para os quais 8n2 + 5 é diviśıvel por
77.
7. Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou iguais a n divide o seu
produto se, e somente se, n+ 1 é composto.
8. Usando a caracterização de mdc e mmc de dois números naturais a e b através de
suas decomposições primárias, prove que (a, b) [a, b] = ab.
9. Mostre que, se a, b ∈ N∪{0} e n ∈ N, então (an, bn) = (a, b)n e que [an, bn] = [a, b]n.
10. Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade: se p divide o
produto de dois inteiros quaisquer, então p divide um dos fatores. Mostre que p
é necessariamente primo.
Aritmética - Lista II
11. Seja d : N → N a função que a cada número natural n faz corresponder ao seu
número de divisores positivos d (n). Mostre que, se m,n ∈ N são coprimos, então
d (m · n) = d (m) · d (n).
12. Mostre que, se n é composto, então o n-ésimo número de Fibonacci un é composto.
13. Mostre que 42|a7 − a para todo número inteiro a.
14. Ache o resto da divisão de 12p−1 por p quando p é primo.
15. Mostre que, para todo n ∈ N, 3
5
n5 +
2
3
n3 +
11
15
n ∈ N.
16. Mostre que, para todo n ∈ N, 15|3n5 + 5n3 + 7n.
17. Seja n ∈ N. Mostre que:
a) Se 5 ̸ |n− 1, 5 ̸ |n e 5 ̸ |n+ 1, então 5|n2 + 1.
b) Se 7 ̸ |n− 1, 7 ̸ |n e 7 ̸ |n3 + 1, então 5|n2 + n+ 1.
18. Sejam a, k ∈ N. Mostre que, se (a, 7) = 1, então 7|a6k − 1.
19. Mostre que a13 − a é diviśıvel por 2, 3, 5, 7, 13 e 273, para todo a ∈ N.
20. Mostre que a12 − b12 é diviśıvel por 13 se (a, 13) = (b, 13) = 1. Mostre também que
é diviśıvel por 91 se (a, 91) = (b, 91) = 1.
21. Mostre que todo divisor de um número de Fermat Fn é da forma 4m+ 1.
22. Mostre que, se p e q são números primos distintos, então (Mp,Mq) = 1m.
23. Sejam m,n ∈ N.
a) Mostre que, se m < n, então Fm|Fn − 2.
b) Dê uma outra prova para o fato de que se m ̸= n, então (Fm, Fn) = 1.
24. Mostre que existem infinitos números primos da forma 3n+ 2.
25. Seja {p1 < p2 < · · · < pn < · · · } a única ordenação crescente do conjunto dos
naturais primos. Mostre que, para todo n ∈ N,
pn ≤ 22
n−2
+ 1.
26. Considere a sequência de Fibonacci (un). Mostre que, se n é ı́mpar, então os divisores
ı́mpares de un são da forma 4k + 1.
27. Mostre que a soma dos inversos dos divisores de um número perfeito par é sempre
igual a 2.
28. Seja an = 2
2n (22n+1 − 1). Mostre que, para todo n ∈ N,
a2n+1 = 256a2n−1 + 60 · 16n e a2n+2 = 256a2n + 240 · 16n.
2
Aritmética - Lista II
29. Sejam a, p ∈ N, com p primo. Mostre que, se a2 ≡ 1mod p, então a ≡ 1mod p ou
a ≡ p− 1mod p.
30. Ache o resto da divisão
a) de 710 por 51.
b) de 2100 por 11.
c) de 521 por 127.
d) de 14256 por 17.
e) de (116 + 1717)
21
por 8.
f) de 1316 − 225515 por 3.
g) de
10∑
k=1
k! por 40.
h) de 1212 por 5.
31. Mostre que:
a) 1016n − 1 é diviśıvel por 70, para todo n ∈ N.
b) 198n − 1 é diviśıvel por 17, para todo n ∈ N.
32. Determine o resto na divisão por 7 do número:
a)
100∑
k=1
1010
k
.
b)
100∑
k=1
k7.
c)
100∑
k=1
k6.
d) 22225555 + 55552222.
33. Determine o resto na divisão por 4 do número
a)
19∑
k=0
2k.
b)
100∑
k=1
k5.
34. Determine o algarismo das unidades de 99
9
.
35. Ache os algarismos das unidades, dezenas e centenas de 7999999.
36. Mostre que:
a) 102n ≡ 1mod 11 para todo n ∈ N.
b) 102n+1 ≡ −1mod 11 para todo n ∈ N.
3
Aritmética - Lista II
37. Se x2 ≡ 1mod 5, então quais os posśıveis restos na divisão de x por 5?
38. Seja pα11 · · · pαrr a decomposição primária de m. Mostre que
a ≡ bmodm ⇔ a ≡ bmod pαii , para todo i = 1, . . . , r.
39. Ache o menor número natural que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando dividido,
respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.
40. Mostre que se x2 ≡ rmod 8, com 0 ≤ r < 8, então r ∈ {0, 1, 4}.
41. Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na sequência de termo geral xn =
2 · 10n−1 + · · ·+ 2 · 10 + 2.
42. Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na PA 3, 11, 19, . . .
43. Mostre que a soma dos quadrados de quatro números naturais consecutivos nunca
é um quadrado.
44. Mostre que nenhum número natural da forma 4n + 3 pode ser escrito como soma
de dois quadrados.
45. Mostre que, se k ≥ 2 e a é ı́mpar, então a2k−2 ≡ 1mod 2k.
46. Usando o fato de que 100 é diviśıvel por 4, 25 e 100, ache critérios de divisibilidade
por 4, 25 e 100.
47. Considerando que 1000 é diviśıvel por 8, 125 e 100, ache critérios de divisibilidade
por 8, 125 e 1000.
48. Mostre que um número natural na base 10 é diviśıvel por 6 se, e somente se, a
soma do algarismo das unidades com o quádruplo da soma dos demais algarismos é
diviśıvel por 6.
49. Usando o fato de que
103 ≡ −1mod 7, mod 11, mod 13,
prove o seguinte critério de divisibilidade por 7, 11 e 13: um número natural
n = nr . . . n1n0, na base 10, é diviśıvel por 7, 11 ou 13 se, e somente se,
n2n1n0 − n5n4n3 + n8n7n6 − n11n10n9 + · · · o é.
50. Sejam a,m ∈ Z, com m > 1. Mostre que:
a) a congruência ax ≡ 1modm possui solução se, e somente se, (a,m) = 1.
b) se x0 é uma solução da congruência ax ≡ 1modm, então x1 é uma solução
desta congruência se, e somente se, x1 ≡ x0modm.
4